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Triángulo
	; Un triángulo
Bordes y vértices	3
Símbolo Schläfli	{3} (para equilátero)
Zona	varios métodos; ; vea abajo
Ángulo interno (grados)	60 ° (para equilátero)

Triángulo equilátero
	; Un triángulo regular
Tipo	Polígono regular
Bordes y vértices	3
Símbolo Schläfli	{3}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Dihedral (D 3 ), orden 2 × 3
Ángulo interno (grados)	60 °
Polígono dual	Yo
Propiedades	Convexo, cíclico, equilátero, isogonal, isotoxal

Triángulo = Tri (tres) + Ángulo

Un triángulo es un polígono con tres bordes y tres vértices. Es una de las formas básicas en geometría. Un triángulo con vértices A , B , y C se denota .

\ triángulo ABC

En la geometría euclidiana, tres puntos, cuando no son colineales, determinan un triángulo único y, a la vez, un plano único (es decir, un espacio euclidiano bidimensional). En otras palabras, solo hay un plano que contiene ese triángulo, y cada triángulo está contenido en algún plano. Si toda la geometría es solo el plano euclidiano, solo hay un plano y todos los triángulos están contenidos en él; sin embargo, en espacios euclidianos de mayor dimensión, esto ya no es cierto. Este artículo trata sobre triángulos en geometría euclidiana, y en particular, el plano euclidiano, excepto donde se indique lo contrario.

Tipos de triángulo

Diagrama de Euler de tipos de triángulos, utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos 2 lados iguales (es decir, los triángulos equiláteros son isósceles).

Por longitudes de lados

Triangles can be classified according to the lengths of their sides:

An equilateral triangle has all sides the same length. An equilateral triangle is also a regular polygon with all angles measuring 60°.
An isosceles triangle has two sides of equal length. An isosceles triangle also has two angles of the same measure, namely the angles opposite to the two sides of the same length; this fact is the content of the isosceles triangle theorem, which was known by Euclid. Some mathematicians define an isosceles triangle to have exactly two equal sides, whereas others define an isosceles triangle as one with at least two equal sides. The latter definition would make all equilateral triangles isosceles triangles. The 45–45–90 right triangle, which appears in the tetrakis square tiling, is isosceles.
A scalene triangle has all its sides of different lengths. Equivalently, it has all angles of different measure.


Equilateral	Isosceles	Scalene

Las marcas de sombreado, también llamadas marcas de graduación, se usan en diagramas de triángulos y otras figuras geométricas para identificar lados de igual longitud. Un lado puede marcarse con un patrón de "marcas", segmentos de línea cortos en forma de marcas de conteo; dos lados tienen la misma longitud si ambos están marcados con el mismo patrón. En un triángulo, el patrón generalmente no es más de 3 tics. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 lados, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 lados, y un triángulo escaleno tiene diferentes patrones en todos los lados ya que ningún lado es igual. De manera similar, los patrones de 1, 2 o 3 arcos concéntricos dentro de los ángulos se usan para indicar ángulos iguales. Un triángulo equilátero tiene el mismo patrón en los 3 ángulos, un triángulo isósceles tiene el mismo patrón en solo 2 ángulos,

Por ángulos internos

Los triángulos también se pueden clasificar según sus ángulos internos, medidos aquí en grados.

Un triángulo rectángulo (o triángulo rectángulo , anteriormente llamado triángulo rectángulo ) tiene uno de sus ángulos interiores que mide 90 ° (un ángulo recto). El lado opuesto al ángulo derecho es la hipotenusa, el lado más largo del triángulo. Los otros dos lados se llaman las patas o catheti (singular: cathetus ) del triángulo. Los triángulos rectángulos obedecen al teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos patas es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa: a + b = c , donde a y b son las longitudes de las piernas y c es la longitud de la hipotenusa Los triángulos rectángulos especiales son triángulos rectos con propiedades adicionales que facilitan los cálculos que los involucran. Uno de los dos más famosos es el triángulo rectángulo 3-4-5, donde 3 + 4 = 5 . En esta situación, 3, 4 y 5 son un triple pitagórico. El otro es un triángulo isósceles que tiene 2 ángulos que cada uno mide 45 grados.
Los triángulos que no tienen un ángulo que mide 90 ° se llaman triángulos oblicuos.
Un triángulo con todos los ángulos interiores que miden menos de 90 ° es un triángulo agudoo un triángulo agudo . Si c es la longitud del lado más largo, entonces a + b > c , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
Un triángulo con un ángulo interior que mide más de 90 ° es un triángulo obtuso o un triángulo obtuso . Si c es la longitud del lado más largo, entonces a + b < c , donde a y b son las longitudes de los otros lados.
Un triángulo con un ángulo interior de 180 ° (y vértices colineales) está degenerado.
Un triángulo degenerado derecho tiene vértices colineales, dos de los cuales son coincidentes.

Un triángulo que tiene dos ángulos con la misma medida también tiene dos lados con la misma longitud y, por lo tanto, es un triángulo isósceles. Se sigue que en un triángulo donde todos los ángulos tienen la misma medida, los tres lados tienen la misma longitud, y tal triángulo es por lo tanto equilátero.


Derecha	Obtuso	Agudo
	$\ underbrace {\ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad} _ {}$
	Oblicuo

Hechos básicos

Un triángulo, que muestra el ángulo exterior d.

Se supone que los triángulos son figuras planas bidimensionales, a menos que el contexto indique lo contrario (ver triángulos no planos, más abajo). En tratamientos rigurosos, un triángulo se llama 2-simplex (ver también Polytope). Los hechos elementales sobre triángulos fueron presentados por Euclides en los libros 1-4 de sus Elementos , alrededor del año 300 aC

Las medidas de los ángulos interiores del triángulo siempre suman 180 grados (el mismo color para indicar que son iguales).

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo en el espacio euclidiano es siempre de 180 grados. Este hecho es equivalente al postulado paralelo de Euclides. Esto permite la determinación de la medida del tercer ángulo de cualquier triángulo dada la medida de dos ángulos. Un ángulo exterior de un triángulo es un ángulo que es un par lineal (y por lo tanto suplementario) a un ángulo interior. La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él; este es el teorema del ángulo exterior. La suma de las medidas de los tres ángulos exteriores (uno para cada vértice) de cualquier triángulo es de 360 grados.

Similitud y congruencia

Se dice que dos triángulos son similares si cada ángulo de un triángulo tiene la misma medida que el ángulo correspondiente en el otro triángulo. Los lados correspondientes de triángulos similares tienen longitudes que están en la misma proporción, y esta propiedad también es suficiente para establecer la similitud.

