Poliedro
Definición
 Tetraedro regular |  Pequeño dodecaedro estrellado |
 Icosidodecaedro |  Gran cubicuboctaedro |
 Triacontaedro rombal |  Un poliedro toroidal |
Un poliedro convexo es el casco convexo de finitos puntos, no todos en el mismo plano. Los cubos y las pirámides son ejemplos de poliedros convexos.
Un poliedro es un ejemplo tridimensional del politopo más general en cualquier cantidad de dimensiones.
Definición
Los poliedros convexos están bien definidos, con varias definiciones estándar equivalentes. Sin embargo, la definición matemática formal de poliedros que no requieren ser convexos ha sido problemática. Muchas definiciones de "poliedro" se han dado en contextos particulares, algunas más rigurosas que otras, y no hay un acuerdo universal sobre cuál de ellas elegir. Algunas de estas definiciones excluyen las formas que a menudo se han contado como poliedros (como los poliedros de autocrucedo) o incluyen formas que a menudo no se consideran poliedros válidos (como los sólidos cuyos límites no son múltiples). Como Branko Grünbaum observó,
Sin embargo, existe un acuerdo general de que un poliedro es un sólido o superficie que puede describirse por sus vértices (puntos de vértice), bordes (segmentos de línea que conectan ciertos pares de vértices), caras (polígonos bidimensionales) y, a veces, por sus tres -volumen interior tridimensional. Uno puede distinguir entre estas diferentes definiciones según si describen el poliedro como un sólido, si lo describen como una superficie, o si lo describen de forma más abstracta en función de su geometría de incidencia.
- Una definición común y algo ingenua de un poliedro es que es un sólido cuyo límite puede estar cubierto por un número finito de planos o que es un sólido formado como la unión de muchos poliedros convexos finitos. Los refinamientos naturales de esta definición requieren que el sólido esté delimitado, que tenga un interior conectado y posiblemente también que tenga un límite conectado. Las caras de dicho poliedro se pueden definir como los componentes conectados de las partes del límite dentro de cada uno de los planos que lo cubren, y los bordes y vértices como los segmentos de línea y los puntos donde se encuentran las caras. Sin embargo, los poliedros definidos de esta forma no incluyen los poliedros estrella autocruzados, sus caras pueden no formar polígonos simples, y algunos bordes pueden pertenecer a más de dos caras.
- Las definiciones basadas en la idea de una superficie delimitada en lugar de un sólido también son comunes. Por ejemplo, O'Rourke (1993) define un poliedro como una unión de polígonos convexos (sus caras), dispuestos en el espacio de modo que la intersección de dos polígonos es un vértice o borde compartido o el conjunto vacío y de modo que su unión es un colector Si una parte planar de dicha superficie no es en sí misma un polígono convexo, O'Rourke requiere que se subdivida en polígonos convexos más pequeños, con ángulos diedros planos entre ellos. De manera más general, Grünbaum define un poliedro acústico ser una colección de polígonos simples que forman un colector integrado, con cada vértice incide al menos en tres bordes y cada dos caras se cortan solo en los vértices y bordes compartidos de cada uno. Cromwell da una definición similar pero sin la restricción de tres bordes por vértice. Una vez más, este tipo de definición no abarca los poliedros de cruce automático. Nociones similares forman la base de definiciones topológicas de poliedros, como subdivisiones de una variedad topológica en discos topológicos (las caras) cuyas intersecciones pairwise requieren puntos (vértices), arcos topológicos (bordes) o el conjunto vacío. Sin embargo, existen poliedros topológicos (incluso con todos los triángulos de las caras) que no se pueden realizar como poliedros acústicos.
- Un enfoque moderno se basa en la teoría de los poliedros abstractos. Estos se pueden definir como conjuntos parcialmente ordenados cuyos elementos son los vértices, bordes y caras de un poliedro. Un vértice o elemento de borde es menor que un borde o elemento de cara (en este orden parcial) cuando el vértice o borde es parte del borde o la cara. Además, uno puede incluir un elemento inferior especial de este orden parcial (que representa el conjunto vacío) y un elemento superior que representa todo el poliedro. Si las secciones del orden parcial entre elementos de tres niveles separados (es decir, entre cada cara y el elemento inferior, y entre el elemento superior y cada vértice) tienen la misma estructura que la representación abstracta de un polígono, entonces estos conjuntos parcialmente ordenados llevar exactamente la misma información que un poliedro topológico. Sin embargo, estos requisitos a menudo se relajan, para requerir solamente que las secciones entre los elementos dos niveles aparte tengan la misma estructura que la representación abstracta de un segmento de línea. (Esto significa que cada borde contiene dos vértices y pertenece a dos caras, y que cada vértice de una cara pertenece a dos bordes de esa cara.) Los poliedros geométricos, definidos de otras maneras, se pueden describir de forma abstracta de esta manera, pero es también es posible utilizar poliedros abstractos como base de una definición de poliedros geométricos. UN se puede describir de manera abstracta de esta manera, pero también es posible usar poliedros abstractos como base de una definición de poliedros geométricos. UN se puede describir de manera abstracta de esta manera, pero también es posible usar poliedros abstractos como base de una definición de poliedros geométricos. UN la realización de un poliedro abstracto generalmente se toma como un mapeo desde los vértices del poliedro abstracto a puntos geométricos, de modo que los puntos de cada cara son coplanares. Un poliedro geométrico se puede definir como la realización de un poliedro abstracto. También se han considerado las realizaciones que renuncian a la exigencia de planaridad, que imponen requisitos adicionales de simetría, o que asignan los vértices a espacios dimensionales superiores. A diferencia de las definiciones de base sólida y basadas en la superficie, esto funciona perfectamente para poliedros estrella. Sin embargo, sin restricciones adicionales, esta definición permite poliedros degenerados o infieles (por ejemplo, mapeando todos los vértices en un solo punto) y la cuestión de cómo restringir las realizaciones para evitar estas degeneraciones no se ha resuelto.
