Exponenciación

Definición

Los gráficos de

Y = b

para diversas bases b : base 10 ( verde ), base e ( rojo ), base 2 ( azul ), y de la base 1/2 ( cian ). Cada curva pasa por el punto

(0, 1)

porque cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de 0 es 1. En

x = 1

, el valor de y es igual a la base porque cualquier número elevado a la potencia de 1 es el número mismo.

La exponenciación es una operación matemática, escrita como

b

, que involucra dos números, la base

by

el exponente

n

. Cuando

n

es un entero positivo, la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir,

b

es el producto de multiplicar

n

bases:

{\ displaystyle b ^ {n} = \ underbrace {b \ times \ cdots \ times b} _ {n}.}

El exponente generalmente se muestra como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso,

b

se llama "b elevado a la potencia n-ésima", "b elevado a la potencia de n", o "la potencia n-ésima de b".

Cuando

n

es un entero positivo

yb

no es cero,

b

se define naturalmente como

1 / b

, preservando la propiedad

b \times b = b

. Con el exponente

-1

b

es igual a

1 / b

, y es el recíproco de

b

La definición de exponenciación se puede extender para permitir cualquier exponente real o complejo. La exponenciación por exponentes enteros también se puede definir para una amplia variedad de estructuras algebraicas, incluidas las matrices.

La exponenciación se usa ampliamente en muchos campos, incluidos la economía, la biología, la química, la física y la informática, con aplicaciones tales como interés compuesto, crecimiento de la población, cinética de reacción química, comportamiento de las ondas y criptografía de clave pública.

Adición (+)

{\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matriz} \ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \, {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {sumando (sentido amplio)}} \, + \, {\ text {addend (sentido amplio)}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend (sentido estricto)}} \ end {matriz}} \ derecha \} \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {sum}}

Resta (-)

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \, {\ text {substraend}} \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {difference}}

Multiplicación (×)

{\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matriz} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplicador}} \, \ times \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {product}}

División (÷)

{\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matriz} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {fraction}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}

Exponencia

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponente}} \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {power}}

n th raíz (√)

{\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {root}}

Logaritmo (log)

{\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {antilogarithm}}) \, = \,}

\ scriptstyle {\ text {logarithm}}

Historia de la notación

El término de energía fue utilizada por el matemático griego Euclides para el cuadrado de una línea. Arquímedes descubrió y probó la ley de exponentes,

10 \cdot 10 = 10

, necesaria para manipular potencias de

10

. En el siglo noveno, el matemático persa Al-Juarismi usó los términos mal para un cuadrado y kahb para un cubo, que más tarde Islamicmathematicians representado en notación matemática como m y k , respectivamente, por el siglo 15, como se ve en la trabajo de Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī.

A fines del siglo XVI, Jost Bürgi usó números romanos para exponentes.

A principios del siglo XVII, la primera forma de nuestra notación exponencial moderna fue presentada por Rene Descartes en su texto titulado La Géométrie ; allí, la anotación se introduce en el Libro I.

Nicolas Chuquet usó una forma de notación exponencial en el siglo XV, que luego fue utilizada por Henricus Grammateus y Michael Stifel en el siglo XVI. La palabra "exponente" fue acuñada en 1544 por Michael Stifel. Samuel Jeake introdujo el término índices en 1696. En el siglo XVI, Robert Recorde utilizó los términos cuadrado, cubo, zenzizenzic (cuarto poder), sursólido (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursólido (séptimo) y zenzizenzizenzic (octavo). Biquadrate se ha utilizado también para referirse al cuarto poder.

Algunos matemáticos (por ejemplo, Isaac Newton) usaron exponentes solo para potencias superiores a dos, prefiriendo representar cuadrados como multiplicación repetida. Por lo tanto, escribirían polinomios, por ejemplo, como

ax + bxx + cx + d

Otro sinónimo histórico, la involución , ahora es raro y no debe confundirse con su significado más común.

En 1748 Leonhard Euler escribió "considerar exponenciales o poderes en los que el exponente en sí es una variable. Está claro que las cantidades de este tipo no son funciones algebraicas, ya que en ellas los exponentes deben ser constantes". Con esta introducción de funciones trascendentales, Euler sentó las bases para la introducción moderna del logaritmo natural como la función inversa de la función exponencial natural,

f (x) = e

Terminología

La expresión

b = b \cdot b

se llama "el cuadrado de b " o " b al cuadrado" porque el área de un cuadrado con una longitud lateral

b

b

The expression

b = b \cdot b \cdot b

is called "the cube of b" or "b cubed" because the volume of a cube with side-length

b

b

Cuando es un entero positivo, el exponente indica cuántas copias de la base se multiplican juntas. Por ejemplo,

3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243

. La base

3

aparece

5

veces en la multiplicación repetida, porque el exponente es

5

. Aquí,

3

es la base ,

5

es el exponente , y

243

es la potencia o, más específicamente, 3 elevado a la 5ª potencia .

La palabra "elevado" generalmente se omite, y algunas veces también "potencia", por lo que

3

también se puede leer "3 a 5" o "3 a 5". Por lo tanto, la exponenciación

b

puede expresarse como " b a la potencia de n ", " b a la n th potencia", " b a la n th", o más brevemente como " b a la n ".

Exponentes enteros

La operación de exponenciación con exponentes enteros se puede definir directamente a partir de operaciones aritméticas elementales.

Exponentes positivos

Formalmente, las potencias con exponentes enteros positivos pueden definirse por la condición inicial

b ^ {1} = b

y la relación de recurrencia

{\ displaystyle b ^ {n + 1} = b ^ {n} \ cdot b.}

De la asociatividad de la multiplicación, se deduce que para cualquier número entero positivo

m

n

{\ displaystyle b ^ {m + n} = b ^ {m} \ cdot b ^ {n}.}

Cero exponente

Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia

0

1

{\ displaystyle b ^ {0} = 1.}

Una interpretación de tal poder es como un producto vacío.

El caso de

0

es más complicado, y la opción de asignarle un valor y qué valor asignar puede depender del contexto.

Exponentes negativos

La siguiente identidad se cumple para un entero arbitrario

ny

distinto de cero

b

{\ displaystyle b ^ {- n} = 1 / b ^ {n}.}

Elevar 0 a un exponente negativo no está definido, pero en algunas circunstancias, puede interpretarse como infinito (

\infty

La identidad anterior se puede derivar a través de una definición destinada a extender el rango de exponentes a enteros negativos.

Para no nulo

b

y positivo

n

, la relación de recurrencia anterior se puede reescribir como

{\ displaystyle b ^ {n} = b ^ {n + 1} / b, \ quad n \ geq 1.}

Al definir esta relación como válida para todo entero

ny

distinto de cero

b

, se deduce que

{\ displaystyle {\ begin {aligned} b ^ {0} & = b ^ {1} / b = 1, \\ b ^ {- 1} & = b ^ {0} / b = 1 / b, \ end {alineado}}}

y más generalmente para cualquier distinto de cero

b

y cualquier número entero no negativo

n

{\ displaystyle b ^ {- n} = 1 / b ^ {n}.}

Esto se muestra fácilmente como verdadero para cada número entero

n

Identidades y propiedades

Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero:

{\ begin {aligned} b ^ {m + n} & = b ^ {m} \ cdot b ^ {n} \\ (b ^ {m}) ^ {n} & = b ^ {m \ cdot n} \\ (b \ cdot c) ^ {n} & = b ^ {n} \ cdot c ^ {n} \ end {aligned}}

A diferencia de la suma y la multiplicación:

La exponenciación no es conmutativa. Por ejemplo, $2 + 3 = 3 + 2 = 5$ y $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6$ , pero $2 = 8$ , mientras que $3 = 9$ .
La exponenciación no es asociativa. Por ejemplo, $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$ y $(2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) = 24$ , pero de $2$ a $4$ es $8$ o $4096$ , mientras que $2$ a $3$ es $2$ o $2417851639229258349412352$ . Sin paréntesis para modificar el orden de las operaciones, el orden convencional es de arriba hacia abajo (o derecho -asociativo), no de abajo hacia arriba (o de izquierda -asociativo):

$b ^ {p ^ {q}} = b ^ {(p ^ {q})} \ neq (b ^ {p}) ^ {q} = b ^ {(p \ cdot q)} = b ^ {p \ cdot q}.$