Algunos teoremas básicos sobre triángulos similares son:

Si y solo si un par de ángulos internos de dos triángulos tienen la misma medida que el otro, y otro par también tiene la misma medida que el otro, los triángulos son similares.
Si y solo si un par de lados correspondientes de dos triángulos están en la misma proporción que otro par de lados correspondientes, y sus ángulos incluidos tienen la misma medida, entonces los triángulos son similares. (El ángulo incluido para cualquiera de los dos lados de un polígono es el ángulo interno entre esos dos lados).
Si y solo si tres pares de lados correspondientes de dos triángulos están todos en la misma proporción, entonces los triángulos son similares.

Dos triángulos que son congruentes tienen exactamente el mismo tamaño y forma: todos los pares de ángulos interiores correspondientes son iguales en medida, y todos los pares de lados correspondientes tienen la misma longitud. (Esto es un total de seis igualdades, pero tres son a menudo suficientes para probar la congruencia).

Algunas condiciones individualmente necesarias y suficientes para que un par de triángulos sean congruentes son:

Postulado SAS: dos lados en un triángulo tienen la misma longitud que dos lados en el otro triángulo, y los ángulos incluidos tienen la misma medida.
ASA: Dos ángulos interiores y el lado incluido en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (El lado incluido para un par de ángulos es el lado que es común para ellos).
SSS: cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que un lado correspondiente del otro triángulo.
AAS: Dos ángulos y un lado correspondiente (no incluido) en un triángulo tienen la misma medida y longitud, respectivamente, que los del otro triángulo. (Esto a veces se denomina AAcorrS y luego incluye ASA arriba).

Algunas condiciones individualmente suficientes son:

Teorema de hipotenusa-pierna (HL): la hipotenusa y una pierna en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud que las de otro triángulo rectángulo. Esto también se llama RHS (ángulo recto, hipotenusa, lado).
Teorema de hipotenusa-ángulo: la hipotenusa y un ángulo agudo en un triángulo rectángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los del otro triángulo rectángulo. Este es solo un caso particular del teorema de AAS.

Una condición importante es:

Condición de ángulo lateral (o ángulo lateral): si dos lados y un ángulo correspondiente no incluido de un triángulo tienen la misma longitud y medida, respectivamente, que los de otro triángulo, esto no es suficiente para demostrar congruencia; pero si el ángulo dado es opuesto al lado más largo de los dos lados, entonces los triángulos son congruentes. El Teorema de hipotenusa es un caso particular de este criterio. La condición de ángulo lateral no garantiza por sí misma que los triángulos sean congruentes porque un triángulo puede ser obtuso-anguloso y el otro agudo-anguloso.

Utilizando triángulos rectos y el concepto de similitud, se pueden definir las funciones trigonométricas seno y coseno. Estas son funciones de un ángulo que se investigan en trigonometría.

Triángulos rectos

El teorema de Pitágoras

Un teorema central es el teorema de Pitágoras, que establece en cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Si la hipotenusa tiene una longitud c , y las piernas tienen longitudes a y b , entonces los estados teorema que

{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}.}

Lo contrario es cierto: si las longitudes de los lados de un triángulo satisfacen la ecuación anterior, entonces el triángulo tiene un ángulo recto opuesto al lado c .

Algunos otros hechos sobre triángulos rectángulos:

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

{\ displaystyle a + b + 90 ^ {\ circ} = 180 ^ {\ circ} \ Rightarrow a + b = 90 ^ {\ circ} \ Rightarrow a = 90 ^ {\ circ} -b.}

Si las patas de un triángulo rectángulo tienen la misma longitud, entonces los ángulos opuestos a esas patas tienen la misma medida. Dado que estos ángulos son complementarios, se deduce que cada uno mide 45 grados. Por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa es la longitud de un cateto √ 2 .
En un triángulo rectángulo con ángulos agudos que miden 30 y 60 grados, la hipotenusa es el doble de la longitud del lado más corto, y el lado más largo es igual a la longitud del lado más corto multiplicado por √ 3 :

c = 2a \,

b = a \ times {\ sqrt {3}}.

Para todos los triángulos, los ángulos y los lados están relacionados por la ley de los cosenos y la ley de los senos (también llamada regla de coseno y regla de seno ).

Existencia de un triángulo

Condición en los lados

La desigualdad del triángulo indica que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo debe ser mayor o igual que la longitud del tercer lado. Esa suma puede igualar la longitud del tercer lado solo en el caso de un triángulo degenerado, uno con vértices colineales. No es posible que esa suma sea menor que la longitud del tercer lado. Un triángulo con tres longitudes de lado positivas dadas si y solo si esas longitudes laterales satisfacen la desigualdad del triángulo.

Condiciones en los ángulos

Tres ángulos dados forman un triángulo no degenerado (y de hecho una infinitud de ellos) si y solo si ambas condiciones se mantienen: (a) cada uno de los ángulos es positivo, y (b) los ángulos suman 180 °. Si se permiten triángulos degenerados, se permiten ángulos de 0 °.

Condiciones trigonométricas

Tres ángulos positivos α , β y γ , cada uno de ellos menos de 180 °, son los ángulos de un triángulo si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones:

\ tan {\ frac {\ alpha} {2}} \ tan {\ frac {\ beta} {2}} + \ tan {\ frac {\ beta} {2}} \ tan {\ frac {\ gamma} { 2}} + \ tan {\ frac {\ gamma} {2}} \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = 1,

\ sin ^ {2} {\ frac {\ alpha} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {\ beta} {2}} + \ sin ^ {2} {\ frac {\ gamma} { 2}} + 2 \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ gamma} {2}} = 1,

\ sin (2 \ alpha) + \ sin (2 \ beta) + \ sin (2 \ gamma) = 4 \ sin (\ alpha) \ sin (\ beta) \ sin (\ gamma),

\ cos ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ beta + \ cos ^ {2} \ gamma +2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) = 1,

\ tan (\ alpha) + \ tan (\ beta) + \ tan (\ gamma) = \ tan (\ alpha) \ tan (\ beta) \ tan (\ gamma),

la última igualdad se aplica solo si ninguno de los ángulos es 90 ° (por lo que el valor de la función tangente siempre es finito).

Puntos, líneas y círculos asociados con un triángulo

Hay miles de construcciones diferentes que encuentran un punto especial asociado con (y a menudo dentro) un triángulo, que satisface una propiedad única: ver el artículo Encyclopedia of Triangle Centers para un catálogo de ellos. A menudo se construyen al encontrar tres líneas asociadas de forma simétrica con los tres lados (o vértices) y luego probar que las tres líneas se encuentran en un solo punto: una herramienta importante para probar la existencia de estos es el teorema de Ceva, que da un criterio para determinar cuándo tres de tales líneas son concurrentes. De manera similar, las líneas asociadas con un triángulo a menudo se construyen demostrando que tres puntos simétricamente construidos son colineales: aquí el teorema de Menelao da un criterio general útil. En esta sección, solo se explican algunas de las construcciones más comúnmente encontradas.

