Wikiblog Cultulandia [es]

En matemáticas, una función era originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un planeta es una función del tiempo. Históricamente, el concepto se elaboró con el cálculo infinitesimal a fines del siglo XVII y, hasta el siglo XIX, las funciones consideradas eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a fines del siglo XIX en términos de teoría de conjuntos, y esto amplió en gran medida los dominios de aplicación del concepto.

Una función es un proceso o una relación que asocia cada elemento

x

de un conjunto

X

, el dominio de la función, a un único elemento

y

de otro conjunto

Y

(posiblemente el mismo conjunto), el codominio de la función. Si la función se llama

f

, esta relación se denota

y = f (x)

(lea

f

de

x

), el elemento

x

es el argumento o la entrada de la función, y

y

es el valor de la función , el salida , o la imagen de

x

por

f

. El símbolo que se utiliza para representar la entrada es la variable de la función (a menudo se dice que

f

es una función de la variable

x

).

Una función está representada de forma única por su gráfico, que es el conjunto de todos los pares

(x, f (x))

. Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números, cada uno de estos pares puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano. En general, estos puntos forman una curva, que también se llama gráfica de la función. Esta es una representación útil de la función, que se usa comúnmente en todas partes, por ejemplo en los periódicos.

Las funciones son ampliamente utilizadas en la ciencia y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Su papel es tan importante que se ha dicho que son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas.

Metáfora que describe una función como una "máquina" o "caja negra" que para cada entrada devuelve una salida correspondiente.

La curva roja es el gráfico de una función, porque cualquier línea vertical tiene exactamente un punto de cruce con la curva.

Una función que asocia cualquiera de las cuatro formas de color a su color.

Definición

Diagrama de una función, con dominio X = {1, 2, 3} y codomain Y= {A, B, C, D}, que se define por el conjunto de pares ordenados {(1, D), (2, C ), (3, C)}. La imagen / rango es el conjunto {C, D}.

Este diagrama, que representa el conjunto de pares {(1, D), (2, B), (2, C)}, no define una función. Una razón es que 2 es el primer elemento en más de un par ordenado, (2, B) y (2, C) , de este conjunto. Otras dos razones, también suficientes por sí mismas, es que ni 3 ni 4 son primeros elementos (entrada) de ningún par ordenado en el mismo.

Intuitivamente, una función es un proceso que asocia a cada elemento de un conjunto

X

un elemento único de un conjunto

Y

.

Formalmente, una función

f

de un conjunto

X

a un conjunto

Y

se define mediante un conjunto

G

de pares ordenados

(x, y)

tal que

x \in X

,

y \in Y

, y cada elemento de

X

es el primer componente de exactamente uno ordenado par en

G

. En otras palabras, para cada

x

en

X

, hay exactamente un elemento

y

tal que el par ordenado

(x, y)

pertenece al conjunto de pares que definen la función

f

. El conjunto

G

se llama el gráfico de la función. Formalmente hablando, puede identificarse con la función, pero esto oculta la interpretación habitual de una función como proceso. Por lo tanto, en el uso común, la función generalmente se distingue de su gráfico.

En esta definición,

X

e

Y

se llaman respectivamente el dominio y el codominio de la función

f

. Si

(x, y)

pertenece al conjunto que define

f

, entonces

y

es la imagen de

x

bajo

f

, o el valor de

f

aplicado al argumento

x

. Especialmente en el contexto de los números, también se dice que

y

es el valor de

f

para el valor $x$ de su variable, o, aún más corto,

y

es el valor de

f

de

x

, denotado como

y = f (x)

.

Formalmente, la definición de una función incluye especificar su dominio y su codominio. Sin embargo, estos no siempre se dan explícitamente, y, sin algún cálculo (posiblemente difícil), uno solo sabe que el dominio está contenido en un conjunto más grande. Normalmente, esto ocurre en el análisis matemático, donde "una función de

X

a

Y

" a menudo se refiere a una función que puede tener un subconjunto propio de

X

como dominio. Por ejemplo, una "función de los reales a los reales" puede referirse a una función de valor real de una variable real, y esta frase no significa que el dominio de la función es el conjunto completo de los números reales, sino solo ese el dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo abierto no vacío. Por ejemplo, si

f

es una función que tiene los números reales como dominio y codominio, luego una función, asociar el valor

x

al valor es una función

g

de los reales a los reales, cuyo dominio es el conjunto de los reales

x

, tal que

f

(

x

) \neq 0

. En muchos casos, los dominios exactos son difíciles de determinar, pero esto rara vez es un problema para trabajar con tales funciones.

{\ displaystyle g (x) = {\ tfrac {1} {f (x)}}}

El rango de una función es el conjunto de imágenes de todos los elementos en el dominio. Sin embargo, el rango a veces se usa como sinónimo de codominio, generalmente en libros de texto antiguos.

Notación

Hay varias formas estándar para denotar funciones. La notación más comúnmente utilizada es la notación funcional, que define la función usando una ecuación que da los nombres de la función y el argumento explícitamente. Esto da lugar a un punto sutil, a menudo pasado por alto en los tratamientos elementales de las funciones: las funciones son distintas de sus valores . Por lo tanto, una función

f

debe distinguirse de su valor

f (x 0)

en el valor

x 0

en su dominio. Hasta cierto punto, incluso los matemáticos que trabajan combinarán los dos en entornos informales por conveniencia y evitarán el uso de un lenguaje pedante. Sin embargo, estrictamente hablando, es un abuso de notación para escribir "dejar que sea la función

f

(

x

) =

x

", ya que

f

(

x

)

y

x

deben ambos ser entendidos como el valor de f en x , en lugar de la propia función . En cambio, es correcto, aunque pedante, escribir "let be the function" definida por la ecuación

f

(

x

) =

x

,

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}}

válido para todos los valores reales de

x

".

