Adición
Definición
La suma (a menudo significada por el signo más "+") es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; los otros son resta, multiplicación y división. La suma de dos números enteros es la cantidad total de esas cantidades combinadas. Por ejemplo, en la imagen adyacente, hay una combinación de tres manzanas y dos manzanas juntas, lo que hace un total de cinco manzanas. Esta observación es equivalente a la expresión matemática "3 + 2 = 5" , es decir, "3 suma 2 es igual a 5".
Además de contar elementos, la adición también se puede definir en otros tipos de números, como enteros, números reales y números complejos. Esto es parte de la aritmética, una rama de las matemáticas. En álgebra, otra área de las matemáticas, la adición se puede realizar en objetos abstractos como vectores y matrices.
La adición tiene varias propiedades importantes. Es conmutativo, lo que significa que el orden no importa, y es asociativo, lo que significa que cuando uno agrega más de dos números, el orden en que se realiza la suma no importa (ver Suma ). La adición repetida de 1 es lo mismo que contar; Además de 0 no cambia un número. La adición también obedece a reglas predecibles sobre operaciones relacionadas, como la resta y la multiplicación.
Realizar adición es una de las tareas numéricas más simples. La adición de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños; la tarea más básica, 1 + 1 , puede ser realizada por bebés de hasta cinco meses e incluso algunos miembros de otras especies de animales. En la educación primaria, a los estudiantes se les enseña a agregar números en el sistema decimal, comenzando con un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles. Las ayudas mecánicas van desde el antiguo ábaco hasta la computadora moderna, donde la investigación sobre las implementaciones de adición más eficientes continúa hasta el día de hoy.
Notación y terminología
La suma se escribe usando el signo más "+" entre los términos; es decir, en notación infija. El resultado se expresa con un signo igual. Por ejemplo,
- ("uno mas uno es igual a dos")
- ("dos más dos es igual a cuatro")
- ("uno más dos es igual a tres")
- (ver "asociatividad" a continuación)
- (ver "multiplicación" a continuación)
También hay situaciones en las que la adición se "entiende" aunque no aparezca ningún símbolo:
- Un número entero seguido inmediatamente por una fracción indica la suma de los dos, llamado número mixto . Por ejemplo,
3½ = 3 + ½ = 3.5.
Esta notación puede causar confusión ya que en la mayoría de los otros contextos, la yuxtaposición denota multiplicación.
La suma de una serie de números relacionados se puede expresar a través de la notación sigma de capital, que denota de forma compacta la iteración. Por ejemplo,
Los números o los objetos que han de añadirse además en general se denominan colectivamente como los términos , el sumando s o los sumandos ; esta terminología se traslada a la suma de múltiples términos. Esto se debe distinguir de los factores , que se multiplican. Algunos autores llaman al primero sumand la auyenda . De hecho, durante el Renacimiento, muchos autores no consideraron en absoluto el primero como un "sumando". Hoy en día, debido a la propiedad conmutativa de la suma, "augend" rara vez se utiliza, y ambos términos se denominan generalmente sumandos.
Toda la terminología anterior deriva del latín. "Adición" y "agregar" son palabras inglesas derivadas del verbo latino addere , que a su vez es un compuesto de ad "a" y se atreven a "dar", de la raíz proto-indoeuropea * deh₃- "dar" ; por lo tanto, agregar es dar . Usar el sufijo de gerundio y losresultados en "sumar", "cosa que se agregará". Del mismo modo, augere "para aumentar", uno obtiene "augend", "thing to be increased".
"Sum" y "summand" derivan del sustantivo latino summa "the highest, the top" y del verbo asociado summare . Esto es apropiado no solo porque la suma de dos números positivos es mayor que cualquiera de los dos, sino porque era común que los antiguos griegos y romanos añadieran hacia arriba, contrariamente a la práctica moderna de agregar hacia abajo, de modo que una suma era literalmente más alta que la sumandos Addere y summare se remontan al menos a Boecio, si no a escritores romanos anteriores como Vitruvio y Frontino; Boethius también usó varios otros términos para la operación de suma. Los términos posteriores del inglés medio "adden" y "adding" fueron popularizados por Chaucer.
El signo más "+" (Unicode: U + 002B; ASCII:)
+es una abreviación de la palabra latina et , que significa "y". Aparece en trabajos matemáticos que datan de al menos 1489.Interpretaciones
La adición se usa para modelar muchos procesos físicos. Incluso para el simple caso de agregar números naturales, hay muchas interpretaciones posibles e incluso más representaciones visuales.
Conjuntos combinados
Posiblemente, la interpretación más fundamental de la adición radique en la combinación de conjuntos:
- Cuando dos o más colecciones disjuntas se combinan en una sola colección, el número de objetos en la colección individual es la suma del número de objetos en las colecciones originales.
