Fracción (matemáticas)

Definición

Un pastel con un cuarto (un cuarto) eliminado. Las tres cuartas restantes se muestran. Las líneas punteadas indican dónde se puede cortar el pastel para dividirlo en partes iguales. Cada cuarto de la torta se denota por la fracción 1/4 .

Una fracción (del latín fractus , "roto") representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier cantidad de partes iguales. Cuando se habla en inglés cotidiano, una fracción describe cuántas partes de cierto tamaño hay, por ejemplo, una mitad, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción común , vulgaro simple (ejemplos: y 17/3) consiste en un numerador entero que se muestra encima de una línea (o antes de una barra inclinada) y un denominador entero distinto de cero, que se muestra debajo (o después) de esa línea. Los numeradores y los denominadores también se usan en fracciones que no son comunes , incluidas las fracciones compuestas, las fracciones complejas y los números mixtos.

{\ tfrac {1} {2}}

Comenzamos con fracciones comunes positivas, donde el numerador y el denominador son números naturales. El numerador representa un número de partes iguales, y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. El denominador no puede ser cero porque cero partes nunca pueden formar un todo. Por ejemplo, en la fracción 3/4, el numerador, 3, nos dice que la fracción representa 3 partes iguales, y el denominador, 4, nos dice que 4 partes forman un todo. La imagen a la derecha ilustra o / 4 de un pastel.

{\ tfrac {3} {4}}

Una fracción común es un número que representa un número racional. Ese mismo número también se puede representar como un decimal, un porcentaje o con un exponente negativo. Por ejemplo, 0.01, 1% y 10 son iguales a la fracción 1/100. Se puede pensar que un número entero como el número 7 tiene un denominador implícito de uno: 7 es igual a 7/1.

Otros usos de las fracciones son representar proporciones y divisiones. Así, la fracción 3/4 también se utiliza para representar la relación de 3: 4 (la relación de la parte con el todo) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro). El denominador distinto de cero en el caso que usa una fracción para representar la división es un ejemplo de la regla de que la división por cero no está definida.

También podemos escribir fracciones negativas, que representan lo opuesto a una fracción positiva. Por ejemplo, si 1/2 representa una ganancia medio dólar, entonces - 1/2 representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo, que requieren que, por ejemplo, negativo dividido por positivo es negativo, - 1/2 , -1/2 , 1/-2 , y - -1/-2 todos representan el mismo fracción, mitad negativa. Como el negativo dividido entre negativo es positivo, -1/-2 representa la mitad positiva.

En matemáticas, el conjunto de todos los números que se pueden expresar en la forma a / b, donde a y b son números enteros yb no es cero, se llama conjunto de números racionales y se representa con el símbolo Q , que significa cociente. La prueba para que un número sea un número racional es que se puede escribir en esa forma (es decir, como una fracción común). Sin embargo, la palabra fracción también se utiliza para describir las expresiones matemáticas que no son números racionales, por ejemplo fracciones algebraicas (cocientes de expresiones algebraicas), y expresiones que contienen números irracionales, tales como √ 2 /2 (ver raíz cuadrada de 2) y π / 4 (ver prueba de que π es irracional).

Vocabulario

En una fracción, el número de partes iguales que se describen es el numerador (del latín numerātor , "contador" o "numberer"), y el tipo o variedad de las partes es el denominador (del latín dēnōminātor , "cosa que nombra o designa "). Como ejemplo, la fracción / 5 equivale a ocho partes, cada una de las cuales es del tipo llamado "quinta". En términos de división, el numerador corresponde al dividendo, y el denominador corresponde al divisor.

Informalmente, el numerador y el denominador se pueden distinguir por ubicación solo, pero en contextos formales siempre están separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en 1/3 ), oblicua (como en 1/5), o diagonal (como en / 9 ). Estas marcas se conocen respectivamente como la barra horizontal, la barra oblicua (US) o trazo (UK), la barra inclinada de división y la barra inclinada de fracción. En la tipografía, las fracciones horizontales también se conocen como "en" o "fracciones de tuerca" y las fracciones diagonales como "fracciones de em", en función del ancho de una línea que ocupan.

Los denominadores de fracciones en inglés generalmente se expresan como números ordinales, en plural si el numerador no es uno. (Por ejemplo, / 5 y / 5 se leen como un número de "quintos"). Las excepciones incluyen el denominador 2, que siempre se lee "mitad" o "mitades", el denominador 4, que puede expresarse alternativamente como " cuartos "/" cuartos "o como" cuartos "/" cuartos ", y el denominador 100, que alternativamente puede expresarse como" centésima "/" centésimas "o" porcentaje ". Cuando el denominador es 1, puede expresarse en términos de "totalidades", pero generalmente se ignora, y el numerador se lee como un número entero. (Por ejemplo, puede describirse como "tres enteros" o simplemente como "tres"). Cuando el numerador es uno, puede omitirse. (Por ejemplo, "una décima" o "cada trimestre").

