Pi (constantes matemáticas)

Definición

El número  π  ( / p aɪ / ) es una constante matemática. Originalmente definido como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, ahora tiene varias definiciones equivalentes y aparece en muchas fórmulas en todas las áreas de las matemáticas y la física. Es aproximadamente igual a 3.14159. Ha sido representado por la letra griega " π " desde mediados del siglo XVIII, aunque a veces también se define como " pi ". También se llama  constante de Arquímedes .

Siendo un número irracional,  π  no se puede expresar como una fracción común (de manera equivalente, su representación decimal nunca termina y nunca se establece en un patrón de repetición permanente). Aún así, fracciones como 22/7 y otros números racionales se usan comúnmente para aproximarse a  π . Los dígitos parecen estar distribuidos aleatoriamente. En particular, la secuencia de dígitos de  π  se conjetura para satisfacer un tipo específico de aleatoriedad estadística, pero hasta la fecha no se ha descubierto ninguna prueba de esto. Además,  π  es un número trascendental; es decir, no es la raíz de ningún polinomio que tenga coeficientes racionales. Esta trascendencia de  π implica que es imposible resolver el antiguo desafío de cuadrar el círculo con una brújula y una regla.

Las civilizaciones antiguas requerían valores computados bastante precisos para aproximarse a  π por razones prácticas, incluidos los egipcios y los babilonios. Alrededor del año 250 aC, el matemático griego Arqueimedes creó un algoritmo para calcularlo. En el siglo V dC las matemáticas chinas se aproximaban a  π  a siete dígitos, mientras que las matemáticas indias realizaban una aproximación de cinco dígitos, ambas usando técnicas geométricas. La primera fórmula históricamente exacta para  π, basado en series infinitas, no estuvo disponible hasta un milenio después, cuando en el siglo XIV se descubrió la serie Madhava-Leibniz en matemáticas indias. En los siglos XX y XXI, los matemáticos y los informáticos descubrieron nuevos enfoques que, combinados con un poder computacional creciente, extendían la representación decimal de  π  a muchos trillones de dígitos después del punto decimal. Prácticamente todas las aplicaciones científicas requieren no más de unos pocos cientos de dígitos de  πy muchos menos, por lo que la motivación principal para estos cálculos es la búsqueda de algoritmos más eficientes para calcular series numéricas extensas, así como el deseo de romper registros. Los extensos cálculos involucrados también se han usado para probar supercomputadores y algoritmos de multiplicación de alta precisión.

Debido a que su definición más elemental se relaciona con el círculo,  π  se encuentra en muchas fórmulas en trigonometría y geometría, especialmente aquellas relacionadas con círculos, elipses y esferas. En el análisis matemático más moderno, el número se define utilizando las propiedades espectrales del sistema de números reales, como un valor propio o un período, sin ninguna referencia a la geometría. Por lo tanto, aparece en las áreas de las matemáticas y las ciencias que tienen poco que ver con la geometría de los círculos, como la teoría de números y las estadísticas, así como en casi todas las áreas de la física. La ubicuidad de  π lo  convierte en una de las constantes matemáticas más conocidas tanto dentro como fuera de la comunidad científica. Varios libros dedicados a  π han sido publicados, y los cálculos de los dígitos que establecen récords de  π a  menudo resultan en titulares de noticias. Los intentos de memorizar el valor de  π  con mayor precisión han llevado a registros de más de 70,000 dígitos.

Fundamentos

Nombre

El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula  
π , a veces expresada como  pi,  y derivada de la primera letra de la palabra griega  perimetros, que significa circunferencia. En inglés,  π  se pronuncia como "pie" ( / p aɪ / ,  
py ). En uso matemático, la letra minúscula  π  (o π en fuente sans-serif) se distingue de su contraparte en mayúscula y ampliada  Π , que denota un producto de una secuencia, análogo a cómo  Σ  denota sumatoria.

La elección del símbolo  π  se trata en la sección  Adopción del símbolo  
π .

Definición

La circunferencia de un círculo es un poco más de tres veces más larga que su diámetro. La proporción exacta se llama  π .

π  se define comúnmente como la relación entre la circunferencia C de un círculo   y su diámetro  d :

La relación  C / d  es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble del diámetro de otro círculo, también tendrá el doble de circunferencia, preservando la relación  C / d . Esta definición de  π implícitamente hace uso de la geometría plana (euclidiana); aunque la noción de un círculo se puede extender a cualquier geometría curva (no euclídea), estos nuevos círculos ya no satisfarán la fórmula  π  =  C / d .

Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que se puede definir formalmente independientemente de la geometría usando límites, un concepto en cálculo. Por ejemplo, uno puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario dado en coordenadas cartesianas por  x  +  y  = 1 , como la integral:

Una integral como esta fue adoptada como la definición de  π  por Karl Weierstrass, quien la definió directamente como una integral en 1841.

Las definiciones de  π  como estas que se basan en una noción de circunferencia y, por lo tanto, implícitamente en los conceptos del cálculo integral, ya no son comunes en la literatura. Remmert (1991) explica que esto se debe a que en muchos tratamientos modernos de cálculo, el cálculo diferencial típicamente precede al cálculo integral en el plan de estudios universitario, por lo que es deseable tener una definición de  π  que no dependa de este último. Una definición de este tipo, debida a Richard Baltzer, y popularizada por Edmund Landau, es la siguiente:  π  es el doble del número positivo más pequeño en el que la función del coseno es igual a 0. El coseno se puede definir independientemente de la geometría como una serie de potencias, o como solución de una ecuación diferencial.

En un espíritu similar,  π  se puede definir en su lugar usando las propiedades de la exponencial compleja,  exp ( z ) , de una variable compleja  z . Al igual que el coseno, la exponencial compleja se puede definir de varias maneras. El conjunto de números complejos en el que  exp ( z )  es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma:

y hay un número real positivo único  π  con esta propiedad. Una variación más abstracta de la misma idea, haciendo uso de conceptos matemáticos sofisticados de topología y álgebra, es el siguiente teorema: existe un isomorfismo continuo único (hasta automorphism) del grupo  R / Z  de números reales debajo de enteros enteros del módulo ( el grupo de círculo) en el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto uno. El número  π  se define entonces como la mitad de la magnitud de la derivada de este homomorfismo.

Un círculo encierra el área más grande que se puede alcanzar dentro de un perímetro dado. Por lo tanto, el número  π  también se caracteriza como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica (multiplicada por un cuarto). Hay muchas otras formas estrechamente relacionadas en las que  π  aparece como un valor propio de algún proceso geométrico o físico; vea abajo.

Irracionalidad y normalidad

π  es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir como la relación de dos enteros (fracciones tales como  22/7  se utilizan comúnmente para aproximar  π , pero ninguna fracción común (relación de números enteros) puede ser su valor exacto). Como  π  es irracional, tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal, y no se asienta en un patrón infinitamente repetitivo de dígitos. Hay varias pruebas de que  
π  es irracional; generalmente requieren cálculo y dependen de la   técnica reductio ad absurdum . El grado al que  π puede ser aproximado por números racionales (llamada la medida de irracionalidad) no se conoce con precisión; las estimaciones han establecido que la medida de irracionalidad es mayor que la medida de  e  o  ln (2)  pero más pequeña que la medida de los números de Liouville.

Los dígitos de  π  no tienen un patrón aparente y han pasado las pruebas de aleatoriedad estadística, incluidas las pruebas de normalidad; un número de longitud infinita se llama normal cuando todas las posibles secuencias de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. La conjetura de que  π  es normal no ha sido probada o refutada.

