Historia de las matemáticas
Definición
El área de estudio conocida como la historia de las matemáticas es principalmente una investigación sobre el origen de los descubrimientos en matemáticas y, en menor medida, una investigación sobre los métodos matemáticos y la notación del pasado. Antes de la era moderna y la difusión mundial del conocimiento, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos han salido a la luz solo en algunos lugares. Desde el año 3000 aC, los estados mesopotámicos de Sumeria, Acadia y Asiria, junto con el Antiguo Egipto y Ebla comenzaron a usar la aritmética, el álgebra y la geometría para fines de tributación, comercio, comercio y también en el campo de la astronomía y para formular calendarios y tiempo récord.
Los textos matemáticos más antiguos disponibles son de Mesopotamia y Egipto: Plimpton 322 ( circa babilonio, 1900 aC), el papiro matemático Rhind (c. Del año 2000-1800 aC) y el papiro matemático de Moscú (c. 1890 aC egipcio). Todos estos textos mencionan los llamados triples pitagóricos y por lo tanto, por inferencia, el teorema de Pitágoras, parece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido después de la aritmética básica y la geometría.
El estudio de las matemáticas como una "disciplina demostrativa" comienza en el siglo VI aC con los pitagóricos, que acuñaron el término "matemáticas" del griego antiguo μάθημα ( mathema)), que significa "sujeto de instrucción". La matemática griega refinó en gran medida los métodos (especialmente a través de la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las pruebas) y amplió el tema de las matemáticas. Aunque no hicieron prácticamente ninguna contribución a las matemáticas teóricas, los antiguos romanos utilizaron las matemáticas aplicadas en topografía, ingeniería estructural, ingeniería mecánica, teneduría de libros, creación de calendarios lunares y solares, e incluso artes y artesanías. Las matemáticas chinas hicieron contribuciones tempranas, incluyendo un sistema de valores de lugar y el primer uso de números negativos. El sistema numérico hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día evolucionó en el transcurso del primer milenio dC en la India y se transmitió al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas a través del trabajo de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Las matemáticas islámicas, a su vez, desarrollaron y expandieron las matemáticas conocidas de estas civilizaciones. Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemáticas desarrolladas por la civilización maya de México y América Central, donde el concepto de cero recibió un símbolo estándar en los numerales mayas.
Muchos textos griegos y árabes sobre las matemáticas se tradujeron al latín a partir del siglo XII en adelante, lo que llevó a un mayor desarrollo de las matemáticas en la Europa medieval. Desde la antigüedad hasta la Edad Media, los períodos de descubrimiento matemático a menudo fueron seguidos por siglos de estancamiento. Comenzando en la Italia del Renacimiento en el siglo XV, los nuevos desarrollos matemáticos, que interactúan con los nuevos descubrimientos científicos, se realizaron a un ritmo cada vez mayor que continúa hasta nuestros días. Esto incluye el trabajo pionero de Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el desarrollo del cálculo infinitesimal durante el curso del siglo XVII. A fines del siglo XIX, se fundó el Congreso Internacional de Matemáticos que continúa liderando los avances en este campo.
Prehistórico
Los orígenes del pensamiento matemático se encuentran en los conceptos de número, magnitud y forma. Los estudios modernos de la cognición animal han demostrado que estos conceptos no son exclusivos de los humanos. Tales conceptos habrían sido parte de la vida cotidiana en sociedades de cazadores-recolectores. La idea del concepto de "número" que evoluciona gradualmente a lo largo del tiempo está respaldada por la existencia de idiomas que conservan la distinción entre "uno", "dos" y "muchos", pero no de números mayores que dos.
Los artefactos prehistóricos descubiertos en África, con 20,000 años de antigüedad o más sugieren intentos tempranos de cuantificar el tiempo. El hueso Ishango, que se encuentra cerca de las cabeceras del río Nilo (noreste de Congo), puede tener más de 20,000 años de antigüedad y consiste en una serie de marcas talladas en tres columnas que recorren la longitud del hueso. Las interpretaciones comunes son que el hueso de Ishango muestra una cuenta de la primera demostración conocida de secuencias de números primos o un calendario lunar de seis meses. Peter Rudman argumenta que el desarrollo del concepto de números primos solo pudo haber surgido después del concepto de división, que data de después del año 10,000 aC, con números primos probablemente entendidos hasta alrededor de 500 aC. También escribe que "no se ha intentado explicar por qué una cuenta de algo debe exhibir múltiplos de dos, números primos entre 10 y 20, y algunos números que son casi múltiplos de 10". El hueso Ishango, según el erudito Alexander Marshack, pudo haber influido en el desarrollo posterior de las matemáticas en Egipto ya que, al igual que algunas entradas en el hueso Ishango, la aritmética egipcia también hizo uso de la multiplicación por 2; esto sin embargo, es disputado.
Los egipcios predinásticos del quinto milenio antes de Cristo representaron gráficamente los diseños geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, que datan del tercer milenio antes de Cristo, incorporan en su diseño ideas geométricas como círculos, elipses y tercios pitagóricos. Sin embargo, todo lo anterior se discute, y los documentos matemáticos no controvertidos más antiguos son de fuentes egipcias babilónicas y dinásticas.
babilónico
La matemática babilónica se refiere a cualquier matemática de los pueblos de Mesopotamia (Irak moderno) desde los primeros tiempos de los sumerios hasta el período helenístico más cercano al comienzo del cristianismo. La mayoría del trabajo matemático babilónico proviene de dos períodos muy separados: los primeros cientos de años del segundo milenio aC (período babilónico antiguo) y los últimos siglos del primer milenio aC (período seléucida). Se llama matemática babilónica debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio. Más tarde, bajo el Imperio Árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, una vez más se convirtió en un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.
En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, nuestro conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de más de 400 tabletas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. Escrito en escritura cuneiforme, se inscribieron tabletas mientras la arcilla estaba húmeda, y se horneaba duro en un horno o por el calor del sol. Algunos de estos parecen ser tarea calificada.
La evidencia más antigua de las matemáticas escritas se remonta a los antiguos sumerios, que construyeron la civilización más antigua de Mesopotamia. Desarrollaron un complejo sistema de metrología desde 3000 aC Alrededor de 2500 aC en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tabletas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división. Las primeras huellas de los números babilónicos también datan de este período.
Las matemáticas babilónicas se escribieron usando un sistema de numeración sexagesimal (base-60). De esto deriva el uso moderno de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 (60 x 6) grados en un círculo, así como el uso de segundos y minutos de arco para denotar fracciones de un grado. Es probable que se haya elegido el sistema sexagesimal porque 60 se puede dividir equitativamente por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. Además, a diferencia de los egipcios, griegos y romanos, los babilonios tenían una verdadero sistema de valor posicional, donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes, al igual que en el sistema decimal. El poder del sistema notacional babilónico radicaba en que podía usarse para representar fracciones tan fácilmente como números enteros; por lo tanto, multiplicar dos números que contenían fracciones no era diferente de multiplicar números enteros, similar a nuestra notación moderna. El sistema de notación de los babilonios fue el mejor de cualquier civilización hasta el Renacimiento, y su poder le permitió lograr notable precisión y poder de cómputo; por ejemplo, la tableta babilónica YBC 7289 da una aproximación de √ 2 con precisión de cinco decimales. Los babilonios carecían, sin embargo, de un equivalente del punto decimal, por lo que el valor de posición de un símbolo a menudo tenía que inferirse del contexto. En el período seléucida, los babilonios habían desarrollado un símbolo cero como marcador de posición para posiciones vacías; sin embargo, solo se usó para posiciones intermedias. Este signo cero no aparece en posiciones terminales, por lo que los babilonios se acercaron pero no desarrollaron un verdadero sistema de valores de lugar.