Esta interpretación es fácil de visualizar, con poco peligro de ambigüedad. También es útil en matemáticas superiores; para la definición rigurosa que inspira, vea Números naturales a continuación. Sin embargo, no es obvio cómo se debe extender esta versión de adición para incluir números fraccionarios o negativos.
Una posible solución es considerar colecciones de objetos que se pueden dividir fácilmente, como pasteles o, mejor aún, varillas segmentadas. En lugar de simplemente combinar colecciones de segmentos, las varillas se pueden unir de extremo a extremo, lo que ilustra otra concepción de la suma: no se agregan las varillas sino las longitudes de las varillas.
Extendiendo una longitud
Una segunda interpretación de la adición proviene de extender una longitud inicial por una longitud determinada:
- Cuando una longitud original se extiende en una cantidad determinada, la longitud final es la suma de la longitud original y la longitud de la extensión.
La suma un + b se puede interpretar como una operación binaria que combina un y b , en un sentido algebraico, o puede ser interpretado como la adición de b más unidades a una . Bajo esta última interpretación, las partes de una suma a + b juegan roles asimétricos, y la operación a + b se ve como la aplicación de la operación unaria + b a a . En lugar de llamar a los sumandos tanto a como b , es más apropiado llamar a la auyenda en este caso, ya que a juega un papel pasivo. La vista única también es útil cuando se habla de la resta, porque cada operación de suma única tiene una operación de resta unaria inversa, y viceversa .
Propiedades
Conmutatividad
La suma es conmutativa: uno puede cambiar el orden de los términos en una suma, y el resultado es el mismo. Simbólicamente, si a y b son dos números, entonces
- a + b = b + a .
El hecho de que la suma es conmutativa se conoce como la "ley conmutativa de la suma". Algunas otras operaciones binarias son conmutativas, como la multiplicación, pero muchas otras no, como la resta y la división.
Asociatividad
La suma es asociativa: al agregar tres o más números, el orden de las operaciones no importa.
Como ejemplo, ¿debería definirse la expresión a + b + c para que signifique ( a + b ) + c o a + ( b + c )? Esa adición es asociativa nos dice que la elección de la definición es irrelevante. Para cualquier tres números a , b y c , es cierto que ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . Por ejemplo, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).
Cuando se usa la adición junto con otras operaciones, el orden de las operaciones se vuelve importante. En el orden estándar de operaciones, la adición tiene una prioridad menor que la exponenciación, enésimas raíces, multiplicación y división, pero se le da la misma prioridad a la resta.
Elemento de identidad
Al agregar cero a cualquier número, la cantidad no cambia; cero es el elemento de identidad para la suma, también conocida como la identidad aditiva. En símbolos, para cualquier a ,
- a + 0 = 0 + a = a .
Esta ley fue identificado por primera vez en la de Brahmagupta Brahmasphutasiddhanta en el año 628 dC, aunque él escribió como tres leyes distintas, dependiendo de si una es negativo, positivo o cero en sí, y usó palabras en lugar de símbolos algebraicos. Más tarde los matemáticos indios refinaron el concepto; alrededor del año 830, Mahavira escribió: "cero se convierte en lo mismo que lo que se le agrega", correspondiente a la declaración única 0 + a = a. En el siglo XII, Bhaskara escribió: "En la adición de cifrado, o resta de él, la cantidad, positiva o negativa, sigue siendo la misma", correspondiente a la declaración unaria a + 0 = a .
Sucesor
Dentro del contexto de los enteros, la adición de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a , el entero ( a + 1) es el menos entero mayor que a , también conocido como el sucesor de a . Por ejemplo, 3 es el sucesor de 2 y 7 es el sucesor del 6. Debido a esta sucesión, el valor de un + b también puede verse como la b º sucesor de una , por lo que además sucesión iterado. Por ejemplo, 6 + 2 es 8, porque 8 es el sucesor de 7, que es el sucesor de 6, lo que convierte a 8 en el segundo sucesor de 6.
Unidades
Para agregar numéricamente cantidades físicas con unidades, deben expresarse con unidades comunes. Por ejemplo, agregar 50 mililitros a 150 mililitros da 200 mililitros. Sin embargo, si una medida de 5 pies se extiende por 2 pulgadas, la suma es de 62 pulgadas, ya que 60 pulgadas es sinónimo de 5 pies. Por otro lado, generalmente no tiene sentido intentar agregar 3 metros y 4 metros cuadrados, ya que esas unidades son incomparables; este tipo de consideración es fundamental en el análisis dimensional.