La fracción completa se puede expresar como una composición única, en cuyo caso se divide en guiones, o como un número de fracciones con un numerador de una, en cuyo caso no lo son. (Por ejemplo, "dos quintas partes" es la fracción 2/5 y "dos quintas partes" es la misma fracción entendida como 2 casos de / 5 .) Las fracciones que deben ser siempre guión cuando se utiliza como adjetivos. Alternativamente, se puede describir una fracción leyéndola como el numerador "sobre" el denominador, con el denominador expresado como un número cardinal. (Por ejemplo, 3/1 también se puede expresar como "tres sobre uno".) El término "sobre" se usa incluso en el caso de fracciones de sólido, donde los números se colocan a la izquierda y a la derecha de una barra diagonal. (Por ejemplo, ½ puede leerse "one-media", "uno medio", o "uno sobre dos".) Las fracciones con grandes denominadores que son no potencias de diez a menudo se representan de esta manera (por ejemplo, 1/117 como "uno sobre ciento diecisiete") mientras que aquellos con denominadores divisibles por diez se leen normalmente en la forma ordinal normal (por ejemplo, 6/1,000,000 como "seis millonésimas", "seis millonésimas", o "seis uno millonésimas").

Formas de fracciones

Fracciones simples, comunes o vulgares

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar ) es un número racional escrito como a / b o , donde a y b son ambos enteros. Como con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Los ejemplos incluyen , , , , y 3/17. Las fracciones simples pueden ser positivas o negativas, apropiadas o impropias (ver más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mezclados y los decimales (ver abajo) no son fracciones simples , sin embargo, a menos que sean irracionales, se pueden evaluar a una fracción simple.

{\ tfrac {a} {b}}

{\ tfrac {1} {2}}

- {\ tfrac {8} {5}}

{\ tfrac {-8} {5}}

{\ tfrac {8} {- 5}}

Una fracción de unidad es una fracción común con un numerador de 1, p . Ej . Las fracciones unitarias también pueden expresarse con exponentes negativos, como en 2, que representa 1/2, y 2, que representa 1 / (2) o 1/4. ${\ tfrac {1} {7}}$
Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos, por ej . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {8}} = {\ tfrac {1} {2 ^ {3}}}}$

Fracciones apropiadas e impropias

Las fracciones comunes se pueden clasificar como apropiadas o impropias. Cuando el numerador y el denominador son ambos positivos, la fracción se llama adecuada si el numerador es menor que el denominador, e incorrecto de lo contrario. En general, se dice que una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que -1 y menor que 1. Se dice que es una fracción impropia o, a veces , la fracción más pesada , si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual que 1. Ejemplos de fracciones adecuadas son 2/3, -3/4 y 4/9; ejemplos de fracciones impropias son 9/4, -4/3 y 3/3.

Reciprocals y el "denominador invisible"

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. El recíproco de , por ejemplo, es . El producto de una fracción y su recíproco es 1, por lo tanto, el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción apropiada es incorrecto, y el recíproco de una fracción impropia no igual a 1, es decir, el numerador y el denominador no son iguales, es una fracción propia.

{\ tfrac {3} {7}}

{\ tfrac {7} {3}}

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales ( por ejemplo), su valor es 1 y, por lo tanto, la fracción es incorrecta. Su recíproco también tiene el valor 1, y es incorrecto también.

{\ displaystyle {\ tfrac {7} {7}}}

Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se puede escribir como , donde 1 se denomina a veces denominador invisible . Por lo tanto, cada fracción o entero, excepto cero, tiene un recíproco. El recíproco de 17 es .

{\ tfrac {17} {1}}

{\ tfrac {1} {17}}

Ratios

Una relación es una relación entre dos o más números que a veces se puede expresar como una fracción. Normalmente, varios elementos se agrupan y se comparan en una proporción, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las razones se expresan como "grupo 1 al grupo 2 ... al grupo n ". Por ejemplo, si un lote de automóviles tiene 12 vehículos, de los cuales

2 son blancos,
6 son rojos, y
4 son amarillas,

luego la proporción de autos rojos a blancos a amarillos es de 6 a 2 a 4. La proporción de autos amarillos a autos blancos es de 4 a 2 y puede expresarse como 4: 2 o 2: 1.

Una relación se convierte a menudo en una fracción cuando se expresa como una relación con el todo. En el ejemplo anterior, la proporción de autos amarillos a todos los autos en el lote es 4:12 o 1: 3. Podemos convertir estas proporciones a una fracción y decir que 4/12 de los automóviles o ⅓ de los autos en el lote son amarillos. Por lo tanto, si una persona escoge al azar un auto en el lote, entonces hay una en tres posibilidades o probabilidad de que sea amarillo.

Fracciones decimales y porcentajes

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador no se da explícitamente, pero se entiende que es una potencia entera de diez. Las fracciones decimales se expresan comúnmente usando notación decimal en la que el denominador implícito se determina por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal, cuya aparición (por ejemplo, un período, un período elevado (•), una coma) depende de la configuración regional (para ver ejemplos, vea separador decimal). Por lo tanto, para 0.75 el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 para la segunda potencia, es decir. 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3.75), la parte fraccionaria del número se expresa mediante los dígitos a la derecha del decimal (con un valor de 0,75 en este caso). 3.75 puede escribirse ya sea como una fracción impropia, 375/100, o como un número mixto, .

3 {\ tfrac {75} {100}}

Las fracciones decimales también se pueden expresar usando notación científica con exponentes negativos, como 6.023 × 10 , que representa 0.0000006023. El 10 representa un denominador de 10 . Dividiendo por 10 mueve el punto decimal 7 lugares a la izquierda.

Las fracciones decimales con infinitos dígitos a la derecha del separador decimal representan una serie infinita. Por ejemplo, ⅓ = 0.333 ... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Otro tipo de fracción es el porcentaje (en latín por ciento que significa "por cien", representado por el símbolo%), en el que el denominador implícito es siempre 100. Por lo tanto, el 51% significa 51/100. Los porcentajes superiores a 100 o inferiores a cero se tratan de la misma manera, por ejemplo, 311% es igual a 311/100, y -27% es igual a -27/100.

