Ecuación
Definición
En matemáticas, una ecuación es una declaración de igualdad que contiene una o más variables. Resolver la ecuación consiste en determinar qué valores de las variables hacen verdadera la igualdad. Las variables también se llaman incógnitas y los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad se llaman soluciones de la ecuación. Hay dos tipos de ecuaciones: identidades y ecuaciones condicionales. Una identidad es verdadera para todos los valores de la variable. Una ecuación condicional es verdadera solo para valores particulares de las variables.
Una ecuación se escribe como dos expresiones, conectadas por un signo igual ("="). Las expresiones en los dos lados del signo igual se llaman "lado izquierdo" y "lado derecho" de la ecuación.
El tipo más común de ecuación es una ecuación algebraica, en la cual los dos lados son expresiones algebraicas. Cada lado de una ecuación algebraica contendrá uno o más términos. Por ejemplo, la ecuación
tiene el lado izquierdo , que tiene tres términos, y el lado derecho , que consta de un solo término. Las incógnitas son x y y y los parámetros son A , B , y C .
Una ecuación es análoga a una escala en la que se colocan los pesos. Cuando se colocan pesos iguales de algo (grano, por ejemplo) en las dos bandejas, los dos pesos hacen que la balanza esté en equilibrio y se dice que son iguales. Si se extrae una cantidad de grano de una bandeja de la balanza, se debe eliminar una cantidad igual de grano de la otra bandeja para mantener la balanza en equilibrio. Del mismo modo, para mantener una ecuación en equilibrio, las mismas operaciones de suma, resta, multiplicación y división deben realizarse en ambos lados de una ecuación para que se mantenga verdadera.
En geometría, las ecuaciones se usan para describir figuras geométricas. Como las ecuaciones que se consideran, como ecuaciones implícitas o ecuaciones paramétricas, tienen infinitas soluciones, el objetivo ahora es diferente: en lugar de dar las soluciones explícitamente o contarlas, lo que es imposible, uno usa ecuaciones para estudiar las propiedades de las figuras. Esta es la idea inicial de la geometría algebraica, un área importante de las matemáticas.
El álgebra estudia dos familias principales de ecuaciones: ecuaciones polinomiales y, entre ellas, el caso especial de ecuaciones lineales. Cuando solo hay una variable, las ecuaciones polinómicas tienen la forma P ( x ) = 0, donde P es un polinomio, y las ecuaciones lineales tienen la forma ax + b = 0, donde a y b son parámetros Para resolver ecuaciones de cualquiera de las familias, uno usa técnicas algorítmicas o geométricas que se originan del álgebra lineal o el análisis matemático. El álgebra también estudia ecuaciones diofánticas donde los coeficientes y las soluciones son enteros. Las técnicas utilizadas son diferentes y provienen de la teoría de números. Estas ecuaciones son difíciles en general; uno a menudo busca solo para encontrar la existencia o ausencia de una solución y, si existen, contar el número de soluciones.
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que involucran una o más funciones y sus derivadas. Se resuelven al encontrar una expresión para la función que no implica derivados. Las ecuaciones diferenciales se usan para modelar procesos que implican las tasas de cambio de la variable, y se usan en áreas como la física, la química, la biología y la economía.
El símbolo "=", que aparece en todas las ecuaciones, fue inventado en 1557 por Robert Recorde, quien consideró que nada podría ser más igual que las líneas rectas paralelas con la misma longitud.
Introducción
Ilustración análoga
Una ecuación es análoga a una balanza, balanza o balancín.
Cada lado de la ecuación corresponde a un lado de la balanza. Se pueden colocar diferentes cantidades en cada lado: si los pesos en ambos lados son iguales, la balanza se equilibra y, por analogía, la igualdad que representa el equilibrio también se equilibra (si no, la falta de equilibrio corresponde a una desigualdad representada por una inecuación).
En la ilustración, x , y y z son todas cantidades diferentes (en este caso números reales) representadas como pesos circulares, y cada una de x , y , yz tiene un peso diferente. La suma corresponde a agregar peso, mientras que la resta corresponde a quitar peso de lo que ya está allí. Cuando la igualdad se cumple, el peso total en cada lado es el mismo.