Desde el advenimiento de las computadoras, una gran cantidad de dígitos de  π  han estado disponibles para realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada ha realizado análisis estadísticos detallados sobre los dígitos decimales de  π  y los ha encontrado consistentes con la normalidad; por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significancia estadística, y no se encontraron pruebas de un patrón. Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, según el teorema del mono infinito. Por lo tanto, debido a la secuencia de  π's digits pasa pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorios, como una secuencia de seis consecutivos 9 que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de  π . Esto también se llama el "punto de Feynman" en el folclore matemático, después de Richard Feynman, aunque no se conoce ninguna conexión con Feynman.

Trascendencia

Como  π  es un número trascendental, cuadrar el círculo no es posible en un número finito de pasos usando las herramientas clásicas de compás y regla.

Además de ser irracional, más fuertemente  π  es un número trascendental, lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales, como  x/120  -  x/6  +  x  = 0 .

La trascendencia de  π  tiene dos consecuencias importantes: En primer lugar,  π  no se pueden expresar usando cualquier combinación finito de números racionales y raíces cuadradas o  n raíces -ésimos tales como  3 √ 31  o  √ 10. En segundo lugar, dado que ningún número trascendental puede construirse con brújula y regla, no es posible "cuadrar el círculo". En otras palabras, es imposible construir, utilizando solo la brújula y la regla, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. Cuadrar un círculo era uno de los problemas de geometría importantes de la antigüedad clásica. Los matemáticos aficionados en los tiempos modernos a veces han tratado de cuadrar el círculo y, a veces reclaman éxito a pesar de que es matemáticamente imposible.

Fracciones continuas

La constante  π  está representada en este mosaico fuera del Edificio de Matemáticas en la Universidad Técnica de Berlín.

Como todos los números irracionales,  π  no se puede representar como una fracción común (también conocida como fracción simple o vulgar), por la misma definición de "número irracional" (es decir, "no es un número racional"). Pero cada número irracional, que incluye  π , puede representarse mediante una serie infinita de fracciones anidadas, llamada fracción continua:

Truncar la fracción continua en cualquier punto produce una aproximación racional para  π ; los primeros cuatro de estos son 3, 22/7, 333/106 y 355/113. Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas más conocidas y ampliamente utilizadas de la constante. Cada aproximación generada de esta manera es una mejor aproximación racional; es decir, cada uno está más cerca de  π  que cualquier otra fracción con el mismo denominador o un denominador más pequeño. Como  π  se sabe que es trascendental, por definición, no es algebraico y, por lo tanto, no puede ser un elemento cuadrático irracional. Por lo tanto,  π  no puede tener una fracción continua periódica. Aunque la fracción continua simple para  π (que se muestra arriba) tampoco exhibe ningún otro patrón obvio, los matemáticos han descubierto varias fracciones continuadas generalizadas que sí lo hacen, tales como:

Valor aproximado y dígitos

Algunas aproximaciones de  pi  incluyen:

• Enteros : 3
• Las fracciones : fracciones aproximados incluyen (en orden creciente de exactitud)  22/7 ,  333/106 ,  355/113 ,  52.163/16.604 mil ,  103,993 mil/33.102 mil , y  245850922/78,256,779 . (Lista es los términos seleccionados de   A063674 y   A063673 .)
• Dígitos : Los primeros 50 dígitos decimales son  3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 ...  (ver   A000796 )

Dígitos en otros sistemas numéricos

• Los primeros 48 dígitos binarios (base 2) (llamados bits) son  11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 ...  (ver   A004601 )
• Los primeros 20 dígitos en hexadecimal (base 16) son  3.243F 6A88 85A3 08D3 1319 ...  (ver   A062964 )
• Los primeros cinco dígitos sexagesimales (base 60) son 3; 8,29,44,0,47 (ver   A060707 )

Números complejos e identidad de Euler

La asociación entre los poderes imaginarios del número  ey los puntos en el círculo unitario se centra en el origen en el plano complejo dado por la fórmula de Euler.

Cualquier número complejo, por ejemplo  z , se puede expresar usando un par de números reales. En el sistema de coordenadas polares, un número (radio o  r ) se usa para representar  la distancia de z desde el origen del plano complejo y el otro (ángulo o  φ ) para representar una rotación en sentido antihorario desde la línea real positiva de la siguiente manera :

donde  i  es la unidad imaginaria que satisface  i  = -1. La aparición frecuente de  π  en el análisis complejo puede estar relacionada con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler:

donde la constante  
e  es la base del logaritmo natural. Esta fórmula establece una correspondencia entre los poderes imaginarios de  ey los  puntos en el círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. Establecer  φ  =  π  en la fórmula de Euler resulta en la identidad de Euler, celebrada por los matemáticos porque contiene las cinco constantes matemáticas más importantes:

Hay  n  diferentes números complejos  z  satisfacer  z  = 1 , y éstos se llaman el " n -ésimo raíces de la unidad". Están dados por esta fórmula:

Historia

Antigüedad

Las aproximaciones más conocidas a la   datación π antes de la Era Común fueron precisas con dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas en particular a mediados del primer milenio, con una precisión de siete decimales. Después de esto, no se realizaron más avances hasta el final del período medieval.

Algunos egiptólogos han afirmado que los antiguos egipcios utilizaron una aproximación de  π como  22 de/7  ya desde el Imperio Antiguo. Este reclamo se encontró con escepticismo.

Las primeras aproximaciones escritas de  π  se encuentran en Egipto y Babilonia, ambas dentro del uno por ciento del valor verdadero. En Babilonia, una tablilla de arcilla con fecha 1900-1600 aC tiene una declaración geométrica que, por implicación, trata a  π  como  25 de/8  = 3,125. En Egipto, el Papiro Rhind, de fecha alrededor de 1650 BC pero copiada de un documento de fecha a 1850 aC, tiene una fórmula para el área de un círculo que trata  π  como ( 16/9 ) ≈ 3,1605.

Cálculos astronómico en el  Shatapatha Brahmana  (ca. cuarto siglo BC) utilizan una aproximación fraccional de  339/108  ≈ 3.139 (una precisión de 9 × 10). Otras fuentes indias alrededor del 150 aC tratan  π  como  √ 10  ≈ 3.1622.

Era de aproximación de polígono

π  puede calcularse calculando los perímetros de polígonos circunscritos e inscritos.

El primer algoritmo registrado para calcular rigurosamente el valor de  π  fue un enfoque geométrico que utilizaba polígonos, ideado alrededor del año 250 aC por el matemático griego Arquímedes. Este algoritmo poligonal dominó durante más de 1.000 años, y como resultado  π a  veces se conoce como "constante de Arquímedes". Arquímedes calculó los límites superior e inferior de  π  dibujando un hexágono regular dentro y fuera de un círculo, y doblando sucesivamente el número de lados hasta llegar a un polígono regular de 96 lados. Mediante el cálculo de los perímetros de estos polígonos, demostró que  223/71  <  π  <  22/7  (es decir  3,1408 <  π <3.1429 ). Arquímedes límite superior de  22 de/7  puede haber conducido a una creencia popular generalizada de que  π  es igual a  22 de/7 . Alrededor de 150 DC, el científico griego-romano Ptolomeo, en su  Almagesto , dio un valor para  π  de 3.1416, que pudo haber obtenido de Arquímedes o de Apolonio de Perga. Los matemáticos que usaron algoritmos poligonales alcanzaron 39 dígitos de  π  en 1630, un registro que solo se rompió en 1699 cuando se usaron series infinitas para llegar a 71 dígitos.

Arquímedes desarrolló el enfoque poligonal para aproximar  π .