El concepto relacionado de permille o partes por mil (ppt) tiene un denominador implícito de 1000, mientras que las partes más generales por notación, como en 75 partes por millón (ppm), significa que la proporción es 75 / 1,000,000.

Si las fracciones comunes o fracciones decimales se utilizan a menudo es una cuestión de gusto y contexto. Las fracciones comunes se usan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Por cálculo mental, es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que hacer el mismo cálculo utilizando el equivalente decimal de la fracción (0.1875). Y es más preciso multiplicar 15 por 1/3, por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con el denominador 100, es decir, con dos decimales, por ejemplo $ 3.75. Sin embargo, como se señaló anteriormente, en monedas británicas anteriores a la decimales, los chelines y peniques solían tener la forma (pero no el significado) de una fracción, como, por ejemplo, 3/6 (léase "tres y seis"), que significa 3 chelines y 6 peniques y sin relación con la fracción 3/6.

Numeros mezclados

Un número mixto (también llamado fracción mixta o número mixto ) es una denotación tradicional de la suma de un número entero distinto de cero y una fracción propia (que tiene el mismo signo). Se usa principalmente en medidas: pulgadas, por ejemplo. Las mediciones científicas casi invariablemente usan notación decimal en lugar de números mixtos. La suma está implícita sin el uso de un operador visible como el "+" apropiado. Por ejemplo, al referirnos a dos tortas enteras y tres cuartos de otra tarta, los números que denotan la parte entera y la parte fraccionaria de los pasteles se escriben uno al lado del otro como en lugar de la notación inequívoca . Se tratan los números negativos negativos, como en me gusta

{\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {16}}}

2 {\ tfrac {3} {4}}

{\ displaystyle 2 + {\ tfrac {3} {4}}.}

-2 {\ tfrac {3} {4}}

{\ displaystyle - (2 + {\ tfrac {3} {4}}).}

Cualquiera de tales suma de un conjunto más una parte se puede convertir en una fracción impropia mediante la aplicación de las reglas de la adición a diferencia de cantidades.

Esta tradición está, formalmente, en conflicto con la notación en álgebra donde los factores adyacentes denotan un producto, sin un operador infijo explícito. Cuando dos expresiones algebraicas se escriben una al lado de la otra, la operación de multiplicación está implícita en esta regla general: siempre significa el producto de y , incluso si el valor de es una fracción. La expresión, por ejemplo, no es un número mixto, en cambio, se requiere expresamente la multiplicación, donde

2x

2

X

X

{\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}}

{\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}} = 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}.}

Para una mejor legibilidad, la multiplicación a veces se hace explícita o se agregan paréntesis. Entonces, puede escribirse como

{\ displaystyle 2 {\ tfrac {b} {c}}}

{\ displaystyle 2 \ cdot {\ tfrac {b} {c}}, \ quad}

o o

{\ displaystyle \ quad 2 \ times {\ tfrac {b} {c}}, \ quad}

{\ displaystyle \ quad 2 \ left ({\ tfrac {b} {c}} \ right), \; \ ldots}

Una fracción impropia se puede convertir en un número mixto de la siguiente manera:

divide el numerador entre el denominador. En el ejemplo, divida 11 entre 4. 11 ÷ 4 = 2 con el resto 3. ${\ tfrac {11} {4}}$
El cociente (sin el resto) se convierte en la parte del número entero del número mixto. El resto se convierte en el numerador de la parte fraccionaria. En el ejemplo, 2 es la parte entera del número y 3 es el numerador de la parte fraccionaria.
El nuevo denominador es el mismo que el denominador de la fracción impropia. En el ejemplo, ambos son 4. Por lo tanto . ${\ tfrac {11} {4}} = 2 {\ tfrac {3} {4}}$

Nociones históricas

Fracción egipcia

Una fracción egipcia es la suma de distintas fracciones de unidades positivas, por ejemplo . Esta definición deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaban todas las fracciones excepto , y de esta manera. Cada número racional positivo se puede expandir como una fracción egipcia. Por ejemplo, se puede escribir como Cualquier número racional positivo se puede escribir como una suma de fracciones de unidades de infinitas maneras. Dos formas de escribir son y .

{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {3}}

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {2} {3}}

{\ tfrac {3} {4}}

{\ tfrac {5} {7}}

{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {21}}.

{\ tfrac {13} {17}}

{\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {68}}

{\ tfrac {1} {3}} + {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {68}}

Fracciones 'complejas' y 'compuestas'

Ambas nociones están desactualizadas y hoy en día se usan de manera no bien definida, en parte incluso se toman como sinónimos o para números mixtos. Perdieron su significado como términos técnicos y los atributos "complejo" y "compuesto" tienden a ser utilizados en su significado cotidiano de "que consta de partes".