Esta distinción en lenguaje y notación se vuelve importante en los casos en que las funciones mismas sirven como entradas para otras funciones. (Una función que toma otra función como entrada se denomina funcional ). Otros enfoques para denotar funciones, detallados a continuación, evitan este problema, pero se usan con menos frecuencia.

Notación funcional

Para trabajar con una función particular, a menudo es útil usar un símbolo para denotarla. Este símbolo consiste generalmente en una sola letra en letra cursiva, con mayor frecuencia en minúsculas

f, g, h

. Algunas funciones ampliamente utilizadas están representadas por un símbolo que consiste en varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviación de su nombre). Por convención, el símbolo para funciones estándar se establece en tipo romano, como "

sin

" para la función senoidal, en contraste con funciones definidas ad hoc .

La notación (léase: "

y

es igual a

f

de

x

")

y = f (x)

significa que el par

(x, y)

pertenece al conjunto de pares que definen la función

f

. Si

X

es el dominio de

f

, el conjunto de pares que define la función es así, utilizando la notación de conjunto de compiladores,

{\ displaystyle \ {(x, f (x)) \ colon x \ en X \}.}

A menudo, una definición de la función está dada por lo que f le hace al argumento explícito x. Por ejemplo, una función f puede ser definida por la ecuación

{\ displaystyle f (x) = \ sin (x ^ {2} +1)}

para todos los números reales x. En este ejemplo, se puede pensar en f como el conjunto de varias funciones más simples: cuadrar, agregar 1 y tomar el seno. Sin embargo, solo la función seno tiene un símbolo explícito común (sin), mientras que la combinación de cuadratura y luego adición de 1 se describe mediante la expresión polinómica . Para hacer referencia explícita a funciones tales como la cuadratura o la adición de 1 sin introducir nuevos nombres de función (por ejemplo, mediante la definición de la función g y h por y ), uno de los métodos siguientes (flecha notación o notación de puntos) podrían utilizarse.

x ^ {2} +1

g (x) = x ^ {2}

{\ displaystyle h (x) = x + 1}

Algunas veces se omiten los paréntesis de la notación funcional, cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ambigüedad, como

{\ displaystyle \ sin x \ quad {\ text {en lugar de}} \ quad \ sin (x).}

Notación de flecha

Para expresar explícitamente el dominio

X

y el codominio

Y

de una función

f

, la notación de flecha se usa a menudo (léase: "la función

f

de

X

a

Y

" o "la función

f

elementos de mapeo de

X

a elementos de

Y

" ):

f \ colon X \ a Y

o

{\ displaystyle X ~ {\ stackrel {f} {\ to}} ~ Y.}

Esto se utiliza a menudo en relación con la notación de flecha para los elementos (es decir: "

f

mapas

x

a

f (x)

"), a menudo apilados inmediatamente debajo de la flecha notación dando el símbolo de función, el dominio y codomain:

{\ displaystyle x \ mapsto f (x).}

Por ejemplo, si se define una multiplicación en un conjunto

X

, entonces la función cuadrada en

X

se define inequívocamente por (lea: "la función de

X

a

X

que mapea

x

a

x

\cdot

x

")

{\ displaystyle \ operatorname {sqr}}

{\ displaystyle \ operatorname {sqr}}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {sqr}: X & \ to X \\ x & \ mapsto x \ cdot x, \ end {aligned}}}

la última línea es más comúnmente escrita

{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {2}.}

A menudo, la expresión que da el símbolo de función, dominio y codominio se omite. Por lo tanto, la notación de flecha es útil para evitar introducir un símbolo para una función que está definida, como suele ser el caso, por una fórmula que expresa el valor de la función en términos de su argumento. Como aplicación común de la notación de flecha, supongamos que es una función de dos argumentos, y queremos referirnos a una función parcialmente aplicada producida fijando el segundo argumento al valor

t

0

sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión podría denotarse usando la notación de flecha para los elementos. Tenga en cuenta que la expresión (léase: "el mapa toma

x

a

{\ displaystyle f: X \ veces X \ a Y; \; (x, t) \ mapsto f (x, t)}

X \ a Y

{\ displaystyle x \ mapsto f (x, t_ {0})}

{\ displaystyle x \ mapsto f (x, t_ {0})}

{\ displaystyle f (x, t_ {0})}

") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión se refiere al valor de la función

f

en el punto .

{\ displaystyle f (x_ {0}, t_ {0})}

{\ displaystyle (x_ {0}, t_ {0})}

Notación de índice

La notación de índice se usa a menudo en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir

f (x)

, uno escribe

{\ displaystyle f_ {x}.}

Este es típicamente el caso para las funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Dicha función se denomina secuencia y, en este caso, el elemento se denomina

n-

ésimo elemento de secuencia.

f_ {n}

La notación de índice también se usa a menudo para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran como arregladas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa (ver arriba) se denotaría usando la notación de índice, si definimos la colección de mapas por la fórmula para todos .

