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Las líneas rojas y azules en este gráfico tienen la misma pendiente (gradiente); las líneas roja y verde tienen la misma intersección con el eje y (cruzan el eje y en el mismo lugar).

Una representación de un segmento de línea.

La noción de línea o línea recta fue introducida por matemáticos antiguos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura) con un ancho y profundidad insignificantes. Las líneas son una idealización de tales objetos. Hasta el siglo XVII, las líneas se definían de esta manera: "La línea [recta o curva] es la primera especie de cantidad, que tiene una sola dimensión, es decir, longitud, sin anchura ni profundidad, y no es más que el flujo o carrera del punto que [...] saldrá de su imaginario moviendo algún vestigio de longitud, exento de cualquier ancho. [...] La línea recta es aquella que se extiende igualmente entre sus puntos ".

Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra por igual con respecto a los puntos sobre sí misma"; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar la confusión con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana, proyectiva y afín )

En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de una línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en la geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en una configuración más abstracta, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que se encuentran en él.

Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas, la noción de una línea generalmente no se define (un objeto llamado primitivo). Las propiedades de las líneas están determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en la geometría diferencial, una línea se puede interpretar como una geodésica (la ruta más corta entre los puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas, una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar que el camino de un rayo de luz es una línea.

Definiciones versus descripciones

Todas las definiciones son, en última instancia, de naturaleza circular, ya que dependen de conceptos que ellos mismos deben tener definiciones, una dependencia que no puede continuar indefinidamente sin volver al punto de partida. Para evitar este círculo vicioso, ciertos conceptos deben tomarse como conceptos primitivos; términos que no tienen definición. En geometría, es frecuente que el concepto de línea se tome como primitivo. En aquellas situaciones donde una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas, algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, el comportamiento y las propiedades de las líneas vienen dictados por los axiomas que deben satisfacer.

En un tratamiento axiomático no axiomático o simplificado de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para ser tratado. En esta circunstancia, es posible que una descripción o imagen mental de una noción primitiva se proporciona para dar una base para construir la noción en la que se basaría formalmente en los axiomas (no declarados). Las descripciones de este tipo pueden ser referidas, por algunos autores, como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" de línea en los Elementos de Euclides cae dentro de esta categoría. Incluso en el caso de que se considere una geometría específica (por ejemplo, geometría euclidiana), no existe un acuerdo generalmente aceptado entre los autores sobre qué descripción informal de una línea debería ser cuando el sujeto no está siendo tratado formalmente.

En geometría euclidiana

Cuando la geometría fue formalizada por primera vez por Euclides en los Elementos , definió una línea general (recta o curvada) como "longitud sin anchura" con una línea recta que es una línea "que se encuentra de forma pareja con los puntos sobre sí misma". Estas definiciones tienen poco sentido ya que usan términos que no están definidos ellos mismos. De hecho, Euclid no utilizó estas definiciones en este trabajo y probablemente las incluyó solo para dejar en claro al lector lo que se estaba discutiendo. En la geometría moderna, una línea simplemente se toma como un objeto indefinido con propiedades dadas por axiomas, pero a veces se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal cuando algún otro concepto fundamental se deja indefinido.

En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los axiomas originales de Euclides contenían varios defectos que han sido corregidos por los matemáticos modernos), se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos. Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una línea única que los contiene, y dos líneas distintas se cruzan en un punto como máximo. En dos dimensiones, es decir, el plano euclidiano, dos líneas que no se cruzan se llaman paralelas. En dimensiones superiores, dos líneas que no se intersecan son paralelas si están contenidas en un plano, o sesgadas si no lo están.

Cualquier colección de líneas finitas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente sin límites); esta partición se conoce como una disposición de líneas.

En el plano cartesiano

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas afines, se pueden describir algebraicamente mediante ecuaciones lineales.

En dos dimensiones, la ecuación para líneas no verticales a menudo se da en la forma pendiente-intersección :

{\ displaystyle y = mx + b}

dónde:

m es la pendiente o gradiente de la línea.

b es la intersección en y de la línea.

x es la variable independiente de la función y = f ( x ).