Interpretación combinatoria

Para enteros no negativos

n

m

, el valor de

n

es el número de funciones de un conjunto de

m

elementos de un conjunto de

n

elementos (ver exponenciación cardinal). Tales funciones se pueden representar como

m-

tuplas de un conjunto de elementos

n

(o como

m

-palabras de un abecedario

n

-alfabeto). Algunos ejemplos para valores particulares de

m

n

se dan en la siguiente tabla:

$norte$	Los $n$ posibles $m$ -tuples de elementos del conjunto ${1, ..., n}$
${\ displaystyle 0 ^ {5} = 0}$	ninguna
${\ displaystyle 1 ^ {4} = 1}$	${\ displaystyle (1,1,1,1)}$
$2 ^ {3} = 8$	${\ displaystyle (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2) , (2,2,1), (2,2,2)}$
$3 ^ {2} = 9$	${\ displaystyle (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) , (3,3)}$
${\ displaystyle 4 ^ {1} = 4}$	${\ displaystyle (1), (2), (3), (4)}$
${\ displaystyle 5 ^ {0} = 1}$	$()$

Bases particulares

Poderes de diez

En el sistema numérico de la base diez (decimal), las potencias enteras de

10

se escriben como el dígito

1

seguido o precedido por un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo,

10 = 1000

10 = 0,0001

La exponenciación con base

10

se usa en notación científica para denotar números grandes o pequeños. Por ejemplo, 299 792 458 m / s (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo) puede escribirse como 2.997 924 58 × 10 m / s y luego aproximarse a 2.998 × 10 m / s .

Los prefijos SI basados en potencias de

10

también se usan para describir cantidades pequeñas o grandes. Por ejemplo, el prefijo kilo significa

10 = 1000

, entonces un kilómetro es 1000 m .

Poderes de dos

Las primeras potencias negativas de

2

se usan comúnmente, y tienen nombres especiales, por ejemplo: mitad y cuarto .

Los poderes de

2

aparecen en la teoría de conjuntos, ya que un conjunto con

n

miembros tiene un conjunto de potencias, el conjunto de todos sus subconjuntos, que tiene

2

miembros.

Los poderes enteros de

2

son importantes en ciencias de la computación. Las potencias enteras positivas

2

dan el número de valores posibles para un número binario entero

n-

bit; por ejemplo, un byte puede tomar

2 = 256

valores diferentes. El sistema numérico binario expresa cualquier número como una suma de potencias de

2

, y lo denota como una secuencia de

0

1

, separados por un punto binario, donde

1

indica una potencia de

2

que aparece en la suma; el exponente está determinado por el lugar de este

1

: los exponentes no negativos son el rango del

1

a la izquierda del punto (a partir de

0

), y los exponentes negativos están determinados por el rango a la derecha del punto.

Poderes de uno

Los poderes de uno son todos uno:

1 = 1

Poderes de cero

Si el exponente es positivo, la potencia de cero es cero:

0 = 0

, donde

n > 0

Si el exponente es negativo, la potencia de cero (

0

, donde

n <0

) no está definida, porque la división por cero está implícita.

Si el exponente es cero,

0

puede definirse como

0

1

o no definido ( ver Cero a la potencia de cero ).

Poderes de menos uno

n

es un entero par, entonces

(-1) = 1

n

es un entero impar, entonces

(-1) = -1

Debido a esto, los poderes de

-1

son útiles para expresar secuencias alternas. Para una discusión similar de los poderes del número complejo

i

, ver § Poderes de números complejos.

Grandes exponentes

El límite de una secuencia de poderes de un número mayor que uno diverge; en otras palabras, la secuencia crece sin límite:

b \to \infty

como

n \to \infty

cuando

b > 1

Esto se puede leer como " b a la potencia de n tiende a + ∞ ya que n tiende a infinito cuando b es mayor que uno".

Los poderes de un número con valor absoluto menor a uno tienden a cero:

b \to 0

como

n \to \infty

cuando

| b | <1

Cualquier poder de uno es siempre uno:

b = 1

para todo n si

b = 1

Las potencias de -1 alternan entre 1 y -1 cuando n alterna entre par y impar, y por lo tanto no tienden a ningún límite a medida que n crece.

Si b <-1,

b

, alterna entre números positivos y negativos más grandes y más grandes, ya que n alterna entre pares e impares, y por lo tanto no tiende a ningún límite a medida que n crece.

Si el número exponencial varía mientras tiende a 1 ya que el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los anteriores. Un caso particularmente importante es

(1 + 1 / n) \to e

como

n \to \infty

Ver § La función exponencial a continuación.

Otros límites, en particular los de las expresiones que toman una forma indeterminada, se describen en el § Límites de poderes a continuación.

Funciones de potencia

Funciones de potencia para

{\ displaystyle n = 1,3,5}

Funciones de potencia para

{\ displaystyle n = 2,4,6}

Las funciones reales de la forma con a veces se llaman funciones de potencia. Cuando es un integerante , existen dos familias principales: para par y para impar. En general , cuando incluso se tenderá hacia el infinito positivo con el aumento , y también hacia el infinito positivo con disminución . Todos los gráficos de la familia de funciones de potencia par tienen la forma general de , aplanándose más en el medio a medida que aumenta. Las funciones con este tipo de simetría ( ) se llaman funciones pares.

{\ displaystyle f (x) = cx ^ {n}}

c \ neq 0

norte

n \ geq 1

norte

norte

c> 0

norte

{\ displaystyle f (x) = cx ^ {n}}

X

X

{\ displaystyle y = cx ^ {2}}

norte

{\ displaystyle f (-x) = f (x)}

Cuando es impar, el comportamiento asintótico se invierte de positivo a negativo . Porque , también tenderá hacia el infinito positivo con el aumento , pero hacia el infinito negativo con la disminución . Todos los gráficos de la familia de las funciones de potencia impar tienen la forma general de , se aplanan más en el medio a medida que aumentan y pierden toda la planeidad allí en la línea recta . Las funciones con este tipo de simetría ( ) se llaman funciones impares.

norte

f (x)

X

X

c> 0

{\ displaystyle f (x) = cx ^ {n}}

X

X

{\ displaystyle y = cx ^ {3}}

norte

n = 1

{\ displaystyle f (-x) = - f (x)}

Porque , el comportamiento asintótico opuesto es verdadero en cada caso.

c <0

Lista de poderes de números enteros

norte	norte	norte	norte	norte	norte	norte	norte	norte	norte
2	4	8	dieciséis	32	64	128	256	512	1,024
3	9	27	81	243	729	2,187	6,561	19,683	59,049
4	dieciséis	64	256	1,024	4,096	16,384	65.536	262,144	1,048,576
5	25	125	625	3.125	15,625	78,125	390,625	1.953.125	9.765.625
6	36	216	1,296	7,776	46,656	279,936	1,679,616	10,077,696	60,466,176
7	49	343	2,401	16,807	117,649	823,543	5,764,801	40,353,607	282,475,249
8	64	512	4,096	32.768	262,144	2,097,152	16,777,216	134,217,728	1,073,741,824
9	81	729	6,561	59,049	531,441	4,782,969	43,046,721	387,420,489	3.486.784.401
10	100	1,000	10,000	100,000	1,000,000	10,000,000	100,000,000	1,000,000,000	10,000,000,000

Exponentes racionales

De arriba a abajo: x , x , x , x , x , x , x .

Un n º raíz de un número b es un número x tal que

x = b

Si b es un número real positivo yn es un entero positivo, entonces hay exactamente una solución real positiva para

x = b

. Esta solución se denomina principal raíz n ° de b . Se denota n √ b , donde √ es el símbolo radical ; alternativamente, la raíz principal puede escribirse b . Por ejemplo:

4 = 2

8 = 2

El hecho que resuelve se sigue al notar que

x = b ^ {{1 / n}}

x ^ {n} = b

x ^ {n} = \ underbrace {b ^ {\ frac {1} {n}} \ times b ^ {\ frac {1} {n}} \ times \ cdots \ times b ^ {\ frac {1} { n}}} _ {n} = b ^ {\ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} \ right)} = b ^ {\ frac {n} {n}} = b ^ {1} = b.

Si n es par, entonces

x = b

tiene dos soluciones reales si b es positivo, que son las raíces n y positivas y negativas , es decir,

b > 0

- (b) <0.