Parámetros y incógnitas
Las ecuaciones a menudo contienen términos distintos a los desconocidos. Estos otros términos, que se suponen conocidos , generalmente se denominan constantes , coeficientes o parámetros.
Un ejemplo de una ecuación que implica x y y como incógnitas y el parámetro R es
Cuando se elige R para tener el valor de 2 ( R = 2), esta ecuación se reconocería, cuando se esboce en coordenadas cartesianas, como la ecuación para un círculo particular con un radio de 2. Por lo tanto, la ecuación con R no especificada es la ecuación general para el círculo.
Generalmente, las incógnitas se denotan con letras al final del alfabeto, x , y , z , w , ..., mientras que los coeficientes (parámetros) se denotan con letras al principio, a , b , c , d , .... Por ejemplo, la ecuación cuadrática general generalmente se escribe ax + bx + c = 0. El proceso de encontrar las soluciones, o, en el caso de los parámetros, expresar las incógnitas en términos de los parámetros se denomina resolver la ecuación. Tales expresiones de las soluciones en términos de los parámetros también se llaman soluciones .
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones simultáneas , generalmente en varias incógnitas, para las cuales se buscan soluciones comunes. Por lo tanto, una solución para el sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas, que juntas forman una solución para cada ecuación en el sistema. Por ejemplo, el sistema
tiene la solución única x = -1, y = 1.
Identidades
Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de la (s) variable (s) que contiene. Muchas identidades son conocidas en álgebra y cálculo. En el proceso de resolver una ecuación, a menudo se usa una identidad para simplificar una ecuación que hace que sea más fácil de resolver.
En álgebra, un ejemplo de identidad es la diferencia de dos cuadrados:
que es cierto para todo x y y .
La trigonometría es un área donde existen muchas identidades; estos son útiles para manipular o resolver ecuaciones trigonométricas. Dos de muchos que involucran las funciones seno y coseno son:
y
que son ambos verdaderos para todos los valores de θ .
Por ejemplo, para resolver el valor de θ que satisface la ecuación:
donde θ se sabe que tiene un límite de entre 0 y 45 grados, podemos utilizar la identidad anterior para que el producto brinde:
dando la solución para θ
Como la función seno es una función periódica, hay infinitas soluciones si no hay restricciones en θ . En este ejemplo, la restricción que θ está entre 0 y 45 grados implica que solo hay una solución.
Propiedades
Dos ecuaciones o dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Las siguientes operaciones transforman una ecuación o un sistema de ecuaciones en uno equivalente, siempre que las operaciones sean significativas para las expresiones a las que se aplican:
- Agregar o restar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación. Esto muestra que cada ecuación es equivalente a una ecuación en la cual el lado derecho es cero.
- Multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una cantidad distinta de cero.
- Aplicando una identidad para transformar un lado de la ecuación. Por ejemplo, expandir un producto o factorizar una suma.
- Para un sistema: agregando a ambos lados de una ecuación el lado correspondiente de otra ecuación, multiplicado por la misma cantidad.
Si se aplica alguna función a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las soluciones de la ecuación inicial entre sus soluciones, pero puede tener soluciones adicionales llamadas soluciones extrañas. Por ejemplo, la ecuación tiene la solución Elevar ambos lados al exponente de 2 (lo que significa aplicar la función a ambos lados de la ecuación) cambia la ecuación a , que no solo tiene la solución anterior sino que también introduce la solución extraña. Además, si la función no está definida en algunos valores (como 1 / x , que no está definido para x = 0), las soluciones existentes en esos valores pueden perderse. Por lo tanto, se debe tener precaución al aplicar dicha transformación a una ecuación.
Las transformaciones anteriores son la base de la mayoría de los métodos elementales para la resolución de ecuaciones, así como algunos menos elementales, como la eliminación gaussiana.