En todas estas definiciones, un poliedro se entiende típicamente como un ejemplo tridimensional del politopo más general en cualquier cantidad de dimensiones. Por ejemplo, un polígono tiene un cuerpo bidimensional y sin caras, mientras que un politopo 4 tiene un cuerpo tetradimensional y un conjunto adicional de "celdas" tridimensionales. Sin embargo, parte de la literatura sobre geometría de dimensión superior usa el término "poliedro" para significar algo más: no es un polítopo tridimensional, sino una forma que es diferente de un politopo de alguna manera. Por ejemplo, algunas fuentes definen un poliedro convexo como la intersección de finitos medios espacios, y un politopo como un poliedro delimitado. El resto de este artículo considera solo poliedros tridimensionales.
Características
Numero de caras
Los poliedros se pueden clasificar y a menudo se nombran según el número de caras. El sistema de nombres se basa en griego clásico, por ejemplo, tetraedro (4), pentaedro (5), hexaedro (6), triacontaedro (30), etc.
Para obtener una lista completa de los prefijos numéricos griegos, consulte los prefijos numéricos> Tabla de prefijos numéricos en inglés> griego> Cuantitativo
Características topológicas
La clase topológica de un poliedro se define por su característica y orientabilidad de Euler.
Desde esta perspectiva, cualquier superficie poliédrica puede clasificarse como cierto tipo de variedad topológica. Por ejemplo, la superficie de un poliedro convexo o simplemente conectado es una esfera topológica.
Característica de Euler
La característica de Euler χ relaciona el número de vértices V , bordes E y caras F de un poliedro:
Esto es igual a la característica topológica de Euler de su superficie. Para un poliedro convexo, o más generalmente cualquier poliedro simplemente conectado con una esfera topológica de superficie, χ = 2. Para las formas más complicadas, la característica de Euler se relaciona con el número de agujeros toroidales, asas o tachuelas en la superficie y será menos que 2
Orientabilidad
Algunos poliedros tienen dos lados distintos en su superficie. Por ejemplo, el interior y el exterior de un modelo de papel poliedro convexo pueden recibir cada uno un color diferente (aunque el color interior se ocultará a la vista). Estos poliedros son orientables. Lo mismo es cierto para poliedros no convexos sin auto-cruces. Algunos poliedros autocontraíbles no convexos se pueden colorear de la misma manera pero tienen regiones giradas "hacia adentro" para que ambos colores aparezcan en el exterior en diferentes lugares; estos todavía se consideran orientables.
Pero para algunos otros poliedros auto-cruce con caras sencilla-poligonales, tales como la tetrahemihexahedron, no es posible colorear los dos lados de cada cara con dos colores diferentes de manera que las caras adyacentes tienen colores consistentes. En este caso, se dice que el poliedro es unilateral o no orientable. Para poliedros con caras auto-cruce, puede que no sea evidente lo que significa para las caras adyacentes a ser consistentemente coloreado, pero para estos poliedros todavía es posible determinar si es orientable o no orientable considerando un complejo célula topológica con el mismas incidencias entre sus vértices, bordes y caras.
Todos los poliedros con la característica de Euler impar χ son no orientables. Una figura dada con incluso χ <2 puede o no ser orientable. Por ejemplo, el toroide de un agujero y el frasco de Klein tienen χ = 0, siendo el primero orientable y el otro no.
Dualidad
Para cada poliedro convexo, existe un poliedro dual que tiene
- caras en lugar de los vértices del original y viceversa, y
- la misma cantidad de bordes
El doble de un poliedro convexo puede obtenerse mediante el proceso de reciprocación polar. Los poliedros duales existen en pares, y el dual de un dual es solo el poliedro original nuevamente. Algunos poliedros son autoduales, lo que significa que el dual del poliedro es congruente con el poliedro original.