En la antigua China, los valores de  π  incluyen 3.1547 (alrededor de 1 AD),  √ 10  (100 dC, aproximadamente 3.1623), y  142/45  (siglo 3, aproximadamente 3.1556) .Alrededor 265 dC, el Wei Unido matemático Liu Hui creó un polígono basado en algoritmo iterativo y lo utilizó con un polígono de 3.072 lados para obtener un valor de  π  de 3.1416. Liu luego inventó un método más rápido para calcular  π  y obtuvo un valor de 3.14 con un polígono de 96 lados, aprovechando el hecho de que las diferencias en el área de los polígonos sucesivos forman una serie geométrica con un factor de 4. El matemático chino Zu Chongzhi, alrededor del año 480 dC, calculó que  π  ≈  355/113  (una fracción que se conoce con el nombre Milü en chino), utilizando el algoritmo de Liu Hui aplicado a un polígono de 12,288 lados. Con un valor correcto para sus siete primeros dígitos decimales, este valor de 3.141592920 ... sigue siendo la aproximación más precisa de π disponible para los próximos 800 años.

El astrónomo indio Aryabhata usó un valor de 3.1416 en su  Āryabhaṭīya  (499 dC). Fibonacci en c. 1220 calculó 3.1418 usando un método poligonal, independiente de Arquímedes. Autor italiano Dante aparentemente empleó el valor  3+ √ 2/10  ≈ 3,14142 .

El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo 9 dígitos sexagesimales, aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424 usando un polígono con 3 × 2 lados, que se mantuvo como el récord mundial durante aproximadamente 180 años. El matemático francés François Viète en 1579 logró 9 dígitos con un polígono de 3 × 2 lados. El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 decimales en 1593. En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzó 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado,  π fue llamado el "número Ludolphian" en Alemania hasta principios del siglo XX). El científico holandés Willebrord Snellius alcanzó 34 dígitos en 1621, y el astrónomo austriaco Christoph Grienberger llegó a 38 dígitos en 1630 usando 10 lados, que sigue siendo la aproximación más precisa que se logra manualmente utilizando algoritmos poligonales.

Series infinitas

Comparación de la convergencia de varias series infinitas históricas para  π . S n  es la aproximación después de tomar  n  términos. Cada subtrama subsiguiente magnifica el área sombreada horizontalmente 10 veces. (haga clic para más detalles)

El cálculo de  π  fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular  π  con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que usaron técnicas geométricas. Aunque las series infinitas fueron explotadas por  π  especialmente por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz, el enfoque se descubrió por primera vez en la India en algún momento entre el 1400 y el 1500 DC. La primera descripción escrita de una serie infinita que podría usarse para calcular  π  fue presentada en verso sánscrito por el astrónomo indio Nilakantha Somayaji en su  Tantrasamgraha, alrededor de 1500 DC Las series se presentan sin pruebas, pero las pruebas se presentan en un trabajo indio posterior,  Yuktibhāṣā , alrededor del año 1530 DC. Nilakantha atribuye la serie a un matemático indio anterior, Madhava de Sangamagrama, que vivió c. 1350 - c. 1425. Se describen varias series infinitas, incluyendo series para seno, tangente y coseno, que ahora se conocen como la serie Madhava o serie Gregory-Leibniz. Madhava usó series infinitas para estimar  π  a 11 dígitos alrededor de 1400, pero ese valor fue mejorado alrededor de 1430 por el matemático persa Jamshīd al-Kāshī, usando un algoritmo poligonal.

Isaac Newton usó series infinitas para calcular  π  a 15 dígitos, luego escribió "Tengo vergüenza de decirle cuántas figuras llevé estos cálculos".

La primera secuencia infinita descubierta en Europa fue un producto infinito (en lugar de una suma infinita, que se usa más típicamente en  cálculos π ) encontrado por el matemático francés François Viète en 1593:

La segunda secuencia infinita encontrada en Europa, por John Wallis en 1655, fue también un producto infinito:

El descubrimiento del cálculo, por el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en la década de 1660, condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar  π . El propio Newton utilizó una serie de arcosin para calcular una aproximación de 15 dígitos de  π  en 1665 o 1666, y luego escribió "Me da vergüenza decirte cuántas figuras llevé estos cálculos, ya que no tenía otro negocio en ese momento".

En Europa, la fórmula de Madhava fue redescubierta por el matemático escocés James Gregory en 1671, y por Leibniz en 1674:

Esta fórmula, la serie Gregory-Leibniz, es igual a  π / 4  cuando se evalúa con  z  = 1. En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp usó la serie Gregory-Leibniz para   calcular  π  a 71 dígitos, rompiendo el registro anterior de 39 dígitos, que se estableció con un algoritmo poligonal. La serie de Gregory-Leibniz para   series es simple, pero converge muy lentamente (es decir, se aproxima gradualmente a la respuesta), por lo que no se usa en los  cálculos π modernos  .

En 1706 John Machin usó la serie Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergió mucho más rápido:

Machin alcanzó 100 dígitos de  π  con esta fórmula. Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas tipo Machin, que se usaron para establecer varios registros sucesivos para calcular los dígitos de  π . Las fórmulas tipo Machin siguieron siendo el método más conocido para calcular  π  hasta la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer registros durante 250 años, que culminaron en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por Daniel Ferguson: la mejor aproximación lograda sin la ayuda de un dispositivo de cálculo.

Un registro fue establecido por el prodigio calculador Zacharias Dase, quien en 1844 empleó una fórmula similar a Machin para calcular 200 decimales de  π  en su cabeza a instancias del matemático alemán Carl Friedrich Gauss. El matemático británico William Shanks tardó 15 años en calcular  π  a 707 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, haciendo que todos los dígitos subsiguientes fueran incorrectos.

Tasa de convergencia

Algunas series infinitas para  π  convergen más rápido que otras. Dada la elección de dos series infinitas para  π , los matemáticos generalmente usarán la que converge más rápidamente porque una convergencia más rápida reduce la cantidad de cálculos necesarios para calcular  π  a cualquier precisión dada. Una serie infinita simple para  π  es la serie Gregory-Leibniz:

Como los términos individuales de esta serie infinita se agregan a la suma, el total se acerca gradualmente a  π y, con un número suficiente de términos, puede acercarse lo más posible a  π como se desee. Sin embargo, converge bastante despacio: después de 500,000 términos, produce solo cinco dígitos decimales correctos de  π .

Una serie infinita para  π  (publicada por Nilakantha en el siglo XV) que converge más rápidamente que la serie de Gregory-Leibniz es:

La siguiente tabla compara las tasas de convergencia de estas dos series:

Serie infinita para  π	Después del primer término	Después del 2do término	Después del tercer término	Después del 4to término	Después del 5to término	Converge a:
	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π  = 3.1415 ...
	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

Después de cinco términos, la suma de la serie de Gregory-Leibniz está dentro de 0.2 del valor correcto de  π , mientras que la suma de la serie de Nilakantha está dentro de 0.002 del valor correcto de  π . La serie de Nilakantha converge más rápido y es más útil para calcular los dígitos de  π . Las series que convergen aún más rápido incluyen la serie de Machin y la serie de Chudnovsky, esta última produce 14 dígitos decimales correctos por término.

Irracionalidad y trascendencia

No todos los avances matemáticos relacionados con  π  tenían como objetivo aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, hallando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre  π  y los números primos que más tarde contribuyeron al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann:

El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que  π  es irracional, lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. La prueba de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que  π  también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que  π  es trascendental, lo que confirma una conjetura hecha por Legendre y Euler. Hardy y Wright afirman que "las pruebas fueron luego modificadas y simplificadas por Hilbert, Hurwitz y otros escritores".

Adopción del símbolo  π

Leonhard Euler popularizó el uso de la letra griega  π en obras que publicó en 1736 y 1748.

En los usos más antiguos, la letra griega  
π  era una abreviación de la palabra griega para periferia (περιφέρεια), y se combinaba en proporciones con δ (para el diámetro) o ρ (para el radio) para formar constantes circulares. (Antes, los matemáticos a veces usaban letras como  c  o  p en su  lugar.) El primer uso registrado es Oughtred " ", para expresar la proporción de periferia y diámetro en el 1647 y ediciones posteriores de  Clavis Mathematicae . Barrow también usó " " para representar la constante 3.14 ..., mientras que Gregory en cambio usó " " para representar 6.28 ....

