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Un atractor extraño que surge de una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales son un área importante del análisis matemático con muchas aplicaciones a la ciencia y la ingeniería.

El análisis matemático es la rama de las matemáticas que se ocupa de los límites y las teorías relacionadas, como la diferenciación, la integración, la medida, las series infinitas y las funciones analíticas.

Estas teorías generalmente se estudian en el contexto de números y funciones reales y complejas. El análisis evolucionó a partir del cálculo, que implica los conceptos elementales y las técnicas de análisis. El análisis se puede distinguir de la geometría; sin embargo, se puede aplicar a cualquier espacio de objetos matemáticos que tenga una definición de cercanía (un espacio topológico) o distancias específicas entre objetos (un espacio métrico).

Historia

Arquímedes usó el método del agotamiento para calcular el área dentro de un círculo al encontrar el área de polígonos regulares con más y más lados. Este fue un ejemplo temprano pero informal de un límite, uno de los conceptos más básicos en el análisis matemático.

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la revolución científica, pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados en el análisis estuvieron implícitamente presentes en los primeros días de las matemáticas griegas antiguas. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón. Más tarde, los matemáticos griegos como Eudoxus y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando usaron el método del agotamiento para calcular el área y el volumen de las regiones y los sólidos. El uso explícito de los infinitesimales aparece en El método de los teoremas mecánicos de Arquímedes , una obra redescubierta en el siglo XX. En Asia, el matemático chino Liu Hui usó el método del agotamiento en el siglo III dC para encontrar el área de un círculo. Zu Chongzhi estableció un método que más tarde se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo quinto. El matemático indio Bhāskara II dio ejemplos de la derivada y usó lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle en el siglo XII.

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló infinitas series de expansiones, como la serie de potencias y la serie de Taylor, de funciones como seno, coseno, tangente y arcotangente. Junto a su desarrollo de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas, también estimó la magnitud de los términos de error creados al truncar estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala ampliaron aún más sus obras, hasta el siglo XVI.

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. Descartes y Fermat desarrollaron independientemente la geometría analítica, y unas décadas más tarde Newton y Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo infinitesimal, que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, en temas de análisis como el cálculo de variaciones, ordinarias y parciales ecuaciones diferenciales, análisis de Fourier y funciones generadoras. Durante este período, las técnicas de cálculo se aplicaron para aproximar los problemas discretos por los continuos.

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática. El análisis real comenzó a surgir como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a poner el cálculo sobre una base lógica firme al rechazar el principio de la generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales. Por lo tanto, su definición de continuidad requirió un cambio infinitesimal en x para corresponder a un cambio infinitesimal en y. También introdujo el concepto de la secuencia de Cauchy y comenzó la teoría formal del análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y análisis de armónicos. Las contribuciones de estos matemáticos y otros, como Weierstrass, desarrollaron la definición (ε, δ) del enfoque de límite, fundando así el campo moderno del análisis matemático.

A mediados del siglo XIX, Riemann introdujo su teoría de la integración. El último tercio del siglo vio la aritmetización de análisis por parte de Weierstrass, que pensaba que el razonamiento geométrico era inherentemente engañosa, e introdujo la definición "épsilon-delta" de límite. Luego, los matemáticos comenzaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Dedekind entonces construye los números reales por los cortes de Dedekind, en los que números irracionales se definen formalmente, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un conjunto completo: el continuo de los números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin en términos de expansiones decimales. Alrededor de ese tiempo, los intentos de refinar los teoremas de la integración de Riemann llevaron al estudio del "tamaño"

Además, comenzaron a investigarse los "monstruos" (ninguna función continua, función continua pero ninguna función diferenciable, curvas llenas de espacio). En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua, y Baire demostró el teorema de la categoría Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría axiomática de conjuntos. Lebesgue resolvió el problema de la medida, e Hilbert introdujo espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea del espacio vectorial normado estaba en el aire, y en la década de 1920 el análisis funcional creado por Banach.

Conceptos importantes

Espacios métricos

En matemáticas, un espacio métrico es un conjunto en el que se define una noción de distancia (llamada métrica) entre los elementos del conjunto.