El circuncentro es el centro de un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Una bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo es una línea recta que pasa por el punto medio del lado y es perpendicular a él, es decir, forma un ángulo recto con él. Las tres bisectrices perpendiculares se encuentran en un solo punto, el circuncentro del triángulo, generalmente denotado por O ; este punto es el centro de la circunferencia circunscrita, el círculo que pasa por los tres vértices. El diámetro de este círculo, llamado circumdiametro , se puede encontrar a partir de la ley de los senos indicada anteriormente. El radio del circunferencia circunscrita se llama circumradius .

El teorema de Thales implica que si el circuncentro está ubicado en un lado del triángulo, entonces el ángulo opuesto es el correcto. Si el circuncentro está ubicado dentro del triángulo, entonces el triángulo es agudo; si el circuncentro está ubicado fuera del triángulo, entonces el triángulo es obtuso.

La intersección de las altitudes es el ortocentro.

Una altitud de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y perpendicular a (es decir, formando un ángulo recto con) el lado opuesto. Este lado opuesto se llama la base de la altitud, y el punto donde la altitud se cruza con la base (o su extensión) se llama el pie de la altitud. La longitud de la altitud es la distancia entre la base y el vértice. Los tres altitudes se intersecan en un solo punto, llamado el ortocentro del triángulo, generalmente denotado por H . El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es agudo.

La intersección de las bisectrices angulares es el centro del incircle.

Una bisectriz de ángulo de un triángulo es una línea recta a través de un vértice que corta el ángulo correspondiente por la mitad. Las tres bisectrices angulares se cruzan en un solo punto, el incentro, usualmente denotado por I , el centro del incirculo del triángulo. El incircle es el círculo que se encuentra dentro del triángulo y toca los tres lados. Su radio se llama inradius . Hay otros tres círculos importantes, los excircles; se encuentran fuera del triángulo y tocan un lado así como las extensiones de los otros dos. Los centros de las entradas y salidas forman un sistema ortocéntrico.

La intersección de las medianas es el centroide.

Una mediana de un triángulo es una línea recta a través de un vértice y el punto medio del lado opuesto, y divide el triángulo en dos áreas iguales. Las tres medianas se intersecan en un solo punto, centroide del triángulo o baricentro geométrica, generalmente denotados por G . El centroide de un objeto triangular rígido (recortado de una delgada lámina de densidad uniforme) también es su centro de masa: el objeto puede equilibrarse en su centroide en un campo gravitacional uniforme. El centroide corta cada mediana en la proporción 2: 1, es decir, la distancia entre un vértice y el centroide es el doble de la distancia entre el centroide y el punto medio del lado opuesto.

El círculo de nueve puntos muestra una simetría donde seis puntos se encuentran en el borde del triángulo.

Los puntos medios de los tres lados y los pies de las tres altitudes se encuentran en un círculo único, el círculo de nueve puntos del triángulo. Los tres puntos restantes para los que se nombra son los puntos medios de la porción de altitud entre los vértices y el ortocentro. El radio del círculo de nueve puntos es la mitad del circunferencia circunscrita. Toca el incircle (en el punto de Feuerbach) y los tres excircles.

La línea de Euler es una línea recta a través del ortocentro (azul), centro del círculo de nueve puntos (rojo), centroide (naranja) y circuncentro (verde)

El ortocentro (punto azul), el centro del círculo de nueve puntos (rojo), el centroide (naranja) y el circuncentro (verde) se encuentran en una sola línea, conocida como línea de Euler (línea roja). El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el punto medio entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia entre el centroide y el circuncentro es la mitad que entre el centroide y el ortocentro.

El centro del círculo no se encuentra en general en la línea de Euler.

Si uno refleja una mediana en la bisectriz del ángulo que pasa por el mismo vértice, se obtiene un symmedian. Los tres symmedians se cruzan en un solo punto, el punto symmedian del triángulo.

Computando los lados y ángulos

Existen varios métodos estándar para calcular la longitud de un lado o la medida de un ángulo. Ciertos métodos son adecuados para calcular valores en un triángulo rectángulo; métodos más complejos pueden ser necesarios en otras situaciones.

Proporciones trigonométricas en triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo siempre incluye un ángulo de 90 ° (π / 2 radianes), aquí con la etiqueta C. Los ángulos A y B pueden variar. Las funciones trigonométricas especifican las relaciones entre las longitudes de los lados y los ángulos interiores de un triángulo rectángulo.

En triángulos rectángulos, las relaciones trigonométricas de seno, coseno y tangente se pueden utilizar para encontrar ángulos desconocidos y longitudes de lados desconocidos. Los lados del triángulo se conocen de la siguiente manera:

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo derecho, o se define como el lado más largo de un triángulo rectángulo, en este caso h .
El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo que nos interesa, en este caso a .
El lado adyacente es el lado que está en contacto con el ángulo que nos interesa y el ángulo recto, de ahí su nombre. En este caso, el lado adyacente es b .

Seno, coseno y tangente

El seno de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\ sin A = {\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {a} {h}} \ ,.

Esta relación no depende del triángulo rectángulo particular elegido, siempre que contenga el ángulo A , ya que todos esos triángulos son similares.

El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa. En nuestro caso

\ cos A = {\ frac {\ text {side side}} {\ text {hypotenuse}}} = {\ frac {b} {h}} \ ,.

La tangente de un ángulo es la relación de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente. En nuestro caso

\ tan A = {\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {lado adyacente}}} = {\ frac {a} {b}} = {\ frac {\ sen A} {\ cos A}} \ ,.

El acrónimo "SOH-CAH-TOA" es un mnemónico útil para estas relaciones.

Funciones inversas

Las funciones trigonométricas inversas se pueden usar para calcular los ángulos internos de un triángulo rectángulo con la longitud de cualquiera de los dos lados.

Arcsin se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

\ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {hypotenuse}}} \ right)

Arccos se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado adyacente y la longitud de la hipotenusa.

\ theta = \ arccos \ left ({\ frac {\ text {lado adyacente}} {\ text {hypotenuse}}} \ right)

Arctan se puede usar para calcular un ángulo a partir de la longitud del lado opuesto y la longitud del lado adyacente.

\ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {lado opuesto}} {\ text {lado adyacente}}} \ right)

En los cursos introductorios de geometría y trigonometría, la notación sin, cos, etc., se usa a menudo en lugar de arcosin, arccos, etc. Sin embargo, la notación arcsin, arccos, etc., es estándar en las matemáticas superiores donde las funciones trigonométricas comúnmente se plantean a los poderes, ya que esto evita la confusión entre el inverso multiplicativo y el inverso compositivo.

Reglas de seno, coseno y tangente

Un triángulo con lados de longitud a, byc y ángulos de α, β y γ respectivamente.

La ley de los senos, o regla sinusoidal, establece que la relación entre la longitud de un lado y el seno de su ángulo opuesto correspondiente es constante, es decir,

{\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}.

Esta relación es igual al diámetro del círculo circunscrito del triángulo dado. Otra interpretación de este teorema es que cada triángulo con ángulos α, β y γ es similar a un triángulo con longitudes laterales iguales a sin α, sin β y sin γ. Este triángulo se puede construir construyendo primero un círculo de diámetro 1 e inscribiendo en él dos de los ángulos del triángulo. La longitud de los lados de ese triángulo será sin α, sin β y sin γ. El lado cuya longitud es sen α es opuesto al ángulo cuya medida es α, etc.

La ley de los cosenos, o regla del coseno, conecta la longitud de un lado desconocido de un triángulo con la longitud de los otros lados y el ángulo opuesto al lado desconocido. Según la ley:

Para un triángulo con longitud de los lados un , b , c y ángulos de α, β, γ, respectivamente, dados dos longitudes conocidas de un triángulo un y b , y el ángulo entre los dos lados conocidos gamma (o el ángulo opuesto a la desconocida lado c ), para calcular el tercer lado c , se puede usar la siguiente fórmula:

c ^ {2} \ = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos (\ gamma)

b ^ {2} \ = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos (\ beta)

a ^ {2} \ = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos (\ alpha)

Si se conocen las longitudes de los tres lados de cualquier triángulo, se pueden calcular los tres ángulos:

\ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} \ right)

\ beta = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}} \ right)

\ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}} {2ab}} \ right)

La ley de tangentes, o regla de tangente, se puede usar para encontrar un lado o un ángulo cuando se conocen dos lados y un ángulo o dos ángulos y un lado. Se afirma que:

{\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)]} {\ tan [{\ frac {1} { 2}} (\ alpha + \ beta)]}}.

Solución de triángulos

La "solución de triángulos" es el principal problema trigonométrico: encontrar las características faltantes de un triángulo (tres ángulos, las longitudes de los tres lados, etc.) cuando se dan al menos tres de estas características. El triángulo se puede ubicar en un plano o en una esfera. Este problema a menudo ocurre en varias aplicaciones trigonométricas, como geodesia, astronomía, construcción, navegación, etc.

Computando el área de un triángulo

El área de un triángulo se puede demostrar como la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma longitud y altura de base.

Calcular el área T de un triángulo es un problema elemental que se encuentra a menudo en muchas situaciones diferentes. La fórmula más conocida y simple es:

T = {\ frac {1} {2}} bh

donde b es la longitud de la base del triángulo, y h es la altura o altitud del triángulo. El término "base" denota cualquier lado, y "altura" denota la longitud de una perpendicular desde el vértice opuesto al lado hacia la línea que contiene el lado mismo. En 499 CE, Aryabhata, un gran astrónomo matemático de la era clásica de las matemáticas indias y la astronomía india, utilizó este método en Aryabhatiya (sección 2.6).

Aunque simple, esta fórmula solo es útil si la altura se puede encontrar fácilmente, lo que no siempre es el caso. Por ejemplo, al inspector de un campo triangular puede resultarle relativamente fácil medir la longitud de cada lado, pero es relativamente difícil construir una "altura". Se pueden usar varios métodos en la práctica, dependiendo de lo que se sabe sobre el triángulo. La siguiente es una selección de fórmulas de uso frecuente para el área de un triángulo.

Usando trigonometría

Aplicando trigonometría para encontrar la altitud h .

La altura de un triángulo se puede encontrar mediante la aplicación de trigonometría.

Conociendo SAS : Usando las etiquetas en la imagen de la derecha, la altitud es h = un pecado

\gama

. Sustituyendo esto en la fórmula derivada anteriormente, el área del triángulo se puede expresar como:

T = {\ frac {1} {2}} bh

T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin \ gamma = {\ frac {1} {2}} bc \ sin \ alpha = {\ frac {1} {2}} ca \ sin \ beta

(donde α es el ángulo interior en A , β es el ángulo interior en B , es el ángulo interior en C y c es la línea AB ).

\gama

Además, como sin α = sen ( π - α) = sin (β + ), y de manera similar para los otros dos ángulos:

\gama

T = {\ frac {1} {2}} ab \ sin (\ alpha + \ beta) = {\ frac {1} {2}} bc \ sin (\ beta + \ gamma) = {\ frac {1} {2}} ca \ sin (\ gamma + \ alpha).

Conociendo AAS :

T = {\ frac {b ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin (\ alpha + \ beta))} {2 \ sin \ beta}},

y análogamente si el lado conocido es a o c .

Sabiendo ASA :

T = {\ frac {a ^ {2}} {2 (\ cot \ beta + \ cot \ gamma)}} = {\ frac {a ^ {2} (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)} {2 \ sin (\ beta + \ gamma)}},

y análogamente si el lado conocido es b o c .

Usando la fórmula de Heron

La forma del triángulo está determinada por la longitud de los lados. Por lo tanto, el área también se puede derivar de las longitudes de los lados. Por la fórmula de Heron:

T = {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}

dónde está el semiperímetro, o la mitad del perímetro del triángulo.

s = {\ tfrac {a + b + c} {2}}

Otras tres formas equivalentes de escribir la fórmula de Heron son

T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2} -2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}

T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2} ) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}

T = {\ frac {1} {4}} {\ sqrt {(a + bc) (a-b + c) (- a + b + c) (a + b + c)}}.

Usando vectores

El área de un paralelogramo incrustado en un espacio euclidiano tridimensional puede calcularse usando vectores. Deje vectores AB y AC punto, respectivamente, de A a B y desde A a C . El área del paralelogramo ABDC es entonces

| \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |,

cuál es la magnitud del producto cruzado de los vectores AB y AC . El área del triángulo ABC es la mitad de esto,

{\ frac {1} {2}} | \ mathbf {AB} \ times \ mathbf {AC} |.

