Series (matemáticas)

Definición

En matemáticas, una serie es, en términos generales, una descripción de la operación de agregar infinitamente muchas cantidades, una después de otra, a una cantidad inicial determinada. El estudio de series es una parte importante del cálculo y su generalización, análisis matemático. Las series se usan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas (como en combinatoria), a través de funciones de generación. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas también se utilizan ampliamente en otras disciplinas cuantitativas como la física, la informática, las estadísticas y las finanzas.

Durante mucho tiempo, la idea de que una suma tan potencialmente infinita podría producir un resultado finito fue considerada paradójica por matemáticos y filósofos. Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XIX. La paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón ilustra esta propiedad contraintuitiva de sumas infinitas: Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga alcanza una segunda posición; cuando alcanza esta segunda posición, la tortuga se encuentra en una tercera posición, y así sucesivamente. Zeno concluyó que Aquiles nunca podría llegar a la tortuga, y por lo tanto ese movimiento no existe. Zeno dividió la raza en infinitas subrazas, cada una requiriendo una cantidad de tiempo finita, de modo que el tiempo total para que Aquiles atrape la tortuga es dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, que da el tiempo necesario para que Aquiles atrape a la tortuga.

En la terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) de términos (es decir, números, funciones o cualquier cosa que se pueda agregar) define una serie, que es la operación de sumar una después de la otra. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie se puede llamar una serie infinita . Tal serie es representada (o denotada) por una expresión como

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}

ai}

{\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots,}

o, usando el signo de suma,

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i}.}

La secuencia infinita de adiciones implícitas en una serie no se puede llevar a cabo de manera efectiva (al menos en un período de tiempo finito). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor a una serie, llamada suma de la serie. Este valor es el límite ya que

n

tiende a infinito (si el límite existe) de las sumas finitas de los

n

primeros términos de la serie, que se llaman en las sumas parciales de la serie. Es decir,

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}.}

Cuando existe este límite, uno dice que la serie es convergente o sumable , o que la secuencia es sumable . En este caso, el límite se llama suma de la serie . De lo contrario, la serie se dice que es divergente .

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots)}

En general, los términos de una serie provienen de un anillo, a menudo el campo de los números reales o el campo de los números complejos. En este caso, el conjunto de todas las series es en sí mismo un anillo (e incluso un álgebra asociativa), en el que la adición consiste en agregar la serie término por término, y la multiplicación es el producto de Cauchy.

{\ mathbb R}

{\ mathbb C}

Propiedades básicas

Una serie infinita o simplemente una serie es una suma infinita, representada por una expresión infinita de la forma

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots,}

¿Dónde está una secuencia ordenada de términos, como números, funciones o cualquier otra cosa que pueda agregarse (un grupo abeliano). Esta es una expresión que se obtiene de la lista de términos colocándolos uno al lado del otro, y combinándolos con el símbolo "+". Una serie también se puede representar mediante el uso de la notación de suma, como

(un})

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, \ dots}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}

Si un grupo abeliano Una de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si se trata de un espacio métrico), a continuación, algunas series, la serie convergente, puede ser interpretado como que tiene un valor de A , llamada la suma de la serie . Esto incluye los casos comunes de cálculo en los que el grupo es el campo de números reales o el campo de números complejos. Dada una serie su k ésimo suma parcial es

{\ displaystyle s = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n},}

{\ displaystyle s_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + \ cdots + a_ {k}.}

Por definición, la serie converge al límite

L

(o simplemente resume a

L

), si la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite

L

. En este caso, uno generalmente escribe

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}

{\ displaystyle L = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}

Se dice que una serie es convergente si converge a algún límite o divergente cuando no lo hace. El valor de este límite, si existe, es entonces el valor de la serie.

Serie convergente

Ilustración de 3 series geométricas con sumas parciales de 1 a 6 términos. La línea punteada representa el límite.

Se dice que una serie

Σ a n

converge o es convergente cuando la secuencia

(s k)

de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de

s k

es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando existe el límite de sumas parciales, se denomina valor (o suma) de la serie

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ lim _ {k \ to \ infty} s_ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ sum _ { n = 0} ^ {k} a_ {n}.}

Una manera fácil en que una serie infinita puede converger es si todas las a n son cero para n suficientemente grandes. Tal serie se puede identificar con una suma finita, por lo que solo es infinita en un sentido trivial.