Si b es negativo, la ecuación no tiene solución en números reales para incluso n .

Si n es impar, entonces

x = b

tiene exactamente una solución real. La solución

b

es positiva si b es positiva y negativa si b es negativa.

Tomando un número real positivo b para un exponente racional u / v , donde u es un entero y v es un entero positivo, y considerando únicamente las raíces principales, rinde

{\ displaystyle b ^ {\ frac {u} {v}} = \ left (b ^ {u} \ right) ^ {\ frac {1} {v}} = {\ sqrt [{v}] {b ^ {u}}} = \ left (b ^ {\ frac {1} {v}} \ right) ^ {u} = \ left ({\ sqrt [{v}] {b}} \ right) ^ {u }.}

Tomando un número real negativo b para una potencia racional u / v , donde u / v está en los términos más bajos, produce un resultado real positivo si u es par y, por lo tanto, v es impar, porque entonces b es positivo; y produce un resultado real negativo, si u y v son ambos impares, porque entonces b es negativo. El caso de u impar e incluso v no se puede tratar de esta manera dentro de los reales, ya que no hay un número real x tal que

x = -1

, el valor de b en este caso debe usar la unidad imaginaria i , como se describe más detalladamente en la sección § Potencias de números complejos.

Por lo tanto, tenemos

(-27) = -3

(-27) = 9

. El número 4 tiene dos 3/2 th poderes, a saber, 8 y -8; sin embargo, por convención la notación 4 emplea la raíz director , y los resultados en 8. Para emplear el v raíz -ésimo la u / v -ésima potencia es también llamado el u / v raíz-ésimo, y para incluso v el término raíz director denota también el resultado positivo.

Esta ambigüedad de los signos debe tenerse en cuenta al aplicar las identidades de poder. Por ejemplo:

{\ displaystyle -27 = (- 27) ^ {((2/3) (3/2))} = ((- 27) ^ {2/3}) ^ {3/2} = 9 ^ {3 / 2} = 27}

es claramente incorrecto El problema comienza ya en la primera igualdad al introducir una notación estándar para una situación intrínsecamente ambigua (pidiendo una raíz par) y simplemente confiar erróneamente en una sola, la interpretación convencional o principal . El mismo problema ocurre también con una notación surd inapropiada, que impone inherentemente un resultado positivo:

{\ displaystyle ((-27) ^ {2/3}) ^ {3/2} = {\ sqrt {\ left ({\ sqrt [{3}] {(- 27) ^ {2}}} \ right ) ^ {3}}} = {\ sqrt {(-27) ^ {2}}} \ neq -27}

en lugar de

{\ displaystyle ((-27) ^ {2/3}) ^ {3/2} = - {\ sqrt {\ left ({\ sqrt [{3}] {(- 27) ^ {2}}} \ derecha) ^ {3}}} = - {\ sqrt {(-27) ^ {2}}} = - 27.}

En general, ocurre el mismo tipo de problemas para números complejos como se describe en la sección § Fallo de poder e identidades logaritmo.

Exponentes reales

Las identidades y propiedades que se muestran arriba para los exponentes enteros son verdaderas para los números reales positivos con exponentes no enteros también. Sin embargo, la identidad

(b ^ {r}) ^ {s} = b ^ {r \ cdot s}

no se puede extender consistentemente a los casos donde b es un número real negativo (ver § Exponentes reales con bases negativas). El fracaso de esta identidad es la base de los problemas con los poderes numéricos complejos detallados en § Fallo de poder e identidades logaritmo.

La exponenciación a los poderes reales de los números reales positivos se puede definir extendiendo los poderes racionales a los reales por continuidad, o más habitualmente como se indica en § Poderes a través de logaritmos a continuación.

Límites de exponentes racionales

Como la función exponencial es continua, encontramos secuencias convergentes ( x n ). Esto se muestra aquí para x n = 1/n .

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} e ^ {x_ {n}} = e ^ {\ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}}

Como cualquier número irracional se puede expresar como el límite de una secuencia de números racionales, la exponenciación de un número real positivo b con un exponente real arbitrario x se puede definir por la continuidad con la regla

b ^ {x} = \ lim _ {r (\ in \ mathbb {Q}) \ a x} b ^ {r} \ quad (b \ in \ mathbb {R} ^ {+}, \, x \ in \ mathbb {R})

donde el límite como r se acerca a x se toma solo sobre los valores racionales de r . Este límite solo existe para b positivo . Se usa la definición ( ε , δ ) del límite; esto implica mostrar que para cualquier precisión deseada del resultado b, se puede elegir un intervalo suficientemente pequeño alrededor de

x

para que todas las potencias racionales en el intervalo estén dentro de la precisión deseada.

Por ejemplo, si

x = π

, la representación decimal no determinante

π = 3.14159 ...

puede usarse (basándose en la estricta monotonicidad de la potencia racional) para obtener los intervalos delimitados por poderes racionales

[b ^ {3}, b ^ {4}]

, , , , , , ...

[b ^ {3.1}, b ^ {3.2}]

[b ^ {3.14}, b ^ {3.15}]

[b ^ {3.141}, b ^ {3.142}]

[b ^ {3.1415}, b ^ {3.1416}]

[b ^ {3.14159}, b ^ {3.14160}]

Los intervalos acotados convergen a un número real único, denotado por . Esta técnica se puede usar para obtener el poder de un número real positivo b para cualquier exponente irracional. La función

f

b

(

x

) =

b

se define así para cualquier número real x .

b ^ {\ pi}

La función exponencial

La importante constante matemática

e

, a veces llamada número de Euler, es aproximadamente igual a 2.718 y es la base del logaritmo natural. Aunque la exponenciación de e podría, en principio, ser tratada de la misma manera que la exponenciación de cualquier otro número real, tales exponenciales resultan tener propiedades particularmente elegantes y útiles. Entre otras cosas, estas propiedades permiten que las exponenciales de e se generalicen de forma natural a otros tipos de exponentes, como números complejos o incluso matrices, mientras coinciden con el significado familiar de exponenciación con exponentes racionales.

Como consecuencia, la notación e generalmente denota una definición de exponenciación generalizada llamada función exponencial , exp ( x ), que se puede definir de muchas maneras equivalentes, por ejemplo, mediante:

\ exp (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}

Entre otras propiedades, exp satisface la identidad exponencial

{\ displaystyle \ exp (x + y) = \ exp (x) \ cdot \ exp (y).}

La función exponencial se define para todos los valores enteros, fraccionarios, reales y complejos de x . De hecho, la exponencial matriz está bien definido para matrices cuadradas (en cuyo caso esta identidad exponencial sólo se mantiene cuando x y y conmute), y es útil para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales resolver.

Como exp (1) es igual a ey exp ( x ) satisface esta identidad exponencial, inmediatamente se deduce que exp ( x ) coincide con la definición de multiplicación repetida de e para el entero x , y también se deduce que los poderes racionales denotan (positivo ) roots como de costumbre, por lo que exp ( x ) coincide con las definiciones e en la sección anterior para toda x real por continuidad.

Poderes a través de logaritmos

El logaritmo natural ln ( x ) es el inverso de la función exponencial e . Se define para

b > 0

y satisface

b = e ^ {\ ln b}

Si b es preservar el logaritmo y las reglas de exponente, entonces uno debe tener

b ^ {x} = (e ^ {\ ln b}) ^ {x} = e ^ {x \ cdot \ ln b}

para cada número real x .

Esto puede usarse como una definición alternativa del poder numérico real b y concuerda con la definición dada anteriormente usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación usando logaritmos es más común en el contexto de números complejos, como se analiza a continuación.

Exponentes reales con bases negativas

Los poderes de un número real positivo son siempre números reales positivos. La solución de x = 4, sin embargo, puede ser 2 o -2. El valor principal de 4 es 2, pero -2 también es una raíz cuadrada válida. Si la definición de exponenciación de números reales se extiende para permitir resultados negativos, entonces el resultado ya no se comporta bien.