El área del triángulo ABC también se puede expresar en términos de productos punto de la siguiente manera:

{\ frac {1} {2}} {\ sqrt {(\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AB}) (\ mathbf {AC} \ cdot \ mathbf {AC}) - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| \ mathbf {AB} | ^ {2} | \ mathbf {AC} | ^ {2} - (\ mathbf {AB} \ cdot \ mathbf {AC}) ^ {2}}}. \,

En el espacio euclidiano bidimensional, que expresa el vector AB como un vector libre en el espacio cartesiano igual a ( x 1 , y 1 ) y AC como ( x 2 , y 2 ), esto puede reescribirse como:

{\ frac {1} {2}} \, | x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} |. \,

Usando coordenadas

Si el vértice A está ubicado en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas y las coordenadas de los otros dos vértices están dadas por B = ( x B , y B ) y C = ( x C , y C ) , entonces el área se puede calcular como / 2 veces el valor absoluto del determinante

T = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {B} & y_ {C} \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} | x_ {B} y_ {C} -x_ {C} y_ {B} |.

Para tres vértices generales, la ecuación es:

T = {\ frac {1} {2}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} \ \ 1 & 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {\ frac {1} {2}} {\ big |} x_ {A} y_ {B} -x_ {A} y_ {C} + x_ {B} y_ {C} -x_ {B} y_ {A} + x_ {C} y_ {A} -x_ {C} y_ {B} {\ big |},

que se puede escribir como

T = {\ frac {1} {2}} {\ big |} (x_ {A} -x_ {C}) (y_ {B} -y_ {A}) - (x_ {A} -x_ {B} ) (y_ {C} -y_ {A}) {\ big |}.

Si los puntos están etiquetados secuencialmente en el sentido contrario a las agujas del reloj, las expresiones determinantes anteriores son positivas y los signos de valores absolutos pueden omitirse. La fórmula anterior se conoce como la fórmula del cordón o la fórmula del topógrafo.

Si ubicamos los vértices en el plano complejo y los señalamos en la secuencia antihoraria como a = x A + y A i , b = x B + y B i , y c = x C + y C i , y denotamos sus complejos conjugados como ,, y , luego, la fórmula

{\ bar {a}}

{\ bar {b}}

{\ bar {c}}

T = {\ frac {i} {4}} {\ begin {vmatrix} a & {\ bar {a}} & 1 \\ b & {\ bar {b}} & 1 \\ c & {\ bar {c}} & 1 \ fin {vmatrix}}

es equivalente a la fórmula del cordón.

En tres dimensiones, el área de un triángulo general A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) y C = ( x C , y C , z C ) es la Suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones en los tres planos principales (es decir, x = 0, y = 0 yz = 0):

T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {{begin {vmatrix} x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} y_ {A} & y_ {B} & y_ {C} \\ z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end { vmatrix}} ^ {2} + {\ begin {vmatrix} z_ {A} & z_ {B} & z_ {C} \\ x_ {A} & x_ {B} & x_ {C} \\ 1 & 1 & 1 \ end {vmatrix}} ^ {2}}}.

Usar integrales de línea

El área dentro de cualquier curva cerrada, tal como un triángulo, está dada por la integral de línea alrededor de la curva de la distancia algebraica o firmado de un punto de la curva a partir de una arbitraria orientada línea recta L . Los puntos a la derecha de L como orientados se toman a una distancia negativa de L , mientras que el peso de la integral se toma como el componente de la longitud del arco paralela a L en lugar de la longitud del arco en sí.

Este método es muy adecuado para el cálculo del área de un polígono arbitrario. Tomando L para ser el eje x , la línea integral entre los vértices consecutivos ( x i , y i ) y ( x i +1 , y i +1 ) viene dada por la base multiplicada por la altura media, es decir ( x i +1 - x i ) ( y i + y i +1 ) / 2. El signo del área es un indicador general de la dirección de recorrido, con un área negativa que indica un recorrido en sentido antihorario. El área de un triángulo luego cae como el caso de un polígono con tres lados.

Mientras que el método integral de línea tiene en común con otros métodos basados en coordenadas la elección arbitraria de un sistema de coordenadas, a diferencia de los otros, no hace elección arbitraria del vértice del triángulo como origen o del lado como base. Además, la elección del sistema de coordenadas definido por L compromete solo dos grados de libertad en lugar de los tres habituales, ya que el peso es una distancia local (por ejemplo, x i +1 - x i en el punto anterior) donde el método no requiere elección un eje normal a L .

Al trabajar en coordenadas polares, no es necesario convertir a coordenadas cartesianas para usar la integración de línea, ya que se da la integral de línea entre vértices consecutivos ( r i , θ i ) y ( r i +1, θ i +1 ) de un polígono directamente por r i r i +1 sin (θ i +1 - θ i ) / 2. Esto es válido para todos los valores de θ, con cierta disminución en la precisión numérica cuando | θ | es muchos órdenes de magnitud mayor que π. Con esta formulación, el área negativa indica un recorrido en el sentido de las agujas del reloj, que debe tenerse en cuenta al mezclar coordenadas polares y cartesianas. Así como la elección del eje y ( x = 0 ) es inmaterial para la integración de líneas en coordenadas cartesianas, también lo es la elección del rumbo cero ( θ = 0 ) inmaterial aquí.

Fórmulas que se parecen a la fórmula de Heron

Tres fórmulas tienen la misma estructura que la fórmula de Heron, pero se expresan en términos de diferentes variables. En primer lugar, que denota las medianas de los lados un , b , y c , respectivamente, como m un , m b , y m c y su semi-suma ( m un + m b + m c ) / 2 como σ, tenemos

T = {\ frac {4} {3}} {\ sqrt {\ sigma (\ sigma -m_ {a}) (\ sigma -m_ {b}) (\ sigma -m_ {c})}}.

Siguiente, denotando las altitudes de los lados un , b , y c , respectivamente, como h una , h b y h c , y denota la semi-suma de los recíprocos de las altitudes como tenemos

H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2

T ^ {- 1} = 4 {\ sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {- 1 })}}.

Y denotando la semi-suma de los senos de los ángulos como S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)] / 2 , tenemos

T = D ^ {2} {\ sqrt {S (S- \ sin \ alpha) (S- \ sin \ beta) (S- \ sin \ gamma)}}

donde D es el diámetro de la circunferencia circunscrita:

D = {\ tfrac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ tfrac {b} {\ sin \ beta}} = {\ tfrac {c} {\ sin \ gamma}}.

Usando el teorema de Pick

Vea el teorema de Pick para una técnica para encontrar el área de cualquier polígono de celosía arbitrario (uno dibujado en una cuadrícula con puntos de celosía adyacentes vertical y horizontalmente a distancias iguales, y con vértices en puntos de celosía).