Trabajar las propiedades de las series que convergen incluso si infinitos términos no son cero es la esencia del estudio de series. Considera el ejemplo

1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + \ cdots + {\ frac {1} {2 ^ {n} }} + \ cdots.

Es posible "visualizar" su convergencia en la recta numérica real: podemos imaginar una línea de longitud 2, con segmentos sucesivos marcados en longitudes 1, ½, ¼, etc. Siempre hay espacio para marcar el siguiente segmento, porque la cantidad de línea restante es siempre la misma que el último segmento marcado: cuando hemos marcado ½, todavía tenemos un trozo de longitud ½ sin marcar, por lo que ciertamente podemos marcar el siguiente ¼. Este argumento no prueba que la suma sea igual a 2 (aunque lo es), pero demuestra que es como máximo 2. En otras palabras, la serie tiene un límite superior. Dado que la serie converge, probar que es igual a 2 requiere solo álgebra elemental. Si la serie se denota

S

, se puede ver que

S / 2 = {\ frac {1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + \ cdots} {2}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {16}} + \ cdots.

Por lo tanto,

{\ displaystyle SS / 2 = 1 \ Rightarrow S = 2.}

Los matemáticos extienden la expresión discutida anteriormente a otras nociones equivalentes de series. Por ejemplo, cuando hablamos de un decimal recurrente, como en

{\ displaystyle x = 0.111 \ dots}

estamos hablando, de hecho, acerca de la serie

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}}.

Pero dado que estas series siempre convergen a números reales (debido a lo que se llama la propiedad de completitud de los números reales), hablar sobre la serie de esta manera es lo mismo que hablar sobre los números que representan. En particular, la expansión decimal 0.111 ... se puede identificar con / 9 . Esto lleva a un argumento que 9 × 0.111 ... = 0.999 ... = 1 , que solo se basa en el hecho de que las leyes de límite para series conservan las operaciones aritméticas; este argumento se presenta en el artículo 0.999 ....

Ejemplos de series numéricas

Una serie geométrica es aquella en la que cada término sucesivo se produce al multiplicar el término anterior por un número constante (denominado razón común en este contexto). Ejemplo:

1+ {1 \ over 2} + {1 \ over 4} + {1 \ over 8} + {1 \ over 16} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {1 \ over 2 ^ {n}}.

En general, la serie geométrica

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n}

converge si y solo si .

{\ textstyle | z | <1}

Una serie aritmético-geométrica es una generalización de la serie geométrica, que tiene coeficientes de la razón común igual a los términos en una secuencia aritmética. Ejemplo:

3+ {5 \ over 2} + {7 \ over 4} + {9 \ over 8} + {11 \ over 16} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(3+ 2n) \ over 2 ^ {n}}.

La serie armónica es la serie

1+ {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} + {1 \ over 5} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {1 \ over norte}.

La serie armónica es divergente.

Una serie alterna es una serie donde los términos alternan signos. Ejemplos:

{\ displaystyle 1- {1 \ over 2} + {1 \ over 3} - {1 \ over 4} + {1 \ over 5} - \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ left (-1 \ right) ^ {n-1} \ over n} = \ ln (2) \ quad}

(serie alterna de armónicos)

{\ displaystyle -1 + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} - {\ frac {1} {9}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (-1 \ right) ^ {n}} {2n-1}} = - {\ frac {\ pi} {4 }}}

La p- serie

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {r}}}

converge si r > 1 y diverge para r ≤ 1, que se puede mostrar con el criterio integral descrito a continuación en las pruebas de convergencia. Como función de r , la suma de esta serie es la función zeta de Riemann.

Una serie telescópica

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (b_ {n} -b_ {n + 1})

converge si la secuencia b n converge a un límite L cuando n va al infinito. El valor de la serie es entonces b 1 - L .

Hay algunas series elementales cuya convergencia aún no se conoce / prueba. Por ejemplo, se desconoce si la serie Flint Hills

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ csc ^ {2} n} {n ^ {3}}}

converge o no. La convergencia depende de qué tan bien se puede aproximar con números racionales (que aún se desconoce). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de los convergentes de fracción continua de , una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993, ... (secuencia A046947 en el OEIS) . Estos son enteros que están cerca de algún entero n , por lo que está cerca de 0 y su recíproco es grande. Alekseyev (2011) demostró que si la serie converge, entonces la medida de irracionalidad de es menor que 2.5, que es mucho más pequeña que el límite conocido actual de 7.6063 ....

