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Volumen
	; Una taza de medir se puede usar para medir volúmenes de líquidos. Esta taza mide el volumen en unidades de tazas, onzas líquidas y mililitros.
Símbolos comunes	V
Unidad SI	Metro cúbico [m]
Otras unidades	Litro, onza fluida, galón, cuarto de galón, pinta, cucharadita, líquido dram, en, yd, barril
En unidades base SI	1 m
Dimensión	L

Volumen es la cantidad de espacio tridimensional encerrado por una superficie cerrada, por ejemplo, el espacio que ocupa o contiene una sustancia (sólido, líquido, gas o plasma) o forma. El volumen a menudo se cuantifica numéricamente utilizando la unidad derivada del SI, el metro cúbico. El volumen de un contenedor generalmente se entiende como la capacidad del contenedor; es decir, la cantidad de fluido (gas o líquido) que podría contener el contenedor, en lugar de la cantidad de espacio que el contenedor mismo desplaza. Las formas matemáticas tridimensionales también tienen volúmenes asignados. Los volúmenes de algunas formas simples, como formas regulares, de bordes rectos y circulares se pueden calcular fácilmente usando fórmulas aritméticas. Los volúmenes de formas complicadas se pueden calcular con cálculo integral si existe una fórmula para el límite de la forma.

El volumen de un sólido (ya sea de forma regular o irregular) puede determinarse por desplazamiento del fluido. El desplazamiento del líquido también se puede usar para determinar el volumen de un gas. El volumen combinado de dos sustancias suele ser mayor que el volumen de una sola de las sustancias. Sin embargo, a veces una sustancia se disuelve en la otra y en tales casos el volumen combinado no es aditivo.

En geometría diferencial , el volumen se expresa por medio de la forma del volumen, y es un invariante de Riemanniano global importante. En termodinámica , el volumen es un parámetro fundamental y es un conjugado variable para la presión.

Unidades

Mediciones de volumen del 1914 El trabajo de referencia del nuevo estudiante.

Cualquier unidad de longitud da una unidad de volumen correspondiente: el volumen de un cubo cuyos lados tienen la longitud dada. Por ejemplo, un centímetro cúbico (cm) es el volumen de un cubo cuyos lados tienen un centímetro (1 cm) de longitud.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de volumen es el metro cúbico (m). El sistema métrico también incluye el litro (L) como una unidad de volumen, donde un litro es el volumen de un cubo de 10 centímetros. Así

1 litro = (10 cm) = 1000 centímetros cúbicos = 0.001 metros cúbicos,

asi que

1 metro cúbico = 1000 litros.

Pequeñas cantidades de líquido a menudo se miden en mililitros, donde

1 mililitro = 0.001 litros = 1 centímetro cúbico.

De la misma manera, grandes cantidades se pueden medir en megalitros, donde

1 millón de litros = 1000 metros cúbicos = 1 megalitro.

Varias otras unidades tradicionales de volumen también están en uso, incluyendo la pulgada cúbica, el pie cúbico, el patio cúbico, la milla cúbica, la cucharilla, la cucharada, la onza fluida, el líquido copioso, la agalla, la pinta, el cuarto , el galón, el mínimo, el barril, el cordón, el picoteador, el celemín, el tonel, el pie de acre y el pie de tabla.

Términos relacionados

La capacidad se define en el Oxford English Dictionary como "la medida aplicada al contenido de un recipiente, y a los líquidos, granos o similares, que toman la forma de aquello que los sostiene". (La palabra capacidad tiene otros significados no relacionados, como, por ejemplo, en la gestión de la capacidad). La capacidad no es idéntica en cuanto a volumen, aunque está estrechamente relacionada; la capacidad de un contenedor es siempre el volumen en su interior. Las unidades de capacidad son el litro SI y sus unidades derivadas, y unidades imperiales como branquias, pinta, galones y otros. Las unidades de volumen son los cubos de unidades de longitud. En SI, las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas: un litro es exactamente 1 decímetro cúbico, la capacidad de un cubo con un lado de 10 cm. En otros sistemas, la conversión no es trivial; la capacidad del tanque de combustible de un vehículo raramente se expresa en pies cúbicos, por ejemplo, pero en galones (un galón imperial llena un volumen de 0.1605 pies cúbicos).

La densidad de un objeto se define como la relación entre la masa y el volumen. La inversa de la densidad es el volumen específico que se define como el volumen dividido por la masa. El volumen específico es un concepto importante en la termodinámica, donde el volumen de un fluido de trabajo a menudo es un parámetro importante de un sistema en estudio.

El caudal volumétrico en dinámica de fluidos es el volumen de fluido que pasa a través de una superficie determinada por unidad de tiempo (por ejemplo, metros cúbicos por segundo [m s]).