El teorema dice:

T = I + {\ frac {1} {2}} B-1

¿Dónde está el número de puntos de celosía internos y B es la cantidad de puntos de celosía que se encuentran en el borde del polígono? $yo$

Otras fórmulas de área

Existen muchas otras fórmulas de área, como

T = r \ cdot s,

donde r es el intrarra y s es el semiperímetro (de hecho, esta fórmula es válida para todos los polígonos tangenciales), y

{\ displaystyle T = r_ {a} (sa) = r_ {b} (sb) = r_ {c} (sc)}

donde son los radios de los excircles tangentes a los lados a, b, c respectivamente.

{\ displaystyle r_ {a}, \, r_ {b}, \, r_ {c}}

También tenemos

T = {\ frac {1} {2}} D ^ {2} (\ sin \ alpha) (\ sin \ beta) (\ sin \ gamma)

y

T = {\ frac {abc} {2D}} = {\ frac {abc} {4R}}

para circundiametro D ; y

T = {\ frac {\ tan \ alpha} {4}} (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2})

para el ángulo α ≠ 90 °.

El área también se puede expresar como

{\ displaystyle T = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}.}

En 1885, Baker dio una colección de más de cien fórmulas de área distintas para el triángulo. Éstas incluyen:

T = {\ frac {1} {2}} [abch_ {a} h_ {b} h_ {c}] ^ {1/3},

T = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {abh_ {a} h_ {b}}},

T = {\ frac {a + b} {2 (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1})}},

T = {\ frac {Rh_ {b} h_ {c}} {a}}

para circumradius (radio de la circunferencia circunscrita) R , y

T = {\ frac {h_ {a} h_ {b}} {2 \ sin \ gamma}}.

Límite superior en el área

El área T de cualquier triángulo con perímetro p satisface

{\ displaystyle T \ leq {\ tfrac {p ^ {2}} {12 {\ sqrt {3}}}},}

con igualdad sosteniendo si y solo si el triángulo es equilátero.

Otros límites superiores en el área T están dados por

4 {\ sqrt {3}} T \ leq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}

y

4 {\ sqrt {3}} T \ leq {\ frac {9abc} {a + b + c}},

ambos nuevamente sosteniendo si y solo si el triángulo es equilátero.

Bisecando el área

Hay infinitas líneas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellos son las medianas, que son las únicas bisectrices de área que pasan por el centroide. Otras tres bisectrices de área son paralelas a los lados del triángulo.

Cualquier línea a través de un triángulo que divide el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo. Puede haber uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.

Fórmulas adicionales para triángulos euclidianos generales

Las fórmulas en esta sección son verdaderas para todos los triángulos euclidianos.

Medianas, bisectrices angulares, bisectrices laterales perpendiculares y altitudes

Las medianas y los lados están relacionados por

{\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) = m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ { c} ^ {2}

y

m_ {a} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1} { 2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) - {\ frac {3} {4}} a ^ {2}}}

,

y de forma equivalente para m b y m c .

Para el ángulo A del lado opuesto a , la longitud de la bisectriz del ángulo interno viene dada por

{\ displaystyle w_ {A} = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}} = {\ sqrt {bc \ left [1 - {\ frac {a ^ {2} } {(b + c) ^ {2}}} \ right]}} = {\ frac {2bc} {b + c}} \ cos {\ frac {A} {2}},}

para el semiperímetro s , donde la longitud de la bisectriz se mide desde el vértice hasta donde se encuentra con el lado opuesto.

Las bisectrices perpendiculares interiores están dadas por

p_ {a} = {\ frac {2aT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},

p_ {b} = {\ frac {2bT} {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}}},

p_ {c} = {\ frac {2cT} {a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}}},

donde están los lados y el área es

a \ geq b \ geq c

T.

La altitud desde, por ejemplo, el lado de la longitud a es

h_ {a} = {\ frac {2T} {a}}.

Circumradius e inradius

Las siguientes fórmulas implican la circumradius R y la r inradius :

R = {\ sqrt {\ frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}} {(a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}}};

r = {\ sqrt {\ frac {(-a + b + c) (a-b + c) (a + bc)} {4 (a + b + c)}}};

{\ frac {1} {r}} = {\ frac {1} {h_ {a}}} + {\ frac {1} {h_ {b}}} + {\ frac {1} {h_ {c} }}

donde h a etc. son las altitudes de los lados con subíndice;

{\ frac {r} {R}} = {\ frac {4T ^ {2}} {sabc}} = \ cos \ alpha + \ cos \ beta + \ cos \ gamma -1;

y

2Rr = {\ frac {abc} {a + b + c}}

.

El producto de dos lados de un triángulo es igual a la altitud al tercer lado multiplicado por el diámetro D de la circunferencia circunscrita:

{\ displaystyle ab = h_ {c} D, \ quad \ quad bc = h_ {a} D, \ quad ca = h_ {b} D.}

Triángulos adyacentes

Supongamos que dos triángulos adyacentes pero no superpuestos comparten el mismo lado de la longitud fy comparten el mismo circunferencia circunscrito, de modo que el lado de la longitud f es una cuerda del circunferencia circunscrita y los triángulos tienen longitudes laterales ( a , b , f ) y ( c , d , f ), con los dos triángulos juntos formando un cuadrilátero cíclico con longitudes laterales en secuencia ( a , b , c , d ). Entonces

f ^ {2} = {\ frac {(ac + bd) (ad + bc)} {(ab + cd)}}. \,

Centroide

Deje G ser el centroide de un triángulo con los vértices A , B y C , y que P sea cualquier punto interior. Entonces las distancias entre los puntos están relacionadas por

(PA) ^ {2} + (PB) ^ {2} + (PC) ^ {2} = (GA) ^ {2} + (GB) ^ {2} + (GC) ^ {2} +3 ( PG) ^ {2}. \,

La suma de los cuadrados de los lados del triángulo equivale a tres veces la suma de las distancias cuadradas del centroide desde los vértices:

AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).

Deje q un , q b , y q c sean las distancias desde el centro de gravedad a los lados de longitudes a , b , y c . Entonces

{\ displaystyle {\ frac {q_ {a}} {q_ {b}}} = {\ frac {b} {a}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {b}} {q_ {c}} } = {\ frac {c} {b}}, \ quad \ quad {\ frac {q_ {a}} {q_ {c}}} = {\ frac {c} {a}} \,}

y

{\ displaystyle q_ {a} \ cdot a = q_ {b} \ cdot b = q_ {c} \ cdot c = {\ frac {2} {3}} T \,}

para la zona T .