{\ displaystyle x \ mapsto f (x, t)}

pie}

pie}

{\ displaystyle f_ {t} (x) = f (x, t)}

{\ displaystyle x, t \ en X}

Notación de punto

En la notación, el símbolo

x

no representa ningún valor, es simplemente un marcador de posición que significa que, si

x

se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha de la flecha. Por lo tanto,

x

puede ser reemplazado por cualquier símbolo, a menudo un interpunto "

\cdot

". Esto puede ser útil para distinguir la función

f

(\cdot)

de su valor

f

(

x

)

en

x

.

{\ displaystyle x \ mapsto f (x),}

Por ejemplo, puede estar de pie para la función , y puede representar una función definida por una integral con la variable límite superior: .

{\ displaystyle a (\ cdot) ^ {2}}

{\ displaystyle x \ mapsto ax ^ {2}}

{\ displaystyle \ textstyle \ int _ {a} ^ {\, (\ cdot)} f (u) \, du}

{\ displaystyle \ textstyle x \ mapsto \ int _ {a} ^ {x} f (u) \, du}

Notaciones especializadas

Hay otras anotaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional, las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan usando un par dual para mostrar la dualidad subyacente. Esto es similar al uso de la notación bra-ket en mecánica cuántica. En la lógica y la teoría de la computación, la notación de funciones del cálculo lambda se usa para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones. En la teoría de categorías y el álgebra homológica, las redes de funciones se describen en términos de cómo ellas y sus composiciones conmutan entre sí utilizando diagramas conmutativos que extienden y generalizan la notación de flechas para las funciones descritas anteriormente.

Especificando una función

De acuerdo con la definición de una función, una función específica se define, en general, asociando a cada elemento de su dominio al menos un elemento de su codominio. Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números, esta asociación puede tomar la forma de un cálculo que toma como entrada cualquier elemento del dominio y produce como salida en el codominio. Este cálculo puede describirse por una fórmula. (Este es el punto de partida del álgebra, que reemplaza muchos cálculos numéricos similares por una única fórmula que describe estos cálculos mediante una fórmula que incluye variables, que representan las entradas de cálculo como números no especificados). Este tipo de definición de una función utiliza con frecuencia funciones auxiliares previamente definidas.

Por ejemplo, la función

f

de los reales a los reales, definida por la fórmula , emplea, como funciones auxiliares, la función cuadrada (asignando todos los reales a los reales no negativos), la función de raíz cuadrada (asignando los reales no negativos a los reales no negativos) y la suma de números reales. El conjunto completo de números reales se puede tomar como el dominio de

f

, incluso si el dominio de la función de raíz cuadrada está restringido a los números reales no negativos; la imagen de

f

consiste en los reales que no son menos de uno.

{\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {1 + x ^ {2}}},}

El cálculo que permite definir una función a menudo se puede describir mediante un algoritmo, y se puede usar cualquier tipo de algoritmo. A veces, la definición de una función puede involucrar elementos o propiedades que se pueden definir, pero no computar. Por ejemplo, si uno considera el conjunto de programas en un lenguaje de programación dado, que toma un entero como entrada. La función de terminación es la función que devuelve 1 si un programa se ejecuta para siempre cuando se ejecuta en una entrada entera dada, y devuelve 0 en caso contrario. Es un teorema básico de la teoría de computabilidad que no puede existir un algoritmo para calcular esta función. De manera más general, la teoría de la computabilidad es el estudio de las funciones computables, es decir, las funciones que se pueden calcular mediante un algoritmo.

{\ mathcal {P}}

{\ mathcal {P}}

Las formas anteriores de definir funciones las definen "puntualmente", es decir, cada valor se define independientemente de los otros valores. Este no es necesariamente el caso.

Cuando el dominio de una función es el conjunto de enteros no negativos o, más generalmente, cuando el dominio está bien ordenado, una función puede definirse por inducción o recursión, lo que significa (aproximadamente) que el cálculo del valor de una función para algunos la entrada dada requiere valores de la función para entradas menores . Por ejemplo, la secuencia de Fibonacci es una función de los números naturales en sí mismos que está definida por dos valores de inicio y una fórmula, recurriendo a los dos argumentos inmediatamente precedentes (ver arriba para el uso de índices para el argumento de una función):

{\ displaystyle F_ {0} = 0, \ quad F_ {1} = 1, \ quad {\ text {y}} \ quad F_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n-2} \ quad {\ text {for}} n> 1.}

En cálculo, las funciones consideradas tienen regularidades extensas. Es decir, el valor de la función en un punto está relacionado con los valores de la función en los puntos vecinos. Esto permite definirlos mediante ecuaciones funcionales (por ejemplo, la función gamma es la única función meromórfica tal que , y para cualquier complejo

z

que no sea un entero no positivo), mediante ecuaciones diferenciales (por ejemplo, el logaritmo natural es la solución de la ecuación diferencial tal que

ln (1) = 0

), ecuaciones integrales o continuación analítica.