Ni el método de logaritmo ni el método de exponente racional se pueden usar para definir b como un número real para un número real negativo b y un número real arbitrario r . De hecho, e es positivo para cada número real r , por lo que ln ( b ) no se define como un número real para

b \leq 0

El método del exponente racional no se puede usar para valores negativos de b porque se basa en la continuidad. La función

f (r) = b

tiene una extensión continua única de los números racionales a los números reales para cada

b > 0

. Pero cuando

b <0

, la función f no es ni siquiera continua en el conjunto de números racionales r para los que está definida.

Por ejemplo, considere

b = -1

. La raíz n -ésima de -1 es -1 para cada número natural impar n . Entonces, si n es un entero positivo impar,

(-1) = -1

si m es impar, y

(-1) = 1

si m es par. Por lo tanto, el conjunto de números racionales q para los cuales

(-1) = 1

es denso en los números racionales, como lo es el conjunto de q para el cual

(-1) = -1

. Esto significa que la función (-1) no es continua en ningún número racional q donde se define.

Por otro lado, los poderes complejos arbitrarios de los números negativos b se pueden definir eligiendo un logaritmo complejo de b .

Exponentes irracionales

Si a es un número algebraico positivo, yb es un número racional, se ha demostrado anteriormente que a es algebraico. Esto sigue siendo cierto incluso si uno acepta cualquier número algebraico para a , con la única diferencia de que a puede tomar varios valores (ver a continuación), todos algebraicos. El teorema de Gelfond-Schneider proporciona cierta información sobre la naturaleza de a cuando b es irracional (es decir, no racional). Afirma:

Si a es un número algebraico diferente de 0 y 1, yb es un número algebraico irracional, entonces todos los valores de a son números trascendentales (es decir, no algebraicos).

Exponentes complejos con bases reales positivas

Exponentes imaginarios con base e

La función exponencial e puede definirse como el límite de

(1 + z / N)

, cuando N se acerca al infinito y, por lo tanto, e es el límite de

(1 + iπ / N)

. En esta animación N toma valores que aumentan de 1 a 100. El cálculo de

(1 + iπ / N)

se muestra como el efecto combinado de N multiplicaciones repetidas en el plano complejo, de modo que

(1 + iπ / N)

, k = 0 ... N son los vértices de una ruta poligonal cuyo punto final final, más a la izquierda, es el valor real de

(1 + iπ / N)

. Se puede ver que a medida que N se hace más grande

(1 + iπ / N) se

aproxima a un límite de -1. Por lo tanto,

e = -1,

que se conoce como identidad de Euler.

Un número complejo es una expresión de la forma , en donde x y y son números reales, y i es la llamada unidad imaginaria, un número que satisface la regla . Un número complejo se puede visualizar como un punto en el plano ( x , y ). Las coordenadas polares de un punto en el plano ( x , y ) consisten en un número real no negativo r y un ángulo θ tal que

x

=

r

cos θ

y

=

r

sen θ

. Asi que

z = x + iy

i ^ {2} = - 1

x + iy = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta).

El producto de dos números complejos

z 1 = x 1 + i y 1

z 2 = x 2 + i y 2

se obtiene expandiendo el producto de los binomios y simplificando usando la regla :

i ^ {2} = - 1

z_ {1} z_ {2} = (x_ {1} + iy_ {1}) (x_ {2} + iy_ {2}) = (x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} ) + i (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}).

Como consecuencia de las fórmulas de suma de ángulo de la trigonometría, si

z 1

z 2

tienen coordenadas polares ( r 1 , θ 1 ), ( r 2 , θ 2 ), entonces su producto z 1 z 2 tiene coordenadas polares iguales a ( r 1 r 2 , θ 1 + θ 2 ).

Considere el triángulo rectángulo en el plano complejo que tiene

0, 1, 1 + ix / n

como vértices. Para valores grandes de n , el triángulo es casi un sector circular con un radio de 1 y un ángulo central pequeño igual a x / n radianes. 1 + ix / n se puede aproximar por el número con coordenadas polares

(1, x / n)

. Entonces, en el límite cuando n se aproxima al infinito,

(1 + ix / n) se

aproxima (1, x / n ) = (1, nx /n ) = (1, x ), el punto en el círculo unitario cuyo ángulo desde el eje real positivo es x radianes. Las coordenadas cartesianas de este punto son (cos x , sin x ). Entonces

e = cos x + i sin x

; esta es la fórmula de Euler, que conecta el álgebra con la trigonometría mediante números complejos.

Las soluciones a la ecuación e = 1 son los múltiplos enteros de 2π i :

\ {z: e ^ {z} = 1 \} = \ {2k \ pi i: k \ en \ mathbb {Z} \}

De manera más general, si

e = w

, entonces cada solución a

e = w

puede obtenerse sumando un múltiplo entero de 2π i a v :

\ {z: e ^ {z} = w \} = \ {v + 2k \ pi i: k \ en \ mathbb {Z} \}

Por lo tanto, la función exponencial compleja es una función periódica con período 2π i .

Más simplemente:

e = -1

;

e = e (cos y + i sin y)

Funciones trigonométricas

Se deduce de la fórmula de Euler mencionada anteriormente que las funciones trigonométricas coseno y seno son

\ cos (z) = {\ frac {e ^ {iz} + e ^ {- iz}} {2}}; \ qquad \ sin (z) = {\ frac {e ^ {iz} -e ^ {- iz}} {2i}}

Antes de la invención de los números complejos, el coseno y el seno se definieron geométricamente. La fórmula anterior reduce las fórmulas complicadas para funciones trigonométricas de una suma en la fórmula de exponenciación simple

e ^ {i (x + y)} = e ^ {ix} \ cdot e ^ {iy}

El uso de exponenciación con exponentes complejos puede reducir los problemas de trigonometría en álgebra.

Exponentes complejos con base e

La potencia

z = e

se puede calcular como

e \cdot e

. El factor real e es el valor absoluto de zy el factor complejo e identifica la dirección de z .

Exponentes complejos con bases reales positivas

Si b es un número real positivo, yz es cualquier número complejo, la potencia b se define como

e

, donde

x = ln (b)

es la única solución real a la ecuación

e = b

. Entonces, el mismo método que funciona para exponentes reales también funciona para exponentes complejos.

Por ejemplo:

{\ displaystyle 2 ^ {i} = e ^ {i \ ln (2)} = \ cos (\ ln (2)) + i \ sin (\ ln (2)) \ approx 0.76924 + 0.63896i}

{\ displaystyle e ^ {i} \ approx 0.54030 + 0.84147i}

{\ displaystyle (e ^ {2 \ pi}) ^ {i} = {535.49176 \ dots} ^ {i} = 1}

La identidad ( b ) = b no es generalmente válida para poderes complejos. El poder b es un número complejo y cualquier poder de este tiene que seguir las reglas para los poderes de los números complejos a continuación. Un contraejemplo simple viene dado por:

(e ^ {2 \ pi i}) ^ {i} = 1 ^ {i} = 1 \ neq e ^ {- 2 \ pi} = e ^ {2 \ pi i \ cdot i}

Sin embargo, la identidad es válida para un complejo arbitrario cuando es un número entero.

z

tu

Poderes de números complejos

Las potencias enteras de números complejos distintos de cero se definen multiplicando o dividiendo repetidamente como se indicó anteriormente. Si i es la unidad imaginaria yn es un número entero, entonces i es igual a 1, i , -1 o - i , según si el entero n es congruente con 0, 1, 2 o 3 módulo 4. Debido a esto, los poderes de i son útiles para expresar secuencias del período 4.

Los poderes complejos de reales positivos se definen a través de e como en la sección Exponentes complejos con bases reales positivas arriba. Estas son funciones continuas.

Tratar de extender estas funciones al caso general de poderes no enteros de números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O definimos funciones discontinuas o funciones de valores múltiples. Ninguna de estas opciones es completamente satisfactoria.

El poder racional de un número complejo debe ser la solución a una ecuación algebraica. Por lo tanto, siempre tiene un número finito de valores posibles. Por ejemplo,

w = z

debe ser una solución a la ecuación

w = z

. Pero si w es una solución, entonces también lo es - w , porque

(-1) = 1

. Se puede elegir una solución única pero algo arbitraria llamada valor principal usando una regla general que también se aplica a los poderes no racionales.

Los poderes complejos y los logaritmos se manejan de forma más natural como funciones de un solo valor en una superficie de Riemann. Las versiones de un solo valor se definen al elegir una hoja. El valor tiene una discontinuidad a lo largo de un corte de rama. Elegir una de las muchas soluciones como el valor principal nos deja con funciones que no son continuas, y las reglas usuales para manipular los poderes pueden llevarnos por mal camino.

