Polígono
Definición
En la geometría elemental, un polígono ( / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) es una figura plana que está delimitado por una cadena finita de segmentsclosing línea recta en un bucle para formar una línea poligonal cerrada o circuito . Estos segmentos se llaman bordes o lados , y los puntos donde se juntan dos bordes son los vértices del polígono (singular: vértice) o las esquinas . El interior del polígono a veces se llama su cuerpo . Un n -gon es un polígono de n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3-gon. Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo más general en cualquier cantidad de dimensiones.
La noción geométrica básica de un polígono se ha adaptado de varias maneras para adaptarse a propósitos particulares. Los matemáticos a menudo solo se preocupan por la cadena poligonal cerrada limitante y por los polígonos simples que no se intersecan por sí mismos, y a menudo definen un polígono en consecuencia. Se puede permitir que un límite poligonal se corte, creando polígonos en forma de estrella y otros polígonos autointersecables. Estas y otras generalizaciones de polígonos se describen a continuación.
Etimología
La palabra "polígono" deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) "mucho", "muchos" y γωνία ( gōnía ) "esquina" o "ángulo". Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) "rodilla" puede ser el origen de "gon".
Clasificación
Número de lados
Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados. Vea la tabla de abajo.
Convexidad y no convexidad
Los polígonos se pueden caracterizar por su convexidad o tipo de no convexidad:
- Convexo: cualquier línea dibujada a través del polígono (y no tangente a un borde o esquina) cumple su límite exactamente dos veces. Como consecuencia, todos sus ángulos interiores son menores de 180 °. De forma equivalente, cualquier segmento de línea con puntos finales en el límite pasa solo a través de puntos interiores entre sus puntos finales.
- No convexo: se puede encontrar una línea que se encuentra con su límite más de dos veces. De manera equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa fuera del polígono.
- Simple: el límite del polígono no se cruza por sí mismo. Todos los polígonos convexos son simples.
- Cóncavo. No convexo y simple. Hay al menos un ángulo interior superior a 180 °.
- En forma de estrella: todo el interior es visible desde al menos un punto, sin cruzar ningún borde. El polígono debe ser simple, y puede ser convexo o cóncavo.
- Autointersecante: el límite del polígono se cruza a sí mismo. El término complejo se usa a veces en contraste con lo simple , pero este uso corre el riesgo de confundirse con la idea de un polígono complejo como el que existe en el complejo plano de Hilbert que consta de dos dimensiones complejas.
- Polígono estrella: un polígono que se interseca de manera regular. Un polígono no puede ser tanto una estrella como una estrella.
Igualdad y simetría
- Equiangular: todos los ángulos de esquina son iguales.
- Cíclico: todas las esquinas se encuentran en un círculo único, llamado circunferencia circunscrita.
- Isogonal o vertex-transitivo: todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita de simetría. El polígono también es cíclico y equiangular.
- Equilateral: todos los bordes son de la misma longitud. El polígono no necesita ser convexo.
- Tangencial: todos los lados son tangentes a un círculo inscrito.
- Isotoxal o transitivo de borde: todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría. El polígono es también equilátero y tangencial.
- Regular: el polígono es isogonal e isotóxico . De forma equivalente, es tanto cíclico como equilátero , o equilátero y equiangular . Un polígono regular no convexo se denomina polígono estrella regular .
Diverso
- Rectilíneo: los lados del polígono se encuentran en ángulos rectos, es decir, todos sus ángulos interiores son 90 o 270 grados.
- Monótona con respecto a una línea dada L : cada línea ortogonal a L corta el polígono no más de dos veces.
Propiedades y fórmulas
La geometría euclidiana se asume en todas partes.
Anglos
Cualquier polígono tiene tantas esquinas como lados. Cada esquina tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:
- Ángulo interior : la suma de los ángulos interiores de un simple n -gon es ( n - 2) π radianes o ( n - 2) × 180 grados. Esto se debe a que cualquier simple n -gon (que tenga n lados) se puede considerar como compuesta de ( n - 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un habitual convexa n -gon es radianes o grados. Los ángulos interiores de los polígonos estelares regulares fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo documento en el que describe los cuatro poliedros estrella regulares: para un regular -gon (un p -gon con densidad central q ), cada ángulo interior es radianes o grados.