El primer uso conocido de la letra griega  π  solo para representar la relación de la circunferencia de un círculo con su diámetro fue el matemático galés William Jones en su obra de 1706  Sinopsis Palmariorum Matheseos; o, una Nueva Introducción a las Matemáticas . La letra griega aparece primero en la frase "1/2 Periferia ( π )" en la discusión de un círculo con radio uno. Sin embargo, él escribe que sus ecuaciones para  π  son de la "pluma lista del verdaderamente ingenioso Sr. John Machin", lo que lleva a la especulación de que Machin pudo haber empleado la letra griega antes que Jones. La notación de Jones no fue adoptada inmediatamente por otros matemáticos, con la notación de la fracción todavía en uso hasta 1767.

Euler comenzó a usar el formulario de una sola letra que comienza con su Ensayo de 1727  Explicando las propiedades del aire , aunque usó  π = 6.28 ..., la relación de radio a la periferia, en este y algunos escritos posteriores. Euler utilizó por primera vez  π = 3.14 ... en su trabajo de 1736  Mechanica , y continuó en su obra de 1748 ampliamente leída  Introductio en analysin infinitorum (escribió: "por el bien de la brevedad, escribiremos este número como  π ; por lo tanto,  π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1 "). Debido a que Euler correspondió en gran medida con otros matemáticos en Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente, y la práctica fue universalmente adoptada posteriormente en el mundo occidental, aunque la definición todavía varió entre 3.14 ... y 6.28 ... aún en 1761.

Búsqueda moderna de más dígitos

Era de la computadora y algoritmos iterativos

John von Neumann fue parte del equipo que utilizó por primera vez una computadora digital, ENIAC, para calcular  π .

El algoritmo iterativo Gauss-Legendre: 
Inicializar

Iterar

Entonces una estimación para  π  viene dada por

El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX nuevamente revolucionó la búsqueda de dígitos de  π . Los matemáticos estadounidenses John Wrench y Levi Smith alcanzaron 1.120 dígitos en 1949 con una calculadora de escritorio. El uso de una tangente (arctan) serie infinita inversa, un equipo dirigido por George Reitwiesner y John von Neumann ese mismo año alcanzó 2.037 dígitos con un cálculo que tomó 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC. El disco, siempre contando con una serie arctan, fue roto en repetidas ocasiones (7.480 dígitos en 1957; 10.000 dígitos en 1958, 100.000 en 1961 dígitos) hasta 1 millón de dígitos fueron alcanzados en 1973.

Dos desarrollos adicionales alrededor de 1980 aceleraron una vez más la capacidad de calcular  π . Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular  π , que eran mucho más rápidos que las series infinitas; y segundo, la invención de algoritmos de multiplicación rápida que podrían multiplicar grandes números muy rápidamente. Tales algoritmos son particularmente importantes en los  cálculos π modernos  porque la mayor parte del tiempo de la computadora está dedicado a la multiplicación. Incluyen el algoritmo de Karatsuba, la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados ​​en la transformación de Fourier.

Los algoritmos iterativos fueron publicados de forma independiente en 1975-1976 por el físico estadounidense Eugene Salamin y el científico australiano Richard Brent. Estos evitan la dependencia de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, cada iteración utiliza las salidas de los pasos anteriores como sus entradas, y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. El enfoque fue en realidad inventado hace más de 160 años por Carl Friedrich Gauss, en lo que ahora se denomina el método de la media aritmético-geométrica (método AGM) o el algoritmo de Gauss-Legendre. Tal como fue modificado por Salamin y Brent, también se lo conoce como el algoritmo Brent-Salamin.

Los algoritmos iterativos fueron ampliamente utilizados después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas típicamente aumentan el número de dígitos correctos aditivamente en términos sucesivos, los algoritmos iterativos generalmente  multiplican  el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos canadienses John y Peter Borwein produjeron un algoritmo iterativo que cuadruplica la cantidad de dígitos en cada paso; y en 1987, uno que aumenta el número de dígitos cinco veces en cada paso. El matemático japonés Yasumasa Kanada utilizó métodos iterativos para establecer varios registros de informática  π entre 1995 y 2002. Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren significativamente más memoria que las series infinitas.

Motivos para calcular  π

A medida que los matemáticos descubrieron nuevos algoritmos y las computadoras estuvieron disponibles, el número de dígitos decimales conocidos de  π  aumentó drásticamente. Tenga en cuenta que la escala vertical es logarítmica.

Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran  π , un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos, porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores computacionales de redondeo, Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, las personas han trabajado enérgicamente para calcular  π a miles y millones de dígitos. Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana de romper récords, y tales logros con  π a menudo hacen titulares en todo el mundo. También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras, probar algoritmos de análisis numérico (incluyendo algoritmos de multiplicación de alta precisión); y dentro de las matemáticas puras, proporcionando datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de  π .

Serie rápidamente convergente

Srinivasa Ramanujan, trabajando aisladamente en India, produjo muchas series innovadoras para computar  π .

Las  calculadoras π modernas  no usan algoritmos iterativos exclusivamente. En los años 80 y 90 se descubrieron nuevas series infinitas que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero son más simples y requieren menos memoria. Los rápidos algoritmos iterativos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de nuevas fórmulas innovadoras para  π , destacables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares, es

Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series de Arctan, incluida la fórmula de Machin. Bill Gosper fue el primero en utilizarlo para los avances en el cálculo de  π , estableciendo un récord de 17 millones de dígitos en 1985. Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein y los hermanos Chudnovsky. La fórmula Chudnovsky desarrollada en 1987 es

Produce alrededor de 14 dígitos de  π  por trimestre, y se ha utilizado para varios  cálculos π derécord  , incluido el primero en superar los mil millones (10) dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 2.7 billones (2.7 × 10) dígitos por Fabrice Bellard en 2009, y 10 billones (10) dígitos en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo. Para fórmulas similares, vea también la serie de Ramanujan-Sato.

En 2006, el matemático canadiense Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación de enteros PSLQ para generar varias fórmulas nuevas para  π , conforme a la siguiente plantilla:

donde  q  es  
e  (constante de Gelfond),  k  es un número impar, y  a ,  b ,  c  son ciertos números racionales que Plouffe calculó.

Métodos de Monte Carlo

La aguja de Buffon. Las agujas  a y  b  se eliminan al azar.

Los puntos aleatorios se colocan en el cuadrante de un cuadrado con un círculo inscrito en él.

Los métodos de Monte Carlo, basados ​​en pruebas aleatorias, se pueden usar para aproximar  π .

Los métodos de Monte Carlo, que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, se pueden usar para crear aproximaciones de  π . La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si una aguja de longitud  ℓ  se cae  n  veces sobre una superficie en la que las líneas paralelas se   separan tunidades, y si  x  de esas veces se detiene cruzando una línea ( x  > 0), entonces uno puede aproximar  π  basado en los conteos:

Otro método de Monte Carlo para calcular  π  es dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos aleatoriamente en el cuadrado. La relación de puntos dentro del círculo al número total de puntos será aproximadamente igual a  π / 4 .

Cinco paseos aleatorios con 200 pasos. La media muestral de  | W 200 |  es  μ = 56/5 , y entonces  2 (200) μ ≈ 3.19  está dentro de  0.05  de  π

Otra forma de calcular  π  usando la probabilidad es comenzar con una caminata aleatoria, generada por una secuencia de lanzamientos de moneda (justos): variables aleatorias independientes  X k  tales que  X k  ∈ {-1,1 } con probabilidades iguales. La caminata aleatoria asociada es

de modo que, para cada  n ,  W n  se extrae de una distribución binomial estándar. Como  n  varía,  W n  define un proceso estocástico (discreto). Entonces  π  puede calcularse por

Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con círculos, y es una consecuencia del teorema del límite central, discutido anteriormente.