Álgebra
Ecuaciones polinomiales
En general, una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación de la forma
- , o
donde P y Q son polinomios con coeficientes en algún campo (números reales, números complejos, etc.), que a menudo es el campo de los números racionales. Una ecuación algebraica es univariable si involucra solo una variable. Por otro lado, una ecuación polinomial puede involucrar varias variables, en cuyo caso se denomina multivariada (variables múltiples, x, y, z, etc.). El término ecuación polinomial generalmente se prefiere a la ecuación algebraica .
Por ejemplo,
es una ecuación algebraica (polinómica) univariante con coeficientes enteros y
es una ecuación polinomial multivariante sobre los números racionales.
Algunas, pero no todas las ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales tienen una solución que es una expresión algebraica con un número finito de operaciones que involucran solo esos coeficientes (es decir, se puede resolver algebraicamente). Esto se puede hacer para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para el grado cinco o más se puede resolver para algunas ecuaciones pero, como lo demuestra el teorema de Abel-Ruffini, no para todos. Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de forma eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariante (ver algoritmo de búsqueda de raíz) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinomiales multivariantes (ver Sistema de ecuaciones polinómicas).
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal ) es una colección de ecuaciones lineales que implican el mismo conjunto de variables. Por ejemplo,
es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x , y , z . Una solución a un sistema lineal es una asignación de números a las variables de modo que todas las ecuaciones se satisfagan simultáneamente. Una solución al sistema anterior está dada por
ya que hace que las tres ecuaciones sean válidas. La palabra " sistema " indica que las ecuaciones deben considerarse colectivamente, en lugar de individualmente.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, un tema que se utiliza en la mayoría de las partes de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica y desempeñan un papel destacado en la física, la ingeniería, la química, la informática y la economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo se puede aproximar mediante un sistema lineal (ver linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por computadora de un sistema relativamente complejo.
Geometría
Geometría analítica
En la geometría euclidiana, es posible asociar un conjunto de coordenadas a cada punto en el espacio, por ejemplo, mediante una cuadrícula ortogonal. Este método permite caracterizar figuras geométricas por ecuaciones. Un plano en el espacio tridimensional se puede expresar como el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma , donde y son números reales y son las incógnitas que corresponden a las coordenadas de un punto en el sistema dado por la cuadrícula ortogonal. Los valores son las coordenadas de un vector perpendicular al plano definido por la ecuación. Una línea se expresa como la intersección de dos planos, es decir, como el conjunto de soluciones de una sola ecuación lineal con valores en o como el conjunto de soluciones de dos ecuaciones lineales con valores en
Una sección cónica es la intersección de un cono con ecuación y un plano. En otras palabras, en el espacio, todas las cónicas se definen como el conjunto de soluciones de una ecuación de un plano y de la ecuación de un cono recién dado. Este formalismo permite determinar las posiciones y las propiedades de los enfoques de una cónica.
El uso de ecuaciones permite invocar una gran área de matemática para resolver preguntas geométricas. El sistema de coordenadas cartesianas transforma un problema geométrico en un problema de análisis, una vez que las figuras se transforman en ecuaciones; de ahí el nombre de geometría analítica. Este punto de vista, delineado por Descartes, enriquece y modifica el tipo de geometría concebida por los antiguos matemáticos griegos.
Actualmente, la geometría analítica designa una rama activa de las matemáticas. Aunque todavía usa ecuaciones para caracterizar figuras, también utiliza otras técnicas sofisticadas como el análisis funcional y el álgebra lineal.
Ecuaciones cartesianas
Un sistema de coordenadas cartesianas es un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas , que son las distancias firmadas desde el punto a dos líneas perpendiculares dirigidas fijas, que están marcadas con la misma unidad de longitud.