\Pi

\Pi

{\ displaystyle n \ pi}

{\ displaystyle \ sin n \ pi}

\Pi

π

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {i ^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac { 1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i + 1} (4)} {2i-1}} = {\ frac {4} {1} } - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {4} {5}} - {\ frac {4} {7}} + {\ frac {4} {9}} - {\ frac { 4} {11}} + {\ frac {4} {13}} - \ cdots = \ pi}

Logaritmo natural de 2

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i + 1}} {i}} = \ ln 2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2i + 1) (2i + 2)}} = \ ln 2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} {(i + 1) (i + 2)}} = 2 \ ln (2) - 1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {i (4i ^ {2} -1)}} = 2 \ ln (2) -1}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {i} i}} = \ ln 2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {infty} \ left ({\ frac {1} {3 ^ {i}}} + {\ frac {1} {4 ^ {i}}} \ right ) {\ frac {1} {i}} = \ ln 2}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2i (2i-1)}} = \ ln 2}

Base de logaritmo natural e

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} {i!}} = 1 - {\ frac {1} {1!}} + { \ frac {1} {2!}} - {\ frac {1} {3!}} + \ cdots = {\ frac {1} {e}}}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {1} {0!}} + {\ frac {1} {1!} } + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + {\ frac {1} {4!}} + \ cdots = e}

Cálculo y suma parcial como una operación en secuencias

La suma parcial toma como entrada una secuencia, { a n }, y da como resultado otra secuencia, { S N }. Por lo tanto, es una operación unaria en secuencias. Además, esta función es lineal, y por lo tanto es un operador lineal en el espacio vectorial de secuencias, denotado Σ. El operador inverso es el operador de diferencia finita, Δ. Estos se comportan como análogos discretos de integración y diferenciación, solo para series (funciones de un número natural) en lugar de funciones de una variable real. Por ejemplo, la secuencia {1, 1, 1, ...} tiene series {1, 2, 3, 4, ...} como su suma parcial, que es análoga al hecho de que

\ int _ {0} ^ {x} 1 \, dt = x.

En informática se conoce como suma de prefijos.

Propiedades de la serie

Las series se clasifican no solo según si convergen o divergen, sino también por las propiedades de los términos a n (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (puntual, uniforme); la clase del término a n (ya sea un número real, progresión aritmética, función trigonométrica); etc.

Términos no negativos

Cuando a n es un número real no negativo para cada n , la secuencia S N de sumas parciales no es decreciente. Se deduce que una serie Σ a n con términos no negativos converge si y solo si la secuencia S N de sumas parciales está limitada.

Por ejemplo, la serie

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

es convergente, porque la desigualdad

{\ frac {1} {n ^ {2}}} \ leq {\ frac {1} {n-1}} - {\ frac {1} {n}}, \ quad n \ geq 2,

y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales están limitadas por 2. El valor exacto de la serie original es el problema de Basilea.

Convergencia absoluta

Una serie

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}

se dice que converge absolutamente si la serie de valores absolutos

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right |

converge Esto es suficiente para garantizar no solo que la serie original converge a un límite, sino también que cualquier reordenación converja al mismo límite.

Convergencia condicional

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente ) si es convergente pero no absolutamente convergente. Un ejemplo famoso es la serie alterna

\ sum \ limits _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n + 1} \ over n} = 1 {1 \ over 2} + {1 \ over 3} - {1 \ más de 4} + {1 \ over 5} - \ cdots

que es convergente (y su suma es igual a ln 2), pero la serie formada tomando el valor absoluto de cada término es la serie armónica divergente. El teorema de la serie Riemann dice que cualquier serie condicionalmente convergente puede reordenarse para hacer una serie divergente, y además, si a n es real y S es cualquier número real, puede encontrar un reordenamiento para que la serie reordenada converja con suma igual a S .