Otros temas cubiertos por las matemáticas babilónicas incluyen fracciones, álgebra, ecuaciones cuadradas y cúbicas, y el cálculo de pares recíprocos regulares. Las tabletas también incluyen tablas de multiplicar y métodos para resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y ecuaciones cúbicas, un logro notable para la época. Las tabletas del período babilónico antiguo también contienen la declaración más antigua conocida del teorema de Pitágoras. Sin embargo, al igual que con las matemáticas egipcias, las matemáticas babilónicas no tienen conciencia de la diferencia entre las soluciones exactas y aproximadas, o la solvencia de un problema, y lo más importante, ninguna declaración explícita de la necesidad de pruebas o principios lógicos.
egipcio
Las matemáticas egipcias se refieren a las matemáticas escritas en el idioma egipcio. Desde el período helenístico, el griego reemplazó al egipcio como el lenguaje escrito de los eruditos egipcios. El estudio matemático en Egipto continuó más tarde bajo el Imperio Árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en la lengua escrita de los eruditos egipcios.
El texto matemático egipcio más extenso es el papiro Rhind (a veces también llamado el Papiro Ahmes según su autor), fechado en c. 1650 aC, pero es probable que una copia de un documento anterior del Reino Medio de alrededor de 2000-1800 aC. Es un manual de instrucciones para estudiantes en aritmética y geometría. Además de dar fórmulas de área y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones de unidades, también contiene evidencia de otros conocimientos matemáticos, incluidos los compuestos y primos; medios aritméticos, geométricos y armónicos; y entendimientos simplistas tanto del Tamiz de Eratóstenes como de la teoría de números perfecta (es decir, la del número 6). También muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y geométricas.
Otro texto matemático egipcio significativo es el papiro de Moscú, también del período del Imperio Medio, fechado en c. 1890 aC Consiste en lo que hoy se denominan problemas verbales o problemas narrativos , que aparentemente fueron concebidos como entretenimiento. Se considera que un problema es de particular importancia porque proporciona un método para encontrar el volumen de un tronco truncado (pirámide truncada).
Finalmente, el Papiro de Berlín 6619 (hacia 1800 aC) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación algebraica de segundo orden.
griego
La matemática griega se refiere a las matemáticas escritas en lengua griega desde el tiempo de Tales de Mileto (~ 600 aC) hasta el cierre de la Academia de Atenas en 529 dC. Los matemáticos griegos vivían en ciudades repartidas por todo el Mediterráneo oriental, desde Italia hasta el norte de África, pero estaban unidos por la cultura y el idioma. Las matemáticas griegas del período posterior a Alejandro Magno a veces se llaman matemáticas helenísticas.
Las matemáticas griegas eran mucho más sofisticadas que las matemáticas que habían sido desarrolladas por culturas anteriores. Todos los registros que sobreviven de las matemáticas pre-griegas muestran el uso del razonamiento inductivo, es decir, las observaciones repetidas utilizadas para establecer reglas generales. Los matemáticos griegos, por el contrario, usaron el razonamiento deductivo. Los griegos usaron la lógica para derivar conclusiones de definiciones y axiomas, y usaron el rigor matemático para probarlos.
Se cree que las matemáticas griegas comenzaron con Tales de Mileto (c.624-c.546 aC) y Pitágoras de Samos (c.580 aC 507 aC). Aunque se discute el alcance de la influencia, probablemente se inspiraron en las matemáticas egipcia y babilónica. Según la leyenda, Pitágoras viajó a Egipto para aprender matemáticas, geometría y astronomía de sacerdotes egipcios.
Thales usó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del Teorema de Thales. Como resultado, ha sido aclamado como el primer matemático verdadero y el primer individuo conocido a quien se le ha atribuido un descubrimiento matemático. Pitágoras estableció la Escuela de Pitágoras, cuya doctrina era que las matemáticas gobernaban el universo y cuyo lema era "Todo es número". Fueron los pitagóricos quienes acuñaron el término "matemáticas", y con quienes comienza el estudio de las matemáticas por sí mismo. A los pitagóricos se les atribuye la primera prueba del teorema de Pitágoras, aunque la afirmación del teorema tiene una larga historia, y con la prueba de la existencia de números irracionales. Aunque fue precedido por los babilonios y los chinos, el matemático neopitagórico Nicomachus (60-120 dC) proporcionó una de las primeras tablas de multiplicación greco-romanas, mientras que la tabla de multiplicación griega más antigua existente se encuentra en una tableta de cera del siglo I AD (ahora se encuentra en el Museo Británico). La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre Medieval posterior: el mientras que la tabla de multiplicación griega más antigua existente se encuentra en una tableta de cera del siglo I d. C. (ahora se encuentra en el Museo Británico). La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre Medieval posterior: el mientras que la tabla de multiplicación griega más antigua existente se encuentra en una tableta de cera del siglo I d. C. (ahora se encuentra en el Museo Británico). La asociación de los neopitagóricos con la invención occidental de la tabla de multiplicar es evidente en su nombre Medieval posterior: el mensa Pythagorica .
Platón (428/427 aC - 348/347 aC) es importante en la historia de las matemáticas para inspirar y guiar a otros. Su Academia Platónica, en Atenas, se convirtió en el centro matemático del mundo en el siglo IV aC, y fue de esta escuela a la que llegaron los principales matemáticos del momento, como Eudoxo de Cnido. Platón también discutió los fundamentos de las matemáticas, aclaró algunas de las definiciones (por ejemplo, la de una línea como "longitud sin anchura") y reorganizó las suposiciones. El método analítico se atribuye a Platón, mientras que una fórmula para obtener tripletas pitagóricas lleva su nombre.
Eudoxus (408-c.355 aC) desarrolló el método del agotamiento, un precursor de la integración moderna y una teoría de relaciones que evitaba el problema de las magnitudes inconmensurables. El primero permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, mientras que el último permitió a los geómetras posteriores realizar importantes avances en geometría. Aunque no hizo descubrimientos matemáticos técnicos específicos, Aristóteles (384-c.322 aC) contribuyó significativamente al desarrollo de las matemáticas al sentar las bases de la lógica.
En el siglo III aC, el principal centro de educación matemática e investigación fue el Museo de Alejandría. Fue allí donde Euclides (hacia el año 300 aC) enseñó y escribió los Elementos , ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. Los Elementos introdujeron el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que todavía se usa en las matemáticas de hoy en día, el de definición, axioma, teorema y prueba. Aunque la mayoría de los contenidos de los Elementos ya eran conocidos, Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. Los elementos era conocido por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría actual. Además de los teoremas familiares de la geometría euclidiana, los Elementos se entendieron como un libro de texto introductorio a todas las asignaturas matemáticas de la época, como teoría de números, álgebra y geometría sólida, incluyendo pruebas de que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitamente muchos números primos. Euclid también escribió extensamente sobre otros temas, como secciones cónicas, óptica, geometría esférica y mecánica, pero solo la mitad de sus escritos sobreviven.
Apolonio de Perga (c 262-190 aC) realizó importantes avances en el estudio de las secciones cónicas, demostrando que se pueden obtener las tres variedades de sección cónica variando el ángulo del plano que corta un cono de doble siesta. También acuñó la terminología en uso hoy en día para las secciones cónicas, a saber, parábola ("lugar al lado" o "comparación"), "elipse" ("deficiencia") e "hipérbola" ("un tiro más allá"). Su trabajo Cónicas es una de las obras matemáticas más conocidas y preservadas de la antigüedad, y en ella deriva muchos teoremas concernientes a secciones cónicas que resultarían invaluables para los matemáticos y astrónomos posteriores que estudiaran el movimiento planetario, como Isaac Newton. Aunque ni Apolonio ni ningún otro matemático griego dio el salto para coordinar la geometría, el tratamiento de las curvas de Apolonio es en cierto modo similar al tratamiento moderno, y algunos de sus trabajos parecen anticipar el desarrollo de la geometría analítica por Descartes unos 1800 años más tarde.