- Ángulo exterior: el ángulo exterior es el ángulo suplementario al ángulo interior. Rastreo de alrededor de un convexa n -gon, el ángulo "se convirtió" en una esquina es el ángulo exterior o externo. El trazado alrededor del polígono da un giro completo, por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser de 360 °. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si los ángulos externos que giran en la dirección opuesta se restan del total convertido. Rastreo alrededor de un n -gon en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que uno gira en los vértices) puede ser cualquier número entero d de 360 °, por ejemplo, 720 ° para un pentagrama y 0 ° para un "ocho" angular o antiparalelogramos, donde d es la densidad o starriness del polígono. Ver también órbita (dinámica).
Área y centroide
Polígonos simples
Para un polígono que no se interseca a sí mismo (simple) con vértices, el área con signo y las coordenadas cartesianas del centroide están dadas por:
donde es la distancia al cuadrado entre y y
Para cerrar el polígono, el primer y el último vértices son iguales, es decir, x n , y n = x 0 , y 0 . Los vértices se deben ordenar según una orientación positiva o negativa (en sentido antihorario o en el sentido de las agujas del reloj, respectivamente); si se ordenan negativamente, el valor dado por la fórmula del área será negativo pero correcto en valor absoluto, pero cuando se calcule y se use el valor con signo de (que en este caso es negativo). Esto se conoce comúnmente como la fórmula del cordón o la fórmula del Topógrafo.
El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a 1 , a 2 , ..., a n y a los ángulos exteriores, θ 1 , θ 2 , ..., θ n , de:
![{\ begin {aligned} A = {\ frac {1} {2}} (a_ {1} [a_ {2} \ sin (\ theta _ {1}) + a_ {3} \ sin (\ theta _ {} 1} + \ theta _ {2}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {1} + \ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2})] \\ {} + a_ {2} [a_ {3} \ sin (\ theta _ {2}) + a_ {4} \ sin (\ theta _ {2} + \ theta _ {3}) + \ cdots + a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {2} + \ cdots + \ theta _ {n-2})] \\ {} + \ cdots + a_ {n-2} [a_ {n-1} \ sin (\ theta _ {n-2})]). \ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/782046e07ca487a9d555c83a434d7c13aaf01c31)
La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963.
Si el polígono se dibuja en una cuadrícula igualmente espaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de cuadrícula, el teorema de Pick proporciona una fórmula simple para el área del polígono basada en los números de los puntos de cuadrícula interior y límite: el número anterior más la mitad número, menos 1.
En cada polígono con perímetro p y área A , la desigualdad isoperimétrica se mantiene.
Si se dan dos polígonos simples de igual área, entonces el primero se puede cortar en piezas poligonales que se pueden volver a ensamblar para formar el segundo polígono. Este es el teorema de Bolyai-Gerwien.
El área de un polígono regular también se da en términos del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p por
Este radio también se denomina su apotema y a menudo se representa como a .
El área de un ordinario n -gon con el lado s inscrito en un círculo unidad es
El área de un ordinario n -gon en términos del radio R de su círculo circunscrito y su perímetro p está dada por
El área de un ordinario n -gon inscrita en un círculo de la unidad de radio, con el lado de s y el ángulo interior también se puede expresar como trigonométricamente
Las longitudes de los lados de un polígono no determinan en general el área. Sin embargo, si el polígono es cíclico los lados hacen determinar el área.
De todos los n- gons con lados dados, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos los n-gons con un perímetro dado, el que tiene el área más grande es regular (y, por lo tanto, cíclico).
Polígonos autointersecables
El área de un polígono autointersecante se puede definir de dos maneras diferentes, cada una de las cuales da una respuesta diferente:
- Usando los métodos anteriores para polígonos simples, permitimos que las regiones particulares dentro del polígono puedan tener su área multiplicada por un factor que llamamos la densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene densidad 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero cruzado (como la figura 8) tienen densidades con signo opuesto, y al sumar sus áreas puede dar un área total de cero. para toda la figura.