\ Gamma (1) = 1

\ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)

{\ displaystyle {\ frac {d (\ ln x)} {dx}} = {\ frac {1} {x}}}

Representando una función

Como las funciones pueden ser objetos complicados, a menudo es útil dibujar el gráfico de una función para obtener una vista global de sus propiedades. Algunas funciones también pueden representar histogramas

Grafico

Dada una función, su gráfica es, formalmente, el conjunto

{\ displaystyle f: X \ a Y,}

{\ displaystyle G = \ {(x, y): x \ en X {\ text {y}} y = f (x) \}.}

En el caso frecuente donde

X

e

Y

son subconjuntos de los números reales (o pueden identificarse a tales subconjuntos), un elemento puede identificarse con el punto de coordenadas

x

,

y

en el plano cartesiano. Marcar estos puntos proporciona un dibujo, generalmente una curva, que también se denomina gráfico de la función . Por ejemplo, el gráfico de la función cuadrada

{\ displaystyle (x, y) \ en G}

x \ mapsto x ^ 2

es una parábola que consta de todos los puntos de coordenadas para

{\ displaystyle (x, x ^ {2})}

{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}.}

Es posible dibujar efectivamente la gráfica de una función solo si la función es suficientemente regular, es decir, si la función es diferenciable (o diferenciable por partes) o si su dominio puede identificarse con los enteros o un subconjunto de los enteros.

Si el dominio o el codominio de la función es un subconjunto del gráfico es un subconjunto de un espacio cartesiano de mayor dimensión, y se han desarrollado varias técnicas para dibujarlo, incluido el uso de colores para representar una de las dimensiones.

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}

Histograma

Los histogramas a menudo se usan para representar funciones cuyo dominio es finito, o son los números naturales o los enteros. En este caso, un elemento

x

del dominio está representado por un intervalo del eje

x

, y un punto

(x, y)

del gráfico está representado por un rectángulo con base en el intervalo correspondiente a

x

y altura

y

.

En estadística, el histograma a menudo se usa para representar funciones muy irregulares. Por ejemplo, para representar la función que asocia su peso a cada miembro de una población, se dibuja el histograma de la función que asocia a cada intervalo de peso el número de personas, cuyos pesos pertenecen a este intervalo.

Hay muchas variantes de este método, vea Histogram para más detalles.

Propiedades generales

En esta sección, describimos las propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y el codominio.

Funciones canónicas

Algunas funciones están definidas de forma única por su dominio y codominio, y algunas veces se denominan canónicas :

Para cada conjunto $X$ , existe una función única, llamada la función de vacío del conjunto vacío a $X$ . Esta función no es interesante por sí misma, pero es útil para simplificar las declaraciones, al igual que la suma vacía (igual a 0) y el producto vacío igual a 1.
Para cada conjunto $X$ y cada conjunto unitario ${s}$ , hay una función única, llamada la surjection canónica , desde $X$ a ${s}$ , que se asigna a $s$ todos los elementos de $X$ . Esto es una superación (ver a continuación), excepto si $X$ es el conjunto vacío.
Dada una función, la supresión canónica de $f$ en su imagen es la función de $X$ a $f$ $($ $X$ $)$ que asigna $x$ a $f$ $($ $x$ $)$ ${\ displaystyle f \ colon X \ a Y,}$ ${\ displaystyle f (X) = \ {f (x) \ mid x \ en X \}}$
Para cada subconjunto $X$ de un conjunto $Y$ , la inyección canónica de $X$ en $Y$ es la función de inyección (ver a continuación) que asigna cada elemento de $X$ a sí mismo.
La función de identidad de $X$ , a menudo denotada por es la inyección canónica de $X$ en sí misma. ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}$

Composición de funciones

Dadas dos funciones y tal que el dominio de

g

es el codominio de

f

, su composición es la función definida por

f: X \ a Y

{\ displaystyle g: Y \ to Z}

g \ circ f \ colon X \ rightarrow Z

(g \ circ f) (x) = g (f (x)).

Es decir, el valor de se obtiene aplicando primero

f

a

x

para obtener

y

=

f

(

x

)

y luego aplicando

g

al resultado

y

para obtener

g

(

y

) =

g

(

f

(

x

))

. En la notación, la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha.

g \ circ f

La composición es una operación en funciones que se define solo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando y ambos están definidos, la composición no es conmutativa. Por ejemplo, si

f

(

x

) =

x

y

g

(

x

) =

x

+ 1

, uno tiene

g \ circ f

g \ circ f

f \ circ g

{\ displaystyle g (f (x)) = x ^ {2} +1 \ neq f (g (x)) = (x + 1) ^ {2}.}

La composición de la función es asociativa en el sentido de que, si uno de y está definido, entonces el otro también está definido, y son iguales. Por lo tanto, uno escribe

{\ displaystyle (h \ circ g) \ circ f}

{\ displaystyle h \ circ (g \ circ f)}

{\ displaystyle h \ circ g \ circ f = (h \ circ g) \ circ f = h \ circ (g \ circ f).}

Las funciones de identidad y son, respectivamente, una identidad derecha y una identidad de izquierda para las funciones de

X

a

Y

. Es decir, si

f

es una función con dominio

X

y codominio

Y

, uno tiene

{\ displaystyle \ operatorname {id} _ {X}}

{\ displaystyle \ operatorname {id} _ {Y}}

{\ displaystyle f \ circ \ operatorname {id} _ {X} = \ operatorname {id} _ {Y} \ circ f = f.}

Una función compuesta g ( f ( x )) se puede visualizar como la combinación de dos "máquinas".
Un simple ejemplo de una composición de función
Otra composición Por ejemplo, tenemos aquí $(g \circ f) (c) = #$ .