Realizando adiciones
Habilidad innata
Los estudios sobre el desarrollo matemático que comenzaron alrededor de la década de 1980 han explotado el fenómeno de la habituación: los bebés miran más tiempo a las situaciones que son inesperadas. Un experimento seminal de Karen Wynn en 1992 con muñecas Mickey Mouse manipuladas detrás de una pantalla demostró que los bebés de cinco meses esperan que 1 + 1 sea 2 y se sorprenden comparativamente cuando una situación física parece implicar que 1 + 1 es 1 o 3. Este hallazgo ha sido confirmado por una variedad de laboratorios que utilizan diferentes metodologías. Otro experimento de 1992 con niños pequeños mayores, de entre 18 y 35 meses, explotó su desarrollo del control motor al permitirles recuperar pelotas de ping-pong de una caja; los más jóvenes respondieron bien para números pequeños, mientras que los sujetos mayores pudieron calcular sumas hasta 5.
Incluso algunos animales no humanos muestran una capacidad limitada de agregar, particularmente primates. En un experimento de 1995 que imitaba el resultado de Wynn de 1992 (pero que usaba berenjenas en lugar de muñecas), los monos tamarinos de macaco rhesus y cottontop se desempeñaban de manera similar a los bebés humanos. Más dramáticamente, después de que se les enseñó el significado de los números arábigos 0 a 4, un chimpancé fue capaz de calcular la suma de dos números sin más entrenamiento. Más recientemente, los elefantes asiáticos han demostrado la capacidad de realizar aritmética básica.
Aprendizaje adicional como niños
Por lo general, los niños primero cuentan maestros. Cuando se le presente un problema que requiera que se combinen dos elementos y tres elementos, los niños pequeños modelarán la situación con objetos físicos, a menudo con los dedos o un dibujo, y luego contarán el total. A medida que adquieren experiencia, aprenden o descubren la estrategia de "contar-con": se les pide que busquen dos más tres, los niños cuentan tres y dos, dicen "tres, cuatro, cinco " (por lo general, marcan los dedos) y llegan a las cinco . Esta estrategia parece casi universal; los niños pueden recogerlo fácilmente de sus compañeros o maestros. La mayoría lo descubre de forma independiente. Con experiencia adicional, los niños aprenden a agregar más rápidamente al explotar la conmutatividad de la suma contando desde un número mayor, en este caso comenzando con tres y contando "cuatro, cinco".. "Con el tiempo, los niños comienzan a recordar ciertos datos adicionales (" enlaces numéricos "), ya sea a través de la experiencia o la memorización. Una vez que algunos hechos se confirman en la memoria, los niños comienzan a derivar hechos desconocidos de los conocidos. seis y siete pueden saber que 6 + 6 = 12 y luego razonan que 6 + 7 es uno más, o 13.Tales hechos derivados se pueden encontrar muy rápidamente y la mayoría de los estudiantes de primaria finalmente confían en una mezcla de hechos memorizados y derivados para agregar con fluidez.
Diferentes naciones introducen números enteros y aritmética a diferentes edades, con muchos países enseñando además en preescolar. Sin embargo, en todo el mundo, la adición se imparte para el final del primer año de la escuela primaria.
Tabla de adición
A los niños a menudo se les presenta la tabla de adición de pares de números del 1 al 10 para memorizar. Sabiendo esto, uno puede realizar cualquier adición.
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Sistema decimal
El requisito previo para la adición en el sistema decimal es la recuperación o derivación fluida de los 100 "hechos de suma" de un solo dígito. Uno podría memorizar todos los hechos de memoria, pero las estrategias basadas en patrones son más esclarecedoras y, para la mayoría de las personas, más eficientes:
- Propiedad conmutativa : mencionado anteriormente, usando el patrón a + b = b + a reduce el número de "hechos adicionales" de 100 a 55.
- Uno o dos más : Agregar 1 o 2 es una tarea básica, y se puede lograr contando o, en última instancia, con la intuición.
- Cero : dado que cero es la identidad aditiva, agregar cero es trivial. No obstante, en la enseñanza de la aritmética, algunos estudiantes son introducidos a la suma como un proceso que siempre aumenta los sumandos; los problemas planteados pueden ayudar a racionalizar la "excepción" de cero.
- Dobles : Agregar un número a sí mismo está relacionado con el conteo por dos y la multiplicación. Los hechos dobles forman una columna vertebral para muchos hechos relacionados, y los estudiantes los encuentran relativamente fáciles de entender.
- Casi-dobles : Sumas como 6 + 7 = 13 pueden derivarse rápidamente del hecho de dobles 6 + 6 = 12 al sumar uno más, o de 7 + 7 = 14, pero restando uno.
- Cinco y diez : las sumas de la forma 5 + x y 10 + x generalmente se memorizan temprano y se pueden usar para derivar otros hechos. Por ejemplo, 6 + 7 = 13 se puede derivar de 5 + 7 = 12 agregando uno más.
