Topología
Definición
En matemáticas, la topología (del griego τόπος, lugar , y λόγος, estudio ) se ocupa de las propiedades del espacio que se conservan bajo deformaciones continuas, como estiramiento, arrugamiento y flexión, pero sin desgarro ni encolado. Esto se puede estudiar considerando una colección de subconjuntos, llamados conjuntos abiertos, que satisfacen ciertas propiedades, convirtiendo el conjunto dado en lo que se conoce como espacio topológico. Las propiedades topológicas importantes incluyen conectividad y compacidad.
La topología se desarrolló como un campo de estudio fuera de la geometría y la teoría de conjuntos, a través del análisis de conceptos como espacio, dimensión y transformación. Estas ideas se remontan a Gottfried Leibniz, quien en el siglo XVII imaginó la geometria situs (griego-latín para " geometría del lugar ") y situs de análisis (griego-latín para" separar el lugar "). Los siete puentes del problema de Königsberg y la fórmula del poliedro de Leonhard Euler son posiblemente los primeros teoremas del campo. El término topología fue introducido por Johann Benedict Listing en el siglo XIX, aunque no fue hasta las primeras décadas del siglo XX que se desarrolló la idea de un espacio topológico. A mediados del siglo XX, la topología se había convertido en una rama importante de las matemáticas.
Historia
La topología, como una disciplina matemática bien definida, se origina en la primera parte del siglo XX, pero algunos resultados aislados se remontan a varios siglos atrás. Entre estas hay ciertas preguntas en geometría investigadas por Leonhard Euler. Su artículo de 1736 sobre los Siete Puentes de Königsberg se considera una de las primeras aplicaciones prácticas de la topología. El 14 de noviembre de 1750 Euler le escribió a un amigo que se había dado cuenta de la importancia de los bordes de un poliedro. Esto condujo a su fórmula de poliedro, V - E + F = 2 (donde V , E y F respectivamente indican el número de vértices, bordes y caras del poliedro). Algunas autoridades consideran este análisis como el primer teorema, lo que indica el nacimiento de la topología.
Don Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann y Enrico Betti hicieron contribuciones adicionales . En 1847, Lening introdujo el término "Topologie" en Vorstudien zur Topologie , escrito en su alemán nativo, y utilizó la palabra para diez años en correspondencia antes de su primera aparición impresa. La forma en inglés "topología" se usó en 1883 en el obituario de Listing en la revista Nature para distinguir "la geometría cualitativa de la geometría ordinaria en la que se tratan principalmente las relaciones cuantitativas". El término "topólogo" en el sentido de un especialista en topología se utilizó en 1905 en la revista Spectator .
Su trabajo fue corregido, consolidado y ampliado por Henri Poincaré. En 1895 publicó su documento innovador sobre Analysis Situs , que introdujo los conceptos ahora conocidos como homotopy y homología, que ahora se consideran parte de la topología algebraica.
| Colector | Euler no. χ | Orientabilidad | Números de Betti | Coeficiente de torsión (1-dimensional) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| b 0 | b 1 | b 2 | ||||
| Esfera | 2 | Orientable | 1 | 0 | 1 | ninguna |
| Toro | 0 | Orientable | 1 | 2 | 1 | ninguna |
| Toro de 2 agujeros | -2 | Orientable | 1 | 4 | 1 | ninguna |
| g -holed torus (Genus = g ) | 2 - 2 g | Orientable | 1 | 2 g | 1 | ninguna |
| Avión proyectivo | 1 | No orientable | 1 | 0 | 0 | 2 |
| Botella de Klein | 0 | No orientable | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Esfera con tapas cruzadas c( c > 0) | 2 - c | No orientable | 1 | c - 1 | 0 | 2 |
| 2-Manifold con g agujeros y c transversales tapas ( c > 0) | 2 - (2 g + c ) | No orientable | 1 | (2 g + c ) - 1 | 0 | 2 |
Unificando el trabajo en los espacios funcionales de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli y otros, Maurice Fréchet introdujo el espacio métrico en 1906. Un espacio métrico ahora se considera un caso especial de un espacio topológico general, con cualquier dado el espacio topológico que potencialmente da lugar a muchos espacios métricos distintos. En 1914, Felix Hausdor refogó el término "espacio topológico" y dio la definición de lo que ahora se llama un espacio de Hausdorff. Actualmente, un espacio topológico es una ligera generalización de los espacios de Hausdorff, dada en 1922 por Kazimierz Kuratowski.