Imagen y preimagen

Deje La imagen por

f

de un elemento

x

del dominio

X

es

f

(

x

)

. Si

A

es cualquier subconjunto de

X

, entonces la imagen de

A

por

f

, denotada

f

(

A

)

es el subconjunto del codominio

Y que

consiste en todas las imágenes de elementos de

A

, es decir,

{\ displaystyle f \ colon X \ a Y.}

{\ displaystyle f (A) = \ {f (x) \ mid x \ en A \}.}

La imagen de

f

es la imagen de todo el dominio, es decir

f (X)

. También se llama el rango de

f

, aunque el término también puede referirse al codominio.

Por otra parte, la imagen inversa , o imagen inversa por

f

de un subconjunto

B

de la codomain

Y

es el subconjunto del dominio

X

que consiste en todos los elementos de

X

cuyas imágenes pertenecer a

B

. Se denota por Eso es

{\ displaystyle f ^ {- 1} (B).}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ en X \ midf (x) \ en B \}.}

Por ejemplo, la preimagen de {4, 9} bajo la función cuadrada es el conjunto {-3, -2,2,3}.

Por definición de una función, la imagen de un elemento

x

del dominio es siempre un elemento único del codominio. Sin embargo, la preimagen de un solo elemento

y

, indicada puede estar vacía o contener cualquier cantidad de elementos. Por ejemplo, si

f

es la función de los números enteros a sí mismos que se asignan cada número entero de 0, entonces

f

(0) =

Z

.

{\ displaystyle f ^ {- 1} (x),}

Si es una función,

A

y

B

son subconjuntos de

X

, y

C

y

D

son subconjuntos de

Y

, entonces uno tiene las siguientes propiedades:

f \ colon X \ a Y

${\ displaystyle A \ subseteq B \ Longrightarrow f (A) \ subseteq f (B)}$
${\ displaystyle C \ subseteq D \ Longrightarrow f ^ {- 1} (C) \ subseteq f ^ {- 1} (D)}$
${\ displaystyle A \ subseteq f ^ {- 1} (f (A))}$
${\ displaystyle C \ supseteq f (f ^ {- 1} (C))}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (f (A))) = f (A)}$
${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (f ^ {- 1} (C))) = f ^ {- 1} (C)}$

La preimagen por

f

de un elemento

y

del codominio a veces se denomina, en algunos contextos, la fibra de

y en

virtud de

f

.

Si una función

f

tiene una inversa (véase más adelante), este inversa se denota En este caso puede denotar ya sea la imagen o la imagen inversa por

f

de

C

. Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación y puede ser ambigua en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como en este caso, puede ser necesario cierto cuidado, por ejemplo, utilizando corchetes para imágenes y preimágenes de subconjuntos, y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes de elementos.

{\ displaystyle f ^ {- 1}.}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (C)}

f ^ {- 1}

fa)

{\ displaystyle f ^ {- 1} (C)}

{\ displaystyle \ {x, \ {x \} \}.}

{\ displaystyle f [A], f ^ {- 1} [C]}

Funciones de inyección, surjective y bijective

Deja que sea una función.

f \ colon X \ a Y

La función

f

es inyectiva (o uno-a-uno , o es una inyección ) si

f (un) \neq f (b)

para cualquier dos elementos diferentes

de una

y

b

de

X

. De manera equivalente,

f

es inyectiva si, para cualquiera, la preimagen contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si

X

no es el conjunto vacío, y si, como de costumbre, se supone el axioma de elección, entonces

f

es inyectiva si y solo si existe una función tal que eso es, si

{\ displaystyle y \ en Y,}

f ^ {- 1} (y)

{\ displaystyle g \ colon y \ a X}

{\ displaystyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {X},}

f

tiene un inverso izquierdo. Se necesita el axioma de elección, ya que, si

f

es inyectiva, uno define

g

por si y por , si donde es un elegido arbitrariamente elemento de

X

.

{\ displaystyle g (y) = x}

{\ displaystyle y = f (x),}

{\ displaystyle g (y) = x_ {0}}

{\ displaystyle y \ not \ in f (X),}

x_ {0}

La función

f

es sobreyectiva (o sobre , o es un surjection ) si el rango es igual a la codomain, es decir, si

f (X) = Y

. En otras palabras, la preimagen de cada uno es no-vacía. Si, como de costumbre, se supone el axioma de elección, entonces

f

es surjective si y solo si existe una función tal que eso es, si

f

tiene un inverso derecho. El axioma de elección es necesario, porque, si

f

es inyectiva, uno define

g

por donde es un elemento elegido arbitrariamente

f ^ {- 1} (y)

y \ en Y

{\ displaystyle g \ colon y \ a X}

{\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {Y},}

{\ displaystyle g (y) = x,}

X

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y).}

La función

f

es bijective (o es biyección o una correspondencia de uno a uno ) si es tanto injective como surjective. Eso es

f

es bijective si, para cualquier preimage contiene exactamente un elemento. La función

f

es biyectiva si y solo si admite una función inversa, que es una función tal que y (Al contrario del caso de inyecciones y supresiones, esto no requiere el axioma de elección).