La prueba de Abel es una herramienta importante para manejar series semiconvergentes. Si una serie tiene la forma

\ sum a_ {n} = \ sum \ lambda _ {n} b_ {n}

donde las sumas parciales B N = b 0 + ••• + b n están limitadas, λ n tiene variación acotada, y existe lim λ n B n :

\ sup _ {N} {\ Bigl |} \ sum _ {n = 0} ^ {N} b_ {n} {\ Bigr |} <\ infty, \ \ \ sum | \ lambda _ {n + 1} - \ lambda _ {n} | <infty \ {\ text {and}} \ \ lambda _ {n} B_ {n} \ {\ text {converges,}}

entonces la serie Σ a n es convergente. Esto se aplica a la convergencia puntual de muchas series trigonométricas, como en

\ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (nx)} {\ ln n}}

con 0 < x <2π. El método de Abel consiste en escribir b n + 1 = B n + 1 - B n , y al realizar una transformación similar a la integración por partes (llamada sumatoria por partes), que relaciona la serie dada Σ a n con la serie absolutamente convergente

\ sum (\ lambda _ {n} - \ lambda _ {n + 1}) \, B_ {n}.

Pruebas de convergencia

n-ésima prueba de término : si lim n → ∞ a n ≠ 0, la serie diverge.
Prueba comparativa 1 (ver Prueba de comparación directa): si Σ b n es una serie absolutamente convergente de tal forma que | a n | ≤ C | b n | para algún número C y para nsuficientemente grande , entonces Σ a n también converge absolutamente. Si Σ | b n | diverge, y | a n | ≥ | b n | para todos suficientemente grande n , entonces sigma un n también no converge absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el un n alternar en signo).
Prueba de comparación 2 (ver prueba de comparación de límites): si Σ b n es una serie absolutamente convergente de manera que | a n + 1 / a n | ≤ | b n + 1 / b n | para nsuficientemente grande , entonces Σ a n también converge absolutamente. Si Σ | b n | diverge, y | a n + 1 / a n | ≥ | b n + 1 / b n | para todos los n suficientemente grandes , entonces Σ a n también no converge absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el un n alternan en signo).
Prueba de relación: si existe una constante C <1 tal que | a n +1 / a n | < C para todo lo suficientemente grande n , entonces Σ a n converge absolutamente. Cuando la relación es menor que 1, pero no menor que una constante menor que 1, la convergencia es posible, pero esta prueba no lo establece.
Prueba de raíz: si existe una constante C <1 tal que | a n | ≤ C para todos los nsuficientemente grandes , entonces Σ a n converge absolutamente.
Prueba Integral: si ƒ ( x ) es un monótono positiva función definida en el intervalo [1, ∞) con la disminución de ƒ ( n ) = a n para todos n , entonces Σ un n converge si y sólo si las integrales ∫ 1 ƒ ( x ) d x es finito.
Prueba de condensación de Cauchy: si a n es no negativa y no aumenta, entonces las dos series Σ a n y Σ2 a (2) son de la misma naturaleza: ambas convergentes o ambas divergentes.
Prueba de serie alternante: una serie de la forma Σ (-1) a n (con a n > 0) se denomina alternancia . Tal serie converge si la secuencia a n es monótona disminuyendo y converge a 0. Lo contrario, en general, no es cierto.
Para algunos tipos específicos de series, existen pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo, para las series de Fourier, existe la prueba de Dini.

Serie de funciones

Una serie de funciones de valor real o complejo

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x)

converge puntualmente en un conjunto E , si la serie converge para cada x en E como una serie ordinaria de números reales o complejos. Equivalentemente, las sumas parciales

s_ {N} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} f_ {n} (x)

converger a ƒ ( x ) como N → ∞ para cada x ∈ E .

Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones se llama convergencia uniforme. La serie converge uniformemente si converge puntualmente a la función ƒ ( x ), y el error al aproximar el límite por la N- ésima suma parcial,

{\ displaystyle | s_ {N} (x) -f (x) |}

puede hacerse mínimo independientemente de x eligiendo un N suficientemente grande .

La convergencia uniforme es deseable para una serie porque muchas propiedades de los términos de la serie son retenidas por el límite. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De forma similar, si los ƒ n son integrables en un intervalo I cerrado y delimitado y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y puede integrarse término por término. Las pruebas de convergencia uniforme incluyen la prueba M de Weierstrass, la prueba de convergencia uniforme de Abel, la prueba de Dini y el criterio de Cauchy.