Por la misma época, Eratóstenes de Cirene (hacia 276-194 aC) ideó el Tamiz de Eratóstenes para encontrar números primos. El siglo III a. C. es generalmente considerado como la "Edad de Oro" de las matemáticas griegas, con avances en las matemáticas puras en adelante en declive relativo. Sin embargo, en los siglos que siguieron se realizaron importantes avances en las matemáticas aplicadas, especialmente la trigonometría, en gran medida para abordar las necesidades de los astrónomos. Hiparco de Nicea (hacia 190-120 aC) es considerado el fundador de la trigonometría para compilar la primera tabla trigonométrica conocida, y para él también se debe al uso sistemático del círculo de 360 grados. Garza de Alejandría (hacia 10-70 dC) se le atribuye Heron ' s fórmula para encontrar el área de un triángulo escaleno y ser el primero en reconocer la posibilidad de que los números negativos posean raíces cuadradas. Menelao de Alejandría (hacia el 100 DC) fue pionero en la trigonometría esférica a través del teorema de Menelao. El trabajo trigonométrico más completo e influyente de la antigüedad es el Almagesto de Ptolomeo (hacia 90-168 DC), un tratado astronómico histórico cuyas tablas trigonométricas serían utilizadas por los astrónomos durante los próximos mil años. A Ptolomeo también se le atribuye el teorema de Ptolomeo por derivar cantidades trigonométricas, y el valor más exacto de π fuera de China hasta el período medieval, 3.1416.
Después de un período de estancamiento después de Ptolomeo, el período comprendido entre 250 y 350 DC a veces se conoce como la "Edad de Plata" de las matemáticas griegas. Durante este período, Diophantus realizó avances significativos en el álgebra, particularmente el análisis indeterminado, que también se conoce como "análisis diofántico". El estudio de las ecuaciones diofánticas y las aproximaciones diofánticas es un área importante de investigación hasta el día de hoy. Su trabajo principal fue el Arithmetica , una colección de 150 problemas algebraicos que tratan con soluciones exactas para ecuaciones determinadas e indeterminadas. El Arithmetica tuvo una influencia significativa en los matemáticos posteriores, como Pierre de Fermat, quien llegó a su famoso The Last Theore después de tratar de generalizar un problema que había leído en el Arithmetica (el de dividir un cuadrado en dos cuadrados). Diofanto también hizo avances significativos en la notación, siendo la aritmética la primera instancia de simbolismo algebraico y síncopa.
Entre los últimos grandes matemáticos griegos está Pappus de Alejandría (siglo IV dC). Es conocido por su teorema del hexágono y el teorema del centroide, así como por la configuración de Pappus y el gráfico de Pappus. Su colección es una importante fuente de conocimiento sobre las matemáticas griegas, ya que la mayoría ha sobrevivido. Pappus es considerado el último gran innovador en matemáticas griegas, y el trabajo posterior consiste principalmente en comentarios sobre trabajos anteriores.
La primera mujer matemática registrada por la historia fue Hipatia de Alejandría (AD 350-415). Ella sucedió a su padre como bibliotecaria en la Gran Biblioteca y escribió muchos trabajos sobre matemáticas aplicadas. Debido a una disputa política, la comunidad cristiana en Alejandría la hizo desnudar públicamente y ejecutarla. Su muerte se toma a veces como el final de la era de las matemáticas alemanas de Alejandría, aunque el trabajo continuó en Atenas durante otro siglo con figuras como Proclus, Simplicius y Eutocius. Aunque Proclus y Simplicius fueron más filósofos que matemáticos, sus comentarios sobre trabajos anteriores son fuentes valiosas sobre las matemáticas griegas. El cierre de la Academia neoplatónica de Atenas por el emperador Justiniano en 529 dC se considera tradicionalmente como el final de la era de las matemáticas griegas, aunque la tradición griega continuó intacta en el imperio bizantino con matemáticos como Anthemius de Tralles e Isidore of Miletus, los arquitectos de Haghia Sophia. Sin embargo, las matemáticas bizantinas consistieron principalmente en comentarios, con poco en el camino de la innovación, y los centros de innovación matemática se encontraron en otros lugares en esta época.
romano
Aunque los matemáticos étnicos griegos siguieron viviendo bajo la dominación de la República romana tardía y el subsiguiente Imperio Romano, en comparación, no hubo ejemplos notables de matemáticos nativos latinos. Antiguos romanos como Cicerón (106-43 a. C.), un influyente estadista romano que estudió matemáticas en Grecia, creían que los topógrafos y calculadoras romanos estaban mucho más interesados en las matemáticas aplicadas que las matemáticas teóricas y la geometría apreciadas por los griegos. No está claro si los romanos primero derivaron su sistema numérico directamente del precedente griego o de los números etruscos utilizados por la civilización etrusca centrada en lo que ahora es Toscana, Italia central.
Usando el cálculo, los romanos fueron expertos tanto en instigar y detectar el fraude financiero, como en administrar los impuestos para el tesoro. Siculus Flaccus, uno de los romanos gromatici (es decir, agrimensor), escribió las categorías de campos, que ayudó a los agrimensores romanos a medir las áreas de superficie de tierras y territorios asignados. Además de administrar el comercio y los impuestos, los romanos también aplicaban las matemáticas con regularidad para resolver problemas de ingeniería, incluida la construcción de arquitectura, como puentes, construcción de carreteras y preparación para campañas militares. Artes y artesanías como los mosaicos romanos, inspirados en diseños griegos anteriores, crearon patrones geométricos ilusionistas y escenas ricas y detalladas que requerían medidas precisas para cada tesela, las piezas de opus tessellatum midieron en promedio ocho milímetros cuadrados y las piezas de opus vermiculatum más finas que tenían una superficie promedio de cuatro milímetros cuadrados.
La creación del calendario romano también requirió matemáticas básicas. El primer calendario supuestamente data del siglo VIII aC durante el Reino Romano e incluía 356 días más un año bisiesto cada dos años. Por el contrario, el calendario lunar de la era republicana contenía 355 días, aproximadamente diez y un cuarto días más cortos que el año solar, una discrepancia que se resolvió añadiendo un mes adicional en el calendario después del 23 de febrero. Este calendario fue suplantado por el calendario juliano, un calendario solar organizado por Julio César (100-44 aC) y ideado por Sosigenes de Alejandría para incluir un día bisiesto cada cuatro años en un ciclo de 365 días. Este calendario, que contenía un error de 11 minutos y 14 segundos, más tarde fue corregido por el calendario gregoriano organizado por el Papa Gregorio XIII ( r . 1572-1585), prácticamente el mismo calendario solar utilizado en los tiempos modernos como el calendario estándar internacional.
Aproximadamente al mismo tiempo, los chinos han y los romanos inventaron el dispositivo de odómetro con ruedas para medir las distancias recorridas, el modelo romano descrito por primera vez por el ingeniero civil romano y arquitecto Vitruvio (c 80 aC - c. 15 aC). El dispositivo se utiliza por lo menos hasta la época del emperador Commodus ( r 177 -. 192 AD), pero su diseño parece haberse perdido hasta que se realizaron experimentos durante el siglo XV en Europa Occidental. Tal vez confiando en el engranaje similar y la tecnología encontrada en el mecanismo de Antikythera, el odómetro de Vitruvio presentaba ruedas de carro que medían 4 pies (1.2 m) de diámetro girando cuatrocientas veces en una milla romana (aproximadamente 4590 pies / 1400 m). Con cada revolución, un dispositivo de clavija y eje engranó una rueda dentada de 400 dientes que convirtió a un segundo engranaje en el responsable de arrojar piedrecillas en una caja, cada una de las cuales representa una milla atravesada.
chino
Un análisis de las primeras matemáticas chinas ha demostrado su desarrollo único en comparación con otras partes del mundo, lo que ha llevado a los académicos a asumir un desarrollo completamente independiente. El texto matemático existente más antiguo de China es el Zhoubi Suanjing , datado entre 1200 aC y 100 aC, aunque una fecha de aproximadamente 300 aC durante el Período de los Estados Combatientes parece razonable. Sin embargo, el Tsinghua Bamboo Slips, que contiene la tabla de multiplicación decimal más antigua conocida (aunque los antiguos babilonios tenían uno con una base de 60), está fechada alrededor del 305 aC y es quizás el texto matemático más antiguo que sobrevive en China.
