Multiplicación
Definición
La multiplicación (a menudo denotada por el símbolo de la cruz " × ", por un punto " ⋅ ", por yuxtaposición, o, en las computadoras, por un asterisco " * ") es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética; siendo los otros suma, resta y división.
La multiplicación de números enteros puede pensarse como una suma repetida; es decir, la multiplicación de dos números equivale a agregar tantas copias de una de ellas, el multiplicando, como el valor de la otra, el multiplicador . El multiplicador se puede escribir primero y multiplicando el segundo (aunque la costumbre puede variar según la cultura).
Por ejemplo, 4 multiplicado por 3 (a menudo escrito como y hablado como "3 por 4") puede calcularse sumando 3 copias de 4 juntas:
Aquí 3 y 4 son los factores y 12 es el producto .
Una de las principales propiedades de la multiplicación es la propiedad conmutativa: agregar 3 copias de 4 da el mismo resultado que agregar 4 copias de 3:
Por lo tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta el resultado de la multiplicación.
La multiplicación de números enteros (incluidos números negativos), números racionales (fracciones) y números reales se define por una generalización sistemática de esta definición básica.
La multiplicación también se puede visualizar como contar objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros) o como encontrar el área de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes. El área de un rectángulo no depende de qué lado se mide primero, lo que ilustra la propiedad conmutativa. El producto de dos mediciones es un nuevo tipo de medición, por ejemplo, la multiplicación de las longitudes de los dos lados de un rectángulo da su área, este es el tema del análisis dimensional.
La operación inversa de la multiplicación es la división. Por ejemplo, como 4 multiplicado por 3 es igual a 12, entonces 12 dividido por 3 es igual a 4. La multiplicación por 3, seguida por la división por 3, arroja el número original (ya que la división de un número distinto de 0 en sí es igual a 1).
La multiplicación también se define para otros tipos de números, como números complejos y construcciones más abstractas, como matrices. Para estas construcciones más abstractas, a veces importa el orden en que se multiplican los operandos. Una lista de los diferentes tipos de productos que se utilizan en matemáticas se da en la página del producto (matemáticas).
Notación y terminología
En aritmética, la multiplicación a menudo se escribe con el signo "×" entre los términos; es decir, en notación infija. Por ejemplo,
- (verbalmente, "dos veces tres es igual a seis")
El signo está codificado en Unicode en U + 00D7 ×
SIGNO DE MULTIPLICACIÓN (HTML
SIGNO DE MULTIPLICACIÓN (HTML
× • × ).Hay otras notaciones matemáticas para la multiplicación:
- La multiplicación también se denota mediante signos de puntos, generalmente un punto de posición media (raramente período):
- La notación de punto medio, codificada en Unicode como U + 22C5 ⋅ dot operator , es estándar en los Estados Unidos, el Reino Unido y otros países donde el período se usa como punto decimal. Cuando el carácter de operador de punto no es accesible, se usa la interposición (•). En otros países que usan una coma como marca decimal, el período o un punto medio se usa para la multiplicación.
- En álgebra, la multiplicación que involucra variables a menudo se escribe como una yuxtaposición (por ejemplo, xy para x veces y o 5 x para cinco veces x ), también llamada multiplicación implícita . La notación también se puede usar para cantidades que están rodeadas por paréntesis (por ejemplo, 5 (2) o (5) (2) por cinco veces dos). Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando un nombre de variable delante de un paréntesis puede confundirse con un nombre de función o en la determinación correcta del orden de las operaciones.
- En la multiplicación de matrices, hay una distinción entre los símbolos de cruz y de punto. El símbolo de la cruz generalmente denota el tomar un producto cruzado de dos vectores, produciendo un vector como resultado, mientras que el punto denota tomar el producto de puntos de dos vectores, dando como resultado un escalar.
En la programación de computadoras, el asterisco (como en
5*2) sigue siendo la notación más común. Esto se debe al hecho de que la mayoría de las computadoras históricamente se limitaban a juegos de caracteres pequeños (como ASCII y EBCDIC) que carecían de un signo de multiplicación (como ⋅ o ×), mientras que el asterisco aparecía en cada teclado. Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN.Los números que se multiplicarán generalmente se llaman los "factores". El número que se multiplicará se llama "multiplicando", mientras que el número de veces que se multiplicará proviene del "multiplicador". Usualmente el multiplicador se coloca primero y el multiplicando se coloca en segundo lugar, sin embargo a veces el primer factor es el multiplicando y el segundo el multiplicador. Adicionalmente, hay algunas fuentes en las que el término "multiplicando" se considera sinónimo de "factor". En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en 3 xy ) se llama coeficiente.