Circuncentro, incentro y ortocentro

El teorema de Carnot establece que la suma de las distancias desde el circuncentro a los tres lados es igual a la suma del circumradius y el inradius. Aquí la longitud de un segmento se considera negativa si y solo si el segmento se encuentra completamente fuera del triángulo. Este método es especialmente útil para deducir las propiedades de formas más abstractas de triángulos, como las inducidas por las álgebras de Lie, que de otro modo tienen las mismas propiedades que los triángulos habituales.

El teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro está dada por

\ displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)

o equivalente

{\ frac {1} {Rd}} + {\ frac {1} {R + d}} = {\ frac {1} {r}},

donde R es la circumradius yr es la incradius. Por lo tanto, para todos los triángulos R ≥ 2 r , con la igualdad de los triángulos equiláteros.

Si denotamos que el ortocentro divide una altitud en segmentos de longitudes u y v , otra altitud en longitudes de segmentos w y x , y la tercera altitud en longitudes de segmentos y y z , entonces uv = wx = yz .

La distancia de un lado al circuncentro equivale a la mitad de la distancia desde el vértice opuesto al ortocentro.

La suma de los cuadrados de las distancias desde los vértices hasta el ortocentro H más la suma de los cuadrados de los lados equivale a doce veces el cuadrado del circumradius:

{\ displaystyle AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 12R ^ {2}.}

Anglos

Además de la ley de los senos, la ley del coseno, la ley de las tangentes y las condiciones de existencia trigonométricas dadas anteriormente, para cualquier triángulo

a = b \ cos C + c \ cos B, \ quad b = c \ cos A + a \ cos C, \ quad c = a \ cos B + b \ cos A.

Teorema del trisector de Morley

El triángulo Morley, resultante de la trisección de cada ángulo interior. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión finita.

El teorema del trisector de Morley establece que en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de los trisectores angulares adyacentes forman un triángulo equilátero, llamado triángulo Morley.

Figuras inscritas en un triángulo

Cónicas

Como se discutió anteriormente, cada triángulo tiene un círculo inscrito único (incircle) que es interior al triángulo y tangente a los tres lados.

Cada triángulo tiene una insólita Steiner única que es interior al triángulo y tangente en los puntos medios de los lados. El teorema de Marden muestra cómo encontrar los focos de esta elipse. Esta elipse tiene el área más grande de cualquier tangente de elipse a los tres lados del triángulo.

El intérprete de Mandart de un triángulo es la elipse inscrita dentro del triángulo tangente a sus lados en los puntos de contacto de sus excículos.

Para cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC , que el foco sea P y Q . Entonces

{\ frac {{\ overline {PA}} \ cdot {\ overline {QA}}} {{\ overline {CA}} \ cdot {\ overline {AB}}}} + {\ frac {{\ overline {PB }} \ cdot {\ overline {QB}}} {{\ overline {AB}} \ cdot {\ overline {BC}}}} + {\ frac {{\ overline {PC}} \ cdot {\ overline {QC }}} {{\ overline {BC}} \ cdot {\ overline {CA}}}} = 1.

Polígono convexo

Cada polígono convexo con zona T puede ser inscrito en un triángulo de área como máximo igual a 2 t . La igualdad se cumple (exclusivamente) para un paralelogramo.

Hexágono

El hexágono de Lemoine es un hexágono cíclico con vértices dados por las seis intersecciones de los lados de un triángulo con las tres líneas que son paralelas a los lados y que pasan a través de su punto symmedian. En su forma simple o en su forma autointersecante, el hexágono de Lemoine es interior al triángulo con dos vértices en cada lado del triángulo.

Cuadrícula

Cada triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior de modo que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y por lo tanto un lado del cuadrado coincide con una parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene solo un cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, un lado común más largo se asocia con un cuadrado inscrito más pequeño. Si un cuadrado inscrito tiene un lado de longitud q a y el triángulo tiene un lado de longitud a, parte de cuyo lado coincide con un lado del cuadrado, luego q a , a , la altitud h a desde el lado a , y el área T del triángulo se relacionan de acuerdo con

{\ displaystyle q_ {a} = {\ frac {2Ta} {a ^ {2} + 2T}} = {\ frac {ah_ {a}} {a + h_ {a}}}.}

La relación más grande posible entre el área del cuadrado inscrito y el área del triángulo es 1/2, que ocurre cuando a = 2 T , q = a / 2 , y la altitud del triángulo desde la base de la longitud a es igual a a . La proporción más pequeña posible del lado de un cuadrado inscrito al lado de otro en el mismo triángulo no obtuso es Ambos casos extremos ocurren para el triángulo rectángulo isósceles.

2 {\ sqrt {2}} / 3 = 0.94 ....

triangulos

Desde un punto interior en un triángulo de referencia, los puntos más cercanos en los tres lados sirven como los vértices del triángulo de pedal de ese punto. Si el punto interior es el circuncentro del triángulo de referencia, los vértices del triángulo del pedal son los puntos medios de los lados del triángulo de referencia, por lo que el triángulo del pedal se denomina triángulo del punto medio o triángulo medial. El triángulo del punto medio subdivide el triángulo de referencia en cuatro triángulos congruentes que son similares al triángulo de referencia.

El triángulo de Gergonne o el triángulo de inserción de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los tres puntos de tangencia de los lados del triángulo de referencia con su incircle. El triángulo extouch de un triángulo de referencia tiene sus vértices en los puntos de tangencia de las circunferencias del triángulo de referencia con sus lados (no extendidos).

Figuras circunscritas sobre un triángulo

El triángulo tangencial de un triángulo de referencia (que no sea un triángulo rectángulo) es el triángulo cuyos lados están en las líneas tangentes al circunferencia del triángulo de referencia en sus vértices.

Como se mencionó anteriormente, cada triángulo tiene un circunferencia circunscrita única, un círculo que pasa por los tres vértices, cuyo centro es la intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo.

Además, cada triángulo tiene una circumellipse Steiner única, que pasa a través de los vértices del triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo. De todas las elipsis que pasan por los vértices del triángulo, tiene el área más pequeña.

La hipérbola de Kiepert es la cónica única que pasa por los tres vértices del triángulo, su centroide y su circuncentro.

De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo dado, existe un triángulo con área máxima cuyos vértices son todos vértices del polígono dado.

Especificar la ubicación de un punto en un triángulo

Una forma de identificar ubicaciones de puntos en (o fuera) de un triángulo es colocar el triángulo en una ubicación y orientación arbitrarias en el plano cartesiano, y usar coordenadas cartesianas. Aunque es conveniente para muchos propósitos, este enfoque tiene la desventaja de que los valores de coordenadas de todos los puntos dependen de la ubicación arbitraria en el plano.