- Teniendo en cuenta las regiones adjuntas como conjuntos de puntos, podemos encontrar el área del conjunto de puntos adjuntos. Esto corresponde al área del plano cubierto por el polígono, o al área de uno o más polígonos simples que tienen el mismo contorno que el autointersecante. En el caso del cuadrilátero cruzado, se trata como dos triángulos simples.
Generalizaciones de polígonos
La idea de un polígono se ha generalizado de varias maneras. Algunos de los más importantes incluyen:
- Un polígono esférico es un circuito de arcos de grandes círculos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite el digon, un polígono que tiene solo dos lados y dos esquinas, lo que es imposible en un plano plano. Los polígonos esféricos desempeñan un papel importante en la cartografía (creación de mapas) y en la construcción de Wythoff de los poliedros uniformes.
- Un polígono sesgado no se encuentra en un plano plano, sino que zigzaguea en tres (o más) dimensiones. Los polígonos Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
- Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no está cerrado pero no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
- Un skeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano plano.
- Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias.
- Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los diversos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Se dice que un polígono geométrico real es una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo de la asignación, se pueden realizar todas las generalizaciones que se describen aquí.
- Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogas a un polígono en dos dimensiones. Las formas correspondientes en cuatro o más dimensiones se llaman politopos.
Nombrando polígonos
La palabra "polígono" proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), uso sustantivo del neutro de πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , el adjetivo masculino), que significa "muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y, a veces, se clasifican) según el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado de griego con el sufijo -gon , por ejemplo , pentágono , dodecágono . El triángulo, el cuadrilátero y el noágono son excepciones.
Más allá de los decágonos (10 caras) y los dodecagones (12 lados), los matemáticos generalmente usan notación numérica, por ejemplo 17-gon y 257-gon.
Existen excepciones para conteos laterales que se expresan más fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30), o que son utilizados por personas que no son matemáticos. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono estrella regular también se conoce como el pentagrama.
| Nombre | Bordes | Propiedades |
|---|---|---|
| Monogon | 1 | Generalmente no se reconoce como un polígono, aunque algunas disciplinas, como la teoría de grafos, a veces usan el término. |
| excavar | 2 | Generalmente no se reconoce como un polígono en el plano euclidiano, aunque puede existir como un polígono esférico. |
| triángulo (o trigon) | 3 | El polígono más simple que puede existir en el plano euclidiano.Puede azulejar el avión. |
| cuadrilátero (o tetragón) | 4 | El polígono más simple que puede cruzarse; el polígono más simple que puede ser cóncavo; el polígono más simple que puede ser no cíclico. Puede azulejar el avión. |
| pentágono | 5 | El polígono más simple que puede existir como una estrella regular. Un pentágono estrella se conoce como pentagrama o pentáculo. |
| hexágono | 6 | Puede azulejar el avión. |
| heptágono (o septagón) | 7 | El polígono más simple, tal que la forma regular no es construible con brújula y regla. Sin embargo, puede construirse usando una construcción Neusis. |
| octágono | 8 | |
| nonagon (o enneagon) | 9 | "Nonagon" mezcla el latín [ novem = 9] con el griego, "enneagon" es griego puro. |
| decágono | 10 | |
| hendecagon (o undecagon) | 11 | El polígono más simple de modo que la forma regular no se puede construir con brújula, regla y trisector de ángulo. |
| dodecagon (o duodecagon) | 12 | |
| tridecagon (o triskaidecagon) | 13 | |
| tetradecagon (o tetrakaidecagon) | 14 | |
| pentadecagon (o pentakaidecagon) | 15 | |
| hexadecagon (o hexakaidecagon) | dieciséis | |
| heptadecagón (o heptacaideagón) | 17 | Polígono constructivo |
| octadecagón (u octakaidecagón) | 18 | |
| enneadecagon (o enneakaidecagon) | 19 | |
| icosagon | 20 | |
| icositetragon (o icosikaitetragon) | 24 | |
| triacontagon | 30 | |
| tetracontagon (o tessaracontagon) | 40 | |
| pentacontagon (o pentecontagon) | 50 | |
| hexacontagon (o hexecontagon) | 60 | |
| heptacontagon (o hebdomecontagon) | 70 | |
| octacontagon (o ogdoëcontagon) | 80 | |
| enneacontagon (o enenecontagon) | 90 | |
| hectogon (o hecatóngulo) | 100 | |
| 257-gon | 257 | Polígono constructivo |
| chiliagon | 1000 | Filósofos como René Descartes, Immanuel Kant y David Hume han utilizado el chiliagón como ejemplo en las discusiones. |
| miríagon | 10,000 | Utilizado como ejemplo en algunas discusiones filosóficas, por ejemplo en Meditaciones sobre la primera filosofía deDescartes |
| 65537-gon | 65,537 | Polígono constructivo |
| megagon | 1,000,000 | Al igual que con el ejemplo de René Descartes de la chiliagon, el polígono de un solo lado se ha utilizado como una ilustración de un concepto bien definido que no se puede visualizar. El megagon también se usa como una ilustración de la convergencia de polígonos regulares a un círculo. |
| apeirogon | ∞ | Un polígono degenerado de infinitos lados. |
Construyendo nombres más altos
Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 bordes, combine los prefijos de la siguiente manera. El término "kai" se aplica a 13-gons y superior y fue utilizado por Kepler, y abogó por John H. Conway para mayor claridad a los números de prefijo concatenados en el nombramiento de poliedros cuasiregulares.
