División (matemáticas)
Definición
La división es una de las cuatro operaciones básicas de aritmética, las otras son sumas, restas y multiplicaciones. La división de dos números naturales es el proceso de calcular la cantidad de veces que un número está contenido dentro de otro. Por ejemplo, en la imagen de la derecha, las 20 manzanas se dividen en cuatro grupos de cinco manzanas, lo que significa que veinte dividido por cinco da cuatro , o cuatro es el resultado de la división de veinte por cinco . Esto se denota como 20/5 = 4, 20 ÷ 5 = 4 , o 205 = 4 .
La división se puede ver como quotition o como partición. En términos, 20 ÷ 5 significa el número de 5 que se deben agregar para obtener 20. En la partición, 20 ÷ 5 significa el tamaño de cada una de las 5 partes en las que se divide un conjunto de tamaño 20.
La división es el inverso de la multiplicación; si a × b = c , entonces a = c ÷ b , siempre que b no sea cero. La división por cero no está definida para los números reales y la mayoría de otros contextos, porque si b = 0 , entonces una no puede deducirse de b y c , como entonces c siempre será igual a cero, independientemente de una . En algunos contextos, la división por cero se puede definir aunque de forma limitada, y se definen los límites que implican la división de un número real cuando se acerca a cero.
En la división, el dividendo se divide por el divisor para obtener un cociente . En el ejemplo anterior, 20 es el dividendo, cinco es el divisor y cuatro es el cociente. En algunos casos, el divisor puede no estar contenido completamente por el dividendo; por ejemplo, 10 ÷ 3 deja el resto de uno, ya que 10 no es un múltiplo de tres. A veces se añade este resto al cociente como una parte fraccional, por lo 10 ÷ 3 es igual a 3 13 o 3.33. . . , pero en el contexto de la división de enteros, donde los números no tienen partes fraccionarias, el resto se guarda por separado o se descarta.
Además de dividir manzanas, la división se puede aplicar a otros objetos físicos y abstractos. La división se ha definido en varios contextos, por ejemplo, para números reales y complejos y para contextos más abstractos, como espacios y campos vectoriales.
La división es la más difícil mentalmente de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, pero la disciplina y el dominio de ella proporcionan un puente educativo desde la aritmética hasta la teoría de números y el álgebra. La enseñanza del concepto objetivo de dividir enteros introduce a los estudiantes a la aritmética de las fracciones. A diferencia de la suma, la resta y la multiplicación, el conjunto de todos los enteros no se cierra en la división. Dividir dos enteros puede dar como resultado un resto. Para completar la división del resto, el sistema numérico se amplía para incluir fracciones o números racionales, como generalmente se los llama. Cuando los estudiantes avanzan al álgebra, la teoría abstracta de división intuida a partir de la aritmética se extiende naturalmente a la división algebraica de variables, polinomios y matrices.
Notación
Adición (+)
Resta (-)
Multiplicación (×)
División (÷)
Exponencia
nth root (√)
![{\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5582d567e7e7fbcdb728291770905e09beb0ea18)
Logaritmo (log)
La división a menudo se muestra en álgebra y ciencia al colocar el dividendo sobre el divisor con una línea horizontal, también llamada barra de fracción, entre ellos. Por ejemplo, un dividido por b se escribe
Esto se puede leer en voz alta como " a dividido entre b ", " a by b " o " a sobre b ". Una forma de expresar la división todo en una línea es escribir el dividendo (o numerador), luego una barra, luego el divisor (o denominador), como este:
Esta es la forma habitual de especificar la división en la mayoría de los lenguajes de programación, ya que puede escribirse fácilmente como una secuencia simple de caracteres ASCII. Algunos programas matemáticos, como MATLAB y GNU Octave, permiten que los operandos se escriban en orden inverso utilizando la barra diagonal inversa como operador de división:
Una variación tipográfica a medio camino entre estas dos formas usa un solidus (barra de fracción) pero eleva el dividendo y reduce el divisor:
Cualquiera de estos formularios se puede usar para mostrar una fracción. Una fracción es una expresión de división donde tanto el dividendo como el divisor son enteros (normalmente denominados numerador y denominador ), y no hay implicación de que la división deba evaluarse más. Una segunda forma de mostrar división es usar el obelus (o signo de división), común en aritmética, de esta manera:
Esta forma es infrecuente excepto en aritmética elemental. ISO 80000-2-9.6 establece que no debe ser utilizado. El obelus también se usa solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo como una etiqueta en una tecla de una calculadora. El obelus fue presentado por el matemático suizo Johann Rahn en 1659 en Teutsche Algebra .