Cualquier potencia no racional de un número complejo tiene un número infinito de valores posibles debido a la naturaleza multivaluada del logaritmo complejo. El valor principal es un único valor elegido de éstos por una regla que, entre otras propiedades, garantiza que los poderes de los números complejos con una parte real positiva y la parte imaginaria cero dan el mismo valor que la regla definida anteriormente para la base real correspondiente.

Exponenciar un número real a una potencia compleja es formalmente una operación diferente de la del número complejo correspondiente. Sin embargo, en el caso común de un número real positivo, el valor principal es el mismo.

Los poderes de los números reales negativos no siempre están definidos y son discontinuos incluso cuando están definidos. De hecho, solo se definen cuando el exponente es un número racional con el denominador como un entero impar. Cuando se trata de números complejos, normalmente se usa la operación de números complejos.

Exponentes complejos con bases complejas

Para los números complejos w y z con

w \neq 0

, la notación w es ambigua en el mismo sentido que log w .

Para obtener un valor de w , primero elija un logaritmo de w ; llámalo

log w

. Tal elección puede ser el valor principal

Log w

(el valor predeterminado, si no se proporciona ninguna otra especificación), o tal vez un valor dado por alguna otra rama de log w corregido de antemano. Luego, usando la función exponencial compleja, se define

w ^ {z} = e ^ {z \ log w}

porque esto concuerda con la definición anterior en el caso en que w es un número real positivo y se usa el valor principal (real) de

log w

Si z es un número entero, entonces el valor de w es independiente de la elección de

log w

, y concuerda con la definición anterior de exponenciación con un exponente entero.

Si z es un número racional m / n en los términos más bajos con

z > 0

, entonces las innumerablemente infinitas elecciones de

log w

solo dan n valores diferentes para w ; estos valores son las n soluciones complejas s a la ecuación

s = w

Si z es un número irracional, entonces las innumerables infinitas elecciones de

log w

conducen a infinitos valores distintos para w .

El cálculo de poderes complejos se facilita convirtiendo la base w en forma polar, como se describe en detalle a continuación.

Una construcción similar se emplea en cuaterniones.

Raíces complejas de la unidad

Las tres 3ras raíces de 1

Un número complejo w tal que

w = 1

para un entero positivo n es una raíz n de la unidad . Geométricamente, la n º raíces de la unidad en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un habitual n -gon con un vértice en el número real 1.

w = 1

pero

w \neq 1

para todos los números naturales k tal que

0 < k < n

, entonces w se llama una primitiva n º raíz de la unidad . La unidad negativa -1 es la única raíz cuadrada primitiva de la unidad. La unidad imaginaria i es una de las dos raíces primitivas de la unidad; el otro es - i .

El número e es la primitiva raíz n de la unidad con el argumento positivo más pequeño. (A veces se la denomina principal raíz n. ° de unidad , aunque esta terminología no es universal y no debe confundirse con el valor principal de n √ 1 , que es 1.)

Las otras n raíces de la unidad están dadas por

\ left (e ^ {{\ frac {2} {n}} \ pi i} \ right) ^ {k} = e ^ {{\ frac {2} {n}} \ pi ik}

para

2 \leq k \leq n

Raíces de números complejos arbitrarios

Aunque hay infinitamente muchos valores posibles para un logaritmo complejo general, hay sólo un número finito de valores para la potencia de

w

en el caso especial importante cuando

q = 1 / n

n

es un entero positivo. Estos son los

n

º raíces de

w

; son soluciones de la ecuación

z = w

. Al igual que con las raíces reales, una segunda raíz también se denomina raíz cuadrada y una tercera raíz también se denomina raíz cúbica.

Es habitual en matemáticas definir

w

como el valor principal de la raíz, que es, convencionalmente, la raíz

n

-ésima cuyo argumento tiene el menor valor absoluto. Cuando

w

es un número real positivo, esto es coherente con la convención habitual de definir

w

como el único real positivo

n

º raíz. Por otro lado, cuando

w

es un número real negativo, y

n

es un entero impar, el verdadero única

n

º raíz no es uno de los dos

n

th raíces cuyo argumento tiene el valor absoluto más pequeño. En este caso, el significado de

w

puede depender del contexto, y puede ser necesario cierto cuidado para evitar errores.

El conjunto de las raíces

n

de un número complejo

w

se obtiene multiplicando el valor principal

w

por cada una de las raíces

n

de la unidad. Por ejemplo, las raíces cuarta de 16 son 2, -2, 2

i

, y -2

i

, porque el valor principal de la cuarta raíz de 16 es 2 y las 4 raíces de unidad son 1, -1,

i

, y -

yo

Computing complex powers

A menudo es más fácil calcular poderes complejos escribiendo el número que se expondrá en forma polar. Cada número complejo z puede escribirse en forma polar

z = re ^ {i \ theta} = e ^ {\ log (r) + i \ theta}

donde r es un número real no negativo y θ es el argumento (real) de z . La forma polar tiene una interpretación geométrica simple: si se piensa que un número complejo

u + iv

representa un punto

(u, v)

en el plano complejo usando coordenadas cartesianas, entonces

(r, θ)

es el mismo punto en coordenadas polares. Es decir, r es el "radio"

r = u + v

y θ es el "ángulo"

θ = atan2 (v, u)

. El ángulo polar θ es ambiguo, ya que cualquier múltiplo entero de 2π podría agregarse a θ sin cambiar la ubicación del punto. Cada elección de θ da en general un valor posible diferente de la potencia. Un corte de rama se puede usar para elegir un valor específico. El valor principal (el corte de rama más común) corresponde a θ elegido en el intervalo

(-π, π)

. Para los números complejos con una parte real positiva y cero la parte imaginaria que usa el valor principal da el mismo resultado que usar el correspondiente real número.

Para calcular la potencia compleja w , escriba w en forma polar:

w = re ^ {i \ theta}

Entonces

\ log (w) = \ log (r) + i \ theta

y por lo tanto

w ^ {z} = e ^ {z \ log (w)} = e ^ {z (\ log (r) + i \ theta)}

Si z se descompone como

c + di

, entonces la fórmula para w se puede escribir más explícitamente

\ left (r ^ {c} e ^ {- d \ theta} \ right) e ^ {i (d \ log (r) + c \ theta)} = \ left (r ^ {c} e ^ {- d \ theta} \ right) \ left [\ cos (d \ log (r) + c \ theta) + i \ sin (d \ log (r) + c \ theta) \ right]

Esta fórmula final permite que los poderes complejos se puedan calcular fácilmente a partir de las descomposiciones de la base en forma polar y el exponente en forma cartesiana. Se muestra aquí tanto en forma polar como en forma cartesiana (a través de la identidad de Euler).

Los siguientes ejemplos usan el valor principal, el corte de rama que hace que θ esté en el intervalo

(-π, π)

. Para calcular i , escriba i en formas polares y cartesianas:

{\ begin {aligned} i & = 1 \ cdot e ^ {{\ frac {1} {2}} i \ pi} \\ i & = 0 + 1i \ end {aligned}}

Entonces la fórmula anterior, con

r = 1

θ = π / 2

c = 0

, y

d = 1

, se obtiene:

i ^ {i} = \ left (1 ^ {0} e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ pi} \ right) e ^ {i \ left [1 \ cdot \ log (1) + 0 \ cdot {\ frac {1} {2}} \ pi \ right]} = e ^ {- {\ frac {1} {2}} \ pi} \ approx 0.2079

Del mismo modo, para encontrar

(-2)

, calcule la forma polar de -2,

-2 = 2e ^ {i \ pi}

y usa la fórmula anterior para calcular

(-2) ^ {3 + 4i} = \ left (2 ^ {3} e ^ {- 4 \ pi} \ right) e ^ {i [4 \ log (2) +3 \ pi]} \ approx ( 2.602-1.006i) \ cdot 10 ^ {- 5}

El valor de una potencia compleja depende de la rama utilizada. Por ejemplo, si la forma polar

i = 1 e

se usa para calcular i , se encuentra que la potencia es e ; el valor principal de i , calculado anteriormente, es e . El conjunto de todos los valores posibles para i está dado por:

{\ begin {aligned} i & = 1 \ cdot e ^ {{\ frac {1} {2}} i \ pi + i2 \ pi k} {\ big |} k \ in \ mathbb {Z} \\ i ^ {i} & = e ^ {i \ left ({\ frac {1} {2}} i \ pi + i2 \ pi k \ right)} \\ & = e ^ {- \ left ({\ frac {1 } {2}} \ pi +2 \ pi k \ right)} \ end {aligned}}

Entonces hay una infinidad de valores que son posibles candidatos para el valor de i , uno para cada entero k . Todos ellos tienen una parte imaginaria cero, de manera que se puede decir que tiene una infinidad de valores reales válidos.