Gran parte del análisis ocurre en algún espacio métrico; los más utilizados son la línea real, el plano complejo, el espacio euclidiano, otros espacios vectoriales y los enteros. Los ejemplos de análisis sin una métrica incluyen la teoría de medidas (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia espacios de vectores topológicos que no necesitan tener ninguna sensación de distancia).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado donde hay un conjunto y es una métrica , es decir, una función

(Maryland)

METRO

re

METRO

d \ colon M \ veces M \ rightarrow \ mathbb {R}

de tal manera que para cualquiera , se cumple lo siguiente:

x, y, z \ en M

$d (x, y) = 0$ si y solo si ( identidad de indiscernibles ), $x = y$
$d (x, y) = d (y, x)$ ( simetría ), y
$d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)$ ( desigualdad triangular ).

Al tomar la tercera propiedad y dejarla , se puede mostrar que ( no negativa ).

z = x

d (x, y) \ geq 0

Secuencias y límites

Una secuencia es una lista ordenada. Al igual que un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos o términos ). A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia se puede definir como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado, como los números naturales.

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es la convergencia . Informalmente, una secuencia converge si tiene un límite . Continuando informalmente, una secuencia (singularmente infinita) tiene un límite si se acerca a algún punto x , llamado límite, ya que n se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia de resumen ( un n ) (con n que va desde 1 a infinito entendido) la distancia entre un n y x se aproxima a 0 como n → ∞, denotado

\ lim_ {n \ to \ infty} a_n = x.

Ramas principales

Análisis real

El análisis real (tradicionalmente, la teoría de funciones de una variable real ) es una rama del análisis matemático que trata de los números reales y las funciones de valores reales de una variable real. En particular, trata de las propiedades analíticas de las funciones y secuencias reales. incluyendo la convergencia y los límites de secuencias de números reales, el cálculo de los números reales, y la continuidad, suavidad y propiedades relacionadas de las funciones de valores reales.

Análisis complejo

El análisis complejo , tradicionalmente conocido como la teoría de funciones de una variable compleja , es la rama del análisis matemático que investiga las funciones de los números complejos. Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica, la teoría de números, las matemáticas aplicadas; así como también en física, incluida la hidrodinámica, la termodinámica, la ingeniería mecánica, la ingeniería eléctrica y, en particular, la teoría cuántica de campos.

El análisis complejo está particularmente relacionado con las funciones analíticas de variables complejas (o, más en general, funciones meromórficas). Debido a que las partes separadas reales e imaginarias de cualquier función analítica deben satisfacer la ecuación de Laplace, el análisis complejo es ampliamente aplicable a los problemas bidimensionales de la física.

Análisis funcional

El análisis funcional es una rama del análisis matemático, cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con el límite (por ejemplo, producto interno, norma, topología, etc.) y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios y respetando estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen operadores continuos, unitarios, etc. entre espacios funcionales. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales.

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática para una función desconocida de una o varias variables que relaciona los valores de la función misma y sus derivadas de varios órdenes. Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en la ingeniería, la física, la economía, la biología y otras disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales surgen en muchas áreas de la ciencia y la tecnología, específicamente cuando se conoce o postula una relación determinística que involucra algunas cantidades continuamente variables (modeladas por funciones) y sus tasas de cambio en el espacio o el tiempo (expresadas como derivadas). Esto se ilustra en la mecánica clásica, donde el movimiento de un cuerpo se describe por su posición y velocidad a medida que varía el valor del tiempo. Las leyes de Newton le permiten a uno (dada la posición, velocidad, aceleración y varias fuerzas que actúan sobre el cuerpo) expresar dinámicamente estas variables como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo. En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento) puede resolverse explícitamente.

Teoría de medida

Una medida en un conjunto es una forma sistemática de asignar un número a cada subconjunto adecuado de ese conjunto, interpretado intuitivamente como su tamaño. En este sentido, una medida es una generalización de los conceptos de longitud, área y volumen. Un ejemplo particularmente importante es la medida de Lebesgue en un espacio euclidiano, que asigna la longitud, el área y el volumen convencionales de la geometría euclidiana a subconjuntos adecuados del espacio euclídeo -dimensional . Por ejemplo, la medida de Lebesgue del intervalo en los números reales es su longitud en el sentido cotidiano de la palabra, específicamente, 1.

norte

\ mathbb {R} ^ {n}

\ left [0, 1 \ right]