Se puede usar el mismo principio para especificar la posición de cualquier punto en el espacio tridimensional mediante el uso de tres coordenadas cartesianas, que son las distancias señaladas para tres planos mutuamente perpendiculares (o, de manera equivalente, por su proyección perpendicular en tres líneas mutuamente perpendiculares )
(Nombre latinizado: la invención de coordenadas cartesianas en el siglo 17 por René Descartes Cartesius ) revolucionó las matemáticas, proporcionando el primer vínculo sistemático entre la geometría euclidiana y el álgebra. Utilizando el sistema de coordenadas cartesianas, las formas geométricas (como las curvas) se pueden describir mediante ecuaciones cartesianas : ecuaciones algebraicas que implican las coordenadas de los puntos que se encuentran en la forma. Por ejemplo, un círculo de radio 2 en un plano, centrada en un punto particular llamado el origen, se puede describir como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas x y y satisfacen la ecuación x + y = 4 .
Ecuaciones paramétricas
Una ecuación paramétrica para una curva expresa las coordenadas de los puntos de la curva como funciones de una variable, llamada parámetro. Por ejemplo,
son ecuaciones paramétricas para el círculo unitario, donde t es el parámetro. Juntas, estas ecuaciones se llaman una representación paramétrica de la curva.
La noción de ecuación paramétrica se ha generalizado a superficies, variedades y variedades algebraicas de mayor dimensión, con el número de parámetros que es igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera el colector o variedad (para las curvas, la dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies, dimensión dos y dos parámetros, etc.).
Teoría de los números
Ecuaciones diofánticas
Una ecuación diofántica es una ecuación polinomial en dos o más incógnitas para la que solo se buscan soluciones enteras (una solución entera es una solución tal que todas las incógnitas toman valores enteros). Una ecuación diofántica lineal es una ecuación entre dos sumas de monomios de grado cero o uno. Un ejemplo de ecuación Diophantine lineal es ax + por = c donde un , b , y c son constantes. Una ecuación diofántica exponencial es aquella para la cual los exponentes de los términos de la ecuación pueden ser desconocidos.
Los problemas diofánticos tienen menos ecuaciones que las variables desconocidas e implican encontrar enteros que funcionen correctamente para todas las ecuaciones. En un lenguaje más técnico, definen una curva algebraica, una superficie algebraica u otro objeto más general, y preguntan acerca de los puntos reticulares sobre él.
La palabra Diofantina se refiere al matemático helenístico del siglo III, Diofanto de Alejandría, quien hizo un estudio de tales ecuaciones y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo en el álgebra. El estudio matemático de los problemas diofánticos iniciados por Diofante se llama ahora análisis diofantino .
Números algebraicos y trascendentales
Un número algebraico es un número que es una solución de una ecuación polinómica distinta de cero en una variable con coeficientes racionales (o equivalentemente, mediante denominadores de compensación, con coeficientes enteros). Se dice que los números como
π que no son algebraicos son trascendentales. Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.
π que no son algebraicos son trascendentales. Casi todos los números reales y complejos son trascendentales.
Geometría algebraica
La geometría algebraica es una rama de las matemáticas que estudia clásicamente soluciones de ecuaciones polinomiales. La geometría algebraica moderna se basa en técnicas más abstractas de álgebra abstracta, especialmente álgebra conmutativa, con el lenguaje y los problemas de la geometría.
Los objetos fundamentales de estudio en geometría algebraica son las variedades algebraicas, que son manifestaciones geométricas de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales. Ejemplos de las clases más estudiadas de variedades algebraicas son: curvas algebraicas planas, que incluyen líneas, círculos, parábolas, elipses, hipérbolas, curvas cúbicas como curvas elípticas y curvas cuarticas como lemniscates, y óvalos de Cassini. Un punto del plano pertenece a una curva algebraica si sus coordenadas satisfacen una ecuación polinómica dada. Las preguntas básicas implican el estudio de los puntos de especial interés como los puntos singulares, los puntos de inflexión y los puntos en el infinito. Las preguntas más avanzadas involucran la topología de la curva y las relaciones entre las curvas dadas por diferentes ecuaciones.
Ecuaciones diferenciales
Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona alguna función con sus derivadas. En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, los derivados representan sus tasas de cambio, y la ecuación define una relación entre los dos. Debido a que estas relaciones son extremadamente comunes, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, incluidas la física, la ingeniería, la economía y la biología.