Fracaso de las identidades de poder y logaritmo

Algunas identidades para potencias y logaritmos para números reales positivos fallarán para números complejos, sin importar cómo las potencias complejas y los logaritmos complejos se definen como funciones de un solo valor . Por ejemplo:

El $registro de$ identidad $($ $b$ $) =$ $x$ $\cdot log$ $b se$ cumple cuando $b$ es un número real positivo $yx$ es un número real. Pero para la rama principal del logaritmo complejo uno tiene

$i \ pi = \ log (-1) = \ log \ left [(- i) ^ {2} \ right] \ neq 2 \ log (-i) = 2 \ left (- {\ frac {i \ pi} {2}} \ right) = - i \ pi$
Independientemente de qué rama del logaritmo se use, existirá una falla similar de la identidad. Lo mejor que se puede decir (si solo se usa este resultado) es que:

$\ log (w ^ {z}) \ equiv z \ cdot \ log (w) {\ pmod {2 \ pi i}}$
Esta identidad no se cumple incluso cuando se considera el registro como una función multivalor. Los valores posibles de $log (w)$ contienen aquellos de $z \cdot log w$ como un subconjunto. Uso de $Log (w)$ para el valor principal de $log (w)$ y $m$ , $n$ como cualesquiera números enteros los valores posibles de ambos lados son:

${\ begin {aligned} \ left \ {\ log (w ^ {z}) \ right \} & = \ left \ {z \ cdot \ operatorname {Log} (w) + z \ cdot 2 \ pi in + 2 \ pi im \ right \} \\\ left \ {z \ cdot \ log (w) \ right \} & = \ left \ {z \ cdot \ operatorname {Log} (w) + z \ cdot 2 \ pi in \ right \} \ end {aligned}}$

Las identidades   $(bc) = b c$   y   $(b / c) = b / c$   son válidas cuando   $b$   y   $c$   son números reales positivos y   $x$   es un número real. Pero un cálculo usando ramas principales muestra que

${\ displaystyle 1 = (- 1 \ cdot -1) ^ {\ frac {1} {2}} \ not = (- 1) ^ {\ frac {1} {2}} (- 1) ^ {\ frac {1} {2}} = - 1}$
y

$i = (- 1) ^ {\ frac {1} {2}} = \ left ({\ frac {1} {- 1}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ not = { \ frac {1 ^ {\ frac {1} {2}}} {(- 1) ^ {\ frac {1} {2}}}} = {\ frac {1} {i}} = - i$
Por otro lado, cuando   $x$   es un número entero, las identidades son válidas para todos los números complejos distintos de cero.
Si la exponenciación se considera una función multivaluada, los valores posibles de   $(-1 \cdot -1)$   son   ${1, -1$ }. La identidad es válida, pero decir   ${1} = {(-1 \cdot -1)$ } es incorrecto.

La identidad ( e ) = e es válido para los números reales x e y , pero asumiendo su verdad para los números complejos conduce a la siguiente paradoja, descubierta en 1827 por Clausen:
Para cualquier número entero n , tenemos:
1. $e ^ {1 + 2 \ pi in} = e ^ {1} e ^ {2 \ pi in} = e \ cdot 1 = e$
2. ${\ displaystyle \ left (e ^ {1 + 2 \ pi in} \ right) ^ {1 + 2 \ pi in} = e \ qquad}$ (Tomando el -th poder de ambos lados) ${\ displaystyle (1 + 2 \ pi in)}$
3. ${\ displaystyle e ^ {1 + 4 \ pi in-4 \ pi ^ {2} n ^ {2}} = e \ qquad}$ (usando y expandiendo el exponente) ${\ displaystyle (e ^ {x}) ^ {y} = e ^ {xy}}$
4. ${\ displaystyle e ^ {1} e ^ {4 \ pi in} e ^ {- 4 \ pi ^ {2} n ^ {2}} = e \ qquad}$ (usando ) ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} e ^ {y}}$
5. ${\ displaystyle e ^ {- 4 \ pi ^ {2} n ^ {2}} = 1 \ qquad}$ (dividiendo por $e$ )
pero esto es falso cuando el entero $n$ es distinto de cero.
El error es el siguiente: por definición, es una notación para una función verdadera, y es una notación para la cual es una función multivaluada. Por lo tanto, la notación es ambigua cuando $x$ $=$ $e$ . Aquí, antes de expandir el exponente, la segunda línea debe ser $e ^ {y}$ ${\ displaystyle \ exp (y),}$ $x ^ y$ ${\ displaystyle \ exp (y \ log x),}$

{\ displaystyle \ exp \ left ((1 + 2 \ pi in) \ log \ exp (1 + 2 \ pi in) \ right) = \ exp (1 + 2 \ pi in).}

Por lo tanto, al expandir el exponente, uno ha supuesto implícitamente que para los valores complejos de

z

, lo cual es incorrecto, ya que el logaritmo complejo tiene múltiples valores . En otras palabras, la identidad incorrecta

(

e

) =

e

debe ser reemplazada por la identidad

{\ displaystyle \ log \ exp z = z}

{\ displaystyle (e ^ {x}) ^ {y} = e ^ {y \ log e ^ {x}},}

que es una verdadera identidad entre las funciones multivalor.

Generalizaciones

Monoids

La exponenciación con exponentes enteros se puede definir en cualquier monoide multiplicativo. Un monoide es una estructura algebraica que consiste en un conjunto X junto con una regla para la composición ("multiplicación") que satisface una ley asociativa y una identidad multiplicativa, denotada por 1. La exponenciación se define inductivamente por:

$x ^ {0} = 1$ para todos $x \ en X$
$x ^ {n + 1} = x ^ {n} x$ para todos y enteros no negativos n $x \ en X$
Si n es un número entero negativo, entonces sólo se define si tiene una inversa en X . $x ^ {n}$ $X$

Los monoides incluyen muchas estructuras de importancia en matemáticas, incluyendo grupos y anillos (bajo multiplicación), con ejemplos más específicos de estos últimos son anillos y campos de matriz.

Matrices y operadores lineales

Si A es una matriz cuadrada, entonces el producto de A con sí mismo n veces se llama potencia de la matriz. También se define como la matriz de identidad, y si A es invertible, entonces .

A ^ {0}

A ^ {- n} = (A ^ {- 1}) ^ {n}

Las potencias de matriz aparecen a menudo en el contexto de sistemas dinámicos discretos, donde la matriz A expresa una transición de un vector de estado x de algún sistema al siguiente estado Ax del sistema. Esta es la interpretación estándar de una cadena de Markov, por ejemplo. Luego está el estado del sistema después de dos pasos de tiempo, y así sucesivamente: es el estado del sistema después de n pasos de tiempo. La potencia de la matriz es la matriz de transición entre el estado actual y el estado en un momento n pasos en el futuro. Así que calcular los poderes de la matriz es equivalente a resolver la evolución del sistema dinámico. En muchos casos, los poderes de la matriz se pueden calcular convenientemente mediante el uso de autovalores y vectores propios.

A ^ {2} x

A ^ {n} x

A ^ {n}

Además de las matrices, también se pueden potenciar operadores lineales más generales. Un ejemplo es el operador derivado de cálculo, que es un operador lineal que actúa sobre funciones para dar una nueva función . El n poder-ésimo del operador de diferenciación es el n derivado -ésimo:

d / dx

f (x)

(d / dx) f (x) = f '(x)

\ left ({\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} f (x) = {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f (x) = f ^ {(n)} (x).