Técnicamente, una medida es una función que asigna un número real no negativo o + ∞ a (ciertos) subconjuntos de un conjunto . Debe asignar 0 al conjunto vacío y ser (contablemente) aditivo: la medida de un subconjunto "grande" que puede descomponerse en un número finito (o contable) de subconjuntos disjuntos "más pequeños" es la suma de las medidas del subconjuntos "más pequeños". En general, si uno quiere asociar un tamaño consistente a cada subconjunto de un conjunto dado mientras satisface los otros axiomas de una medida, uno solo encuentra ejemplos triviales como la medida de conteo. Este problema se resolvió definiendo la medida solo en una subcolección de todos los subconjuntos; los llamados subconjuntos medibles , que se requieren para formar un

X

\sigma

-álgebra. Esto significa que las uniones contables, las intersecciones contables y los complementos de los subconjuntos medibles son mensurables. Los conjuntos no mensurables en un espacio euclidiano, en los cuales la medida de Lebesgue no puede definirse de manera consistente, son necesariamente complicados en el sentido de estar mal mezclados con su complemento. De hecho, su existencia es una consecuencia no trivial del axioma de elección.

Análisis numérico

El análisis numérico es el estudio de algoritmos que utilizan la aproximación numérica (en oposición a las manipulaciones simbólicas generales) para los problemas del análisis matemático (a diferencia de las matemáticas discretas).

El análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, porque las respuestas exactas a menudo son imposibles de obtener en la práctica. En cambio, gran parte del análisis numérico se refiere a la obtención de soluciones aproximadas al tiempo que mantiene límites razonables en los errores.

El análisis numérico naturalmente encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo XXI, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de cómputos científicos. Las ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste (planetas, estrellas y galaxias); el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos; las ecuaciones diferenciales estocásticas y las cadenas de Markov son esenciales para simular células vivas para medicina y biología.

Otros temas

Cálculo de variaciones trata con funcionalidades extremistas, a diferencia del cálculo ordinario que trata con funciones.
El análisis armónico se ocupa de la representación de funciones o señales como la superposición de ondas básicas.
El análisis geométrico implica el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría.
El análisis de Clifford, el estudio de Clifford, valora funciones que son aniquiladas por Dirac o operadores tipo Dirac, denominados en general como funciones analíticas monogénicas o de Clifford.
p análisis -adic, el estudio de análisis en el contexto de p números -adic, que difiere en algunos aspectos interesantes y sorprendentes de sus homólogos reales y complejos.
Análisis no estándar, que investiga los números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de infinitesimales y números infinitamente grandes.
Análisis computable, el estudio de qué partes del análisis se pueden llevar a cabo de manera computable.
Cálculo estocástico: nociones analíticas desarrolladas para procesos estocásticos.
Análisis de conjunto de valores: aplica ideas desde el análisis y la topología a las funciones de valores establecidos.
Análisis convexo, el estudio de conjuntos convexos y funciones.
Análisis tropical (o análisis idempotente) - análisis en el contexto del semiclado del álgebra max plus, donde la falta de una inversión aditiva es compensada en cierta medida por la regla idempotente A + A = A. Cuando se transfiere al entorno tropical, muchos no lineales los problemas se vuelven lineales
Cálculo no newtoniano, alternativas al cálculo clásico de Newton y Leibniz.

Aplicaciones

Las técnicas del análisis también se encuentran en otras áreas tales como:

Ciencias fisicas

La gran mayoría de la mecánica clásica, la relatividad y la mecánica cuántica se basan en el análisis aplicado y las ecuaciones diferenciales en particular. Ejemplos de ecuaciones diferenciales importantes incluyen la segunda ley de Newton, la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de campo de Einstein.

El análisis funcional es también un factor importante en la mecánica cuántica.

Procesamiento de la señal

Al procesar señales, como audio, ondas de radio, ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes individuales de una forma de onda compuesta, concentrándolos para facilitar su detección o eliminación. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en transformar una señal de Fourier, manipular los datos transformados de Fourier de una manera simple e invertir la transformación.

Otras áreas de las matemáticas

Las técnicas del análisis se usan en muchas áreas de las matemáticas, que incluyen:

Teoría analítica de números
Combinatoria analítica
Probabilidad continua
Entropía diferencial en la teoría de la información
Juegos diferenciales
Geometría diferencial, la aplicación del cálculo a espacios matemáticos específicos conocidos como variedades que poseen una estructura interna complicada pero que se comportan de manera simple a nivel local.
Variedades diferenciables
Topología diferencial
Ecuaciones diferenciales parciales

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