Los poliedros abstractos también tienen duales, que además satisfacen que tienen la misma característica y orientabilidad de Euler que el poliedro inicial. Sin embargo, esta forma de dualidad no describe la forma de un poliedro dual, sino solo su estructura combinatoria. Para algunas definiciones de poliedros geométricos no convexos, existen poliedros cuyos duals abstractos no se pueden realizar como poliedros geométricos bajo la misma definición.
Figuras de vértice
Para cada vértice uno puede definir una figura de vértice, que describe la estructura local del poliedro alrededor del vértice. Las definiciones precisas varían, pero una figura de vértice se puede considerar como el polígono expuesto donde una sección a través del poliedro corta una esquina. Si la figura del vértice es un polígono regular, entonces se dice que el vértice es regular.
Volumen
Los sólidos poliédricos tienen una cantidad asociada llamada volumen que mide la cantidad de espacio que ocupan. Las familias simples de sólidos pueden tener fórmulas simples para sus volúmenes; por ejemplo, los volúmenes de pirámides, prismas y paralelepípedos se pueden expresar fácilmente en términos de la longitud de los bordes u otras coordenadas. (Consulte el Volumen § Fórmulas de volumen para obtener una lista que incluya muchas de estas fórmulas).
Los volúmenes de poliedros más complicados pueden no tener fórmulas simples. Los volúmenes de dichos poliedros se pueden calcular subdividiendo el poliedro en piezas más pequeñas (por ejemplo, mediante triangulación). Por ejemplo, el volumen de un poliedro regular puede calcularse dividiéndolo en pirámides congruentes, con cada pirámide que tiene una cara del poliedro como su base y el centro del poliedro como su ápice.
En general, se puede derivar de la divergencia teorema de que el volumen de un sólido poliédrico está dada por donde la suma es sobre enfrenta F del poliedro, Q F es un punto arbitrario en la cara F , N F es el vector unitario perpendicular a F apunta afuera del sólido, y el punto de multiplicación es el producto de puntos. Dado que puede ser difícil enumerar las caras, el cálculo del volumen puede ser un desafío, y por lo tanto existen algoritmos especializados para determinar el volumen (muchos de estos se generalizan a poliopes convexos en dimensiones más altas).
Dehn invariante
En dos dimensiones, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que cualquier polígono puede transformarse en cualquier otro polígono de la misma área cortándolo en finitas muchas piezas poligonales y reorganizándolos. La pregunta análoga para poliedros fue el tema del tercer problema de Hilbert. Max Dehn resolvió este problema mostrando que, a diferencia del caso 2-D, existen poliedros del mismo volumen que no se pueden cortar en poliedros más pequeños y volver a ensamblar entre sí. Para demostrar esto, Dehn descubrió otro valor asociado con un poliedro, el invariante Dehn, de modo que dos poliedros solo pueden diseccionarse entre sí cuando tienen el mismo volumen y el mismo invariante de Dehn. Más tarde, Sydler demostró que este es el único obstáculo para la disección: cada dos poliedros euclidianos con los mismos volúmenes e invariantes de Dehn se pueden cortar y volver a ensamblar entre sí. El invariante de Dehn no es un número, sino un vector en un espacio vectorial de dimensión infinita.
Otro de los problemas de Hilbert, el décimo octavo problema de Hilbert, se refiere (entre otras cosas) a los poliedros que conforman el espacio. Cada poliedro debe tener cero invariante Dehn. El invariante de Dehn también ha sido conectado conjetualmente a poliedros flexibles por la fuerte conjetura de fuelles, que afirma que el invariante de Dehn de cualquier poliedro flexible debe permanecer invariante mientras se flexiona.
Poliedros convexos
Un sólido tridimensional es un conjunto convexo si contiene cada segmento de línea que conecta dos de sus puntos. Un poliedro convexo es un poliedro que, como un sólido, forma un conjunto convexo. Un poliedro convexo también se puede definir como una intersección limitada de finitos medios espacios, o como el casco convexo de un número finito de puntos.
Las clases importantes de poliedros convexos incluyen los sólidos platónicos altamente simétricos, los sólidos de Arquímedes y sus duales los sólidos catalanes, y los sólidos Johnson de cara regular.
Simetrías
Muchos de los poliedros más estudiados son altamente simétricos, es decir, su apariencia no se modifica por alguna reflexión o rotación del espacio. Cada una de estas simetrías puede cambiar la ubicación de un vértice, una cara o un borde dado, pero el conjunto de todos los vértices (al igual que las caras, los bordes) permanece inalterado. La colección de simetrías de un poliedro se llama grupo de simetría.
Se dice que todos los elementos que pueden superponerse entre sí mediante simetrías forman una órbita de simetría. Por ejemplo, todas las caras de un cubo se encuentran en una órbita, mientras que todos los bordes se encuentran en otra. Si todos los elementos de una dimensión dada, digamos todas las caras, se encuentran en la misma órbita, se dice que la figura es transitiva en esa órbita. Por ejemplo, un cubo es transitivo de cara, mientras que un cubo truncado tiene dos órbitas de simetría de caras.