{\ displaystyle y \ en Y,}

f ^ {- 1} (y)

{\ displaystyle g \ colon y \ a X}

{\ displaystyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {X},}

{\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {Y}.}

Cada función puede factorizar como la composición

i

\circ

s

de un surjection seguido de una inyección, donde

s

es la surjection canónica de

X

en

F

(

X

)

, y

i

es la inyección canónica de

f

(

X

)

en

Y

. Esta es la factorización canónica de

f

.

f \ colon X \ a Y

"One-to-one" y "onto" son términos que eran más comunes en la literatura de lengua inglesa más antigua; "injective", "surjective" y "bijective" fueron originalmente acuñados como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e importados al inglés. Como advertencia, "una función de uno a uno" es una que es inyectiva, mientras que una "correspondencia de uno a uno" se refiere a una función de dos objetivos. Además, la afirmación "

f

asigna

X

en

Y

" difiere de "

f

mapas

X

en

B

" en que el primero implica que

f

es surjectivo), mientras que el segundo no hace afirmación sobre la naturaleza de

f

el mapeo. En un razonamiento complicado, la diferencia de una letra se puede perder fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología más antigua, estos términos han disminuido en popularidad en relación con los términos de Bourbakian, que también tienen la ventaja de ser más simétricos.

Restricción y extensión

Si es una función, y

S

es un subconjunto de

X

, entonces la restricción de

f

a

S

, denota

f

|

S

, es la función de

S

a

Y

que está definida por

f \ colon X \ a Y

{\ displaystyle f_ {| S} (x) = f (x) \ quad {\ text {for all}} x \ in S.}

Esto a menudo se usa para definir funciones inversas parciales: si hay un subconjunto

S

de una función

f

tal que

f | S

es inyectiva, luego la supresión canónica de

f | S

en su imagen

f | S (S) = f (S)

es una biyección, que tiene una función inversa de

f (S)

a

S

. De esta forma, se definen las funciones trigonométricas inversas. La función del coseno, por ejemplo, es inyectiva, cuando está restringida al intervalo

(-0, π)

; la imagen de esta restricción es el intervalo

(-1, 1)

; esto define así una función inversa de

(-1, 1)

a

(-0, π)

, que se llama arcocoseno y denota

arccos

.

La restricción de función también se puede usar para "pegar" funciones juntas: sea la descomposición de

X

como una unión de subconjuntos. Supongamos que una función se define en cada tal que, para cada par de índices, las restricciones de y a son iguales. Entonces, esto define una función única tal que para cada

i

. Esto es generalmente de esta manera que se definen las funciones en los colectores.

{\ displaystyle \ textstyle X = \ bigcup _ {i \ in I} U_ {i}}

{\ displaystyle f_ {i} \ colon U_ {i} \ a Y}

{\ displaystyle U_ {i},}

f_ {i}

f_ {j}

{\ displaystyle U_ {i} \ cap U_ {j}}

f \ colon X \ a Y

{\ displaystyle f_ {| U_ {i}} = f_ {i}}

Una extensión de una función

f

es una función

g

tal que

f

es una restricción de

g

. Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica, que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi todo el plano complejo.

Aquí hay otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra cuando se estudian homografías de la línea real. Una homografía es una función tal que

ad

-

bc

\neq 0

. Su dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes y su imagen es el conjunto de todos los números reales diferentes. Si se extiende la línea real a la línea real extendida proyectivamente agregando

\infty

a los números reales, se puede extender

h

para ser un biyección de la línea real extendida a sí mismo, mediante el establecimiento y

{\ displaystyle h (x) = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}

{\ displaystyle -d / c,}

{\ displaystyle a / c.}

{\ displaystyle h (\ infty) = a / c}

{\ displaystyle h (-d / c) = \ infty.}

Función multivariante

Una operación binaria es un ejemplo típico de una función bivariada que asigna a cada par el resultado .

(x, y)

{\ displaystyle x \ circ y}

Una función multivariante o función de varias variables es una función que depende de varios argumentos. Tales funciones se encuentran comúnmente. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es una función del tiempo y su velocidad.

Más formalmente, una función de

n

variables es una función cuyo dominio es un conjunto de

n-

tuplas. Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de enteros. Lo mismo es cierto para cada operación binaria. De manera más general, cada operación matemática se define como una función multivariable.

El producto cartesiano de

n

sets es el conjunto de todos los

n-

tuples, tal que para cada

i

con . Por lo tanto, una función de

n

variables es una función

{\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n}}

X_1, \ ldots, X_n

(x_1, \ ldots, x_n)

{\ displaystyle x_ {i} \ en X_ {i}}

1 \ leq i \ leq n

{\ displaystyle f: U \ a Y,}

donde el dominio

U

tiene la forma

{\ displaystyle U \ subseteq X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n}.}

Al usar la notación de función, generalmente se omiten los paréntesis que rodean a las tuplas, escribiendo en lugar de

f (x_1, x_2)

{\ displaystyle f ((x_ {1}, x_ {2})).}

En el caso donde todos son iguales al conjunto de números reales, uno tiene una función de varias variables reales. Si son iguales al conjunto de números complejos, uno tiene una función de varias variables complejas.

X_ {i}

\ mathbb {R}

X_ {i}

\ mathbb {C}

Es común considerar también funciones cuyo codominio es un producto de conjuntos. Por ejemplo, la división euclidiana mapea cada par

(a, b)

de números enteros con

b \neq 0

a un par de enteros llamado cociente y el resto :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Euclidean division}} \ colon \ quad \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) & \ a \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} \\ (a, b) & \ mapsto (\ operatorname {cociente} (a, b), \ operatorname {remainder} (a, b)). \ end {aligned}}}

El codominio también puede ser un espacio vectorial. En este caso, se habla de una función de valor vectorial. Si el dominio está contenido en un espacio euclidiano, o más generalmente en un colector, una función con valores vectoriales a menudo se denomina campo vectorial.