Dos sistemas evitan esa característica, de modo que las coordenadas de un punto no se ven afectadas moviendo el triángulo, girándolo o reflejándolo como en un espejo, cualquiera de los cuales da un triángulo congruente, o incluso volviéndolo a escalar para dar un triángulo similar :

Las coordenadas trilineales especifican las distancias relativas de un punto desde los lados, de modo que las coordenadas indican que la relación de la distancia del punto desde el primer lado hasta su distancia desde el segundo lado es , etc. $x: y: z$ $x: y$
Las coordenadas baricéntricas de la forma especifican la ubicación del punto por los pesos relativos que tendrían que ponerse en los tres vértices para equilibrar el triángulo sin peso en el punto dado. $\ alpha: \ beta: \ gamma$

Triángulos no planos

Un triángulo no plano es un triángulo que no está contenido en un plano (plano). Algunos ejemplos de triángulos no planos en geometrías no euclidianas son triángulos esféricos en geometría esférica y triángulos hiperbólicos en geometría hiperbólica.

Mientras que las medidas de los ángulos internos en triángulos planos siempre suman 180 °, un triángulo hiperbólico tiene medidas de ángulos que suman menos de 180 °, y un triángulo esférico tiene medidas de ángulos que suman más de 180 °. Se puede obtener un triángulo hiperbólico dibujando sobre una superficie curvada negativamente, como una superficie de montura, y se puede obtener un triángulo esférico dibujando sobre una superficie curvada positivamente tal como una esfera. Por lo tanto, si se dibuja un triángulo gigante en la superficie de la Tierra, se encontrará que la suma de las medidas de sus ángulos es mayor que 180 °; de hecho, estará entre 180 ° y 540 °. En particular, es posible trazar un triángulo sobre una esfera de modo que la medida de cada uno de sus ángulos internos sea igual a 90 °, sumando un total de 270 °.

Específicamente, en una esfera, la suma de los ángulos de un triángulo es

180 ° × (1 + 4 f ),

donde f es la fracción del área de la esfera que está rodeada por el triángulo. Por ejemplo, supongamos que dibujamos un triángulo en la superficie de la Tierra con vértices en el Polo Norte, en un punto en el ecuador a 0 ° de longitud y un punto en el ecuador a 90 ° de longitud Oeste. La línea del gran círculo entre los dos últimos puntos es el ecuador, y la línea del gran círculo entre cualquiera de esos puntos y el Polo Norte es una línea de longitud; entonces hay ángulos rectos en los dos puntos en el ecuador. Además, el ángulo en el Polo Norte también es de 90 ° porque los otros dos vértices difieren en 90 ° de longitud. Entonces la suma de los ángulos en este triángulo es 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 °. El triángulo encierra 1/4 del hemisferio norte (90 ° / 360 ° visto desde el Polo Norte) y, por lo tanto, 1/8 de la superficie de la Tierra, por lo que en la fórmula f = 1/8 ; por lo tanto, la fórmula da correctamente la suma de los ángulos del triángulo como 270 °.

A partir de la fórmula de suma de ángulo anterior también podemos ver que la superficie de la Tierra es plana localmente: si dibujamos un triángulo arbitrariamente pequeño en la vecindad de un punto de la superficie de la Tierra, la fracción f de la superficie de la Tierra que está encerrada por el triángulo estar arbitrariamente cerca de cero. En este caso, la fórmula de suma angular se simplifica a 180 °, lo que sabemos es lo que la geometría euclidiana nos dice para los triángulos en una superficie plana.

Triángulos en construcción

El edificio Flatiron en Nueva York tiene la forma de un prisma triangular

Los rectángulos han sido la forma geométrica más popular y común para edificios ya que la forma es fácil de apilar y organizar; como estándar, es fácil diseñar muebles y accesorios para que quepan dentro de edificios de forma rectangular. Pero los triángulos, aunque son más difíciles de usar conceptualmente, brindan una gran fortaleza. A medida que la tecnología informática ayuda a los arquitectos a diseñar nuevos edificios creativos, las formas triangulares se están volviendo cada vez más frecuentes como partes de edificios y como la forma principal para algunos tipos de rascacielos, así como también para materiales de construcción. En Tokio en 1989, los arquitectos se habían preguntado si era posible construir una torre de 500 pisos para proporcionar un espacio de oficinas asequible para esta ciudad densamente atestada, pero con el peligro para los edificios de los terremotos,

En la ciudad de Nueva York, como Broadway cruza avenidas principales, los bloques resultantes se cortan como triángulos, y los edificios se han construido sobre estas formas; uno de esos edificios es el Edificio Flatiron, de forma triangular, que la gente de bienes raíces admite que tiene un "laberinto de espacios incómodos que no acomodan fácilmente muebles de oficina modernos", pero eso no ha impedido que la estructura se convierta en un ícono histórico. Los diseñadores han hecho casas en Noruega con temas triangulares. Las formas triangulares han aparecido en las iglesias, así como en los edificios públicos, incluidas las universidades, así como en los soportes para diseños de casas innovadores.

Los triángulos son robustos; mientras que un rectángulo puede colapsar en un paralelogramo desde la presión hasta uno de sus puntos, los triángulos tienen una resistencia natural que sostiene las estructuras contra las presiones laterales. Un triángulo no cambiará de forma a menos que sus lados estén doblados o extendidos o rotos o si se rompen sus articulaciones; en esencia, cada uno de los tres lados apoya a los otros dos. Un rectángulo, en cambio, depende más de la fuerza de sus articulaciones en un sentido estructural. Algunos diseñadores innovadores han propuesto fabricar ladrillos no con rectángulos, sino con formas triangulares que se pueden combinar en tres dimensiones. Es probable que los triángulos se usen cada vez más de maneras nuevas a medida que la arquitectura aumenta en complejidad. Es importante recordar que los triángulos son fuertes en términos de rigidez, pero mientras están empaquetados en un arreglo de mosaico, los triángulos no son tan fuertes como los hexágonos bajo compresión (de ahí la prevalencia de formas hexagonales en la naturaleza). Los triángulos teselados aún mantienen una resistencia superior para voladizos, y esta es la base de una de las estructuras más fuertes hechas por el hombre, la armadura tetraédrica.

Triángulo equilátero
Un triángulo regular
Tipo	Polígono regular
Bordes y vértices	3
Símbolo Schläfli	{3}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Dihedral (D 3 ), orden 2 × 3
Ángulo interno (grados)	60 °
Polígono dual	Yo
Propiedades	Convexo, cíclico, equilátero, isogonal, isotoxal

Triángulo
Un triángulo
Bordes y vértices	3
Símbolo Schläfli	{3} (para equilátero)
Zona	varios métodos; vea abajo
Ángulo interno (grados)	60 ° (para equilátero)

Triángulo

Definición