La topología moderna depende fuertemente de las ideas de la teoría de conjuntos, desarrollada por Georg Cantor en la última parte del siglo XIX. Además de establecer las ideas básicas de la teoría de conjuntos, Cantor consideró conjuntos de puntos en el espacio euclidiano como parte de su estudio de series de Fourier. Para más desarrollos, vea topología de puntos y topología algebraica.
Introducción
La topología se puede definir formalmente como "el estudio de propiedades cualitativas de ciertos objetos (llamados espacios topológicos) que son invariantes bajo cierto tipo de transformación (llamado mapa continuo), especialmente aquellas propiedades que son invariantes bajo cierto tipo de transformación invertible ( llamado homeomorfismo) ".
La topología también se usa para referirse a una estructura impuesta sobre un conjunto X , una estructura que esencialmente "caracteriza" al conjunto X como un espacio topológico al tomar el cuidado apropiado de las propiedades tales como la convergencia, la conexión y la continuidad, tras la transformación.
Los espacios topológicos aparecen naturalmente en casi todas las ramas de las matemáticas. Esto ha convertido a la topología en una de las grandes ideas unificadoras de las matemáticas.
La idea motivadora detrás de la topología es que algunos problemas geométricos dependen no de la forma exacta de los objetos involucrados, sino más bien de la forma en que se ensamblan. Por ejemplo, el cuadrado y el círculo tienen muchas propiedades en común: ambos son objetos unidimensionales (desde un punto de vista topológico) y ambos separan el plano en dos partes, la parte interna y la externa.
En uno de los primeros trabajos en topología, Leonhard Euler demostró que era imposible encontrar una ruta a través de la ciudad de Königsberg (ahora Kaliningrado) que cruzaría cada uno de sus siete puentes exactamente una vez. Este resultado no depende de la longitud de los puentes, ni de su distancia uno del otro, sino solo de las propiedades de conectividad: qué puentes se conectan con qué islas o riberas. Este problema en las matemáticas de introducción llamado Seven Bridges of Königsberg condujo a la rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos.
De manera similar, el teorema de la esfera peluda de la topología algebraica dice que "uno no puede peinarse el pelo sobre una bola peluda sin crear un mechón". Este hecho es inmediatamente convincente para la mayoría de las personas, incluso aunque no reconozcan la afirmación más formal del teorema, de que no existe un campo de vector tangente continuo no invocando en la esfera. Al igual que con los puentes de Königsberg , el resultado no depende de la forma de la esfera; se aplica a cualquier tipo de burbuja suave, siempre que no tenga agujeros.
Para hacer frente a estos problemas que no dependen de la forma exacta de los objetos, uno debe ser claro acerca de las propiedades justo lo que estos problemas no confían. De esta necesidad surge la noción de homeomorfismo. La imposibilidad de cruzar cada puente se aplica una sola vez a cualquier disposición de puentes homeomórficos a los de Königsberg, y el teorema de la bola peluda se aplica a cualquier espacio homeomórfico de una esfera.
Intuitivamente, dos espacios son homeomórficos si uno puede deformarse en el otro sin cortar o pegar. Una broma tradicional es que un topólogo no puede distinguir una taza de café de una rosquilla, ya que una rosquilla lo suficientemente flexible podría remodelarse en una taza de café creando un hoyuelo y ampliándolo progresivamente, al tiempo que reduce el agujero en una manija.
El homeomorfismo puede considerarse la equivalencia topológica más básica . Otra es la equivalencia homotopy. Esto es más difícil de describir sin ser técnico, pero la noción esencial es que dos objetos son equivalentes homotopy si ambos resultan de "aplastar" algún objeto más grande.
| Homeomorfismo | Homotopy equivalencia |
|---|---|
 |  |
Un ejercicio introductorio consiste en clasificar las letras mayúsculas del alfabeto inglés de acuerdo con el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía. El resultado depende parcialmente de la fuente utilizada. Las figuras usan la fuente sans-serif Myriad. La equivalencia de Homotopy es una relación más áspera que el homeomorfismo; una clase de equivalencia homotopy puede contener varias clases de homeomorfismo. El caso simple de equivalencia de homotopía descrito anteriormente puede usarse aquí para mostrar que dos letras son equivalentes de homotopía. Por ejemplo, O se ajusta dentro de P y la cola de P se puede aplastar a la parte de "orificio".