Estos métodos de Monte Carlo para aproximar  π  son muy lentos en comparación con otros métodos, y no proporcionan ninguna información sobre el número exacto de dígitos que se obtienen. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar  π  cuando se desea velocidad o precisión.

Algoritmos de espiga

Se descubrieron dos algoritmos en 1995 que abrieron nuevas vías de investigación en  π . Se llaman algoritmos de espiga porque, al igual que el agua que gotea de una espita, producen un solo dígito de  π  que no se reutiliza después de calcularse. Esto está en contraste con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y usan todos los dígitos intermedios hasta que se produce el resultado final.

Los matemáticos estadounidenses Stan Wagon y Stanley Rabinowitz produjeron un algoritmo de espita simple en 1995. Su velocidad es comparable a los algoritmos arctan, pero no tan rápido como los algoritmos iterativos.

Otro algoritmo de espita, el algoritmo de extracción de dígitos BBP, fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe:

Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de  π  sin calcular todos los dígitos anteriores. Los dígitos binarios individuales se pueden extraer de dígitos hexadecimales individuales, y los dígitos octales se pueden extraer de uno o dos dígitos hexadecimales. Se han descubierto variaciones del algoritmo, pero aún no se ha encontrado ningún algoritmo de extracción de dígitos que produzca rápidamente dígitos decimales. Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevas reivindicaciones de registro  π cómputos: después de reclamar un nuevo registro, el resultado decimal se convierte a hexadecimal, y luego se usa un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales aleatorios cerca del final; si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto.

Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex utilizó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el cuadrillón (décimo) bit de  π , que resultó ser 0. En septiembre de 2010, un Yahoo! el empleado utilizó la aplicación Hadoop de la compañía en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π  en el bit  dos cuadrimillonésimo (2 × 10º), que también resulta ser cero.

Papel y caracterizaciones en matemáticas

Debido a que  π  está estrechamente relacionado con el círculo, se encuentra en muchas fórmulas de los campos de la geometría y la trigonometría, particularmente las relacionadas con círculos, esferas o elipses. Otras ramas de la ciencia, como las estadísticas, la física, el análisis de Fourier y la teoría de números, también incluyen  π  en algunas de sus fórmulas importantes.

Geometría y trigonometría

El área del círculo es igual a  π veces el área sombreada.

π  aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de formas geométricas basadas en círculos, como elipses, esferas, conos y toros. A continuación se encuentran algunas de las fórmulas más comunes que implican  π .

• La circunferencia de un círculo con radio  r  es  2π r .
• El área de un círculo con radio  r  es  π r .
• El volumen de una esfera con radio  r  es  4/3 π r .
• El área de superficie de una esfera con radio  r  es  4π r .

Las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la  bola n- dimensional y el área de superficie de su límite, la esfera ( n -1) -dimensional, dada a continuación.

Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de las formas generadas por los círculos suelen tener valores que implican  π . Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno está dada por:

En esa integral, la función  √ 1 -  x  representa la mitad superior de un círculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras), y la integral  ∫ 1 
-1  calcula el área entre esa mitad de un círculo y el   eje 
x .

Las funciones seno y coseno se repiten con el período 2 π .

Las funciones trigonométricas se basan en ángulos, y los matemáticos generalmente usan radianes como unidades de medida. π  juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes, que se definen de modo que un círculo completo abarque un ángulo de 2 π  radianes. La medida del ángulo de 180 ° es igual a  π  radianes, y 1 ° =  π / 180 radianes.

Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de  π ; por ejemplo, el seno y el coseno tienen el período 2 π , por lo que para cualquier ángulo  θ  y cualquier número entero  k ,

Valores propios

Los armónicos de una cuerda vibrante son funciones propias de la segunda derivada y forman una progresión armónica. Los valores propios asociados forman la progresión aritmética de múltiplos enteros de  π .

Muchas de las apariciones de  π  en las fórmulas de las matemáticas y las ciencias tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo,  π  también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.

En muchas aplicaciones, juega un papel destacado como valor propio. Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada se puede modelar como la gráfica de una función  f  en el intervalo de unidad  [0,1] , con extremos fijos  f (0) =  f (1) = 0 . Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial f  "( x ) + λ  f ( x ) = 0. Aquí  λ  es un valor propio asociado, que está limitado por la teoría de Sturm-Liouville para asumir solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que la segunda derivada es negativa definida, por lo que es conveniente escribir  λ = ν  donde ν> 0  se llama número de onda. Entonces  f ( x ) = sin (π  x )  satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con  ν = π .

El valor  π  es, de hecho, el  menor  valor del número de onda, y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de obtener esto es estimando la energía. La energía satisface una desigualdad, la desigualdad de Wirtinger para las funciones, que establece que si una función  f  : [0, 1] → ℂ  se da tal que  f (0) =  f (1) = 0  y  f  y  f  '  son ambos integrables cuadrados , entonces la desigualdad tiene:

y el caso de igualdad se cumple precisamente cuando  f  es un múltiplo de  sin (π  x ) . Así que  π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y de esto se deduce que es el número de onda más pequeño, utilizando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia,  π  es el valor singular más pequeño de la derivada en el espacio de funciones en  [0,1] que  desaparece en ambos puntos finales (el espacio de Sobolev  ).

Desigualdades

La antigua ciudad de Cartago fue la solución a un problema isoperimétrico, según una leyenda relatada por Lord Kelvin (Thompson 1894): las tierras que bordeaban el mar que la reina Dido podía encerrar en todos los otros lados dentro de un único cuero de buey cortado en tiras.

El número  π  sirve aparece en problemas de valores propios similares en el análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente, se puede caracterizar a través de su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica: el área  A  encerrada por un plano Curva de Jordania del perímetro  P  satisface la desigualdad

y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese caso  A  = π r  y  P  = 2π r .

En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica,  π  aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en  n  dimensiones, que caracteriza así el papel de  π  en muchos fenómenos físicos también, por ejemplo, los de la teoría del potencial clásico. En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es

para  f  una función suave con soporte compacto en  R ,   es el gradiente de  f ,   y se   refieren respectivamente a  L  y  L -norm. La desigualdad de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas mejores constantes.

La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a las desigualdades de Poincaré de mayor dimensión que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de una  membrana n- dimensional. Específicamente,  π  es la mayor constante tal que

para todos los subconjuntos convexos  G  de  R  de diámetro 1, y las funciones cuadrangulares integrables  u  en  G  de cero medio. Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema del valor propio de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema del valor propio de Neumann, en cualquier dimensión.

Transformada de Fourier y principio de incertidumbre de Heisenberg

Una animación de una geodésica en el grupo de Heisenberg, que muestra la estrecha conexión entre el grupo de Heisenberg, la isoperimetría y la constante  π . La altura acumulada de la geodésica es igual al área de la porción sombreada del círculo unitario, mientras que la longitud del arco (en la métrica Carnot-Carathéodory) es igual a la circunferencia.

La constante  π  también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier. Esta es la transformación integral, que toma una función integrable de valores complejos  f en la línea real para la función definida como:

Existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier, todas las cuales implican un factor de  π  que se coloca en  algún lugar . La aparición de  π  es esencial en estas fórmulas, ya que no hay posibilidad de eliminar  π por  completo de la transformada de Fourier y su transformación inversa. La definición dada anteriormente es la más canónica, sin embargo, porque describe el operador unitario único en  L  que es también un homomorfismo del álgebra de  L  a  L .

El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número  π . El principio de incertidumbre proporciona un límite inferior agudo en la medida en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,

La consecuencia física, sobre la incertidumbre en la posición simultánea y las observaciones de momento de un sistema de mecánica cuántica, se analiza a continuación. La aparición de  π  en las fórmulas del análisis de Fourier es, en última instancia, una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann, que afirma la singularidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg.