- Hacer diez : una estrategia avanzada utiliza 10 como intermediario para sumas que involucran 8 o 9; por ejemplo, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 .
A medida que los alumnos crecen, confían más en la memoria y aprenden a derivar otros hechos rápida y fluidamente. Muchos estudiantes nunca memorizan todos los hechos, pero aún pueden encontrar cualquier hecho básico rápidamente.
Llevar
El algoritmo estándar para agregar números multidigital es alinear los sumandos verticalmente y agregar las columnas, comenzando desde la columna de la derecha. Si una columna excede nueve, el dígito adicional se "transporta" a la siguiente columna. Por ejemplo, en la adición 27 + 59
¹ 27 + 59 ---- 86
7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo. Una estrategia alternativa comienza agregando desde el dígito más significativo de la izquierda; esta ruta hace que sea un poco más torpe, pero es más rápido obtener una estimación aproximada de la suma. Hay muchos métodos alternativos.
Adición de fracciones decimales
Las fracciones decimales se pueden agregar mediante una simple modificación del proceso anterior. Uno alinea dos fracciones decimales una encima de la otra, con el punto decimal en la misma ubicación. Si es necesario, se pueden agregar ceros finales a un decimal más corto para que tenga la misma longitud que el decimal más largo. Finalmente, se realiza el mismo proceso de adición que el anterior, excepto que el punto decimal se coloca en la respuesta, exactamente donde se colocó en los sumandos.
Como ejemplo, 45.1 + 4.34 se puede resolver de la siguiente manera:
4 5. 1 0 + 0 4. 3 4 ------------ 4 9. 4 4
Notación cientifica
En notación científica, los números se escriben en la forma , donde está el significado y es la parte exponencial. La adición requiere dos números en notación científica para ser representados usando la misma parte exponencial, de modo que los dos significandos puedan simplemente agregarse.
Por ejemplo:
Adición en otras bases
La suma en otras bases es muy similar a la suma decimal. Como ejemplo, uno puede considerar la adición en binario. Agregar dos números binarios de un solo dígito es relativamente simple, usando una forma de llevar:
- 0 + 0 → 0
- 0 + 1 → 1
- 1 + 0 → 1
- 1 + 1 → 0, carry 1 (desde 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2))
Agregar dos dígitos "1" produce un dígito "0", mientras que 1 debe agregarse a la siguiente columna. Esto es similar a lo que ocurre en decimales cuando se suman ciertos números de un solo dígito; si el resultado es igual o superior al valor de la raíz (10), el dígito a la izquierda se incrementa:
- 5 + 5 → 0, carry 1 (desde 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10))
- 7 + 9 → 6, carry 1 (desde 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10))
Esto se conoce como llevar . Cuando el resultado de una suma excede el valor de un dígito, el procedimiento es "llevar" la cantidad excedente dividida por la raíz (es decir, 10/10) hacia la izquierda, agregándola al siguiente valor posicional. Esto es correcto ya que la siguiente posición tiene un peso que es más alto por un factor igual a la raíz. El funcionamiento funciona de la misma manera en binario:
1 1 1 1 1 (dígitos transportados) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------- 1 0 0 1 0 0 = 36
En este ejemplo, dos números se suman: 01101 2 (13 10 ) y 10111 2 (23 10 ). La fila superior muestra los bits de transporte utilizados. Comenzando en la columna de la derecha, 1 + 1 = 10 2 . El 1 se lleva a la izquierda, y el 0 se escribe en la parte inferior de la columna más a la derecha. La segunda columna de la derecha se agrega: 1 + 0 + 1 = 10 2 nuevamente; el 1 es llevado, y 0 está escrito en la parte inferior. La tercera columna: 1 + 1 + 1 = 11 2 . Esta vez, se lleva 1 y se escribe 1 en la fila inferior. Proceder de esta manera da la respuesta final 100100 2 (36 10 ).
Ordenadores
Las computadoras análogas trabajan directamente con cantidades físicas, por lo que sus mecanismos de adición dependen de la forma de los sumandos. Un sumador mecánico podría representar dos sumandos como posiciones de bloques deslizantes, en cuyo caso se pueden agregar con una palanca de promediado. Si los sumandos son las velocidades de rotación de dos ejes, se pueden agregar con un diferencial. Un sumador hidráulico puede agregar las presiones en dos cámaras mediante la explotación de la segunda ley de Newton para equilibrar las fuerzas en un conjunto de pistones. La situación más común para una computadora analógica de propósito general es agregar dos voltajes (referenciados a tierra); esto se puede lograr más o menos con una red de resistencias, pero un mejor diseño explota un amplificador operacional.
La adición también es fundamental para el funcionamiento de las computadoras digitales, donde la eficiencia de la suma, en particular el mecanismo de transporte, es una limitación importante para el rendimiento general.