De particular interés es el uso en las matemáticas chinas de un sistema de notación de posición decimal, los llamados "números de barras" en los que se usaron cifras distintas para números entre 1 y 10, y cifras adicionales para potencias de diez. Por lo tanto, el número 123 se escribiría usando el símbolo de "1", seguido por el símbolo de "100", luego el símbolo de "2" seguido del símbolo de "10", seguido por el símbolo de "3". Este era el sistema numérico más avanzado del mundo en ese momento, aparentemente en uso varios siglos antes de la era común y mucho antes del desarrollo del sistema numérico indio. Los números de varillas permitieron la representación de números tan grandes como se deseaba y permitieron que los cálculos se llevaran a cabo en el plato suan , o ábaco chino. no es seguro, pero la mención escrita más antigua data del año 190 dC, en las notas complementarias sobre el arte de las figuras de Xu Yue .
El trabajo existente más antiguo sobre geometría en China proviene del canon filosófico Mohist c. 330 aC, compilado por los seguidores de Mozi (470-390 aC). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física, y proporcionó un pequeño número de teoremas geométricos también. También definió los conceptos de circunferencia, diámetro, radio y volumen.
En 212 aC, el emperador Qin Shi Huang ordenó que todos los libros del Imperio Qin que no fueran los oficialmente sancionados fueran quemados. Este decreto no fue obedecido universalmente, pero como consecuencia de esta orden se sabe poco sobre las matemáticas chinas antiguas antes de esta fecha. Después de la quema de libros del 212 aC, la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) produjo obras de matemáticas que, presumiblemente, se expandieron en obras que ahora están perdidas. El más importante de estos es Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático, cuyo título completo apareció en 179 d. C., pero existía en parte bajo otros títulos de antemano. Consiste en 246 problemas verbales que involucran la agricultura, los negocios, el empleo de la geometría para calcular los tramos de altura y las proporciones de dimensión para las torres de pagodas chinas, la ingeniería y la topografía, e incluye material sobre triángulos rectos. Creó pruebas matemáticas para el teorema de Pitágoras, y una fórmula matemática para la eliminación gaussiana. El tratado también proporciona valores de π, que los matemáticos chinos originalmente se aproximaron como 3 hasta que Liu Xin (23 d. C.) proporcionó una cifra de 3.1457 y posteriormente Zhang Heng (78-139) se aproximó a pi como 3.1724, así como a 3.162 al tomar el raíz cuadrada de 10. Liu Huicommented en los nueve capítulos en el siglo III dC y dio un valor de π preciso a 5 decimales (es decir, 3.14159). Aunque fue más una cuestión de resistencia computacional que de percepción teórica, en el siglo V dC Zu Chongzhi calculó el valor de π a siete lugares decimales (es decir, 3.141592), que permaneció como el valor más preciso de π durante casi los siguientes 1000 años. También estableció un método que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.
La marca de marea alta de las matemáticas chinas se produjo en el siglo XIII durante la segunda mitad de la dinastía Song (960-1279), con el desarrollo del álgebra china. El texto más importante de ese período es el espejo precioso de los cuatro elementos de Zhu Shijie (1249-1314), que trata de la solución de ecuaciones algebraicas de orden superior simultáneas utilizando un método similar al método de Horner. El Espejo Precioso también contiene un diagrama del triángulo de Pascal con coeficientes de expansiones binomiales a través de la octava potencia, aunque ambos aparecen en obras chinas desde el 1100. Los chinos también utilizaron el complejo diagrama combinatorio conocido como el cuadrado mágico y los círculos mágicos. descrito en la antigüedad y perfeccionado por Yang Hui (AD 1238-1298).
Incluso después de que las matemáticas europeas comenzaran a florecer durante el Renacimiento, las matemáticas europeas y chinas fueron tradiciones separadas, con una importante producción matemática china en declive desde el siglo XIII en adelante. Los misioneros jesuitas como Matteo Ricci llevaron ideas matemáticas entre las dos culturas desde el siglo XVI hasta el siglo XVIII, aunque en este punto muchas más ideas matemáticas entraban en China que irse.
Las matemáticas japonesas, las matemáticas coreanas y las vietnamitas se consideran tradicionalmente como derivadas de las matemáticas chinas y pertenecientes a la esfera cultural de Asia oriental basada en el confucianismo. Las matemáticas coreanas y japonesas estuvieron fuertemente influenciadas por las obras algebraicas producidas durante la dinastía Song de China, mientras que las matemáticas vietnamitas muy endeudado con las obras populares de la dinastía Ming de China (1368-1644). Por ejemplo, aunque los tratados matemáticos vietnamitas se escribieron en chino o en el guion ch Viet nôm vietnamita nativo, todos siguieron el formato chino de presentar una colección de problemas con algoritmos para resolverlos, seguidos de respuestas numéricas. Las matemáticas en Vietnam y Corea se asociaron principalmente con la burocracia de los tribunales profesionales de matemáticos y astrónomos,
indio
La civilización más antigua en el subcontinente indio es la civilización del valle del Indo (fase madura: 2600 a 1900 aC) que floreció en la cuenca del río Indo. Sus ciudades se diseñaron con regularidad geométrica, pero no existen documentos matemáticos conocidos que sobrevivan de esta civilización.
Los registros matemáticos más antiguos de la India son los Sulba Sutras (fechados entre el siglo VIII aC y el siglo II dC), apéndices de textos religiosos que dan reglas simples para construir altares de diversas formas, como cuadrados, rectángulos, paralelogramos y otros. Al igual que con Egipto, la preocupación por las funciones del templo apunta a un origen de las matemáticas en el ritual religioso. Los Sulba Sutras proporcionan métodos para construir un círculo con aproximadamente la misma área que un cuadrado dado, lo que implica varias aproximaciones diferentes del valor de π. Además, calculan la raíz cuadrada de 2 a varios lugares decimales, enumeran las tripletas pitagóricas y dan una declaración del teorema de Pitágoras. Todos estos resultados están presentes en las matemáticas babilónicas, lo que indica la influencia de Mesopotamia. No se sabe hasta qué punto los Sulba Sutras influenciaron a los matemáticos indios posteriores. Como en China, hay una falta de continuidad en las matemáticas de la India; avances significativos están separados por largos períodos de inactividad.
Pāṇini (hacia el siglo V aC) formuló las reglas para la gramática sánscrita. Su notación era similar a la notación matemática moderna y usaba metarules, transformaciones y recursiones. Pingala (aproximadamente del 3er-1er siglo aC) en su tratado de prosodia usa un dispositivo correspondiente a un sistema numérico binario. Su discusión de la combinatoria de los metros corresponde a una versión elemental del teorema binomial. El trabajo de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados mātrāmeru ).
Los siguientes documentos matemáticos significativos de la India después de los Sulba Sutras son los Siddhantas , tratados astronómicos de los siglos IV y V dC (período Gupta) que muestran una fuerte influencia helenística. Son importantes porque contienen la primera instancia de relaciones trigonométricas basadas en la media cuerda, como es el caso de la trigonometría moderna, en lugar de la cuerda completa, como fue el caso en la trigonometría ptolemaica. A través de una serie de errores de traducción, el las palabras "seno" y "coseno" derivan del sánscrito "jiya" y "kojiya".