En algunos países que no hablan inglés, "a divide por b" se escribe a : b . Esta notación fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en su 1684 Acta eruditorum . A Leibniz no le gustaba tener símbolos separados para proporción y división. Sin embargo, en el uso del inglés, el colon está restringido a expresar el concepto relacionado de razones (entonces " a es a b ").
Desde el siglo XIX, los libros de texto de los Estados Unidos han usado o para denotar a dividido por b , especialmente cuando se habla de una división larga. La historia de esta notación no está del todo clara porque evolucionó con el tiempo.
Informática
Métodos manuales
La división a menudo se introduce a través de la noción de "compartir" un conjunto de objetos, por ejemplo, un montón de polos, en varias porciones iguales. Distribuir los objetos de varios en uno en cada ronda de intercambio a cada parte conduce a la idea de "fragmentación", es decir, división por sustracción repetida.
Más sistemático y más eficiente (pero también más formalizado y basado en reglas, y más alejado de una visión general holística de lo que está logrando la división), una persona que conoce las tablas de multiplicar puede dividir dos enteros usando lápiz y papel usando el método de división corta, si el divisor es simple. La división larga se usa para divisores enteros más grandes. Si el dividendo tiene una parte fraccionaria (expresada como una fracción decimal), se puede continuar el algoritmo más allá de los lugares tan lejos como se desee. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, podemos replantear el problema moviendo el decimal a la derecha en ambos números hasta que el divisor no tenga ninguna fracción.
Una persona puede calcular la división con un ábaco colocando repetidamente el dividendo en el ábaco, y luego restando el divisor el desplazamiento de cada dígito en el resultado, contando el número de divisiones posibles en cada desplazamiento.
Una persona puede usar tablas de logaritmos para dividir dos números, restando los logaritmos de los dos números y luego buscando el antilogaritmo del resultado.
Una persona puede calcular la división con una regla de cálculo alineando el divisor en la escala C con el dividendo en la escala D. El cociente se puede encontrar en la escala D donde está alineado con el índice izquierdo en la escala C. Sin embargo, el usuario es responsable de mantener mentalmente el punto decimal.
Por computadora o con asistencia informática
Las computadoras modernas calculan la división por métodos que son más rápidos que la división larga. Para la división con el resto, vea el algoritmo de División.
En aritmética modular (módulo un número primo) y para números reales, los números distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. En estos casos, una división por x se puede calcular como el producto por el inverso multiplicativo de x . Este enfoque es a menudo el más eficiente.
Propiedades
La división tiene una distribución correcta sobre la suma y la resta. Eso significa:
de la misma manera que en la multiplicación . Pero la división no es de distribución de izquierda, es decir, tenemos
a diferencia de la multiplicación.
Si hay múltiples divisiones en una fila, el orden de operación va de izquierda a derecha, lo que se denomina asociativo de izquierda:
- .
División euclidiana
La división euclidiana es la formulación matemática del resultado del proceso habitual de división de enteros. Afirma que, dados dos enteros, a , el dividendo , y b , el divisor , tal que b ≠ 0, hay enteros únicos q , el cociente , yr , el resto, tal que a = bq + r y 0 ≤ r <| b |, donde | b | denota el valor absoluto de b .
De enteros
La división de los enteros no está cerrada. Además de la división por cero no definida, el cociente no es un número entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor. Por ejemplo, 26 no se puede dividir entre 11 para dar un entero. Tal caso usa uno de cinco enfoques:
- Digamos que 26 no se puede dividir por 11; la división se convierte en una función parcial.
- Proporcione una respuesta aproximada como una fracción decimal o un número mixto, o este es el enfoque generalmente utilizado en el cálculo numérico.
- Da la respuesta como una fracción que representa un número racional, por lo que el resultado de la división de 26 entre 11 es Pero, por lo general, la fracción resultante debe simplificarse: el resultado de la división de 52 entre 22 también lo es . Esta simplificación puede hacerse descompensando el mayor divisor común.
- Da la respuesta como un cociente entero y un resto , así que para hacer la distinción con el caso anterior, esta división, con dos enteros como resultado, a veces se denomina división euclidiana , porque es la base del algoritmo euclidiano.
- Proporcione el cociente entero como la respuesta, por lo que a veces se denomina división de enteros .
Dividir números enteros en un programa de computadora requiere un cuidado especial. Algunos lenguajes de programación, como C, tratan la división de enteros como en el caso 5 anterior, por lo que la respuesta es un número entero. Otros lenguajes, como MATLAB y cada sistema informático de álgebra, devuelven un número racional como respuesta, como en el caso 3 anterior. Estos idiomas también proporcionan funciones para obtener los resultados de los otros casos, ya sea directamente o a partir del resultado del caso 3.