Volumen en cálculo

En el cálculo, una rama de las matemáticas, el volumen de una región D en R está dado por una integral triple de la función constante y generalmente se escribe como:

f (x, y, z) = 1

\ iiint \ limits _ {D} 1 \, dx \, dy \, dz.

La integral del volumen en coordenadas cilíndricas es

\ iiint \ limits _ {D} r \, dr \, d \ theta \, dz,

y la integral del volumen en coordenadas esféricas (usando la convención para ángulos con como acimut y medida desde el eje polar; ver más sobre convenciones) tiene la forma

\ theta

\fi

\ iiint \ limits _ {D} \ rho ^ {2} \ sin \ phi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ phi.

Fórmulas de volumen

Forma	Fórmula de volumen	Variables
Cubo	$a ^ {3} \;$	a = longitud de cualquier lado (o borde)
Cilindro circular	$\ pi r ^ {2} h \;$	r = radio de base circular, h = altura
Prisma	${\ displaystyle Bh}$	B = área de la base, h = altura
Cuboides	${\ displaystyle lwh}$	$l$ = longitud, $w$ = ancho, $h$ = altura
Prisma triangular	${\ frac {1} {2}} bhl$	b = longitud base del triángulo, h = altura del triángulo, l = longitud del prisma o distancia entre las bases triangulares
Prisma triangular (con longitudes dadas de tres lados)	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} h {\ sqrt {-a ^ {4} +2 (ab) ^ {2} +2 (ac) ^ {2} -b ^ {4} +2 (bc) ^ {2} -c ^ {4}}}}$	a , b , yc = longitudes de los lados h = altura del prisma triangular
Esfera	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = {\ frac {1} {6}} \ pi d ^ {3}}$	r = radio de la esfera d = diámetro de la esfera que es la integral de la superficie de una esfera
Elipsoide	${\ frac {4} {3}} \ pi abc$	a , b , c = semi-ejes de elipsoide
Toro	${\ displaystyle \ left (\ pi r ^ {2} \ right) \ left (2 \ pi R \ right) = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}}$	r = radio menor (radio del tubo), R = radio mayor (distancia del centro del tubo al centro del toro)
Pirámide	${\ frac {1} {3}} Bh$	B = área de la base, h = altura de la pirámide
Pirámide cuadrada	${\ frac {1} {3}} s ^ {2} h \;$	s = longitud lateral de la base, h = altura
Pirámide rectangular	${\ frac {1} {3}} lwh$	$l$ = longitud, $w$ = ancho, $h$ = altura
Cono	${\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h$	r = radio del círculo en la base, h = distancia desde la base hasta la punta o la altura
Tetraedro regular	${{\ sqrt {2}} \ over 12} a ^ {3} \,$	Longitud del borde, $a$
Paralelepípedo	${\ displaystyle abc {\ sqrt {K}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {aligned} K = 1 & + 2 \ cos (\ alpha) \ cos (\ beta) \ cos (\ gamma) \\ & - \ cos ^ {2} (\ alpha) - \ cos ^ {2} (\ beta) - \ cos ^ {2} (\ gamma) \ end {aligned}}}$	un , b , y c son las longitudes de paralelepípedo borde, y α , beta , y γ son los ángulos internos entre los bordes
Cualquier barrido volumétrico (se requiere cálculo)	$\ int _ {a} ^ {b} A (h) \, \ mathrm {d} h$	h = cualquier dimensión de la figura, A ( h ) = área de las secciones transversales perpendiculares a h descrita como una función de la posición a lo largo de h . un y b son los límites de integración para el barrido volumétrico. (Esto funcionará para cualquier figura si su área de sección transversal puede determinarse a partir de h).
Cualquier figura girada (método de lavado, cálculo requerido)	$\ pi \ int _ {a} ^ {b} \ left ({\ left [R_ {O} (x) \ right]} ^ {2} - {\ left [R_ {I} (x) \ right]} ^ {2} \ right) \ mathrm {d} x$	$R_ {O}$ y son funciones que expresan los radios externo e interno de la función, respectivamente. $RHODE ISLAND}$

Relaciones de volumen para un cono, esfera y cilindro del mismo radio y altura

Un cono, esfera y cilindro de radio r y altura h

Las fórmulas anteriores se pueden usar para mostrar que los volúmenes de un cono, esfera y cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 1: 2: 3 , de la siguiente manera.

Deje que el radio sea r y la altura sea h (que es 2 r para la esfera), luego el volumen del cono es

{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (2r \ right) = \ left ( {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 1,}

el volumen de la esfera es

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 2,}

mientras que el volumen del cilindro es

{\ displaystyle \ pi r ^ {2} h = \ pi r ^ {2} (2r) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) \ times 3. }

El descubrimiento de la relación 2: 3 de los volúmenes de la esfera y el cilindro se acredita a Arquímedes.