En el siglo V dC, Aryabhata escribió el Aryabhatiya , un delgado volumen, escrito en verso, destinado a complementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y medición matemática, aunque sin ningún sentimiento de lógica o metodología deductiva. Aunque aproximadamente la mitad de las entradas son incorrectas, es en el Aryabhatiya donde aparece por primera vez el sistema de valores decimales. Varios siglos después, el matemático musulmán Abu Rayhan Birun describió el Aryabhatiya como una "mezcla de guijarros comunes y cristales costosos".
En el siglo VII, Brahmagupta identificó el teorema de Brahmagupta, la identidad de Brahmagupta y la fórmula de Brahmagupta, y por primera vez, en Brahma-sphuta-siddhanta, explicó lúcidamente el uso de cero como marcador de posición y dígito decimal, y explicó el sistema de numeración hindú-árabe. Fue a partir de una traducción de este texto indio sobre las matemáticas (770) que los matemáticos islámicos se introdujeron en este sistema numérico, que adaptaron como números arábigos. Los eruditos islámicos llevaron el conocimiento de este sistema numérico a Europa en el siglo XII, y ahora ha desplazado a todos los sistemas numéricos más antiguos de todo el mundo. Varios conjuntos de símbolos se usan para representar números en el sistema numeral hindú-árabe, todos los cuales evolucionaron a partir de los números Brahmi. Cada uno de los aproximadamente diez grandes guiones de India tiene sus propios glifos numerales. En el siglo 10, el comentario de Halayudha sobre el trabajo de Pingala contiene un estudio de la secuencia de Fibonacci y el triángulo de Pascal, y describe la formación de una matriz.
En el siglo XII, Bhāskara II vivió en el sur de la India y escribió extensamente sobre todas las ramas conocidas de las matemáticas. Su trabajo contiene objetos matemáticos equivalentes o equivalentes aproximadamente a infinitesimales, derivados, el teorema del valor medio y la derivada de la función sinusoidal. Hasta qué punto él anticipó la invención del cálculo es un tema controvertido entre los historiadores de las matemáticas.
En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama, el fundador de la llamada Escuela Kerala de Matemáticas, encontró la serie Madhava-Leibniz y, utilizando 21 términos, calculó el valor de π como 3.14159265359. Madhava también encontró la serie Madhava-Gregory para determinar el arcotangente, la serie de poder Madhava-Newton para determinar el seno y el coseno y la aproximación de Taylor para las funciones de seno y coseno. En el siglo XVI, Jyesthadeva consolidó muchos de los desarrollos y teoremas de la Escuela Kerala en el Yukti-bhāṣā . Sin embargo, la Escuela de Kerala no formuló una teoría sistemática de diferenciación e integración, ni existe ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitan fuera de Kerala.
islámico
El Imperio Islámico se estableció en Persia, Medio Oriente, Asia Central, África del Norte, Iberia, y en partes de la India en el siglo VIII hizo importantes contribuciones a las matemáticas. Aunque la mayoría de los textos islámicos sobre matemáticas fueron escritos en árabe, la mayoría de ellos no fueron escritos por árabes, ya que al igual que el griego en el mundo helenístico, el árabe se utilizaba como el idioma escrito de los eruditos no árabes en todo el mundo islámico en el hora. Los persas contribuyeron al mundo de las matemáticas junto a los árabes.
En el siglo IX, el matemático persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī escribió varios libros importantes sobre los números hindúes-arábigos y sobre métodos para resolver ecuaciones. Su libro Sobre el cálculo con números hindúes , escrito alrededor de 825, junto con el trabajo de Al-Kindi, fueron fundamentales para la difusión de las matemáticas y los números indios en el oeste. La palabra algoritmo se deriva de la latinización de su nombre, Algoritmi, y la palabra álgebra del título de una de sus obras, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa'l-muqābala ( El libro sobre el cálculo del Terminación y equilibrio) Dio una explicación exhaustiva de la solución algebraica de ecuaciones cuadráticas con raíces positivas, y fue el primero en enseñar el álgebra en una forma elemental y por sí misma. También discutió el método fundamental de "reducción" y "equilibrio", refiriéndose a la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos de la ecuación. Esta es la operación que al-Khwārizmī describió originalmente como al-jabr. Su álgebra ya no estaba preocupada "por una serie de problemas por resolver, sino por una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles para ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación por sí misma y "de una manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la solución de un problema, sino que se la llama específicamente a definir una clase infinita de problemas".
En Egipto, Abu Kamil amplió el álgebra al conjunto de números irracionales, aceptando raíces cuadradas y raíces cuartas como soluciones y coeficientes a ecuaciones cuadráticas. También desarrolló técnicas utilizadas para resolver tres ecuaciones simultáneas no lineales con tres variables desconocidas. Una característica única de sus trabajos fue tratar de encontrar todas las soluciones posibles para algunos de sus problemas, incluido uno en el que encontró 2676 soluciones. Sus obras formaron una base importante para el desarrollo del álgebra e influyeron en los matemáticos posteriores, como al-Karaji y Fibonacci.
Desarrollos adicionales en álgebra fueron hechos por Al-Karaji en su tratado al-Fakhri, donde extiende la metodología para incorporar potencias enteras y raíces enteras de cantidades desconocidas. Algo parecido a una prueba por inducción matemática aparece en un libro escrito por Al-Karaji alrededor del año 1000 dC, que lo usó para probar el teorema binomial, el triángulo de Pascal y la suma de cubos integrales. El historiador de las matemáticas, F. Woepcke, elogió a Al-Karaji por ser "el primero que introdujo la teoría del cálculo algebraico". También en el siglo X, Abul Wafa tradujo las obras de Diofanto al árabe. Ibn al-Haytham fue el primer matemático en derivar la fórmula para la suma de los cuartos poderes, usando un método que es fácilmente generalizable para determinar la fórmula general para la suma de cualquier poder integral. Realizó una integración para encontrar el volumen de un paraboloide, y fue capaz de generalizar su resultado para las integrales de polinomios hasta el cuarto grado. Por lo tanto, estuvo cerca de encontrar una fórmula general para las integrales de polinomios, pero no estaba interesado en ningún polinomio superior al cuarto grado.
A finales del siglo XI, Omar Khayyam escribió Discussions of the Difficulties en Euclid , un libro sobre lo que percibió como defectos en los Elementos de Euclides , especialmente el postulado paralelo. También fue el primero en encontrar la solución geométrica general para ecuaciones cúbicas. También fue muy influyente en la reforma del calendario.
En el siglo XIII, Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) realizó avances en trigonometría esférica. También escribió un trabajo influyente sobre el postulado paralelo de Euclides. En el siglo XV, Ghiyath al-Kashi calculó el valor de π en el decimosexto lugar decimal. Kashi también tenía un algoritmo para calcular n th roots, que era un caso especial de los métodos dados muchos siglos más tarde por Ruffini y Horner.
Otros logros de los matemáticos musulmanes durante este período incluyen la adición de la notación decimal a los números arábigos, el descubrimiento de todas las funciones trigonométricas modernas además del seno, la introducción de al-Kindi del criptoanálisis y el análisis de frecuencia, el desarrollo de la geometría analítica por Ibn al-Haytham, el comienzo de la geometría algebraica por Omar Khayyam y el desarrollo de una notación algebraica por al-Qalasādī.
Durante la época del Imperio otomano y el Imperio safávida del siglo XV, el desarrollo de las matemáticas islámicas se estancó.
maya
En las Américas precolombinas, la civilización maya que floreció en México y América Central durante el primer milenio AD desarrolló una tradición única de las matemáticas que, debido a su aislamiento geográfico, era completamente independiente de las matemáticas existentes en Europa, Egipto y Asia. Los números mayas utilizaban una base de 20, el sistema vigesimal, en lugar de una base de diez que forma la base del sistema decimal utilizado por la mayoría de las culturas modernas. Los mayas usaban las matemáticas para crear el calendario maya y para predecir fenómenos astronómicos en su astronomía maya nativa. Si bien el concepto de cero tuvo que ser inferido en las matemáticas de muchas culturas contemporáneas, los Mayas desarrollaron un símbolo estándar para ello.