La pendiente de la línea a través de puntos y , cuando , está dada por y se puede escribir la ecuación de esta línea .

{\ displaystyle A (x_ {a}, y_ {a})}

{\ displaystyle B (x_ {b}, y_ {b})}

{\ displaystyle x_ {a} \ neq x_ {b}}

{\ displaystyle m = (y_ {b} -y_ {a}) / (x_ {b} -x_ {a})}

{\ displaystyle y = m (x-x_ {a}) + y_ {a}}

En , cada línea (incluidas las líneas verticales) se describe mediante una ecuación lineal de la forma

\ mathbb {R ^ {2}}

L

{\ displaystyle L = \ {(x, y) \ mid axe + by = c \}}

con coeficientes reales fijos a , b y c tales que a y b no son ambos cero. Usando esta forma, las líneas verticales corresponden a las ecuaciones con b = 0.

Hay muchas formas diferentes de escribir la ecuación de una línea que puede convertirse de una a otra mediante manipulación algebraica. Estos formularios (consulte Ecuación lineal para otras formas) generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para anotar el formulario. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, intersección x, puntos conocidos en la línea e intersección en y.

La ecuación de la línea que pasa por dos puntos diferentes y puede escribirse como

{\ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}

{\ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}

(y-y_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) = (y_ {1} -y_ {0}) (x-x_ {0})

.

Si x 0 ≠ x 1 , esta ecuación puede reescribirse como

y = (x-x_ {0}) \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + y_ {0}

o

y = x \, {\ frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + {\ frac {x_ {1} y_ {0} -x_ {0} y_ {1}} {x_ {1} -x_ {0}}} \ ,.

En tres dimensiones, las líneas no se pueden describir con una sola ecuación lineal, por lo que se describen con frecuencia mediante ecuaciones paramétricas:

{\ displaystyle x = x_ {0} + en}

{\ displaystyle y = y_ {0} + bt}

{\ displaystyle z = z_ {0} + ct}

dónde:

x , y y z son todas las funciones de la variable independiente t que se extiende sobre los números reales.

( x 0 , y 0 , z 0 ) es cualquier punto en la línea.

un , b , y c están relacionadas con la pendiente de la línea, de manera que el vector ( un , b , c ) es paralela a la línea.

También pueden describirse como las soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales

{\ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z-d_ {1} = 0}

{\ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z-d_ {2} = 0}

tal que y no son proporcionales (las relaciones implican ). Esto se sigue porque en tres dimensiones una ecuación lineal única típicamente describe un plano y una línea es lo que es común a dos planos que se intersectan.

(a_1, b_1, c_1)

(a_2, b_2, c_2)

{\ displaystyle a_ {1} = ta_ {2}, b_ {1} = tb_ {2}, c_ {1} = tc_ {2}}

t = 0

En forma normal

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse , en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse) se basa en el segmento normal para una línea determinada, que se define como el segmento de línea dibujado desde el origen perpendicular a la línea. Este segmento une el origen con el punto más cercano en la línea al origen. La forma normal de la ecuación de una línea recta en el plano está dada por:

{\ displaystyle y \ sin \ theta + x \ cos \ theta -p = 0,}

donde θ es el ángulo de inclinación del segmento normal (el ángulo orientado desde el vector unitario del eje x a este segmento), y p es la longitud (positiva) del segmento normal. La forma normal se puede derivar de la forma general dividiendo todos los coeficientes por

ax + by = c

{\ displaystyle {\ frac {c} {| c |}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

A diferencia de las formas pendiente-intersección e intersección, esta forma puede representar cualquier línea pero también requiere solo dos parámetros finitos, θ y p , para ser especificados. Si p > 0, entonces θ se define de forma única módulo 2

π

. Por otro lado, si la línea es a través del origen ( c = 0, p = 0), uno deja caer el

c / | c |

el término para calcular sin θ y cos θ , y θ solo se define el módulo

π

.

