Circulo

Definición

Circulo
Un círculo (negro), que se mide por su circunferencia ( C ), diámetro ( D ) en cian y radio ( R ) en rojo; su centro ( O ) está en magenta.

Un círculo es una forma simple y cerrada. Es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto dado, el centro; equivalentemente, es la curva trazada por un punto que se mueve de modo que su distancia desde un punto dado es constante. La distancia entre cualquiera de los puntos y el centro se llama radio. Este artículo trata sobre círculos en geometría euclidiana y, en particular, el plano euclidiano, excepto donde se indique lo contrario.

Un círculo es una curva cerrada simple que divide el avión en dos regiones: un interior y un exterior. En el uso cotidiano, el término "círculo" puede usarse indistintamente para referirse al límite de la figura o a la figura completa, incluido su interior; en estricto uso técnico, el círculo es solo el límite y la figura completa se llama disco.

Un círculo también se puede definir como un tipo especial de elipse en el que los dos focos coinciden y la excentricidad es 0, o la forma bidimensional que encierra la mayor parte del área por unidad de perímetro al cuadrado, utilizando el cálculo de variaciones.

La definición de Euclides

Un círculo es una figura plana limitada por una línea, y tal que todas las líneas derechas dibujadas desde un cierto punto dentro de ella hasta la línea límite, son iguales. La línea límite se llama circunferencia y el punto, su centro.
- Euclides, Elementos , Libro I

Terminología

Annulus: el objeto en forma de anillo, la región delimitada por dos círculos concéntricos.
Arco: cualquier parte conectada del círculo.
Centro: el punto equidistante de los puntos en el círculo.
Acorde: un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo.
Circunferencia: la longitud de un circuito a lo largo del círculo o la distancia alrededor del círculo.
Diámetro: un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en el círculo y que pasan por el centro; o la longitud de dicho segmento de línea, que es la distancia más grande entre dos puntos del círculo. Es un caso especial de un acorde, es decir, el acorde más largo, y tiene el doble de radio.
Disco: la región del plano delimitada por un círculo.
Lente: la intersección de dos discos.
Passant: una línea coplanar que no toca el círculo.
Radio: un segmento de línea que une el centro del círculo con cualquier punto del círculo; o la longitud de dicho segmento, que es medio diámetro.
Sector: una región delimitada por dos radios y un arco que se extiende entre los radios.
Segmento: una región, que no contiene el centro, delimitada por un acorde y un arco que se encuentra entre los puntos finales del acorde.
Secant: un acorde extendido, una línea coplanar que corta el círculo en dos puntos.