En cálculo

La idea de función, comenzando en el siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal (ver Historia del concepto de función). En ese momento, solo se consideraban las funciones con valores reales de una variable real, y se suponía que todas las funciones eran uniformes. Pero la definición pronto se extendió a las funciones de varias variables y a la función de una variable compleja. En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemáticamente rigurosa de una función y se definieron las funciones con dominios arbitrarios y codominéticos.

Las funciones ahora se usan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio, cuando la función de palabra se usa sin calificación, significa una función de valor real de una sola variable real. La definición más general de una función generalmente se presenta a estudiantes universitarios de segundo o tercer año con carreras STEM, y en su último año se les presenta el cálculo en un entorno más amplio y más riguroso en cursos tales como análisis reales y análisis complejos.

Función real

Gráfico de una función lineal

Gráfico de una función polinomial, aquí una función cuadrática.

Gráfico de dos funciones trigonométricas: seno y coseno.

Una función real es una función de valor real de una variable real, es decir, una función cuyo codominio es el campo de números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo. En esta sección, estas funciones simplemente se llaman funciones .

Las funciones que se consideran más comúnmente en matemáticas y sus aplicaciones tienen cierta regularidad, es decir, son continuas, diferenciables e incluso analíticas. Esta regularidad asegura que estas funciones puedan visualizarse mediante sus gráficos. En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales, es decir, si

f

y

g

son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

{\ displaystyle {\ begin {aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \\ (fg) (x) & = f (x) -g (x) \\ ( f \ cdot g) (x) & = f (x) \ cdot g (x) \\\ end {aligned}}.}

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de

f

y

g

. El cociente de dos funciones se define de manera similar por

{\ displaystyle {\ frac {f} {g}} (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}},}

pero el dominio de la función resultante se obtiene eliminando los ceros de

g

de la intersección de los dominios de

f

y

g

.

Las funciones polinomiales están definidas por polinomios, y su dominio es el conjunto completo de números reales. Incluyen funciones constantes, funciones lineales y funciones cuadráticas. Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinomiales, y su dominio son los números reales con un número finito de ellos eliminados para evitar la división por cero. La función racional más simple es la función cuyo gráfico es una hipérbola, y cuyo dominio es toda la línea real excepto por 0.

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}},}

La derivada de una función real diferenciable es una función real. Una antiderivada de una función real continua es una función real que es diferenciable en cualquier intervalo abierto en el que la función original sea continua. Por ejemplo, la función es continua, e incluso diferenciable, en los números reales positivos. Así, una antiderivada, que toma el valor cero para

x

= 1

, es una función diferenciable llamada el logaritmo natural.

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}

Una función real

f

es monotónica en un intervalo si el signo de no depende de la elección de

x

e

y

en el intervalo. Si la función es diferenciable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real

f

es monótona en un intervalo

I

, tiene una función inversa, que es una función real con el dominio

f

(

I

)

y la imagen

I

{\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

. Así es como las funciones trigonométricas inversas se definen en términos de funciones trigonométricas, donde las funciones trigonométricas son monótona. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monotónico en los números reales positivos, y su imagen es toda la línea real; por lo tanto, tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial.

Muchas otras funciones reales se definen ya sea por el teorema de función implícita (la función inversa es una instancia particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, las funciones seno y coseno son las soluciones de la ecuación diferencial lineal

{\ displaystyle y '' + y = 0}

tal que

{\ displaystyle \ sin 0 = 0, \ quad \ cos 0 = 1, \ quad {\ frac {\ partial \ sin x} {\ partial x}} (0) = 1, \ quad {\ frac {\ partial \ cos x} {\ partial x}} (0) = 0.}

Función compleja

Función de varias variables reales o complejas

Función de valor vectorial

Espacio funcional

En el análisis matemático, y más específicamente en el análisis funcional, un espacio funcional es un conjunto de funciones con valores escalares o valores vectoriales, que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico. Por ejemplo, las funciones realmente suaves con un soporte compacto (es decir, son cero fuera de un conjunto compacto) forman un espacio de funciones que está en la base de la teoría de distribuciones.

Los espacios funcionales desempeñan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para estudiar las propiedades de las funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y singularidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales resultan del estudio de espacios funcionales.

Generalizaciones

Extensión natural

Es bastante frecuente que una función con dominio

X

puede ser, naturalmente, se extendió a una función cuyo dominio es un conjunto

Z

que se construye a partir

X

.

Por ejemplo, para cualquier conjunto

X

, su conjunto potencia

P (X)

es el conjunto de todos los subconjuntos de

X

. Cualquier función se puede extender a una función en conjuntos de potencia por

{\ displaystyle f: X \ a Y,}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (Y) \\ & S \ mapsto f (S) \ end {aligned}}}

donde

f (S)

es la imagen por

f

del subconjunto

S

de

X

.

Según la definición, una función

f

mapea cada elemento de su dominio

X

a algún elemento de su codomain

Y

. Con frecuencia es conveniente extender este significado para aplicarlo a subconjuntos arbitrarios del dominio, que, como se puede verificar inmediatamente, se pueden mapear a subconjuntos del codominio, considerando así una función que mapea su dominio, el conjunto de poder P (

X

) de

f

' s dominio

X

, a su codominio, un subconjunto del conjunto de poder P (

Y

) del codominio

Y

de

f

.