Fracciones complejas

No debe confundirse con fracciones que involucran números complejos

En una fracción compleja , el numerador o el denominador, o ambos, es una fracción o un número mixto, que corresponde a la división de fracciones. Por ejemplo, y son fracciones complejas. Para reducir una fracción compleja a una fracción simple, trate la línea de fracción más larga como representación de división. Por ejemplo:

{\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}}

{\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}}

{\ frac {\ tfrac {1} {2}} {\ tfrac {1} {3}}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {3} {1}} = {\ tfrac {3} {2}} = 1 {\ tfrac {1} {2}}

{\ frac {12 {\ tfrac {3} {4}}} {26}} = 12 {\ tfrac {3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {12 \ cdot 4 + 3} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac {51} {4}} \ cdot {\ tfrac {1} {26}} = {\ tfrac { 51} {104}}

{\ frac {\ tfrac {3} {2}} {5}} = {\ tfrac {3} {2}} \ times {\ tfrac {1} {5}} = {\ tfrac {3} {10} }

{\ displaystyle {\ frac {8} {\ tfrac {1} {3}}} = 8 \ times {\ tfrac {3} {1}} = 24.}

Si, en una fracción compleja, no hay una forma única de decir qué líneas de fracción tienen prioridad, entonces esta expresión está formada incorrectamente, debido a la ambigüedad. Entonces, 5/10/20/40 no es una expresión matemática válida, debido a múltiples interpretaciones posibles, por ejemplo, como

{\ displaystyle 5 / (10 / (20/40)) = {\ frac {5} {10 / {\ tfrac {20} {40}}}} = {\ frac {1} {4}} \ quad}

o como

{\ displaystyle \ quad (5/10) / (20/40) = {\ frac {\ tfrac {5} {10}} {\ tfrac {20} {40}}} = 1}

Fracciones compuestas

Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier cantidad de fracciones conectadas con la palabra de , correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, solo realice la multiplicación (vea la sección sobre multiplicación). Por ejemplo, de es una fracción compuesta, correspondiente a . Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y a veces uno se usa como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta es equivalente a la fracción compleja ).

{\ tfrac {3} {4}}

{\ tfrac {5} {7}}

{\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}} = {\ tfrac {15} {28}}

{\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ times {\ tfrac {5} {7}}}

{\ displaystyle {\ tfrac {3/4} {7/5}}}

Aritmética con fracciones

Al igual que los números enteros, las fracciones obedecen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva, y la regla contra la división por cero.

Fracciones equivalentes

Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero) da como resultado una fracción que es equivalente a la fracción original. Esto es cierto porque para cualquier número que no sea cero , la fracción . Por lo tanto, multiplicar por es equivalente a multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comience con la fracción . Cuando el numerador y el denominador se multiplican por 2, el resultado es , que tiene el mismo valor (0,5) que . Para imaginar esto visualmente, imagine cortar una torta en cuatro pedazos; dos de las piezas juntas ( ) constituyen la mitad de la torta ( ).

norte

{\ tfrac {n} {n}} = 1

{\ tfrac {n} {n}}

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {2} {4}}

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {2} {4}}

{\ tfrac {1} {2}}

Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero también arrojará una fracción equivalente. Esto se llama reducir o simplificar la fracción. Se dice que una fracción simple en la que el numerador y el denominador son coprimos (es decir, el único entero positivo que va uniformemente tanto en el numerador como en el denominador es 1) es irreductible, en términos más bajos o en términos más simples. Por ejemplo, no está en los términos más bajos porque tanto 3 como 9 se pueden dividir exactamente por 3. Por el contrario, está en los términos más bajos: el único entero positivo que entra en 3 y 8 de manera uniforme es 1.

{\ tfrac {3} {9}}

{\ tfrac {3} {8}}

Usando estas reglas, podemos mostrar que = = = .

{\ tfrac {5} {10}}

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {10} {20}}

{\ tfrac {50} {100}}

Una fracción común puede reducirse a los términos más bajos al dividir tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor. Por ejemplo, como el mayor divisor común de 63 y 462 es 21, la fracción puede reducirse a los términos más bajos al dividir el numerador y el denominador entre 21:

{\ tfrac {63} {462}}

{\ tfrac {63} {462}} = {\ tfrac {63 \ div 21} {462 \ div 21}} = {\ tfrac {3} {22}}

El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el mayor divisor común de dos enteros positivos.

Comparando fracciones

La comparación de fracciones con el mismo denominador positivo arroja el mismo resultado que la comparación de los numeradores:

{\ tfrac {3} {4}}> {\ tfrac {2} {4}}

porque 3> 2 , y los denominadores iguales son positivos.

4

Si los denominadores equivalentes son negativos, el resultado opuesto de comparar los numeradores se cumple para las fracciones:

{\ displaystyle {\ tfrac {3} {- 4}} <{\ tfrac {2} {- 4}}}

porque y .

{\ displaystyle {\ tfrac {a} {- b}} = {\ tfrac {-a} {b}}}

{\ displaystyle -3 <-2}

Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador más pequeño es el número más grande. Cuando un todo se divide en partes iguales, si se necesitan menos piezas iguales para formar el todo, entonces cada pieza debe ser más grande. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan el mismo número de partes, pero en la fracción con el denominador más pequeño, las partes son más grandes.

Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar y , estos se convierten en y . Entonces bd es un denominador común y los numeradores ad y bc se pueden comparar. Esta modificación de las dos fracciones se conoce como "multiplicación cruzada", y no es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones: uno puede simplemente comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparando ? da .

{\ tfrac {a} {b}}

{\ tfrac {c} {d}}

{\ displaystyle {\ tfrac {a \ cdot d} {b \ cdot d}}}

{\ displaystyle {\ tfrac {b \ cdot c} {b \ cdot d}}}

{\ tfrac {2} {3}}

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {4} {6}}> {\ tfrac {3} {6}}

Para la pregunta más laboriosa ? multiplicar la parte superior e inferior de cada fracción por el denominador de la otra fracción, para obtener un denominador común, ¿ ceder ? . No es necesario calcular , solo se deben comparar los numeradores. Como 5 × 17 (= 85) es mayor que 4 × 18 (= 72), el resultado de comparar es .