El ábaco, también llamado marco de conteo, es una herramienta de cálculo que estaba en uso siglos antes de la adopción del sistema numérico moderno escrito y todavía es ampliamente utilizado por comerciantes, comerciantes y empleados en Asia, África y otros lugares; data de al menos 2700-2300 aC, cuando se usó en Sumer.
Blaise Pascal inventó la calculadora mecánica en 1642; fue la primera máquina sumadora operativa. Hizo uso de un mecanismo de transporte asistido por gravedad. Fue la única calculadora mecánica operativa en el siglo XVII y la primera computadora digital automática. La calculadora de Pascal estaba limitada por su mecanismo de transporte, que obligaba a sus ruedas a girar solo en una dirección para poder agregar. Para restar, el operador tenía que usar el complemento de la calculadora Pascal, que requería tantos pasos como una suma. Giovanni Poleni siguió a Pascal, construyendo la segunda calculadora mecánica funcional en 1709, un reloj calculador hecho de madera que, una vez configurado, podía multiplicar dos números automáticamente.
Los Adders ejecutan la suma entera en las computadoras electrónicas digitales, usualmente usando aritmética binaria. La arquitectura más simple es el sumador de transporte de rizo, que sigue el algoritmo estándar de varios dígitos. Una ligera mejora es el diseño de salto de transporte, de nuevo siguiendo la intuición humana; uno no realiza todos los acarreos en el cálculo de 999 + 1 , pero uno pasa por alto el grupo de 9 y salta a la respuesta.
En la práctica, la adición computacional puede lograrse a través de operaciones lógicas bit a bit XOR y AND junto con operaciones de desplazamiento de bits como se muestra en el pseudocódigo a continuación. Ambas puertas XOR y AND son fáciles de realizar en lógica digital, permitiendo la realización de circuitos sumadores completos que a su vez pueden combinarse en operaciones lógicas más complejas. En las computadoras digitales modernas, la suma entera suele ser la instrucción aritmética más rápida, pero tiene el mayor impacto en el rendimiento, ya que subyace en todas las operaciones de punto flotante y en tareas básicas como la generación de direcciones durante el acceso a memoria y las instrucciones de búsqueda durante la bifurcación. Para aumentar la velocidad, los diseños modernos calculan los dígitos en paralelo; estos esquemas tienen nombres tales como carry select, carry lookahead y el pseudocarrio Ling. Muchas implementaciones son, de hecho, híbridos de estos últimos tres diseños. A diferencia de la adición en papel, la adición en una computadora a menudo cambia los sumandos. En el ábaco antiguo y la tabla de adición, ambos sumandos se destruyen, quedando solo la suma. La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue lo suficientemente fuerte como para que los primeros textos latinos a menudo afirmaran que en el proceso de agregar "un número a un número", ambos números desaparecen. En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza la auyenda con la suma, pero conserva el sumando. En un lenguaje de programación de alto nivel, evaluando La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue lo suficientemente fuerte como para que los primeros textos latinos a menudo afirmaran que en el proceso de agregar "un número a un número", ambos números desaparecen. En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza la auyenda con la suma, pero conserva el sumando. En un lenguaje de programación de alto nivel, evaluando La influencia del ábaco en el pensamiento matemático fue lo suficientemente fuerte como para que los primeros textos latinos a menudo afirmaran que en el proceso de agregar "un número a un número", ambos números desaparecen. En los tiempos modernos, la instrucción ADD de un microprocesador a menudo reemplaza la auyenda con la suma, pero conserva el sumando. En un lenguaje de programación de alto nivel, evaluando a + b no cambia ni a ni b ; si el objetivo es reemplazar a con la suma, esto debe solicitarse explícitamente, generalmente con la declaración a = a + b . Algunos lenguajes como C o C ++ permiten abreviarlo como a + = b .
// Algoritmo iterativo
int add ( int x , int y ) {
int carry = 0 ;
while ( y ! = 0 ) {
carry = AND ( x , y ); // Logical AND
x = XOR ( x , y ); // Logical XOR
y = carry << 1 ; // left bitshift carry by one
}
devuelve x ;
}
// Algoritmo Recursivo
int add ( int x , int y ) {
return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 );
}
En una computadora, si el resultado de una adición es demasiado grande para almacenar, se produce un desbordamiento aritmético que da como resultado una respuesta incorrecta. El desbordamiento aritmético imprevisto es una causa bastante común de errores del programa. Dichos errores de desbordamiento pueden ser difíciles de descubrir y diagnosticar porque pueden manifestarse solo para conjuntos de datos de entrada muy grandes, que es menos probable que se utilicen en pruebas de validación. El problema del año 2000 fue una serie de errores en los que se produjeron errores de desbordamiento debido al uso de un formato de dos dígitos durante años.