| Decenas | y | Unos | sufijo final | ||
|---|---|---|---|---|---|
| -kai- | 1 | -hena- | -gon | ||
| 20 | icosi- (icosa- cuando está solo) | 2 | -di | ||
| 30 | triaconta- (o triconta-) | 3 | -tri | ||
| 40 | tetraconta- (o tessaraconta-) | 4 | -tetra- | ||
| 50 | pentaconta- (o penteconta-) | 5 | -penta- | ||
| 60 | hexaconta- (o hexeconta-) | 6 | -hexa- | ||
| 70 | heptaconta- (o hebdomeconta-) | 7 | -hepta- | ||
| 80 | octaconta- (o ogdoëconta-) | 8 | -octa- | ||
| 90 | enneaconta- (o eneneconta-) | 9 | -ennea- | ||
Historia
Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los antiguos polígonos eran conocidos por los antiguos griegos, con el pentagrama, un polígono regular no convexo (polígono estrella), que apareció ya en el siglo VII a. C. en un krater de Aristonothos, encontrado en Caere y ahora en el Museo Capitolino.
El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV.
En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de los polígonos para el plano complejo, donde cada dimensión real se acompaña de una imaginario, para crear polígonos complejos.
Polígonos en la naturaleza
Los polígonos aparecen en formaciones rocosas, más comúnmente como las facetas planas de los cristales, donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.
Los hexágonos regulares pueden ocurrir cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto fuertemente empaquetadas, que pueden verse en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte, o en la Fachada del Devil en California.
En biología, la superficie del panal de cera fabricado por las abejas es una matriz de hexágonos, y los lados y la base de cada celda también son polígonos.
Polígonos en gráficos de computadora
En gráficos por computadora, un polígono es una primitiva utilizada en el modelado y la representación. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos, así como otros atributos del polígono, como el color, el sombreado y la textura), la información de conectividad y los materiales.
Las convenciones de nombres difieren de las de los matemáticos:
- Un polígono simple es convexo, plano, más fácil de manejar mediante algoritmos y hardware.
- un polígono cóncavo es un polígono simple que tiene al menos un ángulo interior superior a 180 °.
- Un polígono complejo puede tener una topología arbitraria que incluye agujeros, que requieren algoritmos más avanzados (a menudo los sistemas los tesselarán en polígonos simples).
Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal. Si una malla cuadrada tiene n + 1 punto (vértices) por lado, hay n cuadrados cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) / 2 ( n ) vértices por triángulo. Donde n es grande, esto se aproxima a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).
El sistema de imágenes llama la estructura de los polígonos necesarios para que la escena se cree a partir de la base de datos. Esto se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda ver la escena. Durante este proceso, el sistema de procesamiento de imágenes muestra los polígonos en la perspectiva correcta listos para la transmisión de los datos procesados al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través de la computadora del sistema se colocan en una escena visual en la orientación tridimensional correcta.
En gráficos por computadora y geometría computacional, a menudo es necesario determinar si un punto dado P = ( x 0 , y 0 ) se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se llama punto en la prueba de polígono.
Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Polygon