{\ tfrac {5} {18}}

{\ displaystyle {\ tfrac {4} {17}},}

{\ tfrac {5 \ times 17} {18 \ times 17}}

{\ displaystyle {\ tfrac {18 \ times 4} {18 \ times 17}}}

{\ displaystyle 18 \ times 17}

{\ tfrac {5} {18}}> {\ tfrac {4} {17}}

Como cada número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y cada número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.

Adición

La primera regla de adición es que solo se pueden agregar cantidades similares; por ejemplo, varias cantidades de cuartos. A diferencia de las cantidades, como agregar tercios a cuartos, primero debe convertirse en cantidades similares a las que se describen a continuación: Imagine un bolsillo que contiene dos cuartos, y otro bolsillo que contiene tres cuartos; en total, hay cinco trimestres. Dado que cuatro trimestres es equivalente a uno (dólar), esto se puede representar de la siguiente manera:

{\ tfrac {2} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {5} {4}} = 1 {\ tfrac {1} {4}}

Si se va a agregar un pastel a un pastel, las piezas deben convertirse en cantidades comparables, como los octavos de torta o los cuartos de las tartas.

{\ tfrac {1} {2}}

{\ tfrac {1} {4}}

Agregar cantidades diferentes

Para agregar fracciones que contienen cantidades diferentes (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades a cantidades similares. Es fácil calcular el tipo de fracción elegido para convertir; simplemente multiplique juntos los dos denominadores (número inferior) de cada fracción. En caso de un número entero, aplique el denominador invisible

1.

Para agregar trimestres a tercios, ambos tipos de fracción se convierten en duodécimas, por lo tanto:

{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} \ + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1 \ times 3} {4 \ times 3}} \ + {\ frac {1 \ veces 4} {3 \ times 4}} = {\ frac {3} {12}} \ + {\ frac {4} {12}} = {\ frac {7} {12}}.}

Considere agregar las siguientes dos cantidades:

{\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

En primer lugar, convertir en quinceavos multiplicando el numerador y el denominador por tres: . Dado que es igual a 1, la multiplicación por no cambia el valor de la fracción.

{\ tfrac {3} {5}}

{\ tfrac {3} {5}} \ times {\ tfrac {3} {3}} = {\ tfrac {9} {15}}

{\ tfrac {3} {3}}

{\ tfrac {3} {3}}

En segundo lugar, convertir en quinceavos multiplicando el numerador y el denominador por cinco: .

{\ tfrac {2} {3}}

{\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {5} {5}} = {\ tfrac {10} {15}}

Ahora se puede ver que:

{\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

es equivalente a:

{\ displaystyle {\ frac {9} {15}} + {\ frac {10} {15}} = {\ frac {19} {15}} = 1 {\ frac {4} {15}}}

Este método puede expresarse algebraicamente:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + cb} {bd}}}

Y para expresiones que consisten en la adición de tres fracciones:

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} + {\ frac {e} {f}} = {\ frac {a (df) + c (bf) + e (bd)} {bdf}}}

Este método siempre funciona, pero a veces hay un denominador más pequeño que se puede usar (un denominador común mínimo). Por ejemplo, para agregar y se puede usar el denominador 48 (el producto de 4 y 12), pero también se puede usar el denominador más pequeño 12, que es el múltiplo menos común de 4 y 12.

{\ tfrac {3} {4}}

{\ tfrac {5} {12}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {4}} + {\ frac {5} {12}} = {\ frac {9} {12}} + {\ frac {5} {12}} = {\ frac {14} {12}} = {\ frac {7} {6}} = 1 {\ frac {1} {6}}}

Sustracción

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que para sumarlas: encuentre un denominador común y cambie cada fracción por una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador, y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

{\ tfrac {2} {3}} - {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {4} {6}} - {\ tfrac {3} {6}} = {\ tfrac {1} {6}}

Multiplicación

Multiplicar una fracción por otra fracción

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. Así:

{\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {12}}

Para explicar el proceso, considere un tercio de un trimestre. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas del mismo tamaño conforman un cuarto, y cuatro cuartos forman un todo, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales forman un todo. Por lo tanto, un tercio de un cuarto es un duodécimo. Ahora considera los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es dos veces más grande que un tercio. Como un tercio de un cuarto es un doceavo, dos tercios de un cuarto son dos doceavos. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces más grande que un trimestre, por lo que dos tercios de los tres cuartos es tres veces más grande que dos tercios de un trimestre. Por lo tanto, dos tercios veces tres cuartos son seis doceavos.

Un atajo para multiplicar fracciones se llama "cancelación". Efectivamente, la respuesta se reduce a los términos más bajos durante la multiplicación. Por ejemplo:

{\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {{\ cancelar {2}} ^ {~ 1}} {{\ cancelar {3}} ^ { ~ 1}}} \ times {\ tfrac {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}} {{cancelar {4}} ^ {~ 2}}} = {\ tfrac {1} {1}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {2}}

Un dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción izquierda como en el denominador del derecho y se divide entre ambos. Tres es un factor común del denominador izquierdo y el numerador derecho y se divide entre ambos.