Estos ejemplos son para exponentes discretos de operadores lineales, pero en muchas circunstancias también es deseable definir las potencias de dichos operadores con exponentes continuos. Este es el punto de partida de la teoría matemática de los semigrupos. Así como la computación de las potencias matriciales con exponentes discretos resuelve sistemas dinámicos discretos, también lo hace la computación de las potencias matriciales con exponentes continuos que resuelven sistemas con dinámica continua. Los ejemplos incluyen enfoques para resolver la ecuación de calor, la ecuación de Schrödinger, la ecuación de onda y otras ecuaciones diferenciales parciales que incluyen una evolución temporal. El caso especial de exponenciar el operador derivado a una potencia no entera se llama derivada fraccional que, junto con la integral fraccionaria, es una de las operaciones básicas del cálculo fraccional.

Campos finitos

Un campo es una estructura algebraica en la que la multiplicación, la suma, la resta y la división están bien definidas y satisfacen sus propiedades familiares. Los números reales, por ejemplo, forman un campo, al igual que los números complejos y los números racionales. A diferencia de estos ejemplos familiares de campos, que son conjuntos infinitos, algunos campos solo tienen finitos muchos elementos. El ejemplo más simple es el campo con dos elementos con adición definida por y , y la multiplicación y .

F_ {2} = \ {0,1 \}

0 + 1 = 1 + 0 = 1

0 + 0 = 1 + 1 = 0

0 \ cdot 0 = 1 \ cdot 0 = 0 \ cdot 1 = 0

1 \ cdot 1 = 1

La exponenciación en campos finitos tiene aplicaciones en criptografía de clave pública. Por ejemplo, el intercambio de claves Diffie-Hellman usa el hecho de que la exponenciación es computacionalmente económica en campos finitos, mientras que el logaritmo discreto (el inverso de la exponenciación) es computacionalmente costoso.

Cualquier campo finito F tiene la propiedad de que hay un número primo único p tal que para todo x en F ; es decir, x añadido a sí mismo p veces es cero. Por ejemplo, en , el número primo

p

= 2

tiene esta propiedad. Este número primo se llama la característica del campo. Supongamos que F es un campo de la característica p , y considera la función que eleva cada elemento de F a la potencia p . Esto se llama automorfismo Frobenius de F

px = 0

F_ {2}

f (x) = x ^ {p}

. Es un automorfismo del campo debido a la identidad de sueño del estudiante de primer año . El automorfismo de Frobenius es importante en la teoría de números porque genera el grupo Galois de F sobre su subcampo principal.

(x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}

En álgebra abstracta

La exponenciación para exponentes enteros se puede definir para estructuras bastante generales en álgebra abstracta.

Deje que X sea un conjunto con una operación binaria asociativa de poder que se escribe multiplicativamente. Entonces x se define para cualquier elemento x de X y cualquier número natural distinto de cero n como el producto de n copias de x , que se define recursivamente por

{\ begin {aligned} x ^ {1} & = x \\ x ^ {n} & = x ^ {n-1} x \ quad {\ hbox {for}} n> 1 \ end {aligned}}

Uno tiene las siguientes propiedades

{\ begin {aligned} (x ^ {i} x ^ {j}) x ^ {k} & = x ^ {i} (x ^ {j} x ^ {k}) \ quad {\ text {(power -propiedad asociativa)}} \\ x ^ {m + n} & = x ^ {m} x ^ {n} \\ (x ^ {m}) ^ {n} & = x ^ {mn} \ end { alineado}}

Si la operación tiene un elemento de identidad de dos lados 1, entonces x se define como igual a 1 para cualquier x .

{\ begin {aligned} x1 & = 1x = x \ quad {\ text {(identidad a doble cara)}} \\ x ^ {0} & = 1 \ end {aligned}}

Si la operación también tiene inversas de dos lados y es asociativa, entonces el magma es un grupo. El inverso de x se puede denotar por x y sigue todas las reglas habituales para exponentes.

{\ begin {aligned} xx ^ {- 1} & = x ^ {- 1} x = 1 \ quad {\ text {(doble cara)}} \\ (xy) z & = x (yz) \ quad {\ text {(associative)}} \\ x ^ {- n} & = \ left (x ^ {- 1} \ right) ^ {n} \\ x ^ {mn} & = x ^ {m} x ^ {- n} \ end {aligned}}

Si la operación de multiplicación es conmutativa (como por ejemplo en grupos abelianos), entonces se cumple lo siguiente:

(xy) ^ {n} = x ^ {n} y ^ {n}

Si la operación binaria se escribe aditivamente, como suele ser para los grupos abelianos, entonces "exponenciación se repite multiplicación" puede reinterpretarse como "multiplicación se repite suma". Por lo tanto, cada una de las leyes de exponenciación anteriores tiene un análogo entre las leyes de la multiplicación.

Cuando hay varias operaciones binarias asociativas de poder definidas en un conjunto, cualquiera de las cuales puede repetirse, es común indicar qué operación se repite colocando su símbolo en el superíndice. Por lo tanto, x es

x * ... * x

, mientras que x es

x # ... # x

, cualquiera que sean las operaciones * y #.

La notación de superíndice también se usa, especialmente en la teoría de grupos, para indicar la conjugación. Es decir,

g = h gh

, donde g y h son elementos de algún grupo. Aunque la conjugación obedece a algunas de las mismas leyes que la exponenciación, no es un ejemplo de multiplicación repetida en ningún sentido. Un quandle es una estructura algebraica en la que estas leyes de conjugación desempeñan un papel central.

Sobre conjuntos

Si n es un número natural y A es un conjunto arbitrario, la expresión A menudo se utiliza para denotar el conjunto de ordenadas n -tuplas de elementos de A . Esto es equivalente a dejar que A denote el conjunto de funciones del conjunto

{0, 1, 2, ..., n -1}

al conjunto A ; el n tupla

(un 0, un 1, un 2, ..., a n -1)

representa la función que envía i para un i .

Para un κ número cardinal infinito y un conjunto A , la notación A también se usa para denotar el conjunto de todas las funciones de un conjunto de κ tamaño a A . Esto a veces se escribe A para distinguirlo de la exponenciación cardinal, definida a continuación.

Esta exponencial generalizada también se puede definir para operaciones en conjuntos o conjuntos con estructura extra. Por ejemplo, en el álgebra lineal, tiene sentido indexar sumas directas de espacios de vectores sobre conjuntos de índices arbitrarios. Es decir, podemos hablar de

\ bigoplus _ {i \ in \ mathbb {N}} V_ {i}

donde cada V i es un espacio vectorial.

Entonces, si V i = V para cada i , la suma directa resultante puede escribirse en notación exponencial como V , o simplemente V, en el entendido de que la suma directa es la predeterminada. Nuevamente podemos reemplazar el conjunto N con un número cardinal n para obtener V , aunque sin elegir un conjunto estándar específico con cardinalidad n , esto se define solo hasta el isomorfismo. Tomando V para ser el campo R de números reales (pensado como un espacio vectorial sobre sí mismo) yn ser algún número natural, obtenemos el espacio vectorial que es más comúnmente estudiado en el álgebra lineal, el espacio vectorial real R .

Si la base de la operación de exponenciación es un conjunto, la operación de exponenciación es el producto cartesiano, a menos que se indique lo contrario. Dado que múltiples productos cartesianos producen un n -tuplo, que puede representarse mediante una función en un conjunto de cardinalidad apropiado, S se convierte simplemente en el conjunto de todas las funciones de N a S en este caso:

S ^ {N} \ equiv \ {f \ colon N \ a S \}

Esto encaja con la exponenciación de los números cardinales, en el sentido de que

| S | = | S |

, donde | X | es la cardinalidad de X . Cuando "2" se define como

{0, 1},

tenemos

| 2 | = 2

, donde 2, generalmente denotado por P ( X ), es el conjunto de potencia de X ; cada subconjunto Y de X corresponde de forma única a una función en X tomando el valor 1 para

x \in Y

y 0 para

x \notin Y

En la teoría de categorías

En una categoría cerrada cartesiana, la operación exponencial se puede usar para elevar un objeto arbitrario a la potencia de otro objeto. Esto generaliza el producto cartesiano en la categoría de conjuntos. Si 0 es un objeto inicial en una categoría cerrada cartesiana, entonces el objeto exponencial 0 es isomorfo a cualquier objeto terminal 1.

De números cardinales y ordinales

En la teoría de conjuntos, existen operaciones exponenciales para números cardinales y ordinales.