Medieval europeo
El interés europeo medieval en las matemáticas fue impulsado por preocupaciones bastante diferentes de las de los matemáticos modernos. Un elemento impulsor fue la creencia de que las matemáticas proporcionaban la clave para comprender el orden creado de la naturaleza, frecuentemente justificado por el Timeo de Platón y el pasaje bíblico (en el Libro de la Sabiduría ) de que Dios había ordenado todas las cosas en medida, número y peso .
Boecio proporcionó un lugar para las matemáticas en el plan de estudios en el siglo VI cuando acuñó el término quadrivium para describir el estudio de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música. Escribió De institutione arithmetica , una traducción libre del griego de Introducción a la aritmética de Nicomachus ; De institutione musica , también derivado de fuentes griegas; y una serie de extractos de los Elementos de Euclides . Sus trabajos fueron teóricos, más que prácticos, y fueron la base del estudio matemático hasta la recuperación de las obras matemáticas griegas y árabes.
En el siglo XII, los eruditos europeos viajaron a España y Sicilia en busca de textos científicos árabes, incluido el Libro Compendio sobre Cálculo por Terminación y Equilibrio de al-Khwārizmī , traducido al latín por Roberto de Chester, y el texto completo de Elementos de Euclides , traducido en varios versiones de Adelard de Bath, Herman de Carintia y Gerard de Cremona. Estas y otras fuentes nuevas provocaron una renovación de las matemáticas.
Leonardo de Pisa, ahora conocido como Fibonacci, supo por casualidad acerca de los números hindúes-arábigos en un viaje a lo que ahora es Béjaïa, Argelia con su padre mercante. (Europa todavía usaba números romanos). Allí observó un sistema de aritmética (específicamente algorismo) que, debido a la notación posicional de los números hindúes-arábigos, era mucho más eficiente y facilitaba en gran medida el comercio. Leonardo escribió Liber Abaci en 1202 (actualizado en 1254), introduciendo la técnica en Europa y comenzando un largo período de popularización. El libro también trajo a Europa lo que ahora se conoce como la secuencia de Fibonacci (conocida por los matemáticos indios durante cientos de años antes de eso) que se usó como un ejemplo poco notable dentro del texto.
El siglo XIV vio el desarrollo de nuevos conceptos matemáticos para investigar una amplia gama de problemas. Una contribución importante fue el desarrollo de las matemáticas del movimiento local.
Thomas Bradwardine propuso que la velocidad (V) aumenta en la proporción aritmética a medida que la relación de fuerza (F) a resistencia (R) aumenta en proporción geométrica. Bradwardine lo expresó mediante una serie de ejemplos específicos, pero aunque el logaritmo aún no se había concebido, podemos expresar su conclusión anacrónicamente escribiendo: V = log (F / R). El análisis de Bradwardine es un ejemplo de transferencia de una técnica matemática utilizada por al-Kindi y Arnald de Villanova para cuantificar la naturaleza de los medicamentos compuestos a un problema físico diferente.
Uno de los del siglo 14 Oxford calculadoras, William Heytesbury, carente de cálculo diferencial y el concepto de límites, propuesto para medir la velocidad instantánea "por el camino que podría ser descrito por [un cuerpo] si ... que se movía uniformemente al mismo grado de velocidad con el que se mueve en ese instante dado ".
Heytesbury y otros determinaron matemáticamente la distancia recorrida por un cuerpo sometido a un movimiento uniformemente acelerado (hoy resuelto por integración), afirmando que "un cuerpo en movimiento que adquiera o pierda uniformemente ese incremento [de velocidad] atravesará en un tiempo dado una [distancia] completamente igual a lo que atravesaría si se moviera continuamente durante el mismo tiempo con el grado medio [de velocidad] ".
Nicole Oresme en la Universidad de París y el italiano Giovanni di Casali proporcionaron independientemente demostraciones gráficas de esta relación, afirmando que el área debajo de la línea que representa la aceleración constante, representaba la distancia total recorrida. En un comentario matemático posterior sobre los Elementos de Euclides , Oresme hizo un análisis general más detallado en el que demostró que un cuerpo adquirirá en cada incremento de tiempo sucesivo un incremento de cualquier cualidad que aumente como números impares. Como Euclides había demostrado que la suma de los números impares son los números cuadrados, la calidad total adquirida por el cuerpo aumenta como el cuadrado del tiempo.
Renacimiento
Durante el Renacimiento, el desarrollo de las matemáticas y la contabilidad se entrelazaron. Si bien no existe una relación directa entre el álgebra y la contabilidad, la enseñanza de los temas y los libros publicados a menudo destinados a los hijos de comerciantes que fueron enviados a escuelas de cuenta (en Flandes y Alemania) o escuelas de ábaco (conocidas como abbaco en Italia), donde aprendieron las habilidades útiles para el comercio y el comercio. Probablemente no sea necesario el álgebra para llevar a cabo las operaciones de contabilidad, pero para operaciones complejas de trueque o el cálculo del interés compuesto, un conocimiento básico de aritmética era obligatorio y el conocimiento del álgebra era muy útil.
Piero della Francesca (c.1415-1492) escribió libros sobre geometría sólida y perspectiva lineal, incluyendo De Prospectiva Pingendi (En perspectiva para pintar) , Trattato d'Abaco (Tratado de ábaco) y De corporibus regularibus (Sólidos regulares) .
La Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et proporcionalità de Luca Pacioli (italiano: "Revisión de la aritmética, geometría, relación y proporción") se imprimió y publicó por primera vez en Venecia en 1494. Incluía un tratado de 27 páginas sobre contabilidad, "Particularis de Computis". et Scripturis " (italiano:" Detalles de Cálculo y Grabación "). Fue escrito principalmente para, y vendido principalmente a, comerciantes que usaron el libro como texto de referencia, como una fuente de placer de los rompecabezas matemáticos que contiene, y para ayudar a la educación de sus hijos. En Summa Arithmetica , Pacioli introdujo símbolos para más y menos por primera vez en un libro impreso, símbolos que se convirtieron en notación estándar en las matemáticas del Renacimiento italiano. también fue el primer libro conocido impreso en Italia para contener álgebra. Pacioli obtuvo muchas de sus ideas de Piero Della Francesca a quien plagió.
En Italia, durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubrieron soluciones para ecuaciones cúbicas. Gerolamo Cardano los publicó en su libro de 1545 Ars Magna , junto con una solución para las ecuaciones cuárticas, descubierta por su estudiante Lodovico Ferrari. En 1572, Rafael Bombelli publicó su L'Algebra en el que mostraba cómo manejar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones cúbicas.
El libro De Thiende de Simon Stevin ("el arte de las décimas"), publicado por primera vez en holandés en 1585, contenía el primer tratamiento sistemático de la notación decimal, que influyó en todo el trabajo posterior sobre el sistema de números reales.
Impulsada por las exigencias de la navegación y la creciente necesidad de mapas precisos de grandes áreas, la trigonometría se convirtió en una rama importante de las matemáticas. Bartholomaeus Pitiscus fue el primero en usar la palabra, publicando su Trigonometria en 1595. La tabla de senos y cosenos de Regiomontanus se publicó en 1533.
Durante el Renacimiento, el deseo de los artistas de representar el mundo natural de manera realista, junto con la filosofía redescubierta de los griegos, llevó a los artistas a estudiar matemáticas. También fueron los ingenieros y arquitectos de la época, y por lo tanto tenían necesidad de las matemáticas en cualquier caso. El arte de pintar en perspectiva, y los desarrollos en geometría que involucraron, fueron estudiados intensamente.