Las clases de homeomorfismo son:
- sin agujeros correspondientes con C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W y Z;
- sin agujeros y tres colas correspondientes con E, F, T e Y;
- sin agujeros y cuatro colas correspondientes con X;
- un agujero y sin cola correspondiente con D y O;
- un agujero y una cola correspondientes con P y Q;
- un agujero y dos colas que corresponden con A y R;
- dos agujeros y sin cola correspondiente con B; y
- una barra con cuatro colas que corresponden con H y K; la "barra" en la K es casi demasiado corta para ver.
Las clases de homotopy son más grandes, porque las colas se pueden aplastar hasta un punto. Son:
- un agujero,
- dos agujeros, y
- sin agujeros
Para clasificar las letras correctamente, debemos mostrar que dos letras en la misma clase son equivalentes y dos letras en diferentes clases no son equivalentes. En el caso del homeomorfismo, esto se puede hacer seleccionando puntos y mostrando que su eliminación desconecta las letras de manera diferente. Por ejemplo, X e Y no son homeomórficos porque la eliminación del punto central de la X deja cuatro piezas; cualquier punto en Y corresponde a este punto, su eliminación puede dejar como máximo tres piezas. El caso de la equivalencia homotopy es más difícil y requiere un argumento más elaborado que muestre que un invariante algebraico, como el grupo fundamental, es diferente en las clases supuestamente diferentes.
La topología de letras tiene relevancia práctica en la tipografía de esténcil. Por ejemplo, las plantillas de fuentes Braggadocio están hechas de una pieza conectada de material.
Conceptos
Topologías en conjuntos
El término topología también se refiere a una idea matemática específica central para el área de las matemáticas llamada topología. Informalmente, una topología dice cómo los elementos de un conjunto se relacionan espacialmente entre sí. El mismo conjunto puede tener diferentes topologías. Por ejemplo, la línea real, el plano complejo (que es un espacio vectorial complejo de 1 dimensión) y el conjunto de Cantor se pueden considerar como el mismo conjunto con diferentes topologías.
Formalmente, deje X sea un conjunto y dejar que τ sea una familia de subconjuntos de X . Entonces τ se denomina topología en X si:
- Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ .
- Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ .
- Cualquier intersección de elementos finitos de τ es un elemento de τ .
Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se denomina espacio topológico. La notación X τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ .
Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X . Se dice que un subconjunto de X está cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento está abierto). Un subconjunto de X puede estar abierto, cerrado, ambos (conjunto abierto), o ninguno de los dos. El conjunto vacío y X sí mismo están siempre cerrados y abiertos. Un subconjunto de X que incluye un conjunto abierto que contiene un punto x se llama 'barrio' de x .
Funciones continuas y homeomorfismos
Una función o mapa de un espacio topológico a otro se llama continuo si la imagen inversa de cualquier conjunto abierto está abierta. Si la función asigna los números reales a los números reales (ambos espacios con la topología estándar), esta definición de continuo es equivalente a la definición de continuo en cálculo. Si una función continua es de uno a uno y sobre, y si el inverso de la función también es continuo, entonces la función se denomina homeomorfismo y se dice que el dominio de la función es homeomórfico al rango. Otra forma de decir esto es que la función tiene una extensión natural a la topología. Si dos espacios son homeomorfos, tienen propiedades topológicas idénticas y se consideran topológicamente iguales. El cubo y la esfera son homeomórficos, al igual que la taza de café y la rosquilla. Pero el círculo no es homeomórfico al donut.
Colectores
Mientras que los espacios topológicos pueden ser extremadamente variados y exóticos, muchas áreas de topología se enfocan en la clase más familiar de espacios conocidos como variedades. Un colector es un espacio topológico que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto. Más precisamente, cada punto de una variedad n- dimensional tiene un vecindario que es homeomorfo al espacio euclidiano de la dimensión n . Las líneas y círculos, pero no las figuras ochos, son variedades unidimensionales. Los colectores bidimensionales también se llaman superficies. Los ejemplos incluyen el avión, la esfera y el toro, que pueden realizarse sin autointersección en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real, que no pueden realizarse.