Multiplicar una fracción por un número entero

Dado que un número entero puede reescribirse como dividido por 1, las reglas de multiplicación de fracciones normales aún se pueden aplicar.

6 \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {1}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {18} {4}}

Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un todo.

Multiplicando números mixtos

Al multiplicar números mixtos, se considera preferible convertir el número mixto en una fracción impropia. Por ejemplo:

3 \ times 2 {\ tfrac {3} {4}} = 3 \ times \ left ({\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} \ right) = 3 \ times { \ tfrac {11} {4}} = {\ tfrac {33} {4}} = 8 {\ tfrac {1} {4}}

En otras palabras, es lo mismo que , hacer 11 trimestres en total (porque 2 pasteles, cada uno dividido en cuartos hace 8 cuartos en total) y 33 trimestres es , ya que 8 pasteles, cada uno hecho de cuartos, es 32 trimestres en total.

2 {\ tfrac {3} {4}}

{\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}}

8 {\ tfrac {1} {4}}

División

Para dividir una fracción por un número entero, puedes dividir el numerador por el número, si va uniformemente en el numerador, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo, equals y también equals , que se reduce a . Para dividir un número por una fracción, multiplica ese número por el recíproco de esa fracción. Por lo tanto, .

{\ tfrac {10} {3}} \ div 5

{\ tfrac {2} {3}}

{\ tfrac {10} {3 \ cdot 5}} = {\ tfrac {10} {15}}

{\ tfrac {2} {3}}

{\ tfrac {1} {2}} \ div {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {4} {3}} = {\ tfrac { 1 \ cdot 4} {2 \ cdot 3}} = {\ tfrac {2} {3}}

Conversión entre decimales y fracciones

Para cambiar una fracción común por un decimal, haga una división larga de las representaciones decimales del numerador por el denominador (esto también está expresado idiomáticamente como "divida el denominador en el numerador"), y redondee la respuesta a la precisión deseada. Por ejemplo, para cambiar ¼ a un decimal, divida por (" en "), para obtener . Para cambiar ⅓ a un decimal, divida por (" en "), y deténgalo cuando se obtenga la precisión deseada, por ejemplo, en decimales con . Tenga en cuenta que ¼ puede escribirse exactamente con dos dígitos decimales, mientras que la fracción ⅓ no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos. Para cambiar un decimal a una fracción, escriba en el denominador un

1.00

4

4

1.00

{\ displaystyle 0.25}

{\ displaystyle 1,000 ...}

3

3

{\ displaystyle 1.0000 ...}

4

{\ displaystyle 0.3333}

1

seguido de tantos ceros como dígitos hay a la derecha del punto decimal, y escriba en el numerador todos los dígitos del decimal original, simplemente omitiendo el punto decimal. Así

{\ displaystyle 12.3456 = {\ tfrac {123456} {10000}}.}

Conversión de decimales repetidos en fracciones

Los números decimales, aunque podría decirse que son más útiles para trabajar cuando se realizan cálculos, a veces carecen de la precisión que tienen las fracciones comunes. Algunas veces se requieren infinitos decimales repetidos para alcanzar la misma precisión. Por lo tanto, a menudo es útil convertir decimales repetidos en fracciones.

La forma preferida de indicar un decimal repetido es colocar una barra sobre los dígitos que se repiten, por ejemplo 0. 789 = 0.789789789 ... Para patrones repetitivos donde el patrón de repetición comienza inmediatamente después del punto decimal, una división simple del patrón por el mismo número de nueves como números que tiene será suficiente. Por ejemplo:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

En caso de que los ceros a la izquierda precedan al patrón, los nueves tienen el sufijo de la misma cantidad de ceros finales:

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

En caso de que un conjunto no repetitivo de decimales preceda al patrón (como 0.1523 987 ), podemos escribirlo como la suma de las partes no repetitivas y repetitivas, respectivamente:

0.1523 + 0.0000 987

Luego, convierta ambas partes en fracciones y agréguelas usando los métodos descritos anteriormente:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

Alternativamente, se puede usar álgebra, como a continuación:

Deje x = el decimal que se repite:

x = 0.1523 987

Multiplique ambos lados por la potencia de 10 lo suficientemente grande (en este caso 10) para mover el punto decimal justo antes de la parte repetitiva del número decimal:

10,000x = 1,523. 987

Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10) que es igual a la cantidad de lugares que se repiten:

10,000,000x = 1,523,987. 987

Reste las dos ecuaciones entre sí (si a = b y c = d , luego a - c = b - d ):

10,000,000x - 10,000x = 1,523,987. 987 - 1,523. 987

Continúa la operación de resta para borrar el decimal que se repite:

9,990,000x = 1,523,987 - 1,523
9,990,000x = 1,522,464

Divida ambos lados por 9.990,00 para representar x como una fracción

x = 1522464/9990000

Fracciones en matemática abstracta

Además de ser de gran importancia práctica, las fracciones también son estudiadas por los matemáticos, quienes verifican que las reglas para las fracciones dadas arriba sean consistentes y confiables. Los matemáticos definen una fracción como un par ordenado de enteros y para la cual las operaciones suma, resta, multiplicación y división se definen de la siguiente manera:

(a, b)

un

{\ displaystyle b \ neq 0,}

(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) \,

(a, b) - (c, d) = (ad-bc, bd) \,

(a, b) \ cdot (c, d) = (ac, bd)