También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En teoría de la medida, por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en un cierto conjunto de medida cero. Otros modos de convergencia dependen de una estructura de espacio métrica diferente en el espacio de las funciones consideradas. Por ejemplo, una serie de funciones convergen en media en un conjunto E a una función límite ƒ proporcionado

\ int _ {E} \ left | s_ {N} (x) -f (x) \ right | ^ {2} \, dx \ a 0

como N → ∞.

Serie de potencia

Una serie de poder es una serie de la forma

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}.

La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en un barrio de c . Por ejemplo, la serie

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}

es la serie de Taylor en el origen y converge a ella para cada x .

e ^ {x}

A menos que converja solo en x = c , dicha serie converge en un cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos del límite del disco. El radio de este disco se conoce como el radio de convergencia, y en principio se puede determinar a partir de las asintóticas de los coeficientes a n . La convergencia es uniforme en subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos) del interior del disco de convergencia: a saber, es uniformemente convergente en conjuntos compactos.

Históricamente, matemáticos como Leonhard Euler operaban liberalmente con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se basaba en una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requerían pruebas rigurosas de la convergencia de las series.

Serie de poder formal

Si bien muchos usos de series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar series de potencias como sumas formales , lo que significa que no se realizan operaciones de suma, y el símbolo "+" es un símbolo abstracto de conjunción que no se interpreta necesariamente como correspondiente a la suma. En este contexto, la secuencia de coeficientes en sí misma es de interés, más que la convergencia de la serie. Las series de potencia formal se usan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, utilizando el método de generación de funciones. La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de poder formal utilizada para estudiar álgebras graduadas.

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos admiten la estructura apropiada, entonces es posible definir operaciones tales como suma, multiplicación, derivada, antiderivada para series de potencia "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondió a la suma. En el entorno más común, los términos provienen de un anillo conmutativo, de modo que la serie de poder formal se puede agregar término a término y multiplicar a través del producto Cauchy. En este caso, el álgebra de la serie de poder formal es el álgebra total del monoide de números naturales sobre el anillo de término subyacente. Si el anillo de término subyacente es un álgebra diferencial, entonces el álgebra de la serie de poder formal también es un álgebra diferencial, con una diferenciación realizada término por término.

Serie Laurent

La serie de Laurent generaliza la serie de poder al admitir términos en la serie con exponentes negativos y positivos. Una serie Laurent es, pues, cualquier serie de la forma

\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}.

Si tal serie converge, entonces, en general, lo hace en un anillo en lugar de en un disco, y posiblemente en algunos puntos límite. La serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Serie Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una de las formas

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n ^ {s}},

donde s es un número complejo. Por ejemplo, si todos a n son iguales a 1, entonces la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann

\ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}.

Al igual que la función zeta, las series de Dirichlet en general desempeñan un papel importante en la teoría de los números analíticos. En general, una serie de Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado abscisa de convergencia. En muchos casos, una serie de Dirichlet puede extenderse a una función analítica fuera del dominio de convergencia por continuación analítica. Por ejemplo, la serie de Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re s > 1, pero la función zeta se puede extender a una función holomórfica definida con un polo simple en 1.

\ mathbf {C} \ setminus \ {1 \}

Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet.

Serie trigonométrica

Una serie de funciones en las que los términos son funciones trigonométricas se denomina series trigonométricas :

{\ tfrac {1} {2}} A_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {n} \ cos nx + B_ {n} \ sin nx \ right).

El ejemplo más importante de una serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Historia de la teoría de series infinitas

Desarrollo de series infinitas

El matemático griego Arquímedes produjo la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se usa en el área del cálculo en la actualidad. Usó el método del agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, y dio una aproximación notablemente precisa de π.

Los matemáticos de Kerala, India estudiaron series infinitas alrededor de 1350 EC.

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal en series infinitas y publicó varias series de Maclaurin. En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie Taylor para todas las funciones para las cuales existen. Leonhard Euler en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de series hipergeométricas y serie q.