Derivaciones de fórmula de volumen

Esfera

El volumen de una esfera es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente pequeños de grosor dx . El cálculo del volumen de una esfera con centro 0 y radio r es el siguiente.

El área de superficie del disco circular es .

\ pi r ^ {2}

El radio de los discos circulares, definido de tal manera que el eje x corta perpendicularmente a través de ellos, es

{\ displaystyle y = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

o

{\ displaystyle z = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

donde y o z pueden tomarse para representar el radio de un disco en un valor de x particular.

Usando y como el radio del disco, el volumen de la esfera se puede calcular como

{\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi y ^ {2} \, dx = \ int _ {- r} ^ {r} \ pi \ left (r ^ {2} -x ^ { 2} \ right) \, dx.}

Ahora

{\ displaystyle \ int _ {- r} ^ {r} \ pi r ^ {2} \, dx- \ int _ {- r} ^ {r} \ pi x ^ {2} \, dx = \ pi \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) - {\ frac {\ pi} {3}} \ left (r ^ {3} + r ^ {3} \ right) = 2 \ pi r ^ {3} - {\ frac {2 \ pi r ^ {3}} {3}}.}

Combinando rendimientos

V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.

Esta fórmula se puede derivar más rápidamente usando la fórmula para el área de superficie de la esfera, que es . El volumen de la esfera consiste en capas de capas esféricas infinitesimalmente delgadas, y el volumen de la esfera es igual a

4 \ pi r ^ {2}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

Cono

El cono es un tipo de forma piramidal. La ecuación fundamental para las pirámides, un tercio de la base por la altitud, también se aplica a los conos.

Sin embargo, usando el cálculo, el volumen de un cono es la integral de un número infinito de discos circulares infinitesimalmente delgados de espesor dx . El cálculo para el volumen de un cono de altura h , cuya base está centrada en (0, 0, 0) con radio r , es el siguiente.

El radio de cada disco circular es r si x = 0 y 0 si x = h , y varía linealmente en el medio, es decir,

{\ displaystyle r {\ frac {hx} {h}}.}

El área de superficie del disco circular es entonces

{\ displaystyle \ pi \ left (r {\ fract {hx} {h}} \ right) ^ {2} = \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ { 2}}}.}

El volumen del cono se puede calcular como

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} \ pi r ^ {2} {\ frac {(hx) ^ {2}} {h ^ {2}}} dx,}

y después de la extracción de las constantes

{\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hx) ^ {2} dx}

La integración nos da

{\ frac {\ pi r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ left ({\ frac {h ^ {3}} {3}} \ right) = {\ frac {1} {3} } \ pi r ^ {2} h.

Poliedro

Volumen en geometría diferencial

En la geometría diferencial, una rama de las matemáticas, una forma de volumen en una variedad diferenciable es una forma diferencial de grado superior (es decir, cuyo grado es igual a la dimensión de la variedad) que en ninguna parte es igual a cero. Un colector tiene una forma de volumen si y solo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitamente muchas formas de volumen, ya que al multiplicar una forma de volumen por una función que no se desvanece se obtiene otra forma de volumen. En variedades no orientables, uno puede definir la noción más débil de densidad. La integración de la forma del volumen proporciona el volumen del colector según esa forma.

Una variedad pseudo-Riemanniana orientada tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales, se puede expresar como

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ dots \ wedge dx ^ {n},}

donde están las formas 1 que forman una base orientada positivamente para el conjunto cotangente de la variedad, y es el determinante de la representación matricial del tensor métrico en la variedad en términos de la misma base.

dx ^ {i}

gramo

Volumen en termodinámica

En termodinámica, el volumen de un sistema es un parámetro extensivo importante para describir su estado termodinámico. El volumen específico , una propiedad intensiva, es el volumen del sistema por unidad de masa. El volumen es una función del estado y es interdependiente con otras propiedades termodinámicas como la presión y la temperatura. Por ejemplo, el volumen está relacionado con la presión y la temperatura de un gas ideal según la ley de los gases ideales.

Volumen
Una taza de medir se puede usar para medir volúmenes de líquidos. Esta taza mide el volumen en unidades de tazas, onzas líquidas y mililitros.
Símbolos comunes	V
Unidad SI	Metro cúbico [m]
Otras unidades	Litro, onza fluida, galón, cuarto de galón, pinta, cucharadita, líquido dram, en, yd, barril
En unidades base SI	1 m
Dimensión	L

Volumen

Definición