Temas
Topología general
La topología general es la rama de la topología que trata las definiciones y construcciones teóricas de conjuntos básicas utilizadas en topología. Es la base de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluida la topología diferencial, la topología geométrica y la topología algebraica. Otro nombre para la topología general es la topología de puntos establecidos .
Los conceptos fundamentales en la topología de conjuntos de puntos son continuidad , compacidad y conectividad . Intuitivamente, las funciones continuas llevan puntos cercanos a puntos cercanos. Los conjuntos compactos son aquellos que pueden estar cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño. Los conjuntos conectados son conjuntos que no se pueden dividir en dos partes que están muy separadas. Las palabras cercanas , arbitrariamente pequeñas y lejanas se pueden precisar utilizando conjuntos abiertos. Si cambiamos la definición de conjunto abierto , cambiamos las funciones continuas, conjuntos compactos y conjuntos conectados. Cada elección de definición para el conjunto abierto se llama topología. Un conjunto con una topología se denomina espacio topológico .
Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde las distancias se pueden asignar a un número llamado métrica . Tener una métrica simplifica muchas pruebas, y muchos de los espacios topológicos más comunes son espacios métricos.
Topología algebraica
La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar los espacios topológicos. El objetivo básico es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen los espacios topológicos hasta el homeomorfismo, aunque por lo general la mayoría clasifican hasta la equivalencia de homotopía.
El más importante de estos invariantes son los grupos de homotopía, la homología y la cohomología.
Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, a veces también es posible utilizar la topología para resolver problemas algebraicos. La topología algebraica, por ejemplo, permite una prueba conveniente de que cualquier subgrupo de un grupo libre es nuevamente un grupo libre.
Topología diferencial
La topología diferencial es el campo que trata las funciones diferenciables en variedades diferenciables. Está estrechamente relacionado con la geometría diferencial y juntos forman la teoría geométrica de las variedades diferenciables.
Más específicamente, la topología diferencial considera las propiedades y estructuras que requieren solo una estructura lisa en una variedad para ser definida. Los colectores suaves son 'más suaves' que los colectores con estructuras geométricas adicionales, que pueden actuar como obstrucciones para ciertos tipos de equivalencias y deformaciones que existen en la topología diferencial. Por ejemplo, el volumen y la curvatura riemanniana son invariantes que pueden distinguir diferentes estructuras geométricas en la misma variedad lisa; es decir, uno puede "aplanar" suavemente ciertos colectores, pero puede requerir distorsión del espacio y afectando la curvatura o el volumen.
Topología geométrica
La topología geométrica es una rama de la topología que se centra principalmente en variedades de baja dimensión (es decir, las dimensiones 2,3 y 4) y su interacción con la geometría, pero también incluye alguna topología de dimensiones superiores. Algunos ejemplos de temas en topología geométrica son la orientabilidad, el manejo de descomposiciones, la planitud local, el arrugamiento y el teorema de Schönflies planar y de mayor dimensión.
En la topología de alta dimensión, las clases características son invariantes básicas, y la teoría de la cirugía es una teoría clave.
La topología de baja dimensión es fuertemente geométrica, como se refleja en el teorema de uniformización en 2 dimensiones: cada superficie admite una métrica de curvatura constante; geométricamente, tiene una de las 3 geometrías posibles: curvatura positiva / esférica, curvatura cero / plana, curvatura negativa / hiperbólica - y la conjetura de geometrización (ahora teorema) en 3 dimensiones - cada 3-variedad se puede cortar en pedazos, cada uno de los cuales tiene una de ocho geometrías posibles.
La topología bidimensional se puede estudiar como geometría compleja en una variable (las superficies de Riemann son curvas complejas): mediante el teorema de uniformidad, cada clase de métrica conforme es equivalente a una compleja compleja, y la topología de 4 dimensiones se puede estudiar desde el punto de vista vista de la geometría compleja en dos variables (superficies complejas), aunque no cada 4-manifold admite una estructura compleja.
Generalizaciones
Ocasionalmente, uno necesita usar las herramientas de topología pero un "conjunto de puntos" no está disponible. En la topología sin sentido uno considera en su lugar la red de conjuntos abiertos como la noción básica de la teoría, mientras que las topologías de Grothendieck son estructuras definidas sobre categorías arbitrarias que permiten la definición de gavillas en esas categorías, y con eso la definición de teorías de cohomología general.
Aplicaciones
Biología
La teoría de nudos, una rama de la topología, se usa en biología para estudiar los efectos de ciertas enzimas en el ADN. Estas enzimas cortan, retuercen y reconectan el ADN, causando anudamiento con efectos observables, como una electroforesis más lenta. La topología también se usa en biología evolutiva para representar la relación entre el fenotipo y el genotipo. Las formas fenotípicas que parecen bastante diferentes pueden separarse solo por unas pocas mutaciones, dependiendo de cómo los cambios genéticos se relacionen con los cambios fenotípicos durante el desarrollo. En neurociencia, las cantidades topológicas como la característica de Euler y el número de Betti se han utilizado para medir la complejidad de los patrones de actividad en las redes neuronales.
Ciencias de la Computación
El análisis de datos topológicos utiliza técnicas de topología algebraica para determinar la estructura a gran escala de un conjunto (por ejemplo, determinar si una nube de puntos es esférica o toroidal). El principal método utilizado por el análisis de datos topológicos es:
- Reemplace un conjunto de puntos de datos con una familia de complejos simpliciales, indexados por un parámetro de proximidad.
- Analiza estos complejos topológicos mediante topología algebraica, específicamente, a través de la teoría de la homología persistente.
- Codifique la homología persistente de un conjunto de datos en forma de una versión parametrizada de un número Betti, que se denomina código de barras .
Física
En física, la topología se usa en varias áreas, como la física de la materia condensada, la teoría cuántica de campos y la cosmología física.
La dependencia topológica de las propiedades mecánicas en sólidos es de interés en disciplinas de ingeniería mecánica y ciencia de materiales. Las propiedades eléctricas y mecánicas dependen de la disposición y las estructuras de red de las moléculas y las unidades elementales en los materiales. La resistencia a la compresión de topologías arrugadas se estudia en intentos de comprender la alta resistencia al peso de tales estructuras que son en su mayoría espacio vacío. La topología es de mayor importancia en la mecánica de contacto, donde la dependencia de la rigidez y la fricción en la dimensionalidad de las estructuras superficiales es el tema de interés con aplicaciones en la física de múltiples cuerpos.
Una teoría de campos cuánticos topológicos (o teoría de campos topológicos o TQFT ) es una teoría cuántica de campos que calcula invariantes topológicos.
Aunque los TQFT fueron inventados por físicos, también son de interés matemático, y se relacionan, entre otras cosas, con la teoría de nudos y la teoría de cuatro variedades en topología algebraica, y con la teoría de espacios de módulos en la geometría algebraica. Donaldson, Jones, Witten y Kontsevich han ganado medallas Fields por su trabajo relacionado con la teoría topológica de campos.
La clasificación topológica de las variedades de Calabi-Yau tiene implicaciones importantes en la teoría de cuerdas, ya que diferentes variedades pueden sostener diferentes tipos de cuerdas.
En cosmología, la topología se puede usar para describir la forma general del universo. Esta área de investigación se conoce comúnmente como topología del espacio-tiempo.
Robótica
Las diversas posiciones posibles de un robot se pueden describir mediante un colector llamado espacio de configuración. En el área de planificación de movimiento, uno encuentra caminos entre dos puntos en el espacio de configuración. Estos caminos representan un movimiento de las articulaciones del robot y otras partes en la pose deseada.
Juegos y rompecabezas
Los rompecabezas de enredo se basan en aspectos topológicos de las formas y componentes del rompecabezas.
Arte de Fibra
Para crear una unión continua de piezas en una construcción modular, es necesario crear una ruta ininterrumpida en un orden que rodee cada pieza y atraviese cada borde una sola vez. Este proceso es una aplicación de la ruta euleriana.
Obtenido de: https://en.wikipedia.org/wiki/Topology