Criterios de convergencia

La investigación de la validez de series infinitas se considera que comienza con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado la serie hipergeométrica

1 + {\ frac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} x + {\ frac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} x ^ {2} + \ cdots

en el cual Gauss publicó una memoria en 1812. Estableció criterios más simples de convergencia, y las preguntas de los residuos y el rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; mostró que si dos series son convergentes, su producto no es necesariamente así, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios, y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy adelantó la teoría de la serie de potencias mediante su expansión de una función compleja en tal forma.

Abel (1826) en su memoria sobre la serie binomial

1 + {\ frac {m} {1!}} X + {\ frac {m (m-1)} {2!}} X ^ {2} + \ cdots

corrigió algunas de las conclusiones de Cauchy, y dio una suma completamente científica de la serie para valores complejos de y . Mostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia.

metro

X

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales más que generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), quien realizó la primera investigación elaborada del tema, de De Morgan (desde 1842), cuya prueba logarítmica DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889) ha demostrado fallar dentro de cierta región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales comenzaron con Kummer (1835), y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversas contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

Convergencia uniforme

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), sus limitaciones fueron señaladas por Abel, pero las primeras en atacar con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-48). Cauchy retomó el problema nuevamente (1853), reconoció las críticas de Abel y llegó a las mismas conclusiones que Stokes ya había encontrado. Thomae utilizó la doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en el reconocimiento de la importancia de distinguir entre convergencia uniforme y no uniforme, a pesar de las demandas de la teoría de las funciones.

Semi-convergencia

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente.

Seis series convergentes fueron estudiadas por Poisson (1823), quien también dio una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. La solución más importante del problema se debe, sin embargo, a Jacobi (1834), quien atacó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y alcanzó una fórmula diferente. Esta expresión también fue resuelta, y otra dada por Malmsten (1847). Schlömilch ( Zeitschrift , Vol. I, página 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi, y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli

{\ displaystyle F (x) = 1 ^ {n} + 2 ^ {n} + \ cdots + (x-1) ^ {n}.}

Genocchi (1852) ha contribuido aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores estaba Wronski, cuyo "loi suprême" (1815) apenas fue reconocido hasta que Cayley (1873) lo destacó.

series de Fourier

Las series de Fourier estaban siendo investigadas como el resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy estaban elaborando la teoría de series infinitas. La serie para la expansión de senos y cosenos, de arcos múltiples en potencias del seno y del coseno del arco había sido tratada por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y aún antes por Vieta. Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot, Schröter, Glaisher y Kummer.

Fourier (1807) se planteó un problema diferente, expandir una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x , un problema que encarnó en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes en la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar probar el teorema general. Poisson (1820-23) también atacó el problema desde un punto de vista diferente. Fourier, sin embargo, no resolvió la cuestión de la convergencia de sus series, un asunto que le quedó a Cauchy (1826) intentar y que Dirichlet (1829) manejó de una manera completamente científica (véase la convergencia de las series de Fourier). Tratamiento de Dirichlet ( Crelle, 1829), de series trigonométricas fue objeto de crítica y mejora por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz, Schläfli y du Bois-Reymond. Entre otros contribuidores prominentes a la teoría de series trigonométricas y de Fourier se encontraban Dini, Hermite, Halphen, Krause, Byerly y Appell.

Generalizaciones

Series asintóticas

Las series asintóticas, sino expansiones asintóticas, son series infinitas cuyas sumas parciales se convierten en buenas aproximaciones en el límite de algún punto del dominio. En general, no convergen. Pero son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. La diferencia es que no se puede hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desee, de la forma en que lo hacen las series convergentes. De hecho, después de un cierto número de términos, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación; si se incluyen más términos, la mayoría de tales series producirán peores respuestas.

Serie divergente

En muchas circunstancias, es deseable asignar un límite a una serie que no converge en el sentido habitual. Un método de sumabilidad es la asignación de un límite a un subconjunto del conjunto de series divergentes que extiende apropiadamente la noción clásica de convergencia. Los métodos de sumabilidad incluyen la suma de Cesàro, la suma de ( C , k ), la suma de Abel y la suma de Borel, en orden creciente de generalidad (y por lo tanto aplicable a series cada vez más divergentes).

Se conoce una variedad de resultados generales sobre posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de sumabilidad de la matriz , que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. El método más general para sumar una serie divergente no es constructivo, y se refiere a los límites de Banach.