Matemáticas durante la revolución científica
siglo 17
El siglo XVII experimentó un aumento sin precedentes de ideas matemáticas y científicas en toda Europa. Galileo observó las lunas de Júpiter en órbita alrededor de ese planeta, usando un telescopio basado en un juguete importado de Holanda. Tycho Brahe había reunido una enorme cantidad de datos matemáticos que describían las posiciones de los planetas en el cielo. Por su posición como asistente de Brahe, Johannes Kepler fue expuesto por primera vez e interactuó seriamente con el tema del movimiento planetario. Los cálculos de Kepler fueron simplificados por la invención contemporánea de los logaritmos de John Napier y Jost Bürgi. Kepler logró formular leyes matemáticas del movimiento planetario. La geometría analítica desarrollada por René Descartes (1596-1650) permitió trazar esas órbitas en un gráfico, en coordenadas cartesianas.
Basándose en el trabajo anterior de muchos predecesores, Isaac Newton descubrió las leyes de la física que explican las Leyes de Kepler, y reunió los conceptos ahora conocidos como cálculo. Independientemente, Gottfried Wilhelm Leibniz, quien es sin duda uno de los matemáticos más importantes del siglo XVII, desarrolló cálculos y mucha de la notación de cálculo que todavía se usa. La ciencia y las matemáticas se habían convertido en un esfuerzo internacional, que pronto se extendería por todo el mundo.
Además de la aplicación de las matemáticas a los estudios de los cielos, las matemáticas aplicadas comenzaron a expandirse a nuevas áreas, con la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal. Pascal y Fermat sientan las bases para las investigaciones de la teoría de la probabilidad y las correspondientes reglas de combinatoria en sus discusiones sobre un juego de apuestas. Pascal, con su apuesta, intentó utilizar la teoría de la probabilidad de desarrollo reciente para defender una vida dedicada a la religión, con el argumento de que incluso si la probabilidad de éxito era pequeña, las recompensas eran infinitas. En cierto sentido, esto predijo el desarrollo de la teoría de la utilidad en el siglo XVIII-XIX.
siglo 18
El matemático más influyente del siglo XVIII fue posiblemente Leonhard Euler. Sus contribuciones van desde fundar el estudio de la teoría de grafos con el problema de los Siete Puentes de Königsberg hasta estandarizar muchos términos y notaciones matemáticos modernos. Por ejemplo, nombró la raíz cuadrada de menos 1 con el símbolo
i , y popularizó el uso de la letra griega para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Hizo numerosas contribuciones al estudio de la topología, la teoría de grafos, el cálculo, la combinatoria y el análisis complejo, como lo demuestra la multitud de teoremas y anotaciones nombrados por él.
i , y popularizó el uso de la letra griega para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Hizo numerosas contribuciones al estudio de la topología, la teoría de grafos, el cálculo, la combinatoria y el análisis complejo, como lo demuestra la multitud de teoremas y anotaciones nombrados por él.
Otros matemáticos europeos importantes del siglo XVIII incluyeron a Joseph Louis Lagrange, que hizo un trabajo pionero en teoría de números, álgebra, cálculo diferencial y cálculo de variaciones, y Laplace, que, en la época de Napoleón, hizo un trabajo importante sobre los fundamentos de la ciencia celestial. Mecánica y en estadística.
Moderno
Siglo 19
A lo largo del siglo XIX, las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) personifica esta tendencia. Hizo un trabajo revolucionario en funciones de variables complejas, en geometría y en la convergencia de series, dejando de lado sus muchas contribuciones a la ciencia. También dio las primeras pruebas satisfactorias del teorema fundamental del álgebra y de la ley de reciprocidad cuadrática.
Este siglo vio el desarrollo de las dos formas de geometría no euclidiana, donde el postulado paralelo de la geometría euclidiana ya no se sostiene. El matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y su rival, el matemático húngaro János Bolyai, definieron y estudiaron independientemente la geometría hiperbólica, donde la singularidad de los paralelos ya no se cumple. En esta geometría, la suma de ángulos en un triángulo suma menos de 180 °. La geometría elíptica fue desarrollada más tarde en el siglo XIX por el matemático alemán Bernhard Riemann; aquí no se puede encontrar un paralelo y los ángulos en un triángulo suman más de 180 °. Riemann también desarrolló la geometría riemanniana, que unifica y generaliza enormemente los tres tipos de geometría, y definió el concepto de una variedad, que generaliza las ideas de curvas y superficies.
El siglo XIX vio el comienzo de una gran cantidad de álgebra abstracta. Hermann Grassmann en Alemania dio una primera versión de espacios vectoriales, William Rowan Hamilton en Irlanda desarrolló álgebra no conmutativa. El matemático británico George Boole ideó un álgebra que pronto se convirtió en lo que ahora se llama álgebra de Boole, en la que los únicos números eran 0 y 1. El álgebra de Boole es el punto de partida de la lógica matemática y tiene aplicaciones importantes en informática.
Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann y Karl Weierstrass reformularon el cálculo de una manera más rigurosa.
Además, por primera vez, se exploraron los límites de las matemáticas. Niels Henrik Abel, un noruego, y Évariste Galois, un francés, demostraron que no existe un método algebraico general para resolver ecuaciones polinomiales de grado superior a cuatro (teorema de Abel-Ruffini). Otros matemáticos del siglo XIX utilizaron esto en sus pruebas de que la regla y la brújula no son suficientes para trisectar un ángulo arbitrario, para construir el lado de un cubo el doble del volumen de un cubo dado, ni para construir un cuadrado igual en área a un dado circulo. Los matemáticos habían intentado en vano resolver todos estos problemas desde la época de los antiguos griegos. Por otro lado, la limitación de las tres dimensiones en geometría fue superada en el siglo XIX por consideraciones de espacio de parámetros y números hipercomplejos.
Las investigaciones de Abel y Galois sobre las soluciones de varias ecuaciones polinomiales sentaron las bases para posteriores desarrollos de la teoría de grupos y los campos asociados del álgebra abstracta. En el siglo XX, los físicos y otros científicos han considerado la teoría de grupos como la forma ideal de estudiar la simetría.
A finales del siglo XIX, Georg Cantor estableció los primeros fundamentos de la teoría de conjuntos, lo que permitió un tratamiento riguroso de la noción de infinito y se convirtió en el lenguaje común de casi todas las matemáticas. La teoría de conjuntos de Cantor, y el surgimiento de la lógica matemática en manos de Peano, LEJ Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell y AN Whitehead, iniciaron un largo debate sobre los fundamentos de las matemáticas.
El siglo XIX vio la fundación de varias sociedades matemáticas nacionales: la Sociedad matemática de Londres en 1865, la Société Mathématique de France en 1872, el Circolo Matematico di Palermoin 1884, la Sociedad matemática de Edimburgo en 1883 y la Sociedad matemática estadounidense en 1888. La primera sociedad internacional de especial interés, la Sociedad Quaternion, se formó en 1899, en el contexto de una controversia vectorial.
En 1897, Hensel introdujo números p-adic.
siglo 20
El siglo XX vio a las matemáticas convertirse en una profesión importante. Cada año, se otorgaron miles de nuevos doctores en matemáticas, y había trabajos disponibles tanto en la enseñanza como en la industria. Se realizó un esfuerzo para catalogar las áreas y aplicaciones de las matemáticas en la enciclopedia de Klein.
En un discurso de 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert estableció una lista de 23 problemas no resueltos en matemáticas. Estos problemas, que abarcan muchas áreas de las matemáticas, formaron un foco central para gran parte de las matemáticas del siglo XX. Hoy, 10 se han resuelto, 7 están parcialmente resueltos y 2 siguen abiertos. Los 4 restantes están formulados de manera demasiado vaga para que se indiquen como resueltos o no.