{\ displaystyle {\ tilde {f}},}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {P}} (X) \ a {\ mathcal {P}} (Y) \\ S \ mapsto f (S). \ end {aligned}}}

Bajo un ligero abuso de la notación, esta función en subconjuntos a menudo también se denota por

f

.

Otro ejemplo es el siguiente. Si la función es un homomorfismo en anillo, puede extenderse a una función en anillos polinómicos

{\ displaystyle f: R \ a S}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} R [x] & \ to S [x] \\\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} & \ mapsto \ sum _ { i = 0} ^ {n} f (a_ {i}) x ^ {i}, \ end {aligned}}}

que también es un anillo homomorfismo.

Funciones multivaluadas

Juntas, las dos raíces cuadradas de todos los números reales no negativos forman una sola curva suave.

Varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas comienzan desde una definición local de la función en un punto o vecindad de un punto, y luego extienden por continuidad la función a un dominio mucho más grande. Con frecuencia, para un punto de partida hay varios valores de inicio posibles para la función.

x_0,

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrada, para cualquier número real positivo hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y denotada y otra que es negativa y denotada Estas elecciones defina dos funciones continuas, ambas teniendo los números reales no negativos como un dominio, y teniendo los números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al observar los gráficos de estas funciones, se puede ver que, juntas, forman una sola curva suave. Por lo tanto, a menudo es útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una función única que tiene dos valores para

x

positivo , un valor para 0 y ningún valor para

x

negativo .

x_0,

{\ displaystyle {\ sqrt {x_ {0}}},}

{\ displaystyle - {\ sqrt {x_ {0}}}.}

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, consideremos la función implícita que asigna

y

a una raíz

x

de (vea la figura a la derecha). Para

y

= 0

uno puede elegir cualquiera de

x.

Por el teorema de la función implícita, cada elección define una función; para el primero, el dominio (máximo) es el intervalo

[-2, 2]

y la imagen es

[-1, 1]

; para el segundo, el dominio es

[-2, \infty)

y la imagen es

[1, \infty]

; para el último, el dominio es

(-\infty, 2)

y la imagen es

{\ displaystyle x ^ {3} -3x-y = 0}

{\ displaystyle 0, {\ sqrt {3}}, {\ text {o}} - {\ sqrt {3}}}

(-\infty, -1]

. Como los tres gráficos juntos forman una curva suave, y no hay ninguna razón para preferir una opción, estas tres funciones a menudo se consideran como una función multivista de

y

que tiene tres valores para

-2 < y <2

, y solo un valor para

y \leq -2

e

y \geq -2

.

La utilidad del concepto de funciones multivaluadas es más clara cuando se consideran funciones complejas, típicamente funciones analíticas. El dominio en el cual una función compleja es analítica puede extenderse mediante la continuación analítica consiste generalmente en casi todo el plano complejo. Sin embargo, es frecuente que, al extender el dominio a través de dos rutas diferentes, uno obtenga valores diferentes. Por ejemplo, cuando se extiende el dominio de la función de raíz cuadrada, a lo largo de un camino de números complejos con partes imaginarias positivos, se obtiene

i

para la raíz cuadrada de -1, mientras que, cuando se extiende a través de números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene

- yo

. En general, hay dos maneras de resolver el problema. Uno puede definir una función que no es continua a lo largo de alguna curva, llamada corte de rama. Tal función se llama el valor principal de la función. La otra forma es considerar que uno tiene una función multivaluada , que es analítica en todas partes excepto por singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si uno sigue un ciclo cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se llama Monodromy.

En los fundamentos de las matemáticas y la teoría de conjuntos

La definición de una función que se da en este artículo requiere el concepto de conjunto, ya que el dominio y el codominio de una función debe ser un conjunto. Esto no es un problema en las matemáticas habituales, ya que generalmente no es difícil considerar solo las funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos, que están bien definidos, incluso si el dominio no está explícitamente definido. Sin embargo, a veces es útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto único se puede considerar como una función. Su dominio incluiría todos los conjuntos y, por lo tanto, no sería un conjunto. En las matemáticas habituales, uno evita este tipo de problema al especificar un dominio, lo que significa que uno tiene muchas funciones únicas. Sin embargo, al establecer los fundamentos de las matemáticas, uno puede tener que usar funciones cuyo dominio, codominio o ambos no están especificados, y algunos autores, a menudo lógicos, dan una definición precisa para estas funciones débilmente especificadas.

{\ displaystyle x \ mapsto \ {x \}.}

Estas funciones generalizadas pueden ser críticas en el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas. Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel, es una extensión de la teoría de conjuntos en la que la colección de todos los conjuntos es una clase. Esta teoría incluye el axioma de reemplazo, que puede interpretarse como "si

X

es un conjunto, y

F

es una función, entonces

F [X

es un conjunto".

Buscar en este blog

Wikiblog Cultulandia [es]

Función (matemática)

Función (matemática)

Definición

Definición

Notación

Notación funcional

Notación de flecha

Notación de índice

Notación de punto

Notaciones especializadas

Especificando una función

Representando una función

Grafico

Histograma

Propiedades generales

Funciones canónicas

Composición de funciones

Imagen y preimagen

Funciones de inyección, surjective y bijective

Restricción y extensión

Función multivariante

En cálculo

Función real

Función compleja

Función de varias variables reales o complejas

Función de valor vectorial

Espacio funcional

Generalizaciones

Extensión natural

Funciones multivaluadas

En los fundamentos de las matemáticas y la teoría de conjuntos

Contenidos Relacionados de Matemáticas ››