{\ displaystyle (a, b) \ div (c, d) = (ad, bc) \ quad ({\ text {with, adicionalmente,}} c \ neq 0)}

Estas definiciones concuerdan en todos los casos con las definiciones dadas anteriormente; solo la notación es diferente. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones "inversas" con respecto a la suma y la multiplicación se pueden definir como:

{\ displaystyle {\ begin {array} {llrrl} & - (a, b) & = & (- a, b) & \ quad {\ text {fracciones inversa aditivas,}} \\ &&&& \ quad {\ text { con}} (0, b) {\ text {como unidades aditivas, y}} \\ & \; \; \ (a, b) ^ {- 1} & = & (b, a) & \ quad {\ texto {fracciones inversas multiplicativas, para}} a \ neq 0, \\ &&&& \ quad {\ text {with}} (b, b) {\ text {como unidades multiplicativas}}. \ end {array}}}

Además, la relación, especificada como

{\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ quad \ iff \ quad ad = bc,}

es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia se puede considerar como un representante para toda la clase, y cada clase completa se puede considerar como una fracción abstracta. Esta equivalencia se conserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar en fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para la suma de fracciones

{\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ quad}

e implica

{\ displaystyle \ quad (c, d) \ sim (c ', d') \ quad}

{\ displaystyle ((a, b) + (c, d)) \ sim ((a ', b') + (c ', d'))}

y de manera similar para las otras operaciones.

En el caso de fracciones de enteros, las fracciones con coprime a menudo se toman como representantes determinados de forma única para sus fracciones equivalentes , que se consideran como el mismo número racional. De esta forma, las fracciones de números enteros forman el campo de los números racionales.

(a, b)

Más en general, una y b pueden ser elementos de cualquier dominio integral R , en cuyo caso una fracción es un elemento del campo de fracciones de R . Por ejemplo, polinomios en una indeterminada, con coeficientes de algún dominio integral D , son en sí mismas un dominio de integridad, llamarlo P . Así que para una y b elementos de P , el generado de fracciones es el campo de fracciones racionales (también conocido como el campo de funciones racionales).

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. Al igual que con las fracciones de enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son y . Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas propiedades de campo que las fracciones aritméticas.

{\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}

{\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}

Si el numerador y el denominador son polinomios, como en , la fracción algebraica se llama una fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es aquella que no es racional, como, por ejemplo, una que contiene la variable bajo un exponente o raíz fraccional, como en .

{\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}

{\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}

La terminología utilizada para describir las fracciones algebraicas es similar a la utilizada para las fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en los términos más bajos si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y -1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como , se llama una fracción compleja .

{\ frac {1 + {\ tfrac {1} {x}}} {1 - {\ tfrac {1} {x}}}}

El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los enteros, mientras que los enteros en sí mismos no son un campo sino un dominio integral. Del mismo modo, las expresiones racionales son el campo de fracciones de polinomios. Existen diferentes dominios integrales de polinomios, dependiendo del dominio integral del que provienen los coeficientes de los polinomios (por ejemplo, de enteros, números reales, números complejos, ...). Teniendo en cuenta el campo de fracciones generadas por polinomios con coeficientes reales, las expresiones radicales como son también fracciones racionales, como es la expresión trascendental , ya que todos y son polinomios (constantes) sobre los reales

{\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}} / 2}

\ pi / 2

{\ displaystyle {\ sqrt {2}}, \ pi,}

2

. Sin embargo, estas mismas expresiones no se considerarían elementos del campo de fracciones generadas por polinomios con coeficientes enteros . Este campo específico contendría solo el de los tres polinomios anteriores, o como fracción, pero sin expresiones radicales o trascendentales.

2

1/2

El término fracción parcial se usa al descomponer expresiones racionales en sumas. El objetivo es escribir la expresión racional como la suma de otras expresiones racionales con denominadores de menor grado. Por ejemplo, la expresión racional puede ser reescrita como la suma de dos fracciones: . Esto es útil en muchas áreas, como el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales.

{\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x + 1}} + {\ frac {1} {x-1}}}

Expresiones radicales

Una fracción también puede contener radicales en el numerador y / o el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede ser útil racionalizarlo (compare la forma simplificada de una expresión radical), especialmente si se llevan a cabo otras operaciones, como agregar o comparar esa fracción a otra. También es más conveniente si la división se debe hacer manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomial, se puede racionalizar multiplicando tanto la parte superior como la inferior de la fracción por el denominador:

{\ frac {3} {\ sqrt {7}}} = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}}} = {\ frac {3 {\ sqrt {7}}} {7}}

El proceso de racionalización de los denominadores binomiales implica multiplicar la parte superior y la parte inferior de una fracción por el conjugado del denominador, de modo que el denominador se convierta en un número racional. Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}} \ cdot {\ frac {3+ 2 {\ sqrt {5}}} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9 + 6 {\ sqrt {5}}} {11}}}

{\ displaystyle {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3- 2 {\ sqrt {5}}} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9-6 {\ sqrt {5}}} {11}}}

Incluso si este proceso da como resultado que el numerador sea irracional, como en los ejemplos anteriores, el proceso aún puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir el número de irracionales con los que se tiene que trabajar en el denominador.

Variaciones tipográficas

En las pantallas de computadora y la tipografía, las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, por ejemplo, ½ (una mitad). Consulte el artículo sobre Formularios numéricos para obtener información sobre cómo hacer esto en Unicode.