La misma estructura abstracta puede soportar poliedros geométricos más o menos simétricos. Pero cuando se da un nombre poliédrico, como icosidodecaedro, la geometría más simétrica casi siempre está implícita, a menos que se indique lo contrario.
Hay varios tipos de poliedros altamente simétricos, clasificados por qué tipo de elemento (caras, aristas o vértices) pertenecen a una sola órbita de simetría:
- Regular: vértice-transitivo, transitivo de borde y transitivo de cara. (Esto implica que cada cara es el mismo polígono regular, sino que también implica que cada vértice es regular).
- Cuasi-regular: vértice-transitivo y transitivo de borde (y por lo tanto tiene caras regulares) pero no transitivo-facial. Un doble cuasi-regular es transitivo de cara y transitivo de borde (y, por lo tanto, cada vértice es regular) pero no transitivo de vértice.
- Semi-regular: vértice-transitivo pero no transitivo de borde, y cada cara es un polígono regular. (Esta es una de varias definiciones del término, dependiendo del autor. Algunas definiciones se superponen con la clase cuasi regular.) Estos poliedros incluyen los prismas y antiprismas semirregulares. Un doble semi regular es transitivo de cara pero no transitivo de vértice, y cada vértice es regular.
- Uniforme: vértice-transitivo y cada cara es un polígono regular, es decir, es regular, cuasi-regular o semi-regular. Un dual uniforme es transitivo de cara y tiene vértices regulares, pero no necesariamente es vértice-transitivo.
- Isogonal: vértice-transitivo.
- Isotoxal: transitivo de borde.
- Isohedral: cara-transitiva.
- Noble: cara-transitiva y vértice-transitiva (pero no necesariamente transitiva). Los poliedros regulares también son nobles; son los únicos poliedros uniformes nobles. Los duales de los poliedros nobles son en sí mismos nobles.
Algunas clases de poliedros tienen solo un eje principal de simetría. Estos incluyen las pirámides, bipirámides, trapezoedros, cúpulas, así como los prismas y antiprismas semirregulares.
Poliedros regulares
Los poliedros regulares son los más altamente simétricos. En total, hay nueve poliedros regulares: cinco poliedros convexos y cuatro estrellas.
Los cinco ejemplos convexos se conocen desde la antigüedad y se llaman sólidos platónicos. Estas son la pirámide triangular o tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro:
 |  |  |  |  |
También hay cuatro poliedros estrella regulares, conocidos como los poliedros Kepler-Poinsot después de sus descubridores.
El dual de un poliedro regular también es regular.
Poliedros uniformes y sus duales
Los poliedros uniformes son vértice-transitivos y cada cara es un polígono regular. Se pueden subdividir en regulares, cuasi regulares o semi regulares, y pueden ser convexos o estrellados.
Los duales de los poliedros uniformes tienen caras irregulares pero son transitivos de cara, y cada figura de vértice es un polígono regular. Un poliedro uniforme tiene las mismas órbitas de simetría que su doble, con las caras y los vértices simplemente intercambiados. Los duales de los poliedros arquimedianos convexos a veces se llaman sólidos catalanes.
Los poliedros uniformes y sus duales se clasifican tradicionalmente de acuerdo con su grado de simetría, y si son convexos o no.
| Uniforme convexo | Convexo uniforme dual | Uniforme estrella | Estrella uniforme dual | |
|---|---|---|---|---|
| Regular | Sólidos platónicos | Poliedros de Kepler-Poinsot | ||
| Quasiregular | Sólidos arquimedianos | Sólidos catalanes | Poliedro estrella uniforme | |
| Semiregular | ||||
| Prismas | Bipyramids | Prismas de estrella | Bipirámides estrella | |
| Antiprismos | Trapezoedro | Antiprismas estrella | Trapezoedro estrella | |
Isohedra
Un isoedro es un poliedro con simetrías que actúan transitoriamente en sus caras. Su topología puede representarse mediante una configuración de rostro. Los 5 sólidos platónicos y los 13 sólidos cataólicos son isohedra, así como las familias infinitas de trapezoedros y bipirámides. Algunos isohedra permiten variaciones geométricas, incluyendo formas cóncavas y autointersecantes.
Grupos de simetría
Muchas de las simetrías o grupos de puntos en tres dimensiones se nombran después de poliedros que tienen la simetría asociada. Éstas incluyen:
- T - simetría tetraédrica quiral ; el grupo de rotación para un tetraedro regular; orden 12
- T d - simetría tetraédrica completa ; el grupo de simetría para un tetraedro regular; orden 24.
- T h - simetría piritoédrica ; la simetría de un piritoedro; orden 24.
- O - simetría octaédrica quiral , el grupo de rotación del cubo y el octaedro; orden 24.
