Infinito (símbolo: ∞ )
Definición
Infinito (símbolo: ∞ ) es un concepto que describe algo sin ningún límite o más grande que cualquier número natural. Los filósofos han especulado sobre la naturaleza del infinito, por ejemplo Zenón de Elea, que propuso muchas paradojas que involucran el infinito, y Eudoxo de Cnido, quien usó la idea de cantidades infinitamente pequeñas en su método de agotamiento. Las matemáticas modernas usan el concepto general de infinito en la solución de muchos problemas prácticos y teóricos, como el cálculo y la teoría de conjuntos, y la idea también se usa en física y otras ciencias.
En matemáticas, "infinito" a menudo se trata como un número (es decir, cuenta o mide cosas: "un número infinito de términos"), pero no es el mismo tipo de número que un número natural o real.
Georg Cantor formalizó muchas ideas relacionadas con el infinito y conjuntos infinitos a finales del siglo XIX y principios del XX. En la teoría que desarrolló, hay conjuntos infinitos de diferentes tamaños (llamados cardinalidades). Por ejemplo, el conjunto de enteros es contablemente infinito, mientras que el conjunto infinito de números reales es incontable.
Historia
Las culturas antiguas tenían varias ideas sobre la naturaleza del infinito. Los antiguos indios y griegos no definieron el infinito en un formalismo preciso como lo hacen las matemáticas modernas, y en su lugar se acercaron al infinito como un concepto filosófico.
Griego temprano
La idea más antigua registrada de infinito proviene de Anaximandro, un filósofo griego presocrático que vivió en Mileto. Utilizó la palabra apeiron que significa infinito o ilimitado. Sin embargo, los relatos atestiguan tes más tempranos del infinito matemático provienen de Zeno de Elea (nacido hacia el 490 aC ), un filósofo griego presocrático del sur de Italia y miembro de la escuela eleática fundada por Parménides. . Aristóteles lo llamó el inventor de la dialéctica. Es mejor conocido por sus paradojas, descritas por Bertrand Russell como "inconmensurablemente sutiles y profundas".
De acuerdo con la visión tradicional de Aristóteles, los griegos helenísticos generalmente preferían distinguir el infinito potencial del infinito real; por ejemplo, en lugar de decir que hay una infinidad de números primos, Euclides prefiere decir que hay más números primos que contenidos en cualquier colección dada de números primos.
Sin embargo, las lecturas recientes del Palimpsesto de Arquímedes han encontrado que Arquímedes tenía una comprensión sobre cantidades reales infinitas. Según los Sistemas y Controles Dinámicos no lineales , se ha descubierto que Arquímedes es "el primero en abordar rigurosamente la ciencia del infinito con conjuntos infinitamente grandes usando pruebas matemáticas precisas".
Indio temprano
El texto matemático Jain Surya Prajnapti (c., 4 ° -3 ° siglo AEC) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerable, innumerable e infinito. Cada uno de estos fue subdividido en tres órdenes:
- Enumerable: más bajo, intermedio y más alto
- Innumerable: casi innumerable, verdaderamente innumerable e innumerablemente innumerable
- Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito
En este trabajo, se distinguen dos tipos básicos de números infinitos. Tanto en el terreno físico como en el ontológico, se hizo una distinción entre
asaṃkhyāta ("incontable, innumerable") y ananta ("infinito, ilimitado"), entre infinitos límites rígidos y infinitos.
asaṃkhyāta ("incontable, innumerable") y ananta ("infinito, ilimitado"), entre infinitos límites rígidos y infinitos.
siglo 17
Los matemáticos europeos comenzaron a utilizar números y expresiones infinitas de manera sistemática en el siglo XVII. En 1655, John Wallis utilizó por primera vez la notación para tal número en su De sectionibus conicis y la explotó en cálculos de área dividiendo la región en bandas infinitesimales de ancho en el orden de Pero en Arithmetica infinitorum (1655 también) indica series infinitas, infinitas productos y fracciones continuas infinitas anotando algunos términos o factores y luego agregando "& c". Por ejemplo, "1, 6, 12, 18, 24, etc."