La publicación científica distingue cuatro formas de establecer fracciones, junto con pautas de uso:

fracciones especiales: fracciones que se presentan como un carácter único con una barra inclinada, con aproximadamente la misma altura y anchura que otros caracteres en el texto. Generalmente se usa para fracciones simples, como: ½, ⅓, ⅔, ¼, y ¾. Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede ser un problema, especialmente para las fuentes de pequeño tamaño. Estos no se usan en la notación matemática moderna, pero en otros contextos.
fracciones de caso: similares a las fracciones especiales, se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, lo que las hace verticales . Un ejemplo sería , pero se representará con la misma altura que otros personajes. Algunas fuentes incluyen todas las representaciones de fracciones como fracciones de caso si toman solo un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. ${\ tfrac {1} {2}}$
fracciones shilling o solidus: 1/2, llamada así porque esta notación se usó para la divisa británica anterior a decimales (£ sd), como en 2/6 para una media corona, lo que significa dos chelines y seis peniques. Mientras que la notación "dos chelines y seis peniques" no representaba una fracción, la barra diagonal se usa ahora en fracciones, especialmente para las fracciones en línea con la prosa (en lugar de mostrarse), para evitar líneas irregulares. También se usa para fracciones dentro de fracciones (fracciones complejas) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de piezas , están escritas todas en una sola línea tipográfica, pero toman 3 o más espacios tipográficos.
urbanizadas fracciones . Esta notación utiliza dos o más líneas de texto ordinario, y da como resultado una variación en el espaciado entre líneas cuando se incluye dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden ser perjudiciales, particularmente para fracciones simples o dentro de fracciones complejas. ${\ frac {1} {2}}$

Historia

Las primeras fracciones eran recíprocas de enteros: símbolos antiguos que representan una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, y así sucesivamente. Los egipcios usaban fracciones egipcias. 1000 bc . Hace unos 4000 años, los egipcios se dividieron con fracciones usando métodos ligeramente diferentes. Usaron múltiplos mínimos comunes con fracciones unitarias. Sus métodos dieron la misma respuesta que los métodos modernos. Los egipcios también tenían una notación diferente para fracciones diádicas en la tableta de madera Akhmim y varios problemas de Papiro matemático Rhind.

Los griegos usaron fracciones unitarias y (más tarde) fracciones continuas. Los seguidores del filósofo griego Pitágoras (hacia 530 ac ) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no puede expresarse como una fracción de enteros. (Es probable que esto se asigne erróneamente a Hippasus de Metapontum, de quien se dice que fue ejecutado por revelar este hecho). En 150 ac, los matemáticos jainistas de la India escribieron el "Sthananga Sutra", que contiene trabajo sobre la teoría de los números, operaciones aritméticas. y operaciones con fracciones.

Una expresión moderna de fracciones conocidas como bhinnarasi parece haberse originado en la India en el trabajo de Aryabhatta (c. ad 500 ), Brahmagupta (c. 628 ), y Bhaskara (c. 1150 ). Sus obras forman fracciones al colocar los numeradores (sánscrito: amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. En la literatura sánscrita, las fracciones siempre se expresaban como una suma o resta de un número entero. El número entero se escribió en una línea y la fracción en sus dos partes en la línea siguiente. Si la fracción fue marcada con un círculo pequeño ⟨0⟩ o cruz ⟨+⟩, se resta del número entero; si no aparece dicho signo, se entiende que se agrega. Por ejemplo, Bhaskara I escribe

6 1 2

1 1 1 0

4 5 9

que es el equivalente de

6 1 2

1 1 -1

4 5 9

y sería escrito en notación moderna como 6 1/4 , 1 1/5 , y 2- 1/9 (es decir, 1 8/9 ).

La barra de fracción horizontal está atestiguada por primera vez en la obra de Al-Hassar ( fl. 1200 ), un matemático musulmanes de Fez, Marruecos, que se especializó en la jurisprudencia de la herencia islámica. En su discusión escribe: "... por ejemplo, si le piden que escriba tres quintos y un tercio de un quinto, escriba así, ". La misma notación fraccional, con la fracción dada antes del entero, aparece poco después en el trabajo de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII.

{\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}}

Al discutir los orígenes de las fracciones decimales, Dirk Jan Struik afirma:

"La introducción de fracciones decimales como práctica computacional común puede remontarse al folleto flamenco De Thiende , publicado en Leyden en 1585, junto con una traducción francesa, La Disme , del matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), luego se asentaron en el norte de los Países Bajos. Es cierto que los chinos usaron fracciones decimales muchos siglos antes que Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī utilizó fracciones decimales y sexagesimales con gran facilidad en su clave de la aritmética (Samarcanda, principios del siglo XV) "

Mientras que el matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales en el siglo XV, J. Lennart Berggren señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes por el matemático Baghdadi Abu'l-Hasan al -Uqlidisi ya en el siglo X.

Educación informal

Herramientas pedagógicas

En las escuelas primarias, se han demostrado fracciones a través de varillas de Cuisenaire, barras de fracciones, tiras de fracciones, círculos de fracción, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones, piezas en forma de pastel, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel cuadriculado, geoboards, contadores y software de ordenador.

Documentos para profesores

Varios estados en los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las pautas de la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de una fracción: "Un número expresable en la forma donde está un número entero y es un número entero positivo. (La fracción de palabras en los estándares siempre se refiere a un número no negativo.) "El documento en sí mismo también se refiere a fracciones negativas.

{\ tfrac {a} {b}}

un

segundo

Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics)

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