Integrales gaussianas

Un gráfico de la función gaussiana ƒ ( x ) =  e - x . La región coloreada entre la función y el  eje x tiene el área  √ π .

Los campos de probabilidad y estadística frecuentemente usan la distribución normal como un modelo simple para fenómenos complejos; por ejemplo, los científicos generalmente suponen que el error observacional en la mayoría de los experimentos sigue una distribución normal. La función gaussiana, que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media  μ  y desviación estándar  σ , contiene naturalmente  π:

Para que esto sea una densidad de probabilidad, el área bajo el gráfico de  f  necesita ser igual a uno. Esto se sigue de un cambio de variables en la integral Gaussiana:

que dice que el área bajo la curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de  π .

π  se puede calcular a partir de la distribución de ceros de un proceso Wiener unidimensional

El teorema del límite central explica el papel central de las distribuciones normales, y por lo tanto de  π , en probabilidad y estadística. Este teorema está finalmente relacionado con la caracterización espectral de  π  como el valor propio asociado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y el hecho de que la igualdad se mantiene en el principio de incertidumbre solo para la función gaussiana. Equivalentemente,  π  es la constante única que hace que la distribución normal de Gauss sea  e -π xigual a su propia transformada de Fourier. De hecho, según Howe (1980), el "negocio completo" de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana.

Geometría proyectiva

Sea  V  el conjunto de todas las funciones reales doblemente diferenciables   que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria  . Entonces  V  es un espacio vectorial real bidimensional, con dos parámetros correspondientes a un par de condiciones iniciales para la ecuación diferencial. Para cualquiera  ,   sea ​​la evaluación funcional, que asocia a cada uno   el valor   de la función  f  en el punto real  t . Entonces, para cada  t , el núcleo de   es un subespacio lineal unidimensional de  V . Por lo tanto,   define una función de  de la línea real a la línea proyectiva real. Esta función es periódica y la cantidad  π  se puede caracterizar como el período de este mapa.

Topología

Uniformización del Klein quartic, una superficie del género tres y característica de Euler -4, como un cociente del plano hiperbólico por el grupo de simetría PSL (2,7) del plano Fano. El área hiperbólica de un dominio fundamental es  8π, por Gauss-Bonnet.

La constante  π  aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología. Específicamente, si una superficie compacta  Σ  tiene curvatura K de Gauss  , entonces

donde  χ ( Σ )  es la característica de Euler, que es un número entero. Un ejemplo es el área de superficie de una esfera  S  de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura, que coincide con su radio, también es 1.) La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y se encuentra que es igual a dos. Así tenemos

reproduciendo la fórmula para el área de superficie de una esfera de radio 1.

La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil.

Cálculo de vectores

Las técnicas del cálculo vectorial pueden entenderse en términos de descomposiciones en armónicos esféricos (se muestran)

El cálculo vectorial es una rama del cálculo que se ocupa de las propiedades de los campos de vectores y tiene muchas aplicaciones físicas, como la electricidad y el magnetismo. El potencial newtoniano para una fuente puntual  Q  situada en el origen de un sistema cartesiano de coordenadas tridimensional es

que representa la energía potencial de una unidad de masa (o carga) situada a una distancia  | x |  desde la fuente, y  k  es una constante dimensional. El campo, indicado aquí por  E , que puede ser el campo gravitatorio (newtoniano) o el campo eléctrico (Coulomb), es el gradiente negativo del potencial:

Los casos especiales incluyen la ley de Coulomb y la ley de gravitación universal de Newton. La ley de Gauss establece que el flujo hacia afuera del campo a través de cualquier superficie lisa, simple, cerrada, orientable  S que  contiene el origen es igual a  4 π kQ :

  

Es estándar absorber este factor de  4π  en la constante  k , pero este argumento muestra por qué debe aparecer en  alguna parte . Además,  4π  es el área de la superficie de la esfera de la unidad, pero no hemos supuesto que  S  sea ​​la esfera. Sin embargo, como consecuencia del teorema de divergencia, dado que la región alejada del origen es de vacío (libre de fuente), es solo la clase de homología de la superficie  S  en  R \ {0} lo  que importa al calcular la integral, por lo que puede ser reemplazado por cualquier superficie conveniente en la misma clase de homología, en particular, una esfera, donde se pueden usar coordenadas esféricas para calcular la integral.

Una consecuencia de la ley de Gauss es que el Laplaciano negativo del potencial  V  es igual a  4π kQ por  la función delta Dirac:

Las distribuciones más generales de materia (o carga) se obtienen de esto por convolución, dando la ecuación de Poisson

donde  ρ  es la función de distribución.

La ecuación de Einstein establece que la curvatura del espacio-tiempo es producida por el contenido de materia-energía.

La constante  π  también desempeña un papel análogo en los potenciales cuatridimensionales asociados con las ecuaciones de Einstein, una fórmula fundamental que constituye la base de la teoría general de la relatividad y describe la interacción fundamental de la gravitación como resultado del espacio-tiempo curvado por la materia y la energía.

donde  R μν  es el tensor de curvatura Ricci,  R  es la curvatura escalar,  g μν  es el tensor métrico,  Λ  es la constante cosmológica,  G  es la constante gravitatoria de Newton,  c  es la velocidad de la luz en el vacío y  T μν  es la tensión tensor de energía El lado izquierdo de la ecuación de Einstein es un análogo no lineal del laplaciano del tensor métrico, y se reduce a eso en el límite del campo débil, con el   término desempeñando el papel de un multiplicador de Lagrange, y el lado derecho es el análogo de la función de distribución, multiplicado por  8π .

La fórmula integral de Cauchy

Las funciones analíticas complejas se pueden visualizar como una colección de líneas de corriente y equipotenciales, sistemas de curvas que se cruzan en ángulo recto. Aquí se ilustra el logaritmo complejo de la función Gamma.

Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración del contorno de una función a través de una orientación positiva (rectificable) Jordan curva  γ . Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto  z 0  es interior a  γ , entonces

Aunque la curva  γ  no es un círculo, y por lo tanto no tiene ninguna conexión obvia con la constante  π , una prueba estándar de este resultado usa el teorema de Morera, lo que implica que la integral es invariante bajo homotopía de la curva, por lo que puede ser deformado a un círculo y luego integrado explícitamente en coordenadas polares. De manera más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable  γ  no contiene  z 0, entonces la integral anterior es  2π i  veces el número de devanado de la curva.

La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja  f ( z )  en la curva de Jordan  γ y el valor de  f ( z )  en cualquier punto interior  z 0  de  γ :

siempre que  f ( z )  sea ​​analítico en la región encerrada por  γ  y se extienda continuamente a  γ . La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema del residuo, que si  g ( z )  es una función meromórfica, la región encerrada por  γ  y es continua en un vecindario de  γ , entonces

donde la suma es de los residuos en los polos de  g ( z ) .

La función gamma y la aproximación de Stirling

La fibrilación Hopf de la esfera 3, por círculos de Villarceau, sobre la línea proyectiva compleja con su métrica Fubini-Study (se muestran tres paralelos). La identidad  S 3 (1) / S 2 (1) = π / 2  es una consecuencia.

La función factorial  n !  es el producto de todos los enteros positivos a través de  n . La función gamma extiende el concepto de factorial (normalmente definido solo para enteros no negativos) a todos los números complejos, excepto los enteros reales negativos. Cuando la función gamma se evalúa en enteros medios, el resultado contiene  π ; por ejemplo   y  .

La función gamma se define por su desarrollo de productos Weierstrass:

donde  γ  es la constante de Euler-Mascheroni. Evaluado en  z  = 1/2  y al cuadrado, la ecuación  Γ (1/2) = π se  reduce a la fórmula del producto Wallis. La función gamma también está conectada a la función zeta de Riemann y las identidades para el determinante funcional, en el que la constante  π  juega un papel importante.