En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde varias perspectivas diferentes, en su mayoría relacionadas con sus soluciones: el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin encontrar su forma exacta.
Si no hay disponible una fórmula autónoma para la solución, la solución se puede aproximar numéricamente usando computadoras. La teoría de los sistemas dinámicos pone énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos se han desarrollado para determinar soluciones con un grado dado de precisión.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Una ecuación diferencial ordinaria o EDO es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término " ordinario " se usa en contraste con el término ecuación diferencial parcial, que puede ser con respecto a más de una variable independiente.
Las ecuaciones diferenciales lineales, que tienen soluciones que se pueden agregar y multiplicar por coeficientes, están bien definidas y entendidas, y se obtienen soluciones exactas de forma cerrada. Por el contrario, los ODE que carecen de soluciones aditivas no son lineales, y resolverlos es mucho más intrincado, ya que uno rara vez puede representarlos mediante funciones elementales en forma cerrada: en cambio, las soluciones exactas y analíticas de ODE están en serie o en forma integral. Los métodos gráficos y numéricos, aplicados a mano o por computadora, pueden aproximar soluciones de ODE y quizás arrojar información útil, a menudo suficiente en ausencia de soluciones analíticas exactas.
Ecuaciones diferenciales parciales
Una ecuación diferencial parcial ( PDE ) es una ecuación diferencial que contiene funciones multivariables desconocidas y sus derivadas parciales. (Esto está en contraste con las ecuaciones diferenciales ordinarias, que tratan con funciones de una sola variable y sus derivadas.) Las PDE se usan para formular problemas que involucran funciones de varias variables, y se resuelven a mano o se usan para crear un modelo informático relevante .
Los PDE pueden usarse para describir una amplia variedad de fenómenos tales como sonido, calor, electrostática, electrodinámica, flujo de fluidos, elasticidad o mecánica cuántica. Estos fenómenos físicos aparentemente distintos se pueden formalizar de manera similar en términos de PDE. Así como las ecuaciones diferenciales ordinarias a menudo modelan sistemas dinámicos unidimensionales, las ecuaciones diferenciales parciales a menudo modelan sistemas multidimensionales. PDE encuentra su generalización en ecuaciones diferenciales parciales estocásticas.
Tipos de ecuaciones
Las ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo con los tipos de operaciones y cantidades involucradas. Los tipos importantes incluyen:
- Una ecuación algebraica o ecuación polinómica es una ecuación en la que ambos lados son polinomios (ver también el sistema de ecuaciones polinomiales). Estos se clasifican además por grado:
- ecuación lineal para el grado uno
- ecuación cuadrática para el grado dos
- ecuación cúbica para el grado tres
- ecuación cuártica para el grado cuatro
- ecuación de quintica para el grado cinco
- ecuación séxtica para el grado seis
- ecuación séptica para el grado siete
- ecuación ártica para el grado ocho
- Una ecuación diofántica es una ecuación donde se requiere que las incógnitas sean enteros
- Una ecuación trascendental es una ecuación que implica una función trascendental de sus incógnitas
- Una ecuación paramétrica es una ecuación en la cual las soluciones para las variables se expresan como funciones de algunas otras variables, llamadas parámetros que aparecen en las ecuaciones.
- Una ecuación funcional es una ecuación en la que las incógnitas son funciones en lugar de cantidades simples
- Una ecuación diferencial es una ecuación funcional que implica derivados de las funciones desconocidas
- Una ecuación integral es una ecuación funcional que involucra las antiderivadas de las funciones desconocidas
- Una ecuación integro-diferencial es una ecuación funcional que involucra tanto las derivadas como las antiderivadas de las funciones desconocidas
- Una ecuación de diferencia es una ecuación donde lo desconocido es una función f que ocurre en la ecuación a través de f ( x ), f ( x -1), ..., f ( x - k ), para un entero entero k llamado orden de la ecuación. Si x está restringido a ser un número entero, una ecuación de diferencia es la misma que una relación de recurrencia