Suma de números
Para probar las propiedades usuales de la suma, primero se debe definir la adición para el contexto en cuestión. La adición se define primero en los números naturales. En la teoría de conjuntos, la adición se extiende a conjuntos progresivamente más grandes que incluyen los números naturales: los números enteros, los números racionales y los números reales. (En la educación matemática, se agregan fracciones positivas incluso antes de considerar los números negativos, esta es también la ruta histórica).
Números naturales
Hay dos maneras populares de definir la suma de dos números naturales a y b . Si uno define los números naturales como las cardinalidades de los conjuntos finitos, (la cardinalidad de un conjunto es el número de elementos en el conjunto), entonces es apropiado definir su suma de la siguiente manera:
- Deje N ( S ) sea la cardinalidad de un conjunto S . Tome dos conjuntos disjuntos A y B , con N ( A ) = a y N ( B ) = b . Entonces a + b se define como .
Aquí, A ∪ B es la unión de A y B . Una versión alternativa de esta definición permite que A y B se superpongan y luego tome su unión disjunta, un mecanismo que permite separar los elementos comunes y, por lo tanto, contarlos dos veces.
La otra definición popular es recursiva:
- Sea n el sucesor de n , ese es el número que sigue a n en los números naturales, entonces 0 = 1, 1 = 2. Defina a + 0 = a . Defina la suma general de forma recursiva mediante a + ( b ) = ( a + b ) . Por lo tanto 1 + 1 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = 2 .
De nuevo, hay pequeñas variaciones en esta definición en la literatura. Tomado literalmente, la definición anterior es una aplicación de la recursión Teorema sobre el conjunto parcialmente ordenado N . Por otro lado, algunas fuentes prefieren usar un Teorema de Recursión restringido que se aplica solo al conjunto de números naturales. Uno entonces considera un a ser temporalmente "fijo", se aplica la recursividad en b para definir una función de " un +", y pastas de estas operaciones unarios para todo un conjunto para formar la operación binaria completa.
Esta formulación recursiva de adición fue desarrollada por Dedekind ya en 1854, y la ampliaría en las siguientes décadas. Probó las propiedades asociativas y conmutativas, entre otras, a través de la inducción matemática.
Enteros
La concepción más simple de un número entero es que consiste en un valor absoluto (que es un número natural) y un signo (generalmente positivo o negativo). El entero cero es un tercer caso especial, no siendo positivo ni negativo. La definición correspondiente de adición debe proceder por casos:
- Para un entero n , deje | n | ser su valor absoluto Deje un y b son enteros. Si a o b es cero, trátalo como una identidad. Si a y b son ambos positivos, defina a + b = | a | + | b | . Si a y b son ambos negativos, defina a + b = - (| a | + | b |) . Si a y b tienen signos diferentes, defina un + b para ser la diferencia entre | a | y | b |, con el signo del término cuyo valor absoluto es mayor. Como ejemplo, -6 + 4 = -2 ; porque -6 y 4 tienen signos diferentes, se restan sus valores absolutos, y dado que el valor absoluto del término negativo es mayor, la respuesta es negativa.
Aunque esta definición puede ser útil para problemas concretos, es demasiado complicado producir pruebas generales elegantes; hay demasiados casos para considerar
Una concepción mucho más conveniente de los enteros es la construcción grupal de Grothendieck. La observación esencial es que cada entero se puede expresar (no únicamente) como la diferencia de dos números naturales, por lo que también podemos definir un número entero como la diferencia de dos números naturales. La adición se define entonces como compatible con la resta:
- Dado dos enteros a - b y c - d , donde a , b , c y d son números naturales, defina ( a - b ) + ( c - d ) = ( a + c ) - ( b + d ) .
Números racionales (fracciones)
La suma de números racionales se puede calcular utilizando el mínimo común denominador, pero una definición conceptualmente más simple implica solo la suma y multiplicación de enteros:
- Definir
Como un ejemplo, la suma .
La suma de fracciones es mucho más simple cuando los denominadores son iguales; en este caso, uno puede simplemente agregar los numeradores dejando el denominador igual: así .
La conmutatividad y asociatividad de la adición racional es una consecuencia fácil de las leyes de la aritmética de enteros. Para una discusión más rigurosa y general, vea el campo de fracciones .
Numeros reales
Una construcción común del conjunto de números reales es la finalización de Dedekind del conjunto de números racionales. Un número real se define como un corte Dedekind de racionales: un conjunto no vacío de racionales que se cierra hacia abajo y no tiene un elemento más grande. La suma de los números reales a y b se define elemento por elemento:
- Definir
Esta definición fue publicada por primera vez, en una forma ligeramente modificada, por Richard Dedekind en 1872. La conmutatividad y la asociatividad de la suma real son inmediatas; definiendo el número real 0 como el conjunto de racionales negativos, se ve fácilmente como la identidad aditiva. Probablemente la parte más complicada de esta construcción perteneciente a la adición sea la definición de inversos aditivos.