- O h - simetría octaédrica completa ; el grupo de simetría del cubo y el octaedro; orden 48
- I - simetría icosaédrica quiral ; el grupo de rotación del icosaedro y el dodecaedro; orden 60
- I h - simetría icosaédrica completa ; el grupo de simetría del icosaedro y el dodecaedro; orden 120
- C nv - n -simple simetría piramidal
- D nh - n- simetría prismática
- D nv - n -simetría antiprismática.
Aquellos con simetría quiral no tienen simetría de reflexión y, por lo tanto, tienen dos formas enantiomorfas que son reflejos el uno del otro. Los ejemplos incluyen el cuboctaedro chato y el icosidodecaedro chato.
Otras familias importantes de poliedros
Poliedros con caras regulares
Además de los poliedros regulares y uniformes, hay algunas otras clases que tienen caras regulares pero una simetría general más baja.
Iguales caras regulares
Los poliedros convexos donde cada cara es el mismo tipo de polígono regular se pueden encontrar entre tres familias:
- Triángulos: estos poliedros se llaman deltaedros. Hay ocho deltaedros convexos: tres de los sólidos platónicos y cinco ejemplos no uniformes.
- Cuadrados: el cubo es el único ejemplo convexo. Se pueden obtener otros ejemplos (los policubos) uniendo cubos, aunque se debe tener cuidado si se deben evitar las caras coplanares.
- Pentágonos: el dodecaedro regular es el único ejemplo convexo.
Los poliedros con caras regulares congruentes de seis o más lados son todos no convexos.
El número total de poliedros convexos con caras regulares iguales es, por lo tanto, diez: los cinco sólidos platónicos y los cinco deltaedros no uniformes. Hay infinitos ejemplos no convexos. En algunas de estas familias existen ejemplos infinitos similares a esponjas llamados poliedros sesgados infinitos.
Johnson sólidos
Norman Johnson buscó qué poliedros convexos no uniformes tenían caras regulares, aunque no necesariamente todos eran iguales. En 1966, publicó una lista de 92 de esos sólidos, les dio nombres y números, y conjeturó que no había otros. Victor Zalgaller probó en 1969 que la lista de estos sólidos Johnson estaba completa.
Pirámides
Las pirámides incluyen algunos de los poliedros más consagrados y famosos, como las pirámides egipcias de cuatro lados.
Stellations y facetas
La estelación de un poliedro es el proceso de extender las caras (dentro de sus planos) para que se encuentren y formen un nuevo poliedro.
Es el recíproco exacto del proceso de facetado, que es el proceso de eliminar partes de un poliedro sin crear ningún vértice nuevo.
Las siguientes figuras muestran algunas estelaciones del octaedro, el dodecaedro y el icosaedro regular.
 |  |  |  |  |  |  |
Zonohedra
Un zonohedro es un poliedro convexo en el que cada cara es un polígono que es simétrico bajo rotaciones de 180 °. Zonohedra también se puede caracterizar como las sumas de línea Minkowski, e incluye varios poliedros importantes que llenan el espacio.
Poliedros toroidales
Un poliedro toroidal es un poliedro cuya característica de Euler es menor o igual a 0, o equivalentemente, cuyo género es 1 o mayor. Topológicamente, las superficies de tales poliedros son superficies tormentosas que tienen uno o más agujeros a través del centro.
Poliedros llenos de espacio
Un paquete de poliedro lleno de espacio con copias de sí mismo para llenar el espacio. Tal empaquetado de cierre o relleno de espacio a menudo se denomina mosaico de espacio o panal. Los poliedros llenos de espacio deben tener un invariante de Dehn igual a cero. Algunos panales involucran más de un tipo de poliedro.
Poliedros de celosía
Un poliedro convexo en el que todos los vértices tienen coordenadas enteras se denomina poliedro de celosía o poliedro integral. El polinomio Ehrhart de un poliedro de celosía cuenta cuántos puntos con coordenadas enteras se encuentran dentro de una copia escalada del poliedro, en función del factor de escala. El estudio de estos polinomios se encuentra en la intersección de la combinatoria y el álgebra conmutativa.
Poliedros flexibles
Es posible que algunos poliedros cambien su forma general, manteniendo las formas de sus caras iguales, variando los ángulos de sus bordes. Un poliedro que puede hacer esto se llama poliedro flexible. Según el teorema de rigidez de Cauchy, los poliedros flexibles deben ser no convexos. El volumen de un poliedro flexible debe permanecer constante a medida que se flexiona; este resultado se conoce como el teorema de fuelle.
Compuestos
Un compuesto poliédrico está formado por dos o más poliedros que comparten un centro común. Los compuestos simétricos a menudo comparten los mismos vértices que otros poliedros conocidos y, a menudo, también pueden formarse por estelación. Algunos se enumeran en la lista de modelos de poliedro de Wenninger.