La función gamma se utiliza para calcular el volumen  V n ( r )  de la  n balón -dimensional de radio  r  en euclidiana  n espacio dimensional, y el área superficial  S n -1 ( r )  de su límite, el ( n -1 ) esfera dimensional:

Además, se deduce de la ecuación funcional que

La función gamma se puede usar para crear una aproximación simple a la función factorial  n !  para n grande  :   que se conoce como la aproximación de Stirling. Equivalentemente,

Como una aplicación geométrica de la aproximación de Stirling, dejar  Δ n  denotar el simplex estándar en  n espacio euclidiano -dimensional, y  ( n  + 1) Δ n  denotar el simplex que tiene todos sus lados escalados por un factor de  n  + 1 . Entonces

La conjetura del volumen de Ehrhart es que este es el límite superior (óptimo) del volumen de un cuerpo convexo que contiene solo un punto reticular.

Teoría de números y función zeta de Riemann

Cada primo tiene un grupo Prüfer asociado, que son localizaciones aritméticas del círculo. Las funciones L de la teoría del número analítico también se localizan en cada primo  p .

Solución del problema de Basilea utilizando la conjetura de Weil: el valor de   es el área hiperbólica de un dominio fundamental del grupo modular, los tiempos 

La función R ( s ) de Riemann zeta   se usa en muchas áreas de las matemáticas. Cuando se evalúa en  s  = 2,  se puede escribir como

Encontrar una solución simple para esta serie infinita fue un problema famoso en matemáticas llamado el problema de Basilea. Leonhard Euler lo resolvió en 1735 cuando demostró que era igual a  π / 6 . El resultado de Euler conduce al resultado de la teoría numérica de que la probabilidad de que dos números aleatorios sean relativamente primos (es decir, que no tengan factores compartidos) es igual a  6 / π . Esta probabilidad se basa en la observación de que la probabilidad de que un número sea divisible por un primo  p  es  1 / p  (por ejemplo, cada séptimo entero es divisible por 7.) Por lo tanto, la probabilidad de que dos números sean divisibles por este primo es  1 / p , y la probabilidad de que al menos uno de ellos no sea es  1 - 1 / p. Para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes; entonces la probabilidad de que dos números sean relativamente primos la da un producto sobre todos los primos:

Esta probabilidad se puede usar junto con un generador de números aleatorios para aproximar  π utilizando un enfoque de Monte Carlo.

La solución al problema de Basilea implica que la cantidad π derivada geométricamente   está conectada de manera profunda a la distribución de los números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa, que afirma la igualdad de tales productos infinitos de  cantidades aritméticas similares  , localizados en cada primo  p , y una   cantidad geométrica : el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico. En el caso del problema de Basilea, es el hiperbólico 3-colector  SL 
2 ( R ) / SL 
2 ( Z ) .

La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que implica tanto  π  como la función gamma:

Además, la derivada de la función zeta satisface

Una consecuencia es que  π  puede obtenerse del determinante funcional del oscilador armónico. Este determinante funcional se puede calcular a través de una expansión del producto, y es equivalente a la fórmula del producto Wallis. El cálculo puede ser refundido en mecánica cuántica, específicamente el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno.

series de Fourier

π  aparece en caracteres de números p-adic (mostrados), que son elementos de un grupo Prüfer. La tesis de Tate hace un uso intensivo de esta maquinaria.

La constante  π  también aparece naturalmente en la serie de Fourier de funciones periódicas. Las funciones periódicas son funciones en el grupo  T  = R / Z  de partes fraccionarias de números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función de valor complejo  f  en  T  puede escribirse como una superposición lineal infinito de caracteres unitarios de  T . Es decir, homomorfismos grupales continuos desde  T  hasta el grupo circular  U (1)  de los números complejos del módulo unitario. Es un teorema de que cada personaje de  T  es uno de los exponenciales complejos  .

Hay un carácter único en  T , hasta la conjugación compleja, que es un isomorfismo grupal. Usando la medida de Haar en el grupo de círculo, la constante  π es la mitad de la magnitud de la derivada Radon-Nikodym de este personaje. Los otros caracteres tienen derivadas cuyas magnitudes son múltiplos enteros positivos de 2 π . Como resultado, la constante  π  es el número único tal que el grupo  T , equipado con su medida Haar, es Pontrjagin dual a la red de múltiplos enteros de 2 π . Esta es una versión de la fórmula de suma unificada de Poisson.

Formas modulares y funciones theta

Las funciones de Theta se transforman bajo el enrejado de períodos de una curva elíptica.

La constante  π  está conectada de manera profunda con la teoría de formas modulares y funciones theta. Por ejemplo, el algoritmo Chudnovsky implica de manera esencial el invariante j de una curva elíptica.

Las formas modulares son funciones holomórficas en el semiplano superior que se caracterizan por sus propiedades de transformación bajo el grupo modular   (o sus diversos subgrupos), una red en el grupo  . Un ejemplo es la función theta de Jacobi

que es un tipo de forma modular llamada forma Jacobi. Esto a veces se escribe en términos del nomo  .

La constante  π  es la constante única que hace que Jacobi theta funcione como una forma automorfica, lo que significa que se transforma de una manera específica. Ciertas identidades son válidas para todas las formas automórficas. Un ejemplo es

lo que implica que  θ se  transforma como una representación bajo el discreto grupo de Heisenberg. Las formas modulares generales y otras funciones theta también implican  π , una vez más debido al teorema de Stone-von Neumann.

Distribución de Cauchy y teoría del potencial

La Bruja de Agnesi, llamada así por Maria Agnesi (1718-1799), es una construcción geométrica de la gráfica de la distribución de Cauchy.

La distribución de Cauchy

es una función de densidad de probabilidad. La probabilidad total es igual a uno, debido a la integral:

La entropía de Shannon de la distribución de Cauchy es igual a  log (4π) , que también involucra  π .

La distribución de Cauchy rige el paso de partículas brownianas a través de una membrana.

La distribución de Cauchy juega un papel importante en la teoría potencial porque es la medida de Furstenberg más simple, la kernel clásica de Poisson se asocia con un movimiento browniano en un semiplano. Las funciones armónicas conjugadas y también la transformada de Hilbert están asociadas con las asintóticas del kernel de Poisson. La transformada de Hilbert  H  es la transformación integral dada por el valor principal de Cauchy de la integral singular

La constante  π  es el único factor de normalización (positivo) de modo que  H define una estructura compleja lineal en el espacio de Hilbert de funciones de valores reales integrables en cuadrados en la línea real. La transformada de Hilbert, como la transformada de Fourier, se puede caracterizar puramente en términos de sus propiedades de transformación en el espacio de Hilbert  L ( R ) : hasta un factor de normalización, es el operador lineal acotado única que conmuta con dilataciones positivos y anti-conmuta con todos los reflejos de la línea real. La constante  π  es el único factor de normalización que hace que esta transformación sea unitaria.

Dinámica compleja

π  se puede calcular a partir del conjunto de Mandelbrot, contando el número de iteraciones requeridas antes de que el punto (-0.75, ε) diverja.

Una ocurrencia de  π  en el conjunto de fractales de Mandelbrot fue descubierta por David Boll en 1991. Examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot cerca del "cuello" en (-0.75, 0). Si se consideran puntos con coordenadas (-0.75, ε), ya que ε tiende a cero, el número de iteraciones hasta la divergencia para el punto multiplicado por ε converge a  π . El punto (0.25, ε) en la cúspide del gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta la divergencia multiplicada por la raíz cuadrada de ε tiende a  π .