Desafortunadamente, lidiar con la multiplicación de los cortes de Dedekind es un proceso caso por caso que consume mucho tiempo, similar a la adición de enteros con signo. Otro enfoque es la finalización métrica de los números racionales. Un número real se define esencialmente como el límite de una secuencia de racionales de Cauchy, lim a n . La adición se define término por término:
- Definir
Esta definición fue publicada por primera vez por Georg Cantor, también en 1872, aunque su formalismo fue ligeramente diferente. Uno debe probar que esta operación está bien definida, y trata con secuencias co-Cauchy. Una vez que se realiza esa tarea, todas las propiedades de la suma real se siguen inmediatamente de las propiedades de los números racionales. Además, las otras operaciones aritméticas, incluida la multiplicación, tienen definiciones simples y análogas.
Números complejos
Los números complejos se agregan agregando las partes real e imaginaria de los sumandos. Es decir:
Usando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos A y B , interpretados como puntos del plano complejo, es el punto X obtenido al construir un paralelogramo tres de cuyos vértices son O , A y B . Equivalentemente, X es el punto tal que los triángulos con los vértices O , A , B y X , B , A , son congruentes.
Generalizaciones
Hay muchas operaciones binarias que se pueden ver como generalizaciones de la operación de suma en los números reales. El campo del álgebra abstracta está centralmente relacionado con tales operaciones generalizadas, y también aparecen en la teoría de conjuntos y en la teoría de categorías.
Adición en álgebra abstracta
Suma de vectores
En el álgebra lineal, un espacio vectorial es una estructura algebraica que permite agregar dos vectores y escalar vectores. Un espacio vectorial familiar es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales; el par ordenado ( a , b ) se interpreta como un vector desde el origen en el plano euclidiano hasta el punto ( a , b ) en el plano. La suma de dos vectores se obtiene al agregar sus coordenadas individuales:
- ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ).
Esta operación de adición es fundamental para la mecánica clásica, en la que los vectores se interpretan como fuerzas.
Además de la matriz
La suma de la matriz se define para dos matrices de las mismas dimensiones. La suma de dos m × n (pronunciado "m por n") matrices A y B , denotado por A + B , es de nuevo una matriz m × ncalculada mediante la adición de elementos correspondientes:
Por ejemplo:
Aritmética modular
En aritmética modular, el conjunto de enteros módulo 12 tiene doce elementos; hereda una operación de suma de los enteros que es central para la teoría de conjuntos musicales. El conjunto de enteros módulo 2 tiene solo dos elementos; la operación de adición que hereda se conoce en lógica booleana como la función "exclusiva o". En geometría, la suma de dos medidas de ángulo a menudo se toma como su suma como números reales módulo 2π. Esto equivale a una operación de adición en el círculo, que a su vez se generaliza a operaciones de suma en tori multidimensional.
Adición general
La teoría general del álgebra abstracta permite que una operación de "adición" sea cualquier operación asociativa y conmutativa en un conjunto. Las estructuras algebraicas básicas con tal operación de adición incluyen monoides conmutativos y grupos abelianos.
Adición en teoría de conjuntos y teoría de categorías
Una generalización de gran alcance de la adición de números naturales es la adición de números ordinales y números cardinales en la teoría de conjuntos. Estos dan dos generalizaciones diferentes de adición de números naturales a la transfinidad. A diferencia de la mayoría de las operaciones de adición, la adición de números ordinales no es conmutativa. La adición de números cardinales, sin embargo, es una operación conmutativa estrechamente relacionada con la operación sindical disjunta.
En la teoría de categorías, la unión disjunta se ve como un caso particular de la operación de coproducto, y los coproductos generales son quizás la más abstracta de todas las generalizaciones de suma. Algunos coproductos, como la suma directa y la suma de Wedge , reciben su nombre para evocar su conexión con la suma.
Operaciones relacionadas
La suma, junto con la resta, la multiplicación y la división, se considera una de las operaciones básicas y se usa en aritmética elemental.
Aritmética
La resta se puede considerar como un tipo de suma, es decir, la adición de un inverso aditivo. La resta es en sí misma una especie de inversa a la suma, en que sumar x y restar x son funciones inversas.
Dado un conjunto con una operación de suma, uno no siempre puede definir una operación de resta correspondiente en ese conjunto; el conjunto de números naturales es un simple ejemplo. Por otro lado, una operación de resta determina de manera única una operación de suma, una operación inversa aditiva y una identidad aditiva; por esta razón, un grupo aditivo se puede describir como un conjunto cerrado bajo sustracción.