Si κ y λ son números cardinales, la expresión κ representa la cardinalidad del conjunto de funciones de cualquier conjunto de cardinalidad λ a cualquier conjunto de cardinalidad κ . Si κ y λ son finitos, entonces esto concuerda con la operación exponencial aritmética ordinaria. Por ejemplo, el conjunto de 3-tuplas de elementos de un conjunto de 2 elementos tiene cardinalidad

8 = 2

. En la aritmética cardinal, κ siempre es 1 (incluso si κ es un cardenal infinito o cero).

La exponenciación de los números cardinales es distinta de la exponenciación de los números ordinales, que se define mediante un proceso límite que implica la inducción transfinita.

Repetida exponenciación

Así como la exponenciación de números naturales está motivada por la multiplicación repetida, es posible definir una operación basada en la exponenciación repetida; esta operación a veces se llama hiper-4 o tetration. La iteración de iteración conduce a otra operación, y así sucesivamente, un concepto llamado hiperoperación. Esta secuencia de operaciones se expresa mediante la función de Ackermann y la notación de flecha ascendente de Knuth. Así como la exponenciación crece más rápido que la multiplicación, que es de crecimiento más rápido que la suma, la tetration crece más rápido que la exponenciación. Evaluado en

(3, 3)

, las funciones suma, multiplicación, exponenciación y rendimiento de tetration 6, 9, 27 y 7 625 597 484 987 (

= 3 = 3 3 = 3

) respectivamente.

Límites de poderes

Cero a la potencia de cero da un número de ejemplos de límites que son de la forma indeterminada 0. Los límites en estos ejemplos existen, pero tienen valores diferentes, mostrando que la función de dos variables

x

no tiene límite en el punto

(0, 0)

. Uno puede considerar en qué puntos esta función tiene un límite.

Más precisamente, considere la función

f (x, y) = x

definida en

D = {(x, y) \in R : x > 0}.

Entonces

D

se puede ver como un subconjunto de

R

(es decir, el conjunto de todos los pares

(x, y)

con

x

y que

pertenece a la recta numérica real extendida

R = [-\infty, + \infty]

, dotada de la topología del producto ), que contendrá los puntos en los que la función

f

tiene un límite.

De hecho,

f

tiene un límite en todos los puntos de acumulación de

D

, excepto para

(0, 0)

(+ \infty, 0)

(1, + \infty)

(1, -\infty)

. En consecuencia, esto permite definir las potencias

x

por continuidad siempre que

0 \leq x \leq + \infty

-\infty \leq y \leq + \infty

, excepto para 0, (+ ∞), 1 y 1, que siguen siendo formas indeterminadas.

Bajo esta definición por continuidad, obtenemos:

$x = + \infty$ y $x = 0$ , cuando $1 < x \leq + \infty$ .
$x = 0$ y $x = + \infty$ , cuando $0 \leq x <1$ .
$0 = 0$ y $(+ \infty) = + \infty$ , cuando $0 < y \leq + \infty$ .
$0 = + \infty$ y $(+ \infty) = 0$ , cuando $-\infty \leq y <0$ .

Estos poderes se obtienen al tomar los límites de

x

para valores positivos de

x

. Este método no permite una definición de

x

cuando

x <0

, ya que los pares

(x, Y)

con

x <0

no son puntos de acumulación de

D

Por otro lado, cuando

n

es un número entero, la potencia

x

ya es significativa para todos los valores de

x

, incluidos los negativos. Esto puede hacer que la definición

0 = + \infty

obtenida anteriormente para negativa

n sea

problemática cuando

n

es impar, ya que en este caso

x \to + \infty

ya que

x

tiende a

0 a

través de valores positivos, pero no negativos.

Cálculo eficiente con exponentes enteros

La computación b usando la multiplicación iterada requiere de

n - 1

operaciones de multiplicación, pero se puede calcular de manera más eficiente que eso, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Para calcular 2, tenga en cuenta que

100 = 64 + 32 + 4

. Calcule lo siguiente en orden:

2 = 4
(2) = 2 = 16
(2) = 2 = 256
(2) = 2 = 65,536
(2) = 2 = 4,294,967,296
(2) = 2 = 18,446,744,073,709,551,616
2 2 2 = 2 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

Esta serie de pasos solo requiere 8 operaciones de multiplicación en lugar de 99 (ya que el último producto anterior toma 2 multiplicaciones).

En general, el número de operaciones de multiplicación requeridas para calcular b se puede reducir a Θ (log n ) mediante el uso de exponenciación por cuadratura o (más generalmente) exponenciación de cadena de adición. Encontrar la secuencia mínima de multiplicaciones (la cadena de adición de longitud mínima para el exponente) para b es un problema difícil para el que actualmente no se conocen algoritmos eficientes (ver problema de suma de subconjuntos), pero muchos algoritmos heurísticos razonablemente eficientes están disponibles.

Notación exponencial para nombres de funciones

Colocando un superíndice entero después del nombre o símbolo de una función, como si la función se elevara a una potencia, comúnmente se refiere a la composición de funciones repetidas en lugar de la multiplicación repetida. Por lo tanto, f ( x ) puede significar f ( f ( f ( x ))); en particular, f ( x ) generalmente denota la función inversa de f . Las funciones iteradas son de interés en el estudio de fractales y sistemas dinámicos. Babbage fue el primero en estudiar el problema de encontrar una raíz cuadrada funcional f ( x ).

Por razones históricas, esta notación aplicada a las funciones trigonométricas e hiperbólicas tiene una interpretación específica y diversa: un exponente positivo aplicado a la abreviatura de la función significa que el resultado se eleva a esa potencia, mientras que un exponente de -1 denota la función inversa. Es decir,

sen x

es solo una forma abreviada de escribir

(sin x)

sin usar paréntesis, mientras que sin x hace referencia a la función inversa del seno, también llamada

arcsin x

. Cada trigonometría e hiperbólica tiene su propio nombre y abreviatura tanto para el recíproco; por ejemplo,

1 / (sin x) = (sin x) = csc x

, así como por su inversa, por ejemplo

cosh x = arcosh x

. Una convención similar se aplica a los logaritmos, donde

log x

generalmente significa

(log x)

, no

log log x

En lenguajes de programación

Los lenguajes de programación generalmente expresan exponenciación como un operador infijo o como una función, ya que son notaciones lineales que no admiten superíndices:

x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
x ^ y: AWK, BASIC, J, MATLAB, Wolfram Language (Mathematica), R, Microsoft Excel, Analytica, TeX (y sus derivados), TI-BASIC, bc (para los exponentes enteros), Haskell (para los exponentes enteros no negativos), Lua y la mayoría de los sistemas de álgebra computacional. Los usos conflictivos del símbolo ^ incluyen: XOR (en la expansión aritmética POSIX Shell, AWK, C, C ++, C #, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby y Tcl), indirección (Pascal) y concatenación de cadenas (OCaml y Estándar ML).
x ^^ y: Haskell (para base fraccional, exponentes enteros), D
x ** y: Ada, shell Z, shell Korn, Bash, COBOL, CoffeeScript, Fortran, FoxPro, Gnuplot, JavaScript, OCaml, F #, Perl, PHP, PL / I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Mercury , Haskell (para exponentes de coma flotante), Turing, VHDL
pown x y: F # (para la base entera, exponente entero)
x⋆y: APL

Muchos otros lenguajes de programación carecen de soporte sintáctico para la exponenciación, pero proporcionan funciones de biblioteca:

pow(x, y): C, C ++
Math.Pow(x, y): C #
math:pow(X, Y): Erlang

Para ciertos exponentes hay formas especiales de calcular x mucho más rápido que mediante la exponenciación genérica. Estos casos incluyen pequeños enteros positivos y negativos (prefieren x* x sobre x , prefieren 1 / x sobre x ) y raices (prefieren sqrt ( x ) sobre x , prefieren cbrt ( x ) sobre x ).

No todos los lenguajes de programación se adhieren a la convención de asociatividad-derecha para la exponenciación: mientras que el lenguaje Wolfram y muchos otros siguen esta convención, algunos programas de computadora como Microsoft Office Excel y Matlab asocian a la izquierda (de abajo hacia arriba) ( a^b^c es decir, se evalúa como (a^b)^c).

Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation

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