Fuera de las matemáticas

Describiendo fenómenos físicos

Aunque no es una constante física,  π  aparece rutinariamente en ecuaciones que describen principios fundamentales del universo, a menudo debido a la relación de  π con el círculo y con los sistemas de coordenadas esféricas. Una fórmula simple del campo de la mecánica clásica da el período aproximado  T  de un péndulo simple de longitud  L , oscilando con una pequeña amplitud ( g  es la aceleración gravitacional de la Tierra):

Una de las fórmulas clave de la mecánica cuántica es principio de incertidumbre de Heisenberg, que muestra que la incertidumbre en la medición de la posición de una partícula (Δ x ) y el impulso (Δ p ) no puede tanto ser arbitrariamente pequeño al mismo tiempo (donde  h  es la constante de Planck )

El hecho de que  π  es aproximadamente igual a 3 juega un papel en la vida relativamente larga de ortopositronio. La vida inversa al orden más bajo en la constante de estructura fina  α  es

donde  m  es la masa del electrón.

π  está presente en algunas fórmulas de ingeniería estructural, como la fórmula de pandeo derivada de Euler, que proporciona la carga axial máxima  F  que una columna larga y delgada de longitud  L, módulo de elasticidad  E y momento de inercia de área  que  puedo llevar sin pandeo :

El campo de la dinámica de fluidos contiene  π  en la ley de Stokes, que aproxima la fuerza de fricción  F  ejercida sobre objetos esféricos pequeños de radio  R , moviéndose con velocidad  v  en un fluido con viscosidad dinámica  η :

En electromagnetismo, la constante de permeabilidad al vacío  μ 0  aparece en las ecuaciones de Maxwell, que describen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos y la radiación electromagnética. Se define como exactamente

Una relación para la velocidad de la luz en el vacío,  c  puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell en el medio del vacío clásico usando una relación entre  μ 0  y la constante eléctrica (permitividad al vacío),  ε 0  en unidades SI:

En condiciones ideales (pendiente suave uniforme sobre un sustrato erosionable homogéneamente), la sinuosidad de un río serpenteante se aproxima a  π . La sinuosidad es la relación entre la longitud real y la distancia en línea recta desde la fuente hasta la boca. Las corrientes más rápidas a lo largo de los bordes exteriores de las curvas de un río causan más erosión que a lo largo de los bordes interiores, lo que empuja las curvas aún más lejos, y aumenta la inclinación general del río. Sin embargo, ese bucle eventualmente hace que el río se doble sobre sí mismo en algunos lugares y se "cortocircuite", creando un lago de arco de buey en el proceso. El equilibrio entre estos dos factores opuestos conduce a una relación promedio de  π  entre la longitud real y la distancia directa entre la fuente y la boca.

Memorizando dígitos

La Pifilología es la práctica de memorizar grandes cantidades de dígitos de  π , y los récords mundiales se guardan en los  Récords Mundiales Guinness . El récord de memorización de dígitos de  π , certificado por Guinness World Records, es de 70,000 dígitos, recitado en India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. En 2006, Akira Haraguchi, un ingeniero japonés retirado, afirmó haber recitado 100.000 decimales, pero el reclamo no fue verificado por Guinness World Records.

Una técnica común es memorizar una historia o un poema en el que las longitudes de las palabras representan los dígitos de  π : la primera palabra tiene tres letras, la segunda palabra tiene una, la tercera tiene cuatro, la cuarta tiene una, la quinta tiene cinco y pronto. Un ejemplo temprano de una ayuda de memorización, originalmente ideado por el científico inglés James Jeans, es "Cómo quiero una bebida, alcohólica, por supuesto, después de las pesadas conferencias sobre mecánica cuántica". Cuando se usa un poema, a veces se lo denomina  piem . Los poemas para memorizar  π han sido compuestos en varios idiomas además del inglés. Los  memorizadores π de configuración de registros  generalmente no dependen de poemas, sino que usan métodos como recordar patrones de números y el método de loci.

Algunos autores han usado los dígitos de  π  para establecer una nueva forma de escritura restringida, donde se requieren las longitudes de palabra para representar los dígitos de  π . La  Cadenza Cadaeic  contiene los primeros 3835 dígitos de  π  de esta manera, y el libro de larga duración  Not a Wake  contiene 10,000 palabras, cada una representando un dígito de  π .

En la cultura popular

Una pi pastel. La forma circular de piemakes es un tema frecuente de pi juegos de palabras.

Tal vez debido a la simplicidad de su definición y su presencia omnipresente en las fórmulas,  π  ha sido representado en la cultura popular más que en otros constructos matemáticos.

En la coproducción documental de 2008 de la Open University y la BBC,  The Story of Maths , que se emitió en la BBC Four en octubre de 2008, el matemático británico Marcus du Sautoy muestra una visualización de la históricamente primera fórmula exacta para calcular  
π  al visitar India y explorar su contribuciones a la trigonometría.

En el Palais de la Découverte (un museo de la ciencia en París) hay una sala circular conocida como la  sala pi . En su pared están inscritos 707 dígitos de  π . Los dígitos son grandes caracteres de madera unidos al techo tipo domo. Los dígitos se basaron en un cálculo de 1853 del matemático inglés William Shanks, que incluía un error que comenzaba en el 528º dígito. El error fue detectado en 1946 y corregido en 1949.

En la novela de Carl Sagan,  Contact  , se sugiere que el creador del universo enterró un mensaje en lo profundo de los dígitos de  π . Los dígitos de  π  también se han incorporado a la letra de la canción "Pi" del álbum  Aerial  de Kate Bush.

En los Estados Unidos, Pi Day cae el 14 de marzo (escrito el 3/14 al estilo de EE. UU.) Y es popular entre los estudiantes. π  y su representación digital a menudo son utilizados por los autodescritos "geeks matemáticos" para chistes internos entre grupos con mentalidad matemática y tecnológica. Varios aplausos universitarios en el Instituto de Tecnología de Massachusetts incluyen "3.14159". El Día de Pi en 2015 fue particularmente significativo porque la fecha y hora del 14/03/15 9:26:53 reflejaban muchos más dígitos de pi.

Durante la subasta de 2011 de la cartera de patentes tecnológicas valiosas de Nortel, Google realizó una serie de ofertas inusualmente específicas basadas en constantes matemáticas y científicas, incluida  π .

En 1958 Albert Eagle propuso reemplazar  π  por  τ  (tau), donde  τ  =  π / 2, para simplificar las fórmulas. Sin embargo, no se conocen otros autores que usen  τ  de esta manera. Algunas personas usan un valor diferente,  τ = 6.283185 ... = 2 π , argumentando que  τ , como el número de radianes en una vuelta o como la relación de la circunferencia de un círculo a su radio en lugar de su diámetro, es más natural que  π  y simplifica muchas fórmulas. Las celebraciones de este número, porque es aproximadamente igual a 6.28, al hacer el 28 de junio "Tau Day" y comer "dos veces el pastel", han sido reportados en los medios de comunicación. Sin embargo, este uso de  τ no ha llegado a la corriente principal de las matemáticas.

En 1897, un matemático estadounidense aficionado intentó persuadir a la legislatura de Indiana para que aprobara el proyecto Indiana Pi Bill, que describía un método para cuadrar el círculo y contenía texto que implicaba varios valores incorrectos para  π , incluido 3.2. El proyecto de ley es notorio como un intento de establecer un valor de constante científica por decreto legislativo. El proyecto de ley fue aprobado por la Cámara de Representantes de Indiana, pero rechazado por el Senado, lo que significa que no se convirtió en ley.

En cultura informática

En la cultura de Internet contemporánea, los individuos y las organizaciones suelen rendir homenaje al número  π . Por ejemplo, el científico informático Donald Knuth permitió que los números de versión de su programa TeX se acercaran  π . Las versiones son 3, 3.1, 3.14, y así sucesivamente.

Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Pi

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