En coordenadas polares

En coordenadas polares en el plano euclidiano, la forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea se expresa como:

r = \ frac {mr \ cos \ theta + b} {\ sin \ theta},

donde m es la pendiente de la línea yb es el intercepto y . Cuando θ = 0 el gráfico no estará definido. La ecuación se puede reescribir para eliminar las discontinuidades de esta manera:

{\ displaystyle r \ sin \ theta = mr \ cos \ theta + b.}

En coordenadas polares en el plano euclidiano, la forma de intersección de la ecuación de una línea que no es horizontal, no es vertical y no pasa por el polo puede expresarse como:

r = {\ frac {1} {{\ frac {\ cos \ theta} {x_ {o}}} + {\ frac {\ sin \ theta} {y_ {o}}}}}

donde y representar los x y Y intercepta respectivamente. La ecuación anterior no es aplicable para líneas verticales y horizontales porque en estos casos una de las intersecciones no existe. Además, no es aplicable en las líneas que pasan por el polo ya que en este caso, tanto las intersecciones x como y son cero (lo cual no está permitido aquí y son denominadores). Una línea vertical que no pasa por el polo viene dada por la ecuación

x_ {o}

yo}

x_ {o}

yo}

r \ cos \ theta = x_ {o}.

De manera similar, una línea horizontal que no pasa por el polo viene dada por la ecuación

r \ sin \ theta = y_ {o}.

La ecuación de una línea que pasa por el polo simplemente se da como:

{\ displaystyle \ tan \ theta = m}

donde m es la pendiente de la línea.

Como una ecuación vectorial

La ecuación vectorial de la línea a través de los puntos A y B está dada por (donde λ es un escalar).

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {OA} + \ lambda \, \ mathbf {AB}}

Si una es vector OA y b es el vector OB , entonces la ecuación de la línea se puede escribir: .

{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {a} + \ lambda (\ mathbf {b} - \ mathbf {a})}

Un rayo que comienza en el punto A se describe al limitar λ. Se obtiene un rayo si λ ≥ 0, y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.

En el espacio euclidiano

En el espacio tridimensional, una ecuación de primer grado en las variables x , y , yz define un plano, por lo que dos de estas ecuaciones, siempre que los planos que generan no sean paralelos, definen una línea que es la intersección de los planos. Más en general, en n espacio dimensional necuaciones -1 de primer grado en las n variables de coordenadas definir una línea en condiciones adecuadas.

En el espacio euclidiano más general, R (y análogamente en cualquier otro espacio afín), la línea L que pasa por dos puntos diferentes a y b (considerados como vectores) es el subconjunto

L = \ {(1-t) \, a + t \, b \ mid t \ en \ mathbb {R} \}

La dirección de la línea es de a ( t = 0) a b ( t = 1), o en otras palabras, en la dirección del vector b - a . Las diferentes elecciones de a y b pueden producir la misma línea.

Puntos colineales

Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma línea. Tres puntos generalmente determinan un plano, pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.

En coordenadas afines, en n espacio tridimensional los puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2, ..., y n ) y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ) son colineales si la matriz

\ begin {bmatrix} 1 & x_1 & x_2 & \ dots & x_n \\ 1 & y_1 & y_2 & \ dots & y_n \\ 1 & z_1 & z_2 & \ dots & z_n \ end {bmatrix}

tiene un rango inferior a 3. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero.

Equivalentemente para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y solo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par restante de puntos será igual a las otras pendientes) . Por extensión, k puntos en un plano son colineales si y solo si alguno ( k -1) pares de puntos tienen las mismas pendientes por pares.

En la geometría euclidiana, la distancia euclidiana d ( a , b ) entre dos puntos a y b puede usarse para expresar la colinealidad entre tres puntos mediante:

Los puntos de un , b y c son colineales si y sólo si d ( x , un ) = d ( c , un ) y d ( x , b ) = d ( c, b ) implica x = c .

Sin embargo, hay otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan) para las cuales esta propiedad no es verdadera.

En las geometrías donde el concepto de una línea es una noción primitiva, como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas, se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.

Tipos de líneas

En cierto sentido, todas las líneas en geometría euclidiana son iguales, en eso, sin coordenadas, uno no puede diferenciarlas entre sí. Sin embargo, las líneas pueden desempeñar funciones especiales con respecto a otros objetos en la geometría y dividirse en tipos de acuerdo con esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola), las líneas pueden ser:

líneas tangentes, que tocan la cónica en un solo punto;
líneas secantes, que se cruzan con la cónica en dos puntos y pasan a través de su interior;
las líneas exteriores, que no se encuentran con la cónica en ningún punto del plano euclidiano; o
una directriz, cuya distancia desde un punto ayuda a establecer si el punto está en la cónica.

En el contexto de la determinación del paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que intersecta otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.

Para curvas algebraicas más generales, las líneas también podrían ser:

i -líneas secundarias, que coinciden con la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
asíntotas, que una curva se acerca arbitrariamente de cerca sin tocarla.

Con respecto a los triángulos tenemos:

la línea Euler,
las líneas de Simson, y
líneas centrales.

Para un cuadrilátero convexo con un máximo de dos lados paralelos, la línea Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales.

Para un hexágono con vértices sobre una cónica, tenemos la línea Pascal y, en el caso especial donde la cónica es un par de líneas, tenemos la línea Pappus.

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Las líneas que se intersectan comparten un único punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí, cada punto que está en cualquiera de ellos también está en el otro.

Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en ángulo recto.

En el espacio tridimensional, las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se cruzan entre sí.

En geometría proyectiva

En muchos modelos de geometría proyectiva, la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" tal como se visualiza en geometría euclidiana. En la geometría elíptica, vemos un ejemplo típico de esto. En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas están representadas por grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas están representadas por planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (como dos puntos que determinan una línea única) que las convierten en representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.

Extensiones

Rayo

Dada una línea y cualquier punto A en ella, podemos considerar A como una descomposición de esta línea en dos partes. Cada una de esas partes se llama rayo (o línea media ) y el punto A se llama punto inicial . El punto A se considera miembro del rayo. Intuitivamente, un rayo consiste en esos puntos en una línea que pasa por A y avanza indefinidamente, comenzando en A , en una dirección solo a lo largo de la línea. Sin embargo, para usar este concepto de rayo en pruebas, se requiere una definición más precisa.

Dada puntos distintos A y B , que determinan un rayo único con el punto inicial A . Como dos puntos definen una línea única, este rayo consiste en todos los puntos entre A y B (incluyendo A y B ) y todos los puntos C en la línea a través de A y B tal que B está entre A y C . Esto se, a veces, también expresó como el conjunto de todos los puntos de C tal que A no es entre B y C . Un punto D, En la línea determinada por A y B , pero no en el rayo con el punto inicial A determinado por B , determinará otro rayo con el punto inicial A . Con respecto al rayo AB , el rayo AD se llama rayo opuesto .

Por lo tanto, diríamos que dos puntos diferentes, A y B , definen una línea y una descomposición de esta línea en la unión disjunta de un segmento abierto

(A, B)

y dos rayos, BC y AD (el punto D no está dibujado en el diagrama, pero está a la izquierda de A en la línea AB ). Estos no son rayos opuestos ya que tienen diferentes puntos iniciales.

En la geometría euclidiana dos rayos con un punto final común forman un ángulo.

La definición de un rayo depende de la noción de intersección para los puntos en una línea. Se sigue que los rayos existen solo para geometrías para las cuales existe esta noción, típicamente geometría euclidiana o geometría afín sobre un campo ordenado. Por otro lado, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en una geometría sobre un campo no ordenado, como los números complejos o cualquier campo finito.

En la topología, un rayo en un espacio X es un continuo incrustación R → X . Se usa para definir el concepto importante de fin del espacio.

Segmento de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que está delimitada por dos puntos finales distintos y contiene cada punto en la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelas, intersecantes o sesgadas, pero a diferencia de las líneas, pueden no ser ninguna de ellas, si son coplanares y no se cruzan o son colineales.

Geodésicos

La "brevedad" y "rectitud" de una línea, interpretada como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre cualquiera de sus dos puntos se minimiza (ver desigualdad triangular), puede generalizarse y conducir al concepto de geodésica en espacios métricos.

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