El resultado de una multiplicación se llama producto. Un producto de enteros es un múltiplo de cada factor. Por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5, y es tanto un múltiplo de 3 como un múltiplo de 5.
Cálculo
Los métodos comunes para multiplicar números usando lápiz y papel requieren una tabla de multiplicar de productos memorizados o consultados de números pequeños (típicamente dos números cualquiera de 0 a 9), sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesino, no lo hace.
Multiplicar números a más de un par de decimales a mano es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar tales cálculos. La regla de cálculo permitió que los números se multiplicaran rápidamente a aproximadamente tres lugares de precisión. A partir de principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas, como Marchant, multiplicaron automáticamente números de hasta 10 dígitos. Las computadoras electrónicas modernas y las calculadoras han reducido en gran medida la necesidad de la multiplicación a mano.
Algoritmos históricos
Los métodos de multiplicación se documentaron en las civilizaciones egipcia, griega, india y china.
El hueso de Ishango, que data de aproximadamente 18,000 a 20,000 aC, sugiere un conocimiento de la multiplicación en la era del Paleolítico superior en África Central.
Egipcios
El método egipcio de multiplicación de enteros y fracciones, documentado en el Papiro de Ahmes, fue por sucesivas adiciones y duplicaciones. Por ejemplo, para encontrar el producto de 13 y 21 uno tenía que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42 , 4 × 21 = 2 × 42 = 84 , 8 × 21 = 2 × 84 = 168 . El producto completo se puede encontrar agregando los términos apropiados que se encuentran en la secuencia de duplicación:
- 13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.
Babilonios
Los babilonios usaban un sistema de números posicionales sexagesimales, análogo al sistema decimal moderno. Por lo tanto, la multiplicación de Babilonia fue muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la dificultad relativa de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilónicos emplearon tablas de multiplicar. Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un cierto número principal n : n , 2 n , ..., 20 n ; seguido por los múltiplos de 10 n : 30 n 40 n , y 50 n . Luego, para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53 n , solo se necesita agregar 50ny 3 n calculados a partir de la tabla.
chino
En el texto matemático Zhoubi Suanjing , fechado antes del 300 aC, y los Nueve capítulos sobre el arte matemático , los cálculos de multiplicación se escribieron en palabras, aunque los primeros matemáticos chinos emplearon cálculo de varilla que incluye suma, resta, multiplicación y división del valor posicional. Los chinos ya usaban una tabla de multiplicación decimal desde el período de los Estados Combatientes.
Métodos modernos
El moderno método de multiplicación basado en el sistema numeral hindú-árabe fue descrito por primera vez por Brahmagupta. Brahmagupta dio reglas para suma, resta, multiplicación y división. Henry Burchard Fine, entonces profesor de Matemáticas en la Universidad de Princeton, escribió lo siguiente:
- Los indios son los inventores, no solo del sistema decimal posicional, sino de la mayoría de los procesos involucrados en el cálculo elemental del sistema. La suma y la resta se realizaron tal como se realizan hoy en día; multiplicación que efectuaron de muchas maneras, la nuestra entre ellos, pero la división lo hicieron de manera torpe.
Estos algoritmos aritméticos decimales de valor posicional fueron introducidos en los países árabes por Al Khwarizmi a principios del siglo IX, y Fibonacci los popularizó en el mundo occidental en el siglo XIII.
Método de rejilla
La multiplicación del método Grid o el método de caja se usa en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales y en algunas áreas de los Estados Unidos para ayudar a comprender cómo funciona la multiplicación de múltiples dígitos. Un ejemplo de multiplicar 34 por 13 sería colocar los números en una cuadrícula como:
30 4 10 300 40 3 90 12
y luego agrega las entradas.
Algoritmos de computadora
El método clásico de multiplicar dos números de n dígitos requiere n multiplicaciones simples. Se han diseñado algoritmos de multiplicación que reducen considerablemente el tiempo de cálculo al multiplicar números grandes. En particular para números muy grandes, los métodos basados en la transformada discreta de Fourier pueden reducir el número de multiplicaciones simples al orden de n log ( n ) log log ( n ).