Los nombres y símbolos utilizados para la división entera incluyen div, /, \ y%. Las definiciones varían con respecto a la división entera cuando el dividendo o el divisor es negativo: el redondeo puede ser hacia cero (llamada división T) o hacia -∞ (división F); Se pueden producir estilos más raros; consulte la operación del módulo para obtener más detalles.
Las reglas de divisibilidad a veces se pueden usar para determinar rápidamente si un entero se divide exactamente en otro.
De números racionales
El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. La división de dos números racionales p / q y r / s puede ser calculada como
Las cuatro cantidades son números enteros, y solo p puede ser 0. Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación.
De números reales
La división de dos números reales da como resultado otro número real cuando el divisor no es 0. Se define como a / b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.
Por cero
La división de cualquier número por cero (donde el divisor es cero) no está definida. Esto es porque cero multiplicado por cualquier número finito siempre resulta en un producto de cero. La entrada de dicha expresión en la mayoría de las calculadoras produce un mensaje de error.
De números complejos
La división de dos números complejos da como resultado otro número complejo cuando el divisor no es 0, que se encuentra utilizando el conjugado del denominador:
Este proceso de multiplicar y dividir por se llama 'realización' o (por analogía) racionalización. Las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales, y r y s no pueden ser 0.
La división de números complejos expresados en forma polar es más simple que la definición anterior:
De nuevo, las cuatro cantidades p , q , r , s son números reales, y r puede no ser 0.
De polinomios
Uno puede definir la operación de división para polinomios en una variable sobre un campo. Entonces, como en el caso de los enteros, uno tiene un resto. Véase la división euclidiana de polinomios y, para el cálculo escrito a mano, división larga polinomial o división sintética.
De matrices
Uno puede definir una operación de división para matrices. La forma habitual de hacerlo es definir A / B = AB , donde B denota el inverso de B , pero es mucho más común escribir AB explícitamente para evitar confusiones. Una división en elementos también se puede definir en términos del producto Hadamard.
División izquierda y derecha
Debido a la multiplicación de matrices no es conmutativa, también se puede definir una división izquierda o llamada backslash-división como A \ B = A B . Para que esto esté bien definido, B no necesita existir, sin embargo, A necesita existir. Para evitar confusiones, la división definida por A / B = AB a veces se denomina división derecha o división vertical en este contexto.
Tenga en cuenta que con las divisiones izquierda y derecha definidas de esta manera, A / ( BC ) no es en general igual que ( A / B ) / C y ni es ( AB ) \ C lo mismo que A \ ( B \ C ) , pero A / ( BC ) = ( A / C ) / B y ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .
Pseudoinverse
Para evitar problemas cuando A y / o B no existen, la división también puede definirse como la multiplicación con el pseudoinverso, es decir, A / B = AB y A \ B = A B , donde A y B denotan el pseudoinverso de A y B .
Álgebra abstracta
En álgebra abstracta, dado un magma con operación binaria * (que nominalmente podría denominarse multiplicación), la división izquierda de b por a (escrita a \ b ) se define típicamente como la solución x a la ecuación a * x = b , si esto existe y es único. Del mismo modo, la división derecha de b por a (por escrito b / a ) es la solución y a la ecuación y * a = b. La división en este sentido no requiere * tener propiedades particulares (como conmutatividad, asociatividad o un elemento de identidad).
"División" en el sentido de "cancelación" se puede hacer en cualquier magma por un elemento con la propiedad de cancelación. Los ejemplos incluyen álgebras de matriz y álgebras de cuaternión. Un cuasigrupo es una estructura en la que la división siempre es posible, incluso sin un elemento de identidad y, por lo tanto, inversas. En un dominio integral, donde no cada elemento tiene por qué tener una inversa, la división por un elemento cancellative una todavía se puede realizar en elementos de la forma ab o ca por cancelación de izquierda o derecha, respectivamente. Si un anillo es finito y cada elemento distinto de cero es cancelable, entonces mediante una aplicación del principio de casillero, cada elemento distinto del cero del anillo es invertible, y la división por cualquier elemento distinto de cero es posible. Para conocer cuándo las álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página sobre álgebras de división. En particular periodicidad Bott puede ser utilizado para mostrar que cualquier álgebra de división real de normado debe ser isomorfo a cualquiera de los números reales R , el número complejo C , los cuaterniones H , o el octoniones O .
Cálculo
La derivada del cociente de dos funciones viene dada por la regla del cociente:
