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En matemáticas, un n º raíz de un número x , donde n es por lo general supone que es un entero positivo, es un número r que, cuando se elevado a la potencia n rendimientos x :

{\ displaystyle r ^ {n} = x,}

donde n es el grado de la raíz. Una raíz de grado 2 se llama una raíz cuadrada y una raíz de grado 3, una raíz cúbica . Las raíces de mayor grado se refieren mediante el uso de números ordinales, como en la raíz cuarta , la raíz veinte , etc.

Por ejemplo:

3 es una raíz cuadrada de 9, ya que 3 = 9.
-3 es también una raíz cuadrada de 9, ya que (-3) = 9.

Cualquier número distinto de cero, considerado como número complejo, tiene n diferentes "raíces complejas de grado n " ( n las raíces), incluidas aquellas con cero parte imaginaria, es decir, cualquier raíz real. La raíz de 0 es cero para todos los grados n , ya que 0 = 0 . En particular, si n es par y x es un número real positivo, una de sus n º raíces es positivo, uno es negativa, y el resto (cuando n > 2) son complejos, pero no real; si n es par y x es un real negativo, ninguna de las n-ésimas raíces es real. Si n es impar y x es real, una raíz n. ° es real y tiene el mismo signo que x , mientras que las otras ( n  - 1) raíces no son reales. Finalmente, si x no es real, entonces ninguno de su n º raíces es real.

Las raíces se escriben generalmente utilizando el símbolo radical o raíz con la raíz cuadrada principal de , que denota la raíz del cubo principal, que denota la cuarta raíz principal, y así sucesivamente. En la expresión , n se llama índice , es el signo radical o radix , y se llama radicando . Como el símbolo radical denota una función, se define para devolver solo un resultado para un argumento dado , que se llama la raíz n. ° principal de . Convencionalmente, una raíz real, preferiblemente no negativa, si hay una, se designa como principal

{\ sqrt {x}}

X

{\ sqrt [{3}] {x}}

{\ sqrt [{4}] {x}}

{\ sqrt [{n}] {x}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\;}}}

X

X

X

n º raíz.

Una definición complementaria de la raíz principal (aunque no está formalmente definida o universalmente aceptada) es decir que siempre es la raíz compleja la que tiene el menor valor del argumento entre todas las raíces; aquí el "argumento" está vinculado ay significa el ángulo en sentido antihorario en radián entre el eje real positivo y la línea que une el número complejo con el origen.

[0,2 \ pi)

Por ejemplo:

${\ displaystyle -8}$ tiene tres raíces cúbicas: , y con argumentos , respectivamente. De estos, tiene el menor argumento y, por lo tanto, en algunos contextos se considera la raíz principal del cubo, mientras que en otros contextos se dice que es la raíz principal del cubo porque es la única real. $-2$ ${\ displaystyle 1 + i {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle 1-i {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ pi, \; {\ tfrac {1} {3}} \ pi, \; {\ tfrac {5} {3}} \ pi,}$ ${\ displaystyle 1 + i {\ sqrt {3}}}$ $-2$
$dieciséis$ tiene cuatro raíces cuarta: y , teniendo argumentos y respectivamente. Así que siempre se considera la raíz cuarta director único, ya que es un real positivo, lo que necesariamente tiene la menor posible argumento: . ${\ displaystyle 2, \; 2i, \; - 2,}$ ${\ displaystyle -2i}$ ${\ displaystyle 0, \; {\ tfrac {1} {2}} \ pi, \; \ pi}$ ${\ tfrac {3} {2}} \ pi$ $2$ ${\ displaystyle 0}$

Una raíz no resuelta, especialmente una que usa el símbolo radical, a veces se denomina surd o un radical . Cualquier expresión que contenga un radical, ya sea una raíz cuadrada, una raíz cúbica o una raíz superior, se denomina expresión radical , y si no contiene funciones trascendentales o números trascendentales, se denomina expresión algebraica.

En cálculo, las raíces se tratan como casos especiales de exponenciación, donde el exponente es una fracción:

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} = x ^ {\ frac {1} {n}}.}

Las raíces son particularmente importantes en la teoría de series infinitas; la prueba raíz determina el radio de convergencia de una serie de potencias. Las raíces también se pueden definir para los números complejos, y las raíces complejas de 1 (las raíces de la unidad) juegan un papel importante en las matemáticas superiores. La teoría de Galois se puede usar para determinar qué números algebraicos se pueden expresar usando raíces y para probar el teorema de Abel-Ruffini, que establece que una ecuación polinomial general de grado cinco o superior no se puede resolver usando solo raíces; este resultado también se conoce como "la insolubilidad de la quíntica".

Historia

Un término arcaico para la operación de tomar n th raíces es radicación .

Definición y notación

Las cuatro raíces 4 de -1,
ninguna de las cuales es real

Las tres 3ras raíces de -1,
una de las cuales es una real negativa

Una raíz n. ° de un número x , donde n es un entero positivo, es cualquiera de los n números reales o complejos r cuya n th potencia es x :

{\ displaystyle r ^ {n} = x.}

Cada número real positivo x tiene una única raíz positiva n -ésima, llamada raíz principal n -ésima, que se escribe . Para n igual a 2, esto se denomina raíz cuadrada principal y n se omite. La raíz n -ésima también se puede representar usando exponenciación como x .

{\ sqrt [{n}] {x}}

Para los valores pares de n , los números positivos también tener un efecto negativo n º raíz, mientras que los números negativos no tienen un verdadero n º raíz. Para valores impares de n , cada número negativo x tiene una raíz negativa n verdadera . Por ejemplo, -2 tiene una 5ta raíz real, pero -2 no tiene ninguna 6ª raíz real.

{\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {- 2}} = - 1.148698354 \ ldots}

Cada número distinto de cero x , real o complejo, tiene n diferente número complejo n th raíces. (En el caso x es real, este recuento incluye cualquier propiedad n º raíces.) La única raíz compleja de 0 es 0.

El n º raíces de casi todos los números enteros (todos excepto el n º poderes y todos los números racionales, excepto los cocientes de dos n poderes º) son irracionales. Por ejemplo,

{\ sqrt {2}} = 1.414213562 \ ldots

Todas las raíces n de los números enteros son números algebraicos.

El término surd se remonta a al-Khwārizmī (c 825), quien se refirió a los números racionales e irracionales como audibles e inaudibles , respectivamente. Esto luego condujo a la palabra árabe " أصم " ( asamm , que significa "sordo" o "tonto") para un número irracional que se traduce al latín como "surdus" (que significa "sordo" o "mudo"). Gerard de Cremona (hacia 1150), Fibonacci (1202), y luego Robert Recorde (1551) usaron el término para referirse a raíces irracionales no resueltas .

Raíces cuadradas

La gráfica .

y = \ pm {\ sqrt {x}}

Una raíz cuadrada de un número x es un número r que, al cuadrado, se convierte en x :

{\ displaystyle r ^ {2} = x.}

Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por ejemplo, las dos raíces cuadradas de 25 son 5 y -5. La raíz cuadrada positiva también se conoce como la raíz cuadrada principal , y se denota con un signo radical:

{\ displaystyle {\ sqrt {25}} = 5.}

Como el cuadrado de cada número real es un número real positivo, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales. Sin embargo, cada número negativo tiene dos raíces cuadradas imaginarias. Por ejemplo, las raíces cuadradas de -25 son 5 iy -5 i , donde i representa una raíz cuadrada de -1.

Raíces de cubo

La gráfica .

y = {\ sqrt [{3}] {x}}

Una raíz cúbica de un número x es un número r cuyo cubo es x :

{\ displaystyle r ^ {3} = x.}

Cada número real x tiene exactamente una raíz cúbica real, escrita . Por ejemplo,

{\ sqrt [{3}] {x}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}} = 2}

y

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {- 8}} = - 2.}

Cada número real tiene dos raíces de cubo complejas adicionales.

Identidades y propiedades

Que expresa el grado de un n º de raíz en su forma exponencial, al igual que en , hace que sea más fácil de manipular potencias y raíces.

