Número Real
Definición
En matemáticas, un número real es un valor de una cantidad continua que puede representar una distancia a lo largo de una línea. El adjetivo real en este contexto fue introducido en el siglo XVII por René Descartes, quien distinguió entre raíces reales e imaginarias de polinomios. Los números reales incluyen todos los números racionales, como el número entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales, como √ 2 (1.41421356 ..., la raíz cuadrada de 2, un número algebraico irracional). Incluido dentro de los irracionales están los números trascendentales, como
π (3.14159265 ...). Además de medir la distancia, los números reales se pueden usar para medir cantidades como el tiempo, la masa, la energía, la velocidad y muchas más.
π (3.14159265 ...). Además de medir la distancia, los números reales se pueden usar para medir cantidades como el tiempo, la masa, la energía, la velocidad y muchas más.
Los números reales se pueden considerar como puntos en una línea infinitamente larga llamada línea numérica o línea real, donde los puntos correspondientes a los enteros están equiespaciados. Cualquier número real puede ser determinado por una representación decimal posiblemente infinita, como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades una décima parte del tamaño anterior. La línea real se puede considerar como una parte del plano complejo, y los números complejos incluyen números reales.
Estas descripciones de los números reales no son suficientemente rigurosas según los estándares modernos de las matemáticas puras. El descubrimiento de una definición rigurosa adecuada de los números reales -de hecho, la comprensión de que se necesitaba una mejor definición- fue uno de los desarrollos más importantes de las matemáticas del siglo XIX. La definición axiomática estándar actual es que los números reales forman el único campo ordenado completo de Dedekind ( R ; +; •; <), hasta un isomorfismo, mientras que las definiciones populares constructivas de números reales incluyen declararlas como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales, cortes de Dedekind o representaciones decimales infinitas, junto con interpretaciones precisas para las operaciones aritméticas y la relación de orden. Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y, por lo tanto, son equivalentes.
Los reales son innumerables; esto es: mientras que el conjunto de todos los números naturales y el conjunto de todos los números reales son conjuntos infinitos, no puede haber una función de uno a uno desde los números reales a los números naturales: la cardinalidad del conjunto de todos los números reales (denotada y llamada cardinalidad del continuo) es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales (denotado 'aleph-nada'). La afirmación de que no existe un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente mayor que estrictamente menor que se conoce como la hipótesis del continuo (CH). Se sabe que no es comprobable ni refutable utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (ZFC), la base estándar de las matemáticas modernas, en el sentido de que algunos modelos de ZFC satisfacen CH, mientras que otros lo violan.
Historia
Fracciones simples fueron utilizadas por los egipcios alrededor de 1000 aC; el "Sulba Sutras" védico ("Las reglas de los acordes") en, c. 600 AC , incluye lo que puede ser el primer "uso" de números irracionales. El concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los primeros matemáticos hindúes desde Manava ( hacia 750-690 aC) , que sabían que las raíces cuadradas de ciertos números como 2 y 61 no podían determinarse con exactitud. Alrededor del año 500 aC, los matemáticos griegos dirigidos por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de números irracionales, en particular la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2.
La Edad Media trajo la aceptación de números cero, negativos, integrales y fraccionarios, primero por los matemáticos indios y chinos, y luego por los matemáticos árabes, que también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos, lo que fue posible gracias al desarrollo de álgebra. Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de "número" y "magnitud" en una idea más general de los números reales. El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c 850-930) fue el primero en aceptar números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación, a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuarta.
En el siglo XVI, Simon Stevin creó la base para la notación decimal moderna e insistió en que no hay diferencia entre los números racionales e irracionales en este sentido.
En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio, diferenciándolas de las "imaginarias".
En los siglos XVIII y XIX, hubo mucho trabajo sobre números irracionales y trascendentales. Johann Heinrich Lambert (1761) dio la primera prueba imperfecta de que π no puede ser racional; Adrien-Marie Legendre (1794) completó la demostración y mostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. Paolo Ruffini (1799) y Niels Henrik Abel (1842), ambos construyeron pruebas del teorema de Abel-Ruffini: que la quíntica general o las ecuaciones superiores no pueden ser resueltas por una fórmula general que involucra solamente operaciones y raíces aritméticas.
Évariste Galois (1832) desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podría ser resuelta por radicales, lo que dio lugar al campo de la teoría de Galois. Joseph Liouville (1840) demostró que ni e ni e pueden ser la raíz de una ecuación cuadrática entera, y luego estableció la existencia de números trascendentales; Georg Cantor (1873) amplió y simplificó enormemente esta prueba. Charles Hermite (1873) demostró por primera vez que e es trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882) demostró que π es trascendental. La demostración de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente fue hecha elemental por Adolf Hurwitz y Paul Gordan.
El desarrollo del cálculo en el siglo XVIII utilizó todo el conjunto de números reales sin haberlos definido con claridad. La primera definición rigurosa fue dada por Georg Cantor en 1871. En 1874, mostró que el conjunto de todos los números reales es infinitamente incontable, pero el conjunto de todos los números algebraicos es infinitamente contable. Contrariamente a las creencias ampliamente aceptadas, su primer método no fue su famoso argumento diagonal, que publicó en 1891. Véase la primera prueba de incontable de Cantor.
Definición
El sistema de números reales se puede definir axiomáticamente hasta un isomorfismo, que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir "el" sistema de números reales, por ejemplo, comenzando con números naturales, luego definiendo números racionales algebraicamente y finalmente definiendo números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind, que son ciertos subconjuntos de numeros racionales. Otra posibilidad es partir de una axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (Hilbert, Tarski, etc.) y luego definir geométricamente el sistema de números reales. Desde el punto de vista estructuralista, todas estas construcciones están en pie de igualdad.
Enfoque axiomático
Deje que R denote el conjunto de todos los números reales. Entonces:
- El conjunto R es un campo, lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales.
- El campo R está ordenado, lo que significa que hay un orden total ≥ tal que, para todos los números reales x , y y z :
- si x ≥ y luego x + z ≥ y + z ;
- si x ≥ 0 e y ≥ 0 entonces xy ≥ 0.
- El orden es Dedekind completo; es decir: cada subconjunto no vacío S de R con un límite superior en ℝ tiene una menos unido (también llamado supremo) superior en R .
La última propiedad es lo que diferencia los reales de los racionales (y de otros, campos ordenados más exóticos). Por ejemplo, el conjunto de racionales con un cuadrado menor que 2 tiene un límite superior racional (p. Ej., 1.5) pero ningún límite superior racional mínimo, porque la raíz cuadrada de 2 no es racional.
Estas propiedades implican la propiedad de Archimedean (que no está implícita en otras definiciones de integridad). Es decir, el conjunto de enteros no está limitado en los reales. De hecho, si esto fuera falso, entonces los enteros tendrían un límite superior N mínimo ; entonces, N - 1 no sería un límite superior, y no habría un número entero n tal que n > N - 1 , y por lo tanto n + 1> N , que es una contradicción con la propiedad del límite superior de N .
Los números reales están especificados de forma única por las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos campos completos de Dedekind ordenados R 1 y R 2 , existe un isomorfismo de campo único desde R 1 a R 2 , lo que nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.
Para otra axiomatización de ℝ, ver la axiomatización de Tarski de los reales.
Construcción a partir de los números racionales
Los números reales se pueden construir como una terminación de los números racionales de tal manera que una secuencia definida por una expansión decimal o binaria como (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converja a un número real único, en este caso π . Para detalles y otras construcciones de números reales, vea la construcción de los números reales.
Propiedades
Propiedades básicas
Un número real puede ser racional o irracional; ya sea algebraico o trascendental; y ya sea positivo, negativo o cero. Los números reales se usan para medir cantidades continuas. Se pueden expresar mediante representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal; estos a menudo se representan de la misma forma que 324.823122147 ... La elipsis (tres puntos) indica que todavía habrá más dígitos por venir.
Más formalmente, los números reales tienen las dos propiedades básicas de ser un campo ordenado y tener la propiedad de límite superior mínimo. El primero dice que los números reales comprenden un campo, con suma y multiplicación, así como división por números distintos de cero, que se pueden ordenar totalmente en una recta numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación. El segundo dice que, si un conjunto de números reales no vacíos tiene un límite superior, entonces tiene un límite superior mínimo real. La segunda condición distingue los números reales de los números racionales: por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 es un conjunto con un límite superior (por ejemplo, 1.5) pero no (menos racional) límite superior: de ahí los números racionales no satisface la propiedad de límite superior mínima.
Lo completo
Una razón principal para usar números reales es que los reales contienen todos los límites. Más precisamente, una secuencia de números reales tiene un límite, que es un número real, si (y solo si) sus elementos finalmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca el uno del otro. Esto se define formalmente a continuación, y significa que los reales están completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes, que es un sentido diferente de la completitud de Dedekind del orden en la sección anterior). :
Una secuencia ( x n ) de números reales se denomina secuencia de Cauchy si para cualquier ε> 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x n - x m | es menor que ε para todo n y m , que son ambos mayores que N . Esta definición, proporcionada originalmente por Cauchy, formaliza el hecho de que los x n finalmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca el uno del otro.
Una secuencia ( x n ) converge al límite x si sus elementos finalmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x , es decir, si para cualquier ε> 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x n - x | es menor que ε para n mayor que N .
Cada secuencia convergente es una secuencia de Cauchy, y la inversa es verdadera para los números reales, y esto significa que el espacio topológico de los números reales está completo.
El conjunto de números racionales no está completo. Por ejemplo, la secuencia (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), donde cada término agrega un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es Cauchy pero no converge a una número racional (en los números reales, en cambio, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).
La propiedad de integridad de los reales es la base sobre la cual se construyen el cálculo y, más generalmente, el análisis matemático. En particular, la prueba de que una secuencia es una secuencia de Cauchy permite probar que una secuencia tiene un límite, sin calcularlo, e incluso sin saberlo.
Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial
converge a un número real para cada x , porque las sumas
puede hacerse arbitrariamente pequeño (independientemente de M ) eligiendo N suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es Cauchy y, por lo tanto, converge, mostrando que está bien definida para cada x .
"El campo completo ordenado"
Los números reales a menudo se describen como "el campo completo ordenado", una frase que se puede interpretar de varias maneras.
Primero, una orden puede ser enrejada-completa. Es fácil ver que ningún campo ordenado puede ser enrejado completo porque no puede tener el elemento más grande (dado que cualquier elemento z , z + 1 es más grande), entonces este no es el sentido que se quiere dar.
Además, una orden puede ser Dedekind completa, como se define en la sección Axiomas . El resultado de unicidad al final de esa sección justifica el uso de la palabra "el" en la frase "campo completo ordenado" cuando se trata del sentido de "completo" que se quiere dar a entender. Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de los cortes de Dedekind, ya que esa construcción parte de un campo ordenado (los racionales) y luego forma la terminación de Dedekind de forma estándar.
Estas dos nociones de integridad ignoran la estructura del campo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme, y las estructuras uniformes tienen una noción de integridad (topología); la descripción en la sección anterior La integridad es un caso especial. (Nos referimos a la noción de completitud en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y mejor conocida para espacios métricos, ya que la definición de espacio métrico se basa en que ya se tiene una caracterización de los números reales.) No es verdad que R sea el único campo ordenado uniformemente completo, pero es el único campo de Archimedean uniformemente completo , y de hecho uno a menudo escucha la frase "campo completo de Arquímedes" en lugar de "campo completo ordenado". Cada campo de Arquímedes uniformemente completo también debe ser Dedekind-completo (y viceversa), justificando el uso de "el" en la frase "el campo completo de Arquímedes". Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales de las secuencias de Cauchy (la construcción llevada a cabo en su totalidad en este artículo), ya que comienza con un campo arquimediano (los racionales) y forma la terminación uniforme de él en un estándar camino.
Pero el uso original de la frase "campo completo de Arquímedes" fue por David Hilbert, quien todavía significaba algo más. Quería decir que los números reales forman el mayor campo de Arquímedes en el sentido de que todos los demás campos de Arquímedes es un subcampo de la R . Por lo tanto, R es "completo" en el sentido de que no se le puede agregar nada más sin hacerlo ya no como un campo arquimediano. Este sentido de integridad está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de números surreales, ya que esa construcción comienza con una clase adecuada que contiene cada campo ordenado (los surcos) y luego selecciona de él el mayor subcampo de Arquímedes.
Propiedades avanzadas
Los reales son innumerables; es decir: hay números estrictamente más reales que los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. De hecho, la cardinalidad de los reales es igual a la de la serie de subconjuntos (es decir, el conjunto potencia) de los números naturales, y el argumento diagonal de Cantor afirma que cardinalidad de este último conjunto es estrictamente mayor que la cardinalidad de N . Como el conjunto de números algebraicos es contable, casi todos los números reales son trascendentales. La inexistencia de un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente entre los enteros y los reales se conoce como la hipótesis del continuo. La hipótesis del continuo no puede ser probada ni refutada; es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.
Como espacio topológico, los números reales son separables. Esto se debe a que el conjunto de racionales, que es contable, es denso en los números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo son innumerables y tienen la misma cardinalidad que los reales.
Los números reales forman un espacio métrico: la distancia entre x y y se define como el valor absoluto | x - y |. En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado, también llevan una topología de orden; la topología que surge de la métrica y la que surge del orden son idénticas, pero producen diferentes presentaciones para la topología, en la topología de orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como epsilon-balls. La construcción de cortes Dedekind usa la presentación de topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy usa la presentación de topología métrica. Los reales son un espacio métrico contraíble (por lo tanto conectado y simplemente conectado), separable y completo de Hausdorff dimensión 1. Los números reales son localmente compactos pero no compactos. Hay varias propiedades que las especifican de forma exclusiva; por ejemplo, todas las topologías de órdenes ilimitadas, conectadas y separables son necesariamente homeomórficas a las reales.
Cada número real no negativo tiene una raíz cuadrada en R , aunque no lo hace ningún número negativo. Esto muestra que el orden en R está determinado por su estructura algebraica. Además, cada polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades hacen de R el ejemplo principal de un campo cerrado real. Demostrando que esta es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental del álgebra.
Los reales llevan una medida canónica, la medida de Lebesgue, que es la medida de Haar en su estructura como un grupo topológico normalizado de modo que el intervalo unitario [0; 1] tiene la medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son cuantificables por Lebesgue, por ejemplo, Vitali establece.
El axioma supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los reales y, por lo tanto, es una declaración lógica de segundo orden. No es posible caracterizar los reales con la lógica de primer orden sola: el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso contable de los números reales que cumplen exactamente las mismas oraciones en la lógica de primer orden que los números reales. El conjunto de números hiperreales satisface las mismas frases de primer orden como R . Campos ordenados que satisfagan las mismas frases de primer orden como R son llamados modelos no estándar de R . Esto es lo que hace que el análisis no estándar funcione; probando una declaración de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil que probarlo en R), Sabemos que la misma declaración también debe ser verdad de R .
El campo R de los números reales es un campo de extensión del campo Q de los números racionales, y R , por tanto, puede ser visto como un espacio vectorial sobre Q . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la elección garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que cada número real se puede escribir de forma única como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, usando coeficientes racionales solamente, y tal que ningún elemento de B es una combinación lineal racional de los otros. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que nunca se ha descrito explícitamente tal base.
El teorema de ordenar bien implica que los números reales pueden ordenarse bien si se asume el axioma de elección: existe un orden total en R con la propiedad de que cada subconjunto no vacío de R tiene un elemento mínimo en este orden. (El ordenamiento estándar ≤ de los números reales no es un ordenamiento correcto, ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento mínimo en este orden.) De nuevo, la existencia de tal ordenamiento de pozo es puramente teórica, ya que no ha sido explícitamente descrito. Si se supone V = L además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que un ordenamiento de pozo de los números reales puede definirse explícitamente mediante una fórmula.
Aplicaciones y conexiones a otras áreas
Números reales y lógica
Los números reales a menudo se formalizan utilizando la axiomatización Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inversas y en matemática constructiva.
Los números hiperreales desarrollados por Edwin Hewitt, Abraham Robinson y otros amplían el conjunto de los números reales al introducir números infinitesimales e infinitos, lo que permite construir cálculos infinitesimales de una manera más cercana a las intuiciones originales de Leibniz, Euler, Cauchy y otros.
La teoría de conjuntos interna de Edward Nelson enriquece la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sintácticamente al introducir un predicado unario "estándar". En este enfoque, los infinitesimales son elementos (no "estándar") del conjunto de los números reales (en lugar de ser elementos de una extensión de los mismos, como en la teoría de Robinson).
La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es ; es decir, el número cardinal infinito más pequeño después , la cardinalidad de los enteros. Paul Cohen probó en 1963 que es un axioma independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos; es decir: uno puede elegir ya sea la hipótesis del continuo o su negación como un axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción.
En física
En las ciencias físicas, la mayoría de las constantes físicas, como la constante de gravitación universal, y las variables físicas, como la posición, la masa, la velocidad y la carga eléctrica, se modelan utilizando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales como la mecánica clásica, electromagnetismo, mecánica cuántica, relatividad general y el modelo estándar se describen utilizando estructuras matemáticas, típicamente variedades lisas o espacios de Hilbert, que se basan en los números reales, aunque las mediciones reales de cantidades físicas son de precisión y precisión finitas.
Los físicos ocasionalmente han sugerido que una teoría más fundamental reemplazaría los números reales con cantidades que no forman un continuo, pero tales propuestas siguen siendo especulativas.
En computación
Con algunas excepciones, la mayoría de las calculadoras no operan en números reales. En cambio, funcionan con aproximaciones de precisión finita llamadas números de coma flotante. De hecho, la mayoría de los cálculos científicos usan aritmética de coma flotante. Los números reales satisfacen las reglas de aritmética habituales, pero los números de coma flotante no.
Las computadoras no pueden almacenar directamente números reales arbitrarios con infinitos dígitos. La precisión alcanzable está limitada por la cantidad de bits asignados para almacenar un número, ya sea como números de coma flotante o números de precisión arbitraria. Sin embargo, los sistemas de álgebra computacional pueden operar en cantidades irracionales exactamente manipulando fórmulas para ellos (como o ) en lugar de su aproximación racional o decimal. En general, no es posible determinar si dos expresiones son iguales (el problema constante).
Un número real se denomina computable si existe un algoritmo que arroja sus dígitos. Debido a que solo existen innumerables algoritmos, pero un número incontable de reales, casi todos los números reales no son computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible. Algunos constructivistas aceptan la existencia de solo esos reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero solo contable.
"Reales" en la teoría de conjuntos
En la teoría de conjuntos, teoría de conjuntos específicamente descriptiva, el espacio de Baire se utiliza como un sustituto de los números reales, ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Los elementos del espacio de Baire se conocen como "reales".
Vocabulario y notación
Los matemáticos usan el símbolo R o, alternativamente, ℝ, la letra "R" en negrita negrita (codificada en Unicode como U + 211D ℝ CAPILLA DOBLE-ESTRUCTURA R (HTML
ℝ)), para representar el conjunto de todos los números reales. Como este conjunto está dotado naturalmente de la estructura de un campo, el campo de expresión de los números reales se utiliza con frecuencia cuando se consideran sus propiedades algebraicas.Los conjuntos de números reales positivos y números reales negativos a menudo se indican R y R , respectivamente; R + y R - también se usan. Los números reales no negativos se pueden observar R ≥0 pero a menudo se ve este conjunto anotado R ∪ {0}. En las matemáticas francesas, los números reales positivos y los números reales negativos comúnmente incluyen cero, y estos conjuntos se anotan respectivamente ℝ + y ℝ - . En este entendimiento, los conjuntos respectivos sin cero se llaman números reales estrictamente positivos y números reales estrictamente negativos, y se anotan ℝ + * y ℝ- *.
La notación R se refiere al producto cartesiano de n copias de R , que es un espacio vectorial n-dimensional sobre el campo de los números reales; este espacio vectorial puede identificarse en el espacio n -dimensional de la geometría euclidiana tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas en este último. Por ejemplo, un valor de R consiste en tres números reales y especifica las coordenadas de un punto en el espacio tridimensional.
En matemáticas, real se usa como un adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales (o el campo real ). Por ejemplo, matriz real , polinomio real y álgebra de Lie real . La palabra también se usa como sustantivo, lo que significa un número real (como en "el conjunto de todos los reales").
Generalizaciones y extensiones
Los números reales se pueden generalizar y extender en varias direcciones diferentes:
- Los números complejos contienen soluciones para todas las ecuaciones polinomiales y, por lo tanto, son un campo algebraicamente cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un campo ordenado.
- El sistema de números reales ampliado de manera afín agrega dos elementos + ∞ y -∞. Es un espacio compacto. Ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo, pero todavía tiene un orden total; además, es un enrejado completo.
- La línea proyectiva real agrega solo un valor ∞. También es un espacio compacto. Nuevamente, ya no es un campo, o incluso un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento distinto de cero por cero. Tiene un orden cíclico descrito por una relación de separación.
- La línea real larga se pega ℵ 1 * + ℵ 1 copias de la línea real más un punto único (aquí ℵ 1 * denota el orden invertido de ℵ 1 ) para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más tiempo; por ejemplo, hay una inserción de preservador de orden de ℵ 1 en la línea real larga pero no en los números reales. La línea real larga es el conjunto ordenado más grande que está completo y localmente Archimedean. Al igual que en los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o grupo aditivo.
- Los campos ordenados que extienden los reales son los números hiperreales y los números surreales; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son campos no ordenados por Arquímedes.
- Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices complejas cuadradas autoadjuntas) generalizan los reales en muchos aspectos: se pueden ordenar (aunque no se ordenan totalmente), están completos, todos sus valores propios son reales y forman un álgebra asociativa real Los operadores positivos definidos corresponden a los reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.