Poliedros ortogonales
Un poliedro ortogonal es uno cuyas caras se encuentran en ángulos rectos, y todos sus bordes son paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas. Además de las cajas rectangulares, los poliedros ortogonales no son convexos. Son los análogos 3D de polígonos ortogonales 2D, también conocidos como polígonos rectilíneos. Los poliedros ortogonales se usan en geometría computacional, donde su estructura restringida ha permitido avances en problemas no resueltos para poliedros arbitrarios, por ejemplo, desplegar la superficie de un poliedro en una red poligonal.
Generalizaciones de poliedros
El nombre 'poliedro' se ha utilizado para una variedad de objetos que tienen propiedades estructurales similares a los poliedros tradicionales.
Apeirohedra
Una superficie poliédrica clásica tiene un número finito de caras, unidas por pares a lo largo de los bordes. Los apeiroedros forman una clase relacionada de objetos con infinitas caras. Los ejemplos de apeirohedra incluyen:
- mosaicos o teselados del avión, y
- estructuras esponjosas llamadas poliedros sesgados infinitos.
Poliedros complejos
Hay objetos llamados poliedros complejos, para los cuales el espacio subyacente es un espacio de Hilbert complejo en lugar de un espacio euclidiano real. Las definiciones precisas existen solo para los poliedros complejos regulares, cuyos grupos de simetría son grupos de reflexión complejos. Los poliedros complejos están matemáticamente más relacionados con las configuraciones que con los poliedros reales.
Poliedros curvados
Algunos campos de estudio permiten que los poliedros tengan caras y aristas curvas. Las caras curvas pueden permitir que existan caras digonales con un área positiva.
Poliedros esféricos
Cuando la superficie de una esfera se divide por muchos arcos grandes (equivalentemente, por planos que pasan por el centro de la esfera), el resultado se llama poliedro esférico. Muchos politopes convexos que tienen algún grado de simetría (por ejemplo, todos los sólidos platónicos) pueden proyectarse sobre la superficie de una esfera concéntrica para producir un poliedro esférico. Sin embargo, el proceso inverso no siempre es posible; algunos poliedros esféricos (como la hoshedra) no tienen un análogo de cara plana.
Poliedros curvos llenos de espacio
Si se permite que las caras sean cóncavas y convexas, se puede hacer que las caras adyacentes se junten sin espacios. Algunos de estos poliedros curvos se pueden agrupar para llenar el espacio. Dos tipos importantes son:
- Burbujas en espuma y espuma, como burbujas de Weaire-Phelan.
- Formularios utilizados en arquitectura.
Esqueletos y poliedros como gráficos
Al olvidar la estructura de la cara, cualquier poliedro da lugar a un gráfico, llamado su esqueleto, con los vértices y bordes correspondientes. Tales figuras tienen una larga historia: Leonardo da Vinci ideó modelos de montura de los sólidos regulares, que dibujó para el libro de Divina Proportione de Pacioli , y poliedros de estructura de alambre similares aparecen en las estrellas deMC Escher . Un aspecto destacado de este enfoque es el teorema de Steinitz, que ofrece una caracterización puramente gráfica de los esqueletos de poliedros convexos: establece que el esqueleto de cada poliedro convexo es un gráfico plano conectado en 3, y cada gráfico plano 3 conectado es el esqueleto de algún poliedro convexo.
Una primera idea de poliedros abstractos se desarrolló en el estudio de Branko Grünbaum sobre "poliedros de caras huecas". Grünbaum definió las caras como conjuntos de vértices ordenados cíclicamente, y les permitió ser sesgados y planos.
La perspectiva del gráfico permite aplicar la terminología y las propiedades de los gráficos a los poliedros. Por ejemplo, el tetraedro y el poliedro Császár son los únicos poliedros conocidos cuyos esqueletos son gráficos completos (K 4 ), y varias restricciones de simetría sobre los poliedros dan lugar a esqueletos que son gráficos simétricos.
Usos alternativos
Desde la segunda mitad del siglo XX, se ha encontrado que varias construcciones matemáticas tienen propiedades también presentes en los poliedros tradicionales. En lugar de limitar el término "poliedro" para describir un politopo tridimensional, se ha adoptado para describir varios tipos relacionados pero distintos de estructura.
Poliedros de dimensión superior
Un poliedro se ha definido como un conjunto de puntos en el espacio real afín (o euclidiano) de cualquier dimensión n que tiene lados planos. Alternativamente, se puede definir como la intersección de finitos medios espacios. A diferencia de un poliedro convencional, puede ser acotado o no. En este sentido, un politopo es un poliedro delimitado.
Analíticamente, dicho poliedro convexo se expresa como la solución establecida para un sistema de desigualdades lineales. La definición de poliedros de esta manera proporciona una perspectiva geométrica para los problemas en la programación lineal. Muchas formas poliédricas tradicionales son poliedros en este sentido. Otros ejemplos incluyen:
- Un cuadrante en el plano. Por ejemplo, la región del plano cartesiano que consiste en todos los puntos sobre el eje horizontal y hacia la derecha del eje vertical: {( x , y ): x ≥ 0, y ≥ 0} . Sus lados son los dos ejes positivos, y de lo contrario no tiene límites.
- Un octante en 3-espacio euclidiano, {( x , y , z ): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} .
- Un prisma de extensión infinita. Por ejemplo, un prisma cuadrado doblemente infinito en 3 espacios, que consiste en un cuadrado en el plano xy barrido a lo largo del eje z : {( x , y , z ): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
- Cada celda en una teselación de Voronoi es un poliedro convexo. En la teselación de Voronoi de un conjunto S , la celda A correspondiente a un punto c ∈ S está limitada (de ahí un poliedro tradicional) cuando c se encuentra en el interior del casco convexo de S , y de lo contrario (cuando c se encuentra en el límite de el casco convexo de S ) A no tiene límites.
Poliedros topológicos
Un politópico topológico es un espacio topológico dado junto con una descomposición específica en formas que son topológicamente equivalentes a los politopos convexos y que están unidos entre sí de manera regular.
Tal figura se llama simplicial si cada una de sus regiones es un simplex, es decir, en un espacio n-dimensional, cada región tiene n +1 vértices. El dual de un polytope simplicial se llama simple . De manera similar, una clase ampliamente estudiada de politopos (poliedros) es la de poliedros cúbicos, cuando el bloque básico es un cubo n- dimensional.
Poliedro abstracto
Un politopo abstracto es un conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos cuyo ordenamiento parcial obedece a ciertas reglas de incidencia (conectividad) y clasificación. Los elementos del conjunto corresponden a los vértices, los bordes, las caras, etc. del politopo: los vértices tienen el rango 0, el rango de los bordes 1, etc. con el ordenamiento parcialmente ordenado correspondiente a la dimensionalidad de los elementos geométricos. El conjunto vacío, requerido por la teoría de conjuntos, tiene un rango de -1 y algunas veces se dice que corresponde al politopo nulo. Un poliedro abstracto es un politopo abstracto que tiene la siguiente clasificación:
- rango 3: El elemento máximo, a veces identificado con el cuerpo.
- rango 2: las caras poligonales.
- rango 1: los bordes.
- rango 0: los vértices.
- rango -1: el conjunto vacío, a veces identificado con el politopo nulo o nullitope </ ref>.
Se dice que cualquier poliedro geométrico es una "realización" en el espacio real del poset abstracto como se describió anteriormente.
Historia
Antiguo
- Prehistoria
Los poliedros aparecieron en las primeras formas arquitectónicas, como cubos y cuboides, y las primeras pirámides de cuatro lados del antiguo Egipto también datan de la Edad de Piedra.
Los etruscos precedieron a los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento de un dodecaedro etrusco hecho de esteatita en Monte Loffa. Sus rostros fueron marcados con diferentes diseños, lo que sugiere a algunos estudiosos que puede haber sido utilizado como un dado de juego.
- Civilización griega
Los registros escritos más antiguos conocidos de estas formas provienen de autores griegos clásicos, quienes también dieron la primera descripción matemática conocida de ellos. Los primeros griegos estaban interesados principalmente en los poliedros regulares convexos, que llegaron a conocerse como los sólidos platónicos. Pitágoras conocía al menos a tres de ellos, y Teeteto (circa 417 a. C.) describió los cinco. Eventualmente, Euclid describió su construcción en sus Elementos . Más tarde, Arquímedes amplió su estudio al poliedro uniforme convexo que ahora lleva su nombre. Su trabajo original se pierde y sus sólidos nos llegan a través de Pappus.
- China
Los dados de juegos cúbicos en China se remontan al año 600 aC
Por 236 AD, Liu Hui estaba describiendo la disección del cubo en su tetraedro característica (orthoscheme) y los sólidos relacionados, usando conjuntos de estos sólidos como base para el cálculo de volúmenes de tierra para ser movido durante las excavaciones de ingeniería.
- Civilización islámica
Después del final de la era clásica, los estudiosos de la civilización islámica continuaron llevando el conocimiento griego hacia adelante (ver Matemáticas en el Islam medieval).
El erudito del siglo noveno Thabit ibn Qurra dio fórmulas para calcular los volúmenes de poliedros como las pirámides truncadas.
Luego, en el siglo X, Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos convexos regulares y cuasiregulares.
Renacimiento
Al igual que con otras áreas del pensamiento griego mantenido y mejorado por los estudiosos islámicos, el interés occidental en los poliedros revivió durante el Renacimiento italiano. Los artistas construyeron poliedros esqueléticos, representándolos de la vida como parte de sus investigaciones en perspectiva. Varios aparecen en paneles de marquetería del período. Piero della Francesca dio la primera descripción escrita de la construcción geométrica directa de tales perspectivas de poliedros. Leonardo da Vinci hizo modelos esqueléticos de varios poliedros y dibujó ilustraciones de ellos para un libro de Pacioli. Una pintura de un artista anónimo de Pacioli y un alumno representa un rombocuboctaedro de vidrio medio lleno de agua.
A medida que el Renacimiento se extendió más allá de Italia, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer, Durero y otros también representaron poliedros de varios tipos, muchos de ellos novedosos, en grabados imaginativos.
Poliedra estrella
Durante casi 2.000 años, el concepto de un poliedro como un sólido convexo había permanecido tal como lo desarrollaron los antiguos matemáticos griegos.
Durante el Renacimiento se descubrieron formas de estrellas. Una tarsia de mármol en el piso de la Basílica de San Marcos, Venecia, representa un dodecaedro estrellado. Artistas como Wenzel Jamnitzer se deleitaban en representar formas novelescas de creciente complejidad.
Johannes Kepler (1571 - 1630) usó polígonos estrella, típicamente pentagramas, para construir poliedros estrella. Algunas de estas figuras pueden haber sido descubiertas antes del tiempo de Kepler, pero él fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los politopos regulares deben ser convexos. Más tarde, Louis Poinsot se dio cuenta de que las figuras de vértices de las estrellas (circuitos alrededor de cada esquina) también se pueden usar, y descubrió los dos poliedros estrellas normales restantes. Cauchy probó la lista de Poinsot completa, y Cayley les dio sus nombres en inglés aceptados: (Kepler) el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado, y (Poinsot) el gran icosaedro y el gran dodecaedro. Colectivamente se llaman poliedros Kepler-Poinsot.
Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de los sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación. La mayoría de las estelaciones no son regulares. El estudio de las estelas de los sólidos platónicos recibió un gran impulso de HSM Coxeter y otros en 1938, con el ahora famoso periódico The 59 icosahedra .
El proceso recíproco a la estelación se llama facetado (o facetado). Cada estelación de un politopo es dual, o recíproca, para algunas facetas del politopo dual. El poliedro estrella regular también se puede obtener facetando los sólidos platónicos. Bridge (1974) enumeró las facetas más simples del dodecaedro, y las reciprocó para descubrir una estelación del icosaedro que faltaba en el conjunto de "59". Se han descubierto más desde entonces, y la historia aún no ha terminado.
Fórmula y topología de Euler
Otros dos desarrollos matemáticos modernos tuvieron un profundo efecto en la teoría del poliedro.
En 1750, el alemán Leonhard Euler consideró por primera vez los bordes de un poliedro, lo que le permitió descubrir su fórmula de poliedro que relaciona el número de vértices, bordes y caras. Esto marcó el nacimiento de la topología, a veces denominada "geometría de la lámina de goma", y el francés Henri Poincaré desarrolló sus ideas centrales hacia fines del siglo XIX. Esto permitió resolver muchos problemas antiguos sobre lo que era o no era un poliedro.
Max Brückner resumió el trabajo sobre poliedros hasta la fecha, incluidos muchos hallazgos propios, en su libro "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Polígonos y poliedros: teoría e historia). Publicado en alemán en 1900, se mantuvo poco conocido.
Mientras tanto, el descubrimiento de dimensiones más altas llevó a la idea de un poliedro como un ejemplo tridimensional del politopo más general.
El renacimiento del siglo veinte
En los primeros años del siglo XX, los matemáticos habían avanzado y la geometría era poco estudiada. El análisis de Coxeter en The Fifty-Nine Icosahedra introdujo las ideas modernas de la teoría de los gráficos y la combinatoria en el estudio de los poliedros, lo que indica un renacimiento del interés en la geometría.
El propio Coxeter pasó a enumerar por primera vez el poliedro uniforme de las estrellas, tratar los mosaicos del avión como poliedros, descubrir los poliedros oblicuos regulares y desarrollar la teoría de los poliedros complejos descubiertos por Shephard en 1952, así como los fundamentos fundamentales. contribuciones a muchas otras áreas de la geometría.
En la segunda parte del siglo XX, Grünbaum publicó importantes obras en dos áreas. Una fue en politopes convexos, donde notó una tendencia entre los matemáticos a definir un "poliedro" de maneras diferentes y, a veces incompatibles, para adaptarse a las necesidades del momento. El otro era una serie de artículos que ampliaban la definición aceptada de un poliedro, por ejemplo descubriendo muchos nuevos poliedros regulares. Al final del siglo XX, estas últimas ideas se fusionaron con otros trabajos sobre complejos de incidencia para crear la idea moderna de un poliedro abstracto (como un 3-polytope abstracto), notablemente presentado por McMullen y Schulte.
Poliedros en la naturaleza
Para las ocurrencias naturales de poliedros regulares, vea Poliedro regular: Poliedros regulares en la naturaleza.
Los poliedros irregulares aparecen en la naturaleza como cristales.