Serie en espacios de Banach

La noción de serie se puede extender fácilmente al caso de un espacio de Banach. Si x n es una secuencia de elementos de un espacio X de Banach , entonces la serie Σ x n converge a x ∈ X si la secuencia de sumas parciales de la serie tiende a x ; esto es,

{\ biggl \ |} x- \ sum _ {n = 0} ^ {N} x_ {n} {\ biggr \ |} \ a 0

como N → ∞.

De manera más general, la convergencia de series se puede definir en cualquier grupo topológico abeliano de Hausdorff. Específicamente, en este caso, Σ x n converge a x si la secuencia de sumas parciales converge a x .

Sumaciones sobre conjuntos de índices arbitrarios

Definiciones Se pueden administrar por sumas más de un índice arbitrario establecido

I

. Hay dos diferencias principales con la noción usual de serie: primero, no hay un orden específico dado en el conjunto

I

; segundo, este conjunto

puedo

ser incontable. La noción de convergencia debe fortalecerse, porque el concepto de convergencia condicional depende del orden del conjunto de índices.

Si es una función de un índice establecido

I

a un conjunto

G

, entonces la "serie" asociada a es la suma formal de los elementos sobre los elementos del índice denotados por el

a: I \ mapsto G

un

a (x) \ en G

x \ en I

\ sum _ {x \ in I} a (x).

Cuando el conjunto de índices es el número natural , la función es una secuencia indicada por . Una serie indexada en los números naturales es una suma ordenada y formal, por lo que volver a escribir como para hacer hincapié en el orden inducido por los números naturales. Por lo tanto, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales

I = \ mathbb {N}

a: \ mathbb {N} \ mapsto G

a (n) = a_ {n}

\ sum _ {n \ in \ mathbb {N}}

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty}

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots.

Familias de números no negativos

Al sumar una familia { a i }, i ∈ I , de números no negativos, uno puede definir

\ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ sup {\ Bigl \ {} \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \, {\ big |} A {\ text {finite,} } A \ subconjunto I {\ Bigr \}} \ en [0, + \ infty].

Cuando el supremo es finito, el conjunto de i ∈ I tal que a i > 0 es contable. De hecho, por cada n ≥ 1, el conjunto es finito, porque

{\ displaystyle A_ {n} = \ {i \ en I \,: \, a_ {i}> 1 / n \}}

{\ frac {1} {n}} \, {\ textrm {card}} (A_ {n}) \ leq \ sum _ {i \ in A_ {n}} a_ {i} \ leq \ sum _ {i \ in I} a_ {i} <\ infty.

Si I es contablemente infinito y se enumera como I = { i 0 , i 1 , ...}, entonces la suma definida anteriormente satisface

\ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {i_ {k}},

siempre que el valor ∞ esté permitido para la suma de la serie.

Cualquier suma sobre reales no negativos se puede entender como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo, que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Grupos topológicos abelianos

Deje a : I → X , donde I es cualquier conjunto y X es un grupo topológico abeliano de Hausdorff. Deje que F sea la colección de todos los subconjuntos finitos de I . Tenga en cuenta que F es un conjunto dirigido ordenado en inclusión con unión como unión. Defina la suma S de la familia a como límite

S = \ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ lim {\ Bigl \ {} \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \, {\ big |} A \ in F {\ Gran R \}}

si existe y dice que la familia a es incondicionalmente sumable. Decir que la suma S es el límite de las sumas parciales finitas significa que para cada vecindad V de 0 en X , hay un subconjunto finito A 0 de I tal que

S- \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \ en V, \ quad A \ supset A_ {0}.

Como F no está totalmente ordenado, no es un límite de una secuencia de sumas parciales, sino de una red.

Por cada W , entorno de 0 en X , existe un entorno más pequeño V tal que V - V ⊂ W . Se deduce que las sumas parciales finitas de una familia sumatoria incondicional a i , i ∈ I , forman una red Cauchy , es decir: para cada W , vecindad de 0 en X , hay un subconjunto finito A 0 de I tal que

\ sum _ {i \ in A_ {1}} a_ {i} - \ sum _ {i \ in A_ {2}} a_ {i} \ en W, \ quad A_ {1}, A_ {2} \ supset A_ {0}.