Productos de medidas
Uno solo puede agregar o quitar significativamente cantidades del mismo tipo pero puede multiplicar o dividir cantidades de diferentes tipos. Cuatro bolsas con tres canicas cada una pueden considerarse como:
- [4 bolsas] × [3 canicas por bolsa] = 12 canicas.
Cuando dos medidas se multiplican juntas, el producto es de un tipo que depende de los tipos de las mediciones. La teoría general viene dada por el análisis dimensional. Este análisis se aplica rutinariamente en física, pero también ha encontrado aplicaciones en las finanzas.
Un ejemplo común es multiplicar la velocidad por el tiempo da la distancia, por lo que
- 50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.
En este caso, las unidades de hora se cancelan y nos quedan solo unidades kilométricas.
Otros ejemplos:
- 2.5 metros × 4.5 metros = 11.25 metros cuadrados
- 11 metros / segundos × 9 segundos = 99 metros
- 4.5 residentes por casa × 20 casas = 90 residentes
Productos de secuencias
Notación Capital Pi
El producto de una secuencia de términos se puede escribir con el símbolo del producto, que se deriva de la letra mayúscula Π (Pi) en el alfabeto griego. La posición Unicode U + 220F (Π) contiene un glifo para indicar ese producto, distinto de U + 03A0 (Π), la letra. El significado de esta notación viene dado por:
es decir
El subíndice da el símbolo de una variable ficticia ( i en este caso), llamado el "índice de multiplicación" junto con su límite inferior ( 1 ), mientras que el superíndice (aquí 4 ) da su límite superior. El límite inferior y superior son expresiones que denotan números enteros. Los factores del producto se obtienen tomando la expresión que sigue al operador del producto, con valores enteros sucesivos sustituidos por el índice de multiplicación, comenzando desde el límite inferior e incrementándose en 1 hasta e incluyendo el límite superior. Así por ejemplo:
De manera más general, la notación se define como
donde m y n son enteros o expresiones que evalúan enteros. En caso de que m = n , el valor del producto es el mismo que el del factor individual x m . Si m > n , el producto es el producto vacío, con el valor 1.
Productos infinitos
También se pueden considerar productos de infinitos términos; estos se llaman productos infinitos. Notablemente, reemplazaríamos n arriba por el lemniscate ∞. El producto de dicha serie se define como el límite del producto de los primeros n términos, ya que n crece sin límite. Es decir, por definición,
Uno puede reemplazar de manera similar m con infinito negativo, y definir:
siempre que ambos límites existan.
Propiedades
Para los números reales y complejos, que incluyen, por ejemplo, números naturales, enteros y fracciones, la multiplicación tiene ciertas propiedades:
- Propiedad conmutativa
- El orden en que se multiplican dos números no importa:
- Propiedad asociativa
- Las expresiones que implican únicamente multiplicación o adición son invariables con respecto al orden de las operaciones:
- Propiedad distributiva
- Sostiene con respecto a la multiplicación sobre la suma. Esta identidad es de primordial importancia para simplificar las expresiones algebraicas:
- Elemento de identidad
- La identidad multiplicativa es 1; cualquier cosa multiplicada por 1 es en sí misma. Esta característica de 1 se conoce como propiedad de identidad :
- Propiedad de 0
- Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto se conoce como la propiedad cero de la multiplicación:
- Negación
- -1 veces cualquier número es igual al inverso aditivo de ese número.
- dónde
- -1 veces -1 es 1.
- Elemento inverso
- Cada número x , excepto 0, tiene un inverso multiplicativo , de tal manera que .
- Preservación de orden
- La multiplicación por un número positivo conserva el orden:
- Para a > 0 , si b > c, entonces ab > ac .
- La multiplicación por un número negativo invierte el orden:
- Para a <0 , si b > c, entonces ab < ac .
- Los números complejos no tienen un orden.
Otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación pueden no tener todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones.
Axiomas
En el libro Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basados en sus axiomas para los números naturales. La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:
Aquí S ( y ) representa el sucesor de y , o el número natural que sigue a y . Las diversas propiedades, como la asociatividad, pueden probarse a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluida la inducción. Por ejemplo S (0), denotado por 1, es una identidad multiplicativa porque
Los axiomas para enteros típicamente los definen como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en el tratamiento de ( x , y ) como equivalente a x - y cuando x y y son tratados como números enteros. Por lo tanto, ambos (0,1) y (1,2) son equivalentes a -1. El axioma de multiplicación para enteros definidos de esta manera es
La regla de que -1 × -1 = 1 se puede deducir de
La multiplicación se extiende de forma similar a los números racionales y luego a los números reales.