Conjeturas históricas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para probar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basándose en el trabajo de otros, demostró el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel demostraron que la hipótesis del continuo es independiente de (no podría probarse ni desmentirse) los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. En 1998, Thomas Callister Hales demostró la conjetura de Kepler.
Se llevaron a cabo colaboraciones matemáticas de un tamaño y alcance sin precedentes. Un ejemplo es la clasificación de grupos finitos simples (también llamado el "enorme teorema"), cuya prueba entre 1955 y 1983 requirió 500 artículos de revistas por unos 100 autores y llenó decenas de miles de páginas. Un grupo de matemáticos franceses, entre ellos Jean Dieudonné y André Weil, que publica bajo el seudónimo de "Nicolas Bourbaki", intentó exponer todas las matemáticas conocidas como un todo coherente y riguroso. El resultado de varias docenas de volúmenes ha tenido una influencia controvertida en la educación matemática.
La geometría diferencial se hizo efectiva cuando Einstein la usó en relatividad general. Las áreas completamente nuevas de las matemáticas, como la lógica matemática, la topología y la teoría de juegos de John von Neumann, cambiaron los tipos de preguntas que podían responderse mediante métodos matemáticos. Se abstrajeron todo tipo de estructuras usando axiomas y nombres como espacios métricos, espacios topológicos, etc. Como lo hacen los matemáticos, el concepto de una estructura abstracta se abstraía y conducía a la teoría de categorías. Grothendieck y Serre reformulan la geometría algebraica utilizando la teoría de la armadura. Se hicieron grandes avances en el estudio cualitativo de los sistemas dinámicos que Poincaré había comenzado en la década de 1890. La teoría de la medida se desarrolló a fines del siglo XIX y principios del siglo XX. Las aplicaciones de las medidas incluyen la integral de Lebesgue, la axiomatización de Kolmogorov de la teoría de la probabilidad, y la teoría ergódica. La teoría de nudos se expandió en gran medida. La mecánica cuántica llevó al desarrollo del análisis funcional. Otras áreas nuevas incluyen la teoría de distribución de Laurent Schwartz, la teoría de punto fijo, la teoría de singularidad y la teoría de catástrofes de René Thom, la teoría de modelos y los fractales de Mandelbrot. La teoría de la mentira con sus grupos de Lie y álgebras de Lie se convirtió en una de las principales áreas de estudio.
El análisis no estándar, presentado por Abraham Robinson, rehabilitó el enfoque infinitesimal del cálculo, que había caído en el descrédito a favor de la teoría de los límites, al extender el campo de los números reales a los números hiperreales que incluyen cantidades infinitesimales e infinitas. Un sistema de números aún mayor, los números surrealistas fueron descubiertos por John Horton Conway en relación con los juegos combinatorios.
El desarrollo y la mejora continua de las computadoras, primero las máquinas analógicas mecánicas y luego las máquinas electrónicas digitales, permitieron que la industria manejara cantidades de datos cada vez mayores para facilitar la producción en masa, la distribución y la comunicación, y se desarrollaron nuevas áreas de matemáticas para lidiar con esto : Teoría de la computabilidad de Alan Turing; teoría de la complejidad; El uso de Derrick Henry Lehmer de ENIAC para una mayor teoría de números y la prueba de Lucas-Lehmer; La teoría de la función recursiva de Rózsa Péter; Teoría de la información de Claude Shannon; procesamiento de la señal; análisis de los datos; optimización y otras áreas de investigación operativa. En los siglos precedentes, gran parte del enfoque matemático estaba en el cálculo y las funciones continuas. pero el auge de las redes informáticas y de comunicación condujo a una creciente importancia de los conceptos discretos y la expansión de la combinatoria, incluida la teoría de grafos. La velocidad y la capacidad de procesamiento de datos de las computadoras también permitieron el manejo de problemas matemáticos que consumían demasiado tiempo con cálculos a lápiz y papel, lo que condujo a áreas como el análisis numérico y el cálculo simbólico. Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX son: el algoritmo simplex, la Transformada rápida de Fourier, los códigos de corrección de errores, el filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía de clave pública. La velocidad y la capacidad de procesamiento de datos de las computadoras también permitieron el manejo de problemas matemáticos que consumían demasiado tiempo con cálculos a lápiz y papel, lo que condujo a áreas como el análisis numérico y el cálculo simbólico. Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX son: el algoritmo simplex, la Transformada rápida de Fourier, los códigos de corrección de errores, el filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía de clave pública. La velocidad y la capacidad de procesamiento de datos de las computadoras también permitieron el manejo de problemas matemáticos que consumían demasiado tiempo con cálculos a lápiz y papel, lo que condujo a áreas como el análisis numérico y el cálculo simbólico. Algunos de los métodos y algoritmos más importantes del siglo XX son: el algoritmo simplex, la Transformada rápida de Fourier, los códigos de corrección de errores, el filtro de Kalman de la teoría de control y el algoritmo RSA de la criptografía de clave pública.
Al mismo tiempo, se hicieron profundos conocimientos sobre las limitaciones de las matemáticas. En 1929 y 1930, se demostró que la verdad o la falsedad de todas las declaraciones formuladas sobre los números naturales más uno de suma y multiplicación, era decidible, es decir, podría determinarse mediante algún algoritmo. En 1931, Kurt Gödel descubrió que este no era el caso para los números naturales más suma y multiplicación; este sistema, conocido como aritmética de Peano, era de hecho incompleto. (La aritmética de Peano es adecuada para una buena cantidad de teoría de números, incluida la noción de número primo.) Una consecuencia de los dos teoremas de incompletitud de Gödel es que en cualquier sistema matemático que incluye la aritmética de Peano (incluidos todos los análisis y la geometría), la verdad necesariamente supera prueba, es decir, hay afirmaciones verdaderas que no se pueden probar dentro del sistema.
Una de las figuras más coloridas en las matemáticas del siglo XX fue Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920), un autodidacta indio que conjeturó o demostró más de 3000 teoremas, incluidas las propiedades de los números altamente compuestos, la función de partición y sus funciones asintóticas y simulacros theta. . También realizó importantes investigaciones en las áreas de funciones gamma, formas modulares, series divergentes, series hipergeométricas y teoría de números primos.
Paul Erdős publicó más artículos que cualquier otro matemático de la historia, trabajando con cientos de colaboradores. Los matemáticos tienen un juego equivalente al juego Kevin Bacon, que lleva al número de matemático Erdős. Esto describe la "distancia de colaboración" entre una persona y Paul Erdős, según lo medido por la autoría conjunta de documentos matemáticos.
Emmy Noether ha sido descrita por muchos como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. Ella estudió las teorías de anillos, campos y álgebras.
Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de conocimiento en la era científica ha llevado a la especialización: hacia el final del siglo había cientos de áreas especializadas en matemáticas y la Clasificación de Materias Matemáticas tenía docenas de páginas. Se publicaron más y más revistas matemáticas y, hacia el final del siglo, el desarrollo de la World Wide Web condujo a la publicación en línea.
Siglo 21
En 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete Millennium Prize Problems, y en 2003 la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelman (quien se negó a aceptar un premio, ya que criticaba al establecimiento de matemáticas).
La mayoría de las revistas matemáticas ahora tienen versiones en línea, así como versiones impresas, y muchas revistas en línea se lanzan. Hay un impulso cada vez mayor hacia la publicación de acceso abierto, primero popularizado por arXiv.
Futuro
Hay muchas tendencias observables en matemáticas, la más notable es que el tema es cada vez más grande, las computadoras son cada vez más importantes y poderosas, la aplicación de las matemáticas a la bioinformática se está expandiendo rápidamente y el volumen de datos producidos por la ciencia y la industria. facilitado por computadoras, se está expandiendo explosivamente.