Cuando X se completa, una familia a es incondicionalmente sumable en X si y solo si las sumas finitas satisfacen la última condición neta de Cauchy. Cuando X es completa y una i , i ∈ I , es incondicionalmente sumable en X , entonces para cada subconjunto J ⊂ I , la correspondiente subfamilia una j , j ∈ J , también se sumable incondicionalmente en X .

Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido ampliada definida antes, es finito, a continuación, coincide con la suma en el grupo topológico X = R .

Si una familia a en X es sumable incondicionalmente, entonces por cada W , vecindad de 0 en X, hay un subconjunto finito A 0 de I tal que a i ∈ W por cada i no en A 0 . Si X es el primer contador, se deduce que el conjunto de i ∈ I tal que a i ≠ 0 es contable. Esto no tiene por qué ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos a continuación).

Series incondicionalmente convergentes

Supongamos que I = N . Si una familia a n , n ∈ N , es incondicionalmente sumable en un grupo topológico abeliano Hausdorff X , entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma,

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n \ in \ mathbf {N}} a_ {n}.

Por naturaleza, la definición de sumabilidad incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando Σ a n es incondicionalmente sumable, entonces la serie permanece convergente después de cualquier permutación σ del conjunto N de índices, con la misma suma,

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (n)} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.

Por el contrario, si cada permutación de una serie Σ a n converge, entonces la serie es incondicionalmente convergente. Cuando X se completa, la convergencia incondicional también es equivalente al hecho de que todas las subseries son convergentes; si X es un espacio de Banach, esto es equivalente a decir que para cada secuencia de signos ε n = ± 1, la serie

\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon _ {n} a_ {n}

converge en X . Si X es un espacio de Banach, entonces uno puede definir la noción de convergencia absoluta. Una serie Σ a n de vectores en X converge absolutamente si

\ sum _ {n \ in \ mathbf {N}} \ | a_ {n} \ | <+ \ infty.

Si una serie de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo contrario sólo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky y Rogers (1950)).

Sumas bien ordenadas

Las series condicionalmente convergentes se pueden considerar si I es un conjunto bien ordenado, por ejemplo, un número ordinal α 0 . Uno puede definir por recursión transfinita:

{\ displaystyle \ sum _ {\ beta <\ alpha +1} a _ {\ beta} = a _ {\ alpha} + \ sum _ {\ beta <\ alpha} a _ {\ beta}}

y para un límite ordinal α ,

\ sum _ {\ beta <\ alpha} a _ {\ beta} = \ lim _ {\ gamma \ a \ alpha} \ sum _ {\ beta <\ gamma} a _ {\ beta}

si este límite existe Si todos los límites existen hasta α 0 , entonces la serie converge.

Ejemplos

Dada una función f : X → Y , con Y un grupo topológico abeliano, defina para cada a ∈ X

$f_ {a} (x) = {\ begin {cases} 0 & x \ neq a, \\ f (a) & x = a, \\\ end {cases}}$
una función cuyo soporte es un singleton { a }. Entonces
$f = \ sum _ {a \ en X} f_ {a}$
en la topología de la convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo infinito de productos Y ).

En la definición de particiones de unidad, uno construye sumas de funciones sobre el conjunto de índices arbitrarios I ,

$\ sum _ {i \ in I} \ varphi _ {i} (x) = 1.$
Aunque, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por construcción hay, para cada x dada , solo finitos muchos términos distintos de cero en la suma, por lo que no surgen problemas con respecto a la convergencia de tales sumas. En realidad, uno asume más: la familia de funciones es localmente finita , es decir , por cada x hay un vecindario de x en el que desaparecen todas menos una cantidad finita de funciones. Cualquier propiedad de regularidad de φ i , como la continuidad, la diferenciabilidad, que se conserva bajo sumas finitas se conservará para la suma de cualquier subcolección de esta familia de funciones.

En el primer ordinal incontable ω 1 visto como un espacio topológico en la topología de orden, la función constante f : [0, ω 1 ) → [0, ω 1 ] dada por f (α) = 1 satisface

$\ sum _ {\ alpha \ in [0, \ omega _ {1})} f (\ alpha) = \ omega _ {1}$
(en otras palabras, ω 1 copias de 1 es ω 1 ) solo si se toma un límite sobre todas las sumas parciales contables , en lugar de sumas parciales finitas. Este espacio no es separable.

Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)

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