Multiplicación con teoría de conjuntos
El producto de enteros no negativos se puede definir con la teoría de conjuntos usando números cardinales o los axiomas de Peano. Vea a continuación cómo extender esto a la multiplicación de números enteros arbitrarios, y luego a números racionales arbitrarios. El producto de los números reales se define en términos de productos de números racionales, ver la construcción de los números reales.
Multiplicación en la teoría de grupos
Hay muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura del grupo. Estos axiomas son cierre, asociatividad y la inclusión de un elemento de identidad e inversas.
Un ejemplo simple es el conjunto de números racionales distintos de cero. Aquí tenemos la identidad 1, a diferencia de los grupos por debajo, donde la identidad es típicamente 0. Tenga en cuenta que con los racionales, debemos excluir cero porque, en virtud de la multiplicación, no tiene una inversa: no hay número racional que se pueda multiplicar por cero para dar como resultado 1. En este ejemplo, tenemos un grupo abeliano, pero ese no es siempre el caso.
Para ver esto, mira el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada, sobre un campo dado. Ahora es sencillo verificar el cierre, la asociatividad y la inclusión de identidad (la matriz de identidad) e inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo tanto, este grupo es no belga.
Otro hecho destacable es que los enteros bajo multiplicación no son un grupo, incluso si excluimos el cero. Esto se ve fácilmente por la inexistencia de un inverso para todos los elementos distintos de 1 y -1.
La multiplicación en la teoría de grupos se anota normalmente mediante un punto o mediante yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre los elementos). Entonces, el elemento multiplicador a por el elemento b podría ser anotado como a b o ab . Cuando se refiere a un grupo a través de la indicación del conjunto y la operación, se usa el punto, por ejemplo, nuestro primer ejemplo podría ser indicado por
Multiplicación de diferentes tipos de números
Los números pueden contar (3 manzanas), orden (la 3ª manzana) o medida (3.5 pies de altura); a medida que la historia de las matemáticas ha pasado de contar con los dedos a modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se generalizó a tipos de números más complicados y abstractos, y a cosas que no son números (como matrices) o que no se parecen mucho a los números ( como cuaterniones).
- Enteros
- es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da la cantidad de cosas en una matriz N amplia y M alta. La generalización a números negativos se puede hacer por
- y
- Las mismas reglas de signos se aplican a los números racionales y reales.
- Numeros racionales
- Generalización a las fracciones es de multiplicar los numeradores y denominadores respectivamente: . Esto le da al área de un rectángulo alto y ancho, y es igual a la cantidad de elementos en una matriz cuando los números racionales pasan a ser números enteros.
- Numeros reales
- Los números reales y sus productos se pueden definir en términos de secuencias de números racionales.
- Números complejos
- Teniendo en cuenta los números complejos y como pares ordenados de números reales y , el producto es . Este es el mismo que para reales, cuando las partes imaginarias y son cero.
- Equivalentemente, denotando como , tenemos
- Otras generalizaciones
- Ver la Multiplicación en la teoría de grupos, arriba, y el grupo Multiplicativo, que por ejemplo incluye la multiplicación de matrices. Un concepto de multiplicación muy general y abstracto es como la operación binaria "denotada en forma multiplicativa" (segunda) en un anillo. Un ejemplo de un anillo que no es ninguno de los sistemas numéricos anteriores es un anillo polinómico (puede agregar y multiplicar polinomios, pero los polinomios no son números en ningún sentido habitual).
- División
- A menudo, la división, es la misma que la multiplicación por un inverso, . La multiplicación para algunos tipos de "números" puede tener la división correspondiente, sin inversos; en un dominio integral x puede no tener " " inverso, pero puede definirse. En un anillo de división hay inversas, pero pueden ser ambiguas en anillos no conmutativos ya que no necesitan ser iguales .
Exponenciación
Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación . Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2 × 2 × 2) es "dos elevado a la tercera potencia", y se denota por 2, un dos con un superíndice tres. En este ejemplo, el número dos es la base , y tres es el exponente . En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión
indica que n copias de la base de un han de ser multiplicados entre sí. Esta notación se puede usar cuando se sabe que la multiplicación es poder asociativa.