{\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {n}}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}} \ equiv \ left (a ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} \ equiv a ^ {\ frac {Minnesota}}.}

Cada número real positivo tiene exactamente un real positivo n º raíz, y tales las reglas para las operaciones con irracionales que implican radicandos positivos son sencillos dentro de los números reales:

{\ displaystyle a, \; b}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ sqrt [{n}] {ab}} & \ equiv {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}} \\ {\ sqrt [{n}] {\ frac {a} {b}}} & \ equiv {\ frac {\ sqrt [{n}] {a}} {\ sqrt [{n}] {b}}} \ end {aligned}}}

Las sutilezas pueden ocurrir cuando se toman las raíces n de números negativos o complejos. Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} \ neq {\ sqrt {-1 \ times -1}} = 1, \ quad}

mas bien

{\ displaystyle \ quad {\ sqrt {-1}} \ times {\ sqrt {-1}} = i \ veces i = i ^ {2} = - 1.}

Como la regla se aplica estrictamente a los radicandos reales no negativos, su aplicación conduce a la desigualdad en el primer paso anterior.

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {a}} \ times {\ sqrt [{n}] {b}} = {\ sqrt [{n}] {ab}}}

Forma simplificada de una expresión radical

Se dice que una expresión radical no anidada está en forma simplificada si

No existe un factor del radicando que pueda escribirse como una potencia mayor o igual que el índice.
No hay fracciones debajo del signo radical.
No hay radicales en el denominador.

Por ejemplo, para escribir la expresión radical en forma simplificada, podemos proceder de la siguiente manera. Primero, busca un cuadrado perfecto debajo del signo de raíz cuadrada y quítalo:

{\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}}

{\ sqrt {\ tfrac {32} {5}}} = {\ sqrt {\ tfrac {16 \ cdot 2} {5}}} = 4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}}}

A continuación, hay una fracción debajo del signo del radical, que cambiamos de la siguiente manera:

4 {\ sqrt {\ tfrac {2} {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}}

Finalmente, eliminamos el radical del denominador de la siguiente manera:

{\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {5}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {5}}} = {\ frac {4 {\ sqrt {10}}} {5}} = {\ frac {4} {5}} {\ sqrt {10}}

Cuando hay un denominador que implica surds, siempre es posible encontrar un factor para multiplicar numerador y denominador por para simplificar la expresión. Por ejemplo, usando la factorización de la suma de dos cubos:

{\ displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt [{3}] {a}} + {\ sqrt [{3}] {b}}}} = {\ frac {{sqrt [{3}] {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] {ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}}} {\ left ({\ sqrt [{3} ] {a}} + {\ sqrt [{3}] {b}} \ right) \ left ({\ sqrt [{3}] {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] { ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {a ^ {2}}} - {\ sqrt [{3}] {ab}} + {\ sqrt [{3}] {b ^ {2}}}} {a + b}} \ ,.}

Simplificar expresiones radicales que involucran radicales anidados puede ser bastante difícil. No es obvio, por ejemplo, que:

{\ displaystyle {\ sqrt {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} = 1 + {\ sqrt {2}}}

Lo anterior se puede derivar a través de:

{\ displaystyle {\ sqrt {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {2}} + 2}} = {\ sqrt {1 ^ {2} +2 {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {2}} ^ {2}}} = {\ sqrt {\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2}}} = 1+ {\ sqrt {2}}}

Series infinitas

El radical o raíz puede estar representado por la serie infinita:

{\ displaystyle (1 + x) ^ {\ frac {s} {t}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1 } (s-kt)} {n! t ^ {n}}} x ^ {n}}

con . Esta expresión se puede derivar de la serie binomial.

| x | <1

Computing roots principales

La raíz n de un entero k es solo un entero si k es el producto de n potencias de enteros. En todos los demás casos, la raíz n de un número entero es un número irracional. Por ejemplo, la quinta raíz de

{\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {248832}} = {\ sqrt [{5}] {3 ^ {5} \ cdot 2 ^ {5} \ cdot 2 ^ {5}}} = 12}

y la quinta raíz de 34 es

{\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {34}} = {\ sqrt [{5}] {2 \ cdot 17}} = 2.024397458 \ ldots,}

donde aquí los puntos significan no solo que la expresión decimal no termina después de un número finito de dígitos, sino también que los dígitos nunca entran en un patrón repetitivo, porque el número es irracional.

Dado que para los números positivos reales

de una

y

b

la igualdad se mantiene, la propiedad anterior se puede extender a los números racionales positivos. Let , con

p

y

q

primos entre sí y números enteros positivos, ser un número racional, entonces

r

tiene un racional n º raíz, si tanto positivos enteros

p

y

q

tienen un número entero n º raíz, es decir, es el producto de n º poderes de racional números. Si uno o ambos n º raíces de

p

o

q

son irracionales, el cociente es irracional, también.

{\ displaystyle \; {\ sqrt [{n}] {a / b}} = {\ sqrt [{n}] {a}} / {\ sqrt [{n}] {b}} \;}

{\ displaystyle r = p / q}

{\ displaystyle \; r = p \ cdot {\ tfrac {1} {q}} \;}

n th algoritmo de la raíz

La raíz n -ésima de un número A puede calcularse mediante el algoritmo de la raíz n -ésima, un caso especial del método de Newton. Comience con una conjetura inicial x 0 y luego itere usando la relación de recurrencia

x_ {k + 1} = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1}}} }\derecho)

hasta que se alcance la precisión deseada.

Dependiendo de la aplicación, puede ser suficiente usar solo el primer aproximante de Newton:

{\ sqrt [{n}] {x ^ {n} + y}} \ approx x + {\ frac {y} {nx ^ {n-1}}}.

Por ejemplo, para encontrar la quinta raíz de 34, tenga en cuenta que 2 = 32 y, por lo tanto, tome x = 2, n = 5 yy = 2 en la fórmula anterior. Esto rinde

{\ sqrt [{5}] {34}} = {\ sqrt [{5}] {32 + 2}} \ approx 2 + {\ frac {2} {5 \ cdot 16}} = 2.025.

El error en la aproximación es solo de aproximadamente 0.03%.

El método de Newton puede ser modificado para producir una fracción continua generalizada para el n º raíz que puede ser modificado de diversas maneras tal como se describe en dicho artículo. Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {x ^ {n} + y}} = x + {\ cfrac {y} {nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(n-1) y} {2x + {\ cfrac {(n + 1) y} {3nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(2n-1) y} {2x + {\ cfrac {(2n + 1) y} {5nx ^ {n-1} + {\ cfrac {(3n-1) y} {2x + \ ddots}}}}}}}}}}}};}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = x + {\ cfrac {2x \ cdot y} {n (2z-y) -y - {\ cfrac {(1 ^ {2} n ^ {2 } -1) y ^ {2}} {3n (2z-y) - {\ cfrac {(2 ^ {2} n ^ {2} -1) y ^ {2}} {5n (2z-y) - {\ cfrac {(3 ^ {2} n ^ {2} -1) y ^ {2}} {7n (2z-y) - \ ddots}}}}}}}}}}

En el caso de la quinta raíz de 34 anterior (después de dividir los factores comunes seleccionados):

{\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {34}} = 2 + {\ cfrac {1} {40 + {\ cfrac {4} {4 + {\ cfrac {6} {120 + {\ cfrac {9 } {4 + {\ cfrac {11} {200 + {\ cfrac {14} {4+ \ ddots}}}}}}}}}}}} = 2 + {\ cfrac {4 \ cdot 1} {165 -1 - {\ cfrac {4 \ cdot 6} {495 - {\ cfrac {9 \ cdot 11} {825 - {\ cfrac {14 \ cdot 16} {1155- \ ddots}}}}}}}}. }

Cálculo dígito a dígito de las raíces principales de los números decimales (base 10)

El Triángulo de Pascal mostrando .

P (4,1) = 4

Basándose en el cálculo dígito por dígito de una raíz cuadrada, se puede ver que la fórmula utilizada allí , o , sigue un patrón que involucra el triángulo de Pascal. Para el n º raíz de un número se define como el valor del elemento en la fila del triángulo de Pascal tal que , podemos volver a escribir la expresión como . Para su comodidad, llame al resultado de esta expresión . Usando esta expresión más general, cualquier raíz principal positiva se puede calcular, dígito por dígito, de la siguiente manera.

x (20p + x) \ leq c

x ^ {2} + 20xp \ leq c

P (n, i)

yo

norte

P (4,1) = 4

\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} 10 ^ {i} P (n, i) p ^ {i} x ^ {ni}

y

Escriba el número original en forma decimal. Los números se escriben de manera similar al algoritmo de división larga, y, como en la división larga, la raíz se escribirá en la línea superior. Ahora separe los dígitos en grupos de dígitos que coincidan con la raíz que se está tomando, comenzando por el punto decimal y yendo a la izquierda y a la derecha. El punto decimal de la raíz estará por encima del punto decimal del cuadrado. Un dígito de la raíz aparecerá encima de cada grupo de dígitos del número original.

Comenzando con el grupo de dígitos más a la izquierda, realice el siguiente procedimiento para cada grupo:

Comenzando desde la izquierda, reduzca el grupo de dígitos más significativo (el extremo izquierdo) aún no utilizado (si se han usado todos los dígitos, escriba "0" el número de veces requerido para formar un grupo) y escríbalos a la derecha del resto del paso anterior (en el primer paso, no habrá resto). En otras palabras, multiplica el resto por y agrega los dígitos del siguiente grupo. Este será el valor actual c . $10 ^ {n}$
Encuentre p y x , de la siguiente manera:
- Deja que sea la parte de la raíz encontrada hasta el momento , ignorando cualquier punto decimal. (Para el primer paso, ). $pag$ $p = 0$
- Determine el mayor dígito tal que . $X$ $y \ leq c$
- Coloque el dígito como el siguiente dígito de la raíz, es decir, encima del grupo de dígitos que acaba de derribar. Por lo tanto, el siguiente p será el viejo p multiplicado por 10 más x . $X$
Resta de para formar un nuevo resto. $y$ $do$
Si el resto es cero y no hay más dígitos para derribar, entonces el algoritmo ha terminado. De lo contrario, regrese al paso 1 para otra iteración.

Ejemplos

Encuentra la raíz cuadrada de 152.2756.

  1 2. 3 4
        /
     \ / 01 52.27 56

01 10 • 1 • 0 • 1 + 10 • 2 • 0 • 1 ≤ 1 <10 • 1 • 0 • 2 + 10 • 2 • 0 • 2 x = 1
         01                      y = 10 • 1 • 0 • 1 + 10 • 2 • 0 • 1 = 1 + 0 = 1
         00 52 10 • 1 • 1 • 2 + 10 • 2 • 1 • 2 ≤ 52 <10 • 1 • 1 • 3 + 10 • 2 • 1 • 3 x = 2
        00 44                   y = 10 • 1 • 1 • 2 + 10 • 2 • 1 • 2 = 4 + 40 = 44
            08 27 10 • 1 • 12 • 3 + 10 • 2 • 12 • 3 ≤ 827 <10 • 1 • 12 • 4 + 10 • 2 • 12 • 4 x = 3
           07 29                y = 10 • 1 • 12 • 3 + 10 • 2 • 12 • 3 = 9 + 720 = 729
               98 56 10 • 1 • 123 • 4 + 10 • 2 • 123 • 4 ≤ 9856 <10 • 1 • 123 • 5 + 10 • 2 • 123 • 5 x = 4
              98 56             y = 10 • 1 • 123 • 4 + 10 • 2 • 123 • 4 = 16 + 9840 = 9856
               00 00 Algoritmo termina: la respuesta es 12.34

Encuentra la raíz cúbica de 4192 a la centésima más cercana.

   1 6. 1 2 4 
 3   /
  \ / 004 192,000 000 000

004 10 • 1 • 0 • 1 + 10 • 3 • 0 • 1 + 10 • 3 • 0 • 1 ≤ 4 <10 • 1 • 0 • 2 + 10 • 3 • 0 • 2 + 10 • 3 • 0 • 2 x = 1
      001                         y = 10 • 1 • 0 • 1 + 10 • 3 • 0 • 1 + 10 • 3 • 0 • 1 = 1 + 0 + 0 = 1
      003 192 10 • 1 • 1 • 6 + 10 • 3 • 1 • 6 + 10 • 3 • 1 • 6 ≤ 3192 <10 • 1 • 1 • 7 + 10 • 3 • 1 • 7 + 10 • 3 • 1 • 7 x = 6
     003 096                     y = 10 • 1 • 1 • 6 + 10 • 3 • 1 • 6 + 10 • 3 • 1 • 6 = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096
          096 000 10 • 1 • 16 • 1 + 10 • 3 • 16 • 1 + 10 • 3 • 16 • 1 ≤ 96000 <10 • 1 • 16 • 2 + 10 • 3 • 16 • 2 + 10 • 3 • 16 • 2 x = 1
         077 281                 y = 10 • 1 • 16 • 1 + 10 • 3 • 16 • 1 + 10 • 3 • 16 • 1 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281
          018 719 000 10 • 1 • 161 • 2 + 10 • 3 • 161 • 2 + 10 • 3 • 161 • 2 ≤ 18719000 <10 • 1 • 161 • 3 + 10 • 3 • 161 • 3 + 10 • 3 • 161 • 3 x = 2
             015 571 928         y = 10 • 1 • 161 • 2 + 10 • 3 • 161 • 2 + 10 • 3 • 161 • 2 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928
              003 147 072 000 10 • 1 • 1612 • 4 + 10 • 3 • 1612 • 4 + 10 • 3 • 1612 • 4 ≤ 3147072000 <10 • 1 • 1612 • 5 + 10 • 3 • 1612 • 5 + 10 • 3 • 1612 • 5 x = 4
                               La precisión deseada se logra:
                               La raíz cúbica de 4192 es aproximadamente 16.12

Cálculo logarítmico

El director n º raíz de un número positivo se pueden calcular usando logaritmos. A partir de la ecuación que define r como un n º raíz de x , es decir, con x positiva y por lo tanto su raíz principal de r también positiva, una toma logaritmos de ambos lados (cualquier base del logaritmo hará) para obtener

r ^ {n} = x,

{\ displaystyle n \ log _ {b} r = \ log _ {b} x \ quad \ quad {\ text {hence}} \ quad \ quad \ log _ {b} r = {\ frac {\ log _ {{} b} x} {n}}.}

La raíz r se recupera de esto tomando el antilogaritmo:

{\ displaystyle r = b ^ {{\ frac {1} {n}} \ log _ {b} x}.}

(Nota: Esa fórmula muestra b elevado a la potencia del resultado de la división, no b multiplicado por el resultado de la división).

Para el caso en que x es negativo y n es impar, hay una raíz real r que también es negativa. Esto se puede encontrar primero multiplicando ambos lados de la ecuación de definición por -1 para obtener luego proceder como antes para encontrar | r |, y usando r = - | r | .

{\ displaystyle | r | ^ {n} = | x |,}

Constructibilidad geométrica

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo usar la brújula y la regla para construir una longitud igual a la raíz cuadrada de una longitud determinada. En 1837, Pierre Wantzel demostró que no se puede construir una raíz n de una longitud determinada si n no es una potencia de 2.

Raíces complejas

Cada número complejo distinto de 0 tiene n diferentes n raíces.

Raíces cuadradas

Las raíces cuadradas de i

Las dos raíces cuadradas de un número complejo son siempre negativos el uno del otro. Por ejemplo, las raíces cuadradas de

-4

son

2 i

y

-2 i

, y las raíces cuadradas de

i

son

{\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1 + i) \ quad {\ text {y}} \ quad - {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} (1 + i) .

Si expresamos un número complejo en forma polar, entonces la raíz cuadrada se puede obtener tomando la raíz cuadrada del radio y reduciendo a la mitad el ángulo:

{\ displaystyle {\ sqrt {re ^ {i \ theta}}} = \ pm {\ sqrt {r}} \ cdot e ^ {\ frac {i \ theta} {2}}.}

Una raíz principal de un número complejo se puede elegir de varias maneras, por ejemplo

{\ displaystyle {\ sqrt {re ^ {i \ theta}}} = {\ sqrt {r}} \ cdot e ^ {\ frac {i \ theta} {2}}}

que introduce un corte de ramificación en el plano complejo a lo largo del eje real positivo con la condición

0 \leq θ <2π

, o a lo largo del eje real negativo con

-π < θ \leq π

.

Usando la primera (última) rama corta los principales mapas de raíz cuadrada al medio plano con una parte imaginaria (real) no negativa. El último corte de rama se presupone en un software matemático como Matlab o Scilab.

\ scriptstyle {\ sqrt {z}}

\ scriptstyle z

Raíces de la unidad

Las tres 3ras raíces de 1

El número 1 tiene n diferente n º raíces en el plano complejo, a saber,

1, \; \ omega, \; \ omega ^ {2}, \; \ ldots, \; \ omega ^ {n-1},

dónde

{\ displaystyle \ omega = e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}} = \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {n}} \ right) + i \ sin \ left ({ \ frac {2 \ pi} {n}} \ right)}

Estas raíces están espaciadas uniformemente alrededor del círculo unitario en el plano complejo, en ángulos que son múltiplos de . Por ejemplo, las raíces cuadradas de la unidad son 1 y -1, y las cuartas raíces de la unidad son 1 , -1 y .

2 \ pi / n

yo

-yo

n las raíces

Visualización de las raíces cuadradas a sextas de un número complejo z , en forma polar re donde φ = arg z y r = | z | - si z es real, φ = 0 o

π

. Las raíces principales están en negro.

Cada número complejo tiene n diferente n º raíces en el plano complejo. Estos son

\ eta, \; \ eta \ omega, \; \ eta \ omega ^ {2}, \; \ ldots, \; \ eta \ omega ^ {n-1},

donde η es un solo n º raíz, y 1, ω , ω , ... ω son el n º raíces de la unidad. Por ejemplo, las cuatro raíces cuartas diferentes de 2 son

{\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad i {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad - {\ sqrt [{4}] {2}}, \ quad {\ text {y}} \ quad -i {\ sqrt [{4}] {2}}.

En la forma polar, un solo n º raíz puede ser encontrado por la fórmula

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {re ^ {i \ theta}}} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ cdot e ^ {i \ theta / n}.}

Aquí r es la magnitud (el módulo, también llamado valor absoluto) del número cuya raíz debe tomarse; si el número puede escribirse como a + bi, entonces . Además, es el ángulo formado como uno que pivota en el origen en sentido antihorario desde el eje horizontal positivo a un rayo que va del origen al número; que tiene las propiedades que y

r = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}

\ theta

\ cos \ theta = a / r,

\ sin \ theta = b / r,

\ tan \ theta = b / a.

Por lo tanto, encontrar n las raíces en el plano complejo se puede segmentar en dos pasos. En primer lugar, la magnitud de todo el n º raíces es el n º raíz de la magnitud del número original. En segundo lugar, el ángulo entre el eje horizontal positivo y un rayo desde el origen hasta uno de los n º raíces está , donde está el ángulo definido de la misma manera para el número cuya raíz está siendo tomada. Además, todo n del n º raíces están en ángulos igualmente espaciados uno de otro.

\ theta / n

\ theta

Si n es par, un número complejo de n raíces, del cual hay un número par, viene en pares inversos aditivos, de modo que si un número r 1 es una de las n- ésimas raíces, r 2 = - r 1 es otro. Esto se debe a que al elevar el coeficiente -1 de este último a la potencia n- ésima para even n se obtiene 1: es decir, (- r 1 ) = (-1) × r 1 = r 1 .

Al igual que con las raíces cuadradas, la fórmula anterior no define una función continua en todo el plano complejo, sino que tiene un corte de ramificación en los puntos donde θ / n es discontinuo.

Resolviendo polinomios

Una vez se conjeturó que todas las ecuaciones polinómicas se podían resolver algebraicamente (es decir, que todas las raíces de un polinomio se podían expresar en términos de un número finito de radicales y operaciones elementales). Sin embargo, aunque esto es cierto para polinomios de tercer grado (cúbicos) y polinomios de cuarto grado (cuarzos), el teorema de Abel-Ruffini (1824) muestra que esto no es cierto en general cuando el grado es 5 o mayor. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación

{\ displaystyle x ^ {5} = x + 1}

no se puede expresar en términos de radicales. ( ver ecuación de quintica)

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