La multiplicación se puede pensar como una adición repetida. Si un solo término x aparece en una suma n veces, entonces la suma es el producto de n y x . Si n no es un número natural, el producto aún puede tener sentido; por ejemplo, la multiplicación por -1 produce el inverso aditivo de un número.
En los números reales y complejos, la función exponencial puede intercambiar suma y multiplicación:
- e = e e .
Esta identidad permite que la multiplicación se lleve a cabo consultando una tabla de logaritmos y cómputo adicional a mano; también permite la multiplicación en una regla de cálculo. La fórmula sigue siendo una buena aproximación de primer orden en el amplio contexto de los grupos de Lie, donde relaciona la multiplicación de elementos de grupo infinitesimales con la adición de vectores en el álgebra de Lie asociada.
Hay incluso más generalizaciones de multiplicación que de suma. En general, las operaciones de multiplicación siempre se distribuyen sobre la suma; este requisito se formaliza en la definición de un anillo. En algunos contextos, como los enteros, la distributividad sobre la suma y la existencia de una identidad multiplicativa es suficiente para determinar de manera única la operación de multiplicación. La propiedad distributiva también proporciona información sobre la suma; al expandir el producto (1 + 1) ( a + b ) en ambos sentidos, se concluye que la adición se fuerza a ser conmutativa. Por esta razón, la adición del anillo es conmutativa en general.
La división es una operación aritmética remotamente relacionada con la suma. Como a / b = a ( b ) , la división es correcta distributiva sobre la suma: ( a + b ) / c = a / c + b / c . Sin embargo, la división no se deja distributiva sobre la suma; 1 / (2 + 2) no es lo mismo que 1/2 + 1/2 .
Ordenando
La operación máxima "max ( a , b )" es una operación binaria similar a la suma. De hecho, si dos números no negativos a y b son de diferentes órdenes de magnitud, entonces su suma es aproximadamente igual a su máximo. Esta aproximación es extremadamente útil en las aplicaciones de las matemáticas, por ejemplo, en truncar series de Taylor. Sin embargo, presenta una dificultad perpetua en el análisis numérico, esencialmente dado que "max" no es invertible. Si b es mucho mayor que a , entonces un cálculo directo de ( a + b ) - b puede acumular un error de redondeo inaceptable, tal vez incluso devolver cero. Ver también Pérdida de significado .
La aproximación se vuelve exacta en una especie de límite infinito; si a o b es un número cardinal infinito, su suma cardinal es exactamente igual a la mayor de las dos. En consecuencia, no hay operación de resta para infinitos cardenales.
La maximización es conmutativa y asociativa, como la suma. Además, como la suma conserva el orden de los números reales, la suma se distribuye sobre el "máximo" de la misma manera que la multiplicación se distribuye sobre la suma:
- a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).
Por estas razones, en la geometría tropical uno reemplaza la multiplicación con la adición y la suma con la maximización. En este contexto, la adición se denomina "multiplicación tropical", la maximización se denomina "adición tropical" y la "identidad aditiva" tropical es el infinito negativo. Algunos autores prefieren reemplazar la adición con la minimización; entonces la identidad aditiva es infinito positivo.
Al unir estas observaciones, la adición tropical está relacionada aproximadamente con la adición regular a través del logaritmo:
- log ( a + b ) ≈ max (log a , log b ),
que se vuelve más preciso a medida que aumenta la base del logaritmo. La aproximación puede hacerse exacta extrayendo una constante h , nombrada por analogía con la constante de Planck a partir de la mecánica cuántica, y tomando el "límite clásico" cuando h tiende a cero:
En este sentido, la operación máxima es una versión descuantificada de la suma.
Otras formas de agregar
Incremento, también conocido como la operación sucesora, es la adición de 1 a un número.
La sumatoria describe la adición arbitraria de muchos números, generalmente más de dos. Incluye la idea de la suma de un solo número, que es él mismo, y la suma vacía, que es cero. Una suma infinita es un procedimiento delicado conocido como serie.
Contar un conjunto finito es equivalente a sumar 1 sobre el conjunto.
La integración es una especie de "suma" sobre un continuo, o de manera más precisa y general, sobre una variedad diferenciable. La integración sobre una variedad de dimensión cero se reduce a la suma.
Las combinaciones lineales combinan multiplicación y suma; son sumas en las que cada término tiene un multiplicador, generalmente un número real o complejo. Las combinaciones lineales son especialmente útiles en contextos donde la adición directa violaría alguna norma de normalización, como la combinación de estrategias en la teoría de juegos o la superposición de estados en la mecánica cuántica.
La convolución se usa para agregar dos variables aleatorias independientes definidas por funciones de distribución. Su definición habitual combina integración, sustracción y multiplicación. En general, la convolución es útil como un tipo de adición del lado del dominio; por el contrario, la adición del vector es un tipo de adición del margen de alcance.