En 1699, Isaac Newton escribió sobre ecuaciones con un número infinito de términos en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas.
Matemáticas
Hermann Weyl abrió una dirección matemático-filosófica dada en 1930 con:
símbolo infinito
El símbolo de infinito (a veces llamado lemniscate) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito. El símbolo está codificado en Unicode en U + 221E ∞ infinito (HTML • ) y en LaTeX como .
∞ ∞\inftyFue introducido en 1655 por John Wallis y, desde su introducción, también se ha utilizado fuera de las matemáticas en el misticismo moderno y la simbología literaria.
Cálculo
Leibniz, uno de los co-inventores del cálculo infinitesimal, especuló ampliamente acerca de los números infinitos y su uso en las matemáticas. Para Leibniz, tanto los infinitesimales como las cantidades infinitas eran entidades ideales, no de la misma naturaleza que las cantidades apreciables, pero que gozaban de las mismas propiedades de acuerdo con la Ley de la Continuidad.
Análisis real
En el análisis real, el símbolo , llamado "infinito", se utiliza para denotar un límite ilimitado. significa que x crece sin límite, y significa que el valor de x está disminuyendo sin límite. Si f ( t ) ≥ 0 por cada t , entonces
- significa que f ( t ) no une un área finita de a
- significa que el área bajo f ( t ) es infinita.
- significa que el área total bajo f ( t ) es finita, y es igual
Infinity también se usa para describir series infinitas:
- significa que la suma de la serie infinita converge a algún valor real .
- significa que la suma de las series infinitas diverge en el sentido específico de que las sumas parciales crecen sin límite.
Infinity se puede usar no solo para definir un límite sino como un valor en el sistema de números reales extendidos. Los puntos están etiquetados y pueden agregarse al espacio topológico de los números reales, produciendo la compactación de dos puntos de los números reales. Agregar propiedades algebraicas a esto nos da los números reales extendidos. También podemos tratar y como el mismo, lo que lleva a la compactación de un solo punto de los números reales, que es la línea proyectiva real. La geometría proyectiva también se refiere a una línea en el infinito en la geometría plana, un plano en el infinito en el espacio tridimensional y un hiperplano en el infinito para las dimensiones generales, cada una de las cuales consiste en puntos en el infinito.
Análisis complejo
En el análisis complejo, el símbolo , llamado "infinito", denota un límite infinito sin signo. significa que la magnitud de x crece más allá de cualquier valor asignado. Un punto etiquetado se puede agregar al plano complejo como un espacio topológico que proporciona la compactación de un punto del plano complejo. Cuando se hace esto, el espacio resultante es una variedad compleja unidimensional, o superficie de Riemann, llamada el plano complejo extendido o la esfera de Riemann. También se pueden definir operaciones aritméticas similares a las dadas anteriormente para los números reales extendidos, aunque no hay distinción en los signos (por lo tanto, una excepción es que el infinito no se puede agregar a sí mismo). Por otro lado, este tipo de infinito permite la división por cero, es decir
para cualquier número complejo distinto de cero z . En este contexto, a menudo es útil considerar las funciones meromórficas como mapas en la esfera de Riemann tomando el valor de en los polos. El dominio de una función de valores complejos se puede extender para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius.
para cualquier número complejo distinto de cero z . En este contexto, a menudo es útil considerar las funciones meromórficas como mapas en la esfera de Riemann tomando el valor de en los polos. El dominio de una función de valores complejos se puede extender para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius.
Análisis no estándar
La formulación original de cálculo infinitesimal de Isaac Newton y Gottfried Leibniz utilizó cantidades infinitesimales. En el siglo XX, se demostró que este tratamiento podría ponerse en pie de manera rigurosa a través de varios sistemas lógicos, incluido un análisis infinitesimal sin problemas y un análisis no estándar. En este último, los infinitesimales son invertibles, y sus inversas son números infinitos. Las infinidades en este sentido son parte de un campo hiperreal; no hay equivalencia entre ellos como con los transfinitos de Cantor. Por ejemplo, si H es un número infinito, entonces H + H = 2 H y H + 1 son números infinitos distintos. Esta aproximación al cálculo no estándar está completamente desarrollada en Keisler (1986).
Teoría de conjuntos
Una forma diferente de "infinito" son los infinitos ordinales y cardinales de la teoría de conjuntos. Georg Cantor desarrolló un sistema de números transfinitos, en el cual el primer cardinal transfinito es aleph-null ( ℵ 0 ), la cardinalidad del conjunto de números naturales. Esta moderna concepción matemática del infinito cuantitativo se desarrolló a fines del siglo XIX a partir del trabajo de Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind y otros, utilizando la idea de colecciones o conjuntos.
El enfoque de Dedekind consistía esencialmente en adoptar la idea de la correspondencia uno a uno como estándar para comparar el tamaño de los conjuntos, y rechazar la opinión de Galileo (que derivaba de Euclides) de que el todo no puede ser del mismo tamaño que la parte ( sin embargo, vea la paradoja de Galileo donde concluye que los enteros positivos que son cuadrados y todos los enteros positivos son del mismo tamaño). Un conjunto infinito simplemente puede definirse como uno que tiene el mismo tamaño que al menos una de sus partes apropiadas; esta noción de infinito se llama Dedekind infinite. El diagrama da un ejemplo: viendo líneas como conjuntos infinitos de puntos, la mitad izquierda de la línea azul inferior se puede mapear en una forma de uno a uno (correspondencias verdes) a la línea azul más alta, y, a su vez, a la toda la línea azul inferior (correspondencias rojas);
Cantor definió dos tipos de números infinitos: números ordinales y números cardinales. Los números ordinales se pueden identificar con conjuntos bien ordenados, o contando llevado a cualquier punto de detención, incluidos los puntos después de que ya se haya contado un número infinito. La generalización de las secuencias infinitas finitas y ordinarias que son mapas de los enteros positivos conduce a mapeos a partir de números ordinales y secuencias transfinitas. Los números cardinales definen el tamaño de los conjuntos, es decir, cuántos miembros contienen, y se pueden estandarizar eligiendo el primer número ordinal de un cierto tamaño para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los enteros positivos, y cualquier conjunto que tenga la cardinalidad de los enteros es contablemente infinito. Si un conjunto es demasiado grande para ponerlo en correspondencia uno a uno con los enteros positivos, incontable . Las opiniones de Cantor prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan el infinito real. Ciertos sistemas numéricos extendidos, como los números hiperreales, incorporan los números ordinarios (finitos) y números infinitos de diferentes tamaños.
Cardinalidad del continuo
Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo es mayor que la de los números naturales ; es decir, hay más números reales R de los números naturales N . A saber, Cantor mostró eso (ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontable de Cantor).
La hipótesis del continuo dice que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir, (ver Beth uno). Esta hipótesis no puede ser probada ni refutada dentro de la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel ampliamente aceptada, incluso asumiendo el Axioma de la Elección.
La aritmética cardinal puede usarse para mostrar no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa línea, sino que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, en cualquier espacio de dimensión finita.
El primero de estos resultados es aparente al considerar, por ejemplo, la función tangente, que proporciona una correspondencia uno a uno entre el intervalo (-π / 2, π / 2) y R (véase también la paradoja de Hilbert del Grand Hotel ) El segundo resultado fue probado por Cantor en 1878, pero solo se hizo intuitivamente evidente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas llenas de espacio, líneas curvas que se tuercen y giran lo suficiente para llenar el conjunto de cualquier cuadrado, cubo o hipercubo, o espacio de dimensión finita. Estas curvas se pueden usar para definir una correspondencia uno a uno entre los puntos en un lado de un cuadrado y los puntos en el cuadrado.
Geometría y topología
Los espacios infinitamente dimensionales se utilizan ampliamente en geometría y topología, particularmente como espacios de clasificación, como espacios de Eilenberg-MacLane. Los ejemplos comunes son el espacio proyectivo complejo de dimensión infinita K (Z, 2) y el espacio proyectivo real infinitamente dimensional K (Z / 2Z, 1).
Fractales
La estructura de un objeto fractal se reitera en sus aumentos. Los fractales pueden magnificarse indefinidamente sin perder su estructura y volverse "lisos"; tienen perímetros infinitos, algunos con infinito y otros con áreas de superficie finita. Una de esas curvas fractales con un perímetro infinito y un área de superficie finita es el copo de nieve de Koch.
Matemáticas sin infinito
Leopold Kronecker era escéptico de la noción de infinito y de cómo sus compañeros matemáticos lo usaban en los años 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas llamada finitismo, una forma extrema de la filosofía matemática en las escuelas filosóficas y matemáticas generales del constructivismo y el intuicionismo.
Física
En física, las aproximaciones de números reales se usan para mediciones continuas y los números naturales se usan para mediciones discretas (es decir, contar). Por lo tanto, los físicos suponen que ninguna cantidad medible podría tener un valor infinito, por ejemplo, tomando un valor infinito en un sistema numérico real extendido, o requiriendo el conteo de un número infinito de eventos. Es, por ejemplo, presumiblemente imposible que cualquier tipo de cuerpo tenga una masa infinita o energía infinita. Los conceptos de cosas infinitas como una onda plana infinita existen, pero no hay medios experimentales para generarlos.
Aplicaciones teóricas del infinito físico
La práctica de rechazar valores infinitos para cantidades mensurables no viene de a priori o motivaciones ideológicas, sino más bien de motivaciones más metodológicas y pragmáticas. Una de las necesidades de cualquier teoría física y científica es dar fórmulas útiles que correspondan o al menos se aproximen a la realidad. Como ejemplo, si existiera cualquier objeto de masa gravitatoria infinita, cualquier uso de la fórmula para calcular la fuerza gravitacional daría lugar a un resultado infinito, lo que no sería beneficioso ya que el resultado sería siempre el mismo independientemente de la posición y la masa del otro objeto. La fórmula no sería útil ni para calcular la fuerza entre dos objetos de masa finita ni para calcular sus movimientos. Si existiera un objeto de masa infinita, cualquier objeto de masa finita sería atraído por la fuerza infinita (y por lo tanto aceleración) por el objeto de masa infinita, que no es lo que podemos observar en la realidad. A veces, el resultado infinito de una cantidad física puede significar que la teoría que se usa para calcular el resultado puede estar acercándose al punto donde falla. Esto puede ayudar a indicar las limitaciones de una teoría.
Este punto de vista no significa que el infinito no se puede usar en física. Por conveniencia, los cálculos, ecuaciones, teorías y aproximaciones a menudo usan series infinitas, funciones ilimitadas, etc., y pueden involucrar cantidades infinitas. Sin embargo, los físicos requieren que el resultado final sea físicamente significativo. En la teoría cuántica de campos surgen infinitos que necesitan ser interpretados de tal manera que conduzcan a un resultado físicamente significativo, un proceso llamado renormalización.
Sin embargo, hay algunas circunstancias teóricas donde el resultado final es infinito. Un ejemplo es la singularidad en la descripción de los agujeros negros. Algunas soluciones de las ecuaciones de la teoría general de la relatividad permiten distribuciones de masa finita de tamaño cero y, por lo tanto, densidad infinita. Este es un ejemplo de lo que se llama una singularidad matemática, o un punto donde se rompe una teoría física. Esto no necesariamente significa que existen infinitos físicos; puede significar simplemente que la teoría es incapaz de describir la situación adecuadamente. Existen otros dos ejemplos en las leyes de fuerza inverso-cuadrado de la ecuación de fuerza gravitacional de la gravedad newtoniana y la ley de electrostática de Coulomb. En r = 0 estas ecuaciones se evalúan a infinitos.
Cosmología
La primera propuesta publicada de que el universo es infinito vino de Thomas Digges en 1576. Ocho años después, en 1584, el filósofo y astrónomo italiano Giordano Bruno propuso un universo sin límites en On the Infinite Universe and Worlds : "Innumerables soles existen, innumerables tierras giran alrededor de estos soles de una manera similar a la forma en que los siete planetas giran alrededor de nuestro Sol. Los seres vivos habitan estos mundos ".
Los cosmólogos han buscado durante mucho tiempo descubrir si el infinito existe en nuestro universo físico: ¿hay un número infinito de estrellas? ¿El universo tiene volumen infinito? ¿El espacio "dura para siempre"? Esta es una pregunta abierta de la cosmología. La cuestión de ser infinito está lógicamente separada de la cuestión de tener límites. La superficie bidimensional de la Tierra, por ejemplo, es finita, pero no tiene borde. Al viajar en línea recta con respecto a la curvatura de la Tierra, uno eventualmente regresará al punto exacto desde donde comenzó. El universo, al menos en principio, podría tener una topología similar. Si es así, uno podría regresar al punto de partida después de viajar en línea recta a través del universo por el tiempo suficiente.
La curvatura del universo se puede medir a través de momentos multipolo en el espectro de la radiación cósmica de fondo. Hasta la fecha, el análisis de los patrones de radiación registrados por la nave espacial WMAP sugiere que el universo tiene una topología plana. Esto sería consistente con un universo físico infinito.
Sin embargo, el universo podría ser finito, incluso si su curvatura es plana. Una manera fácil de entender esto es considerar ejemplos bidimensionales, como los videojuegos, donde los elementos que dejan un borde de la pantalla reaparecen en el otro. La topología de tales juegos es toroidal y la geometría es plana. También existen muchas posibles posibilidades limitadas y planas para el espacio tridimensional.
El concepto de infinito también se extiende a la hipótesis del multiverso, la cual, cuando es explicada por astrofísicos como Michio Kaku, postula que hay un número infinito y variedad de universos.
Lógica
En lógica, un argumento de regresión infinita es "un tipo de argumento distintivamente filosófico que pretende demostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando (forma A) no existe tal serie o (forma B) si existiera, la tesis carecería del papel (por ejemplo, de justificación) que se supone que debe jugar ".
Informática
El estándar de punto flotante IEEE (IEEE 754) especifica los valores de infinito positivo y negativo (y también valores indefinidos). Estos se definen como el resultado del desbordamiento aritmético, la división por cero y otras operaciones excepcionales.
Algunos lenguajes de programación, como Java y J, le permiten al programador un acceso explícito a los valores de infinito positivo y negativo como constantes de lenguaje. Estos pueden usarse como los elementos más grandes y menos, ya que comparan (respectivamente) mayor o menor que todos los demás valores. Tienen usos como valores centinela en algoritmos que implican clasificación, búsqueda o ventanas.
En idiomas que no tienen los elementos más grandes y menos, pero permiten la sobrecarga de operadores relacionales, es posible que un programador cree los elementos más grandes y menos. En los idiomas que no proporcionan acceso explícito a dichos valores desde el estado inicial del programa, pero implementan el tipo de datos de coma flotante, los valores de infinito aún pueden ser accesibles y utilizables como resultado de ciertas operaciones.
Artes, juegos y ciencias cognitivas
Las ilustraciones de Perspective utilizan el concepto de puntos de fuga, que corresponden aproximadamente a puntos matemáticos en el infinito, ubicados a una distancia infinita del observador. Esto permite a los artistas crear pinturas que realicen el espacio, las distancias y las formas de manera realista. El artista MC Escher es específicamente conocido por emplear el concepto de infinito en su trabajo de esta y otras maneras.
Las variaciones de ajedrez jugadas en un tablero sin límites se llaman ajedrez infinito.
El científico cognitivo George Lakoff considera el concepto de infinito en las matemáticas y las ciencias como una metáfora. Esta perspectiva se basa en la metáfora básica del infinito (IMC), definida como la secuencia cada vez mayor <1,2,3, ...>.
El símbolo a menudo se usa románticamente para representar el amor eterno. Varios tipos de joyas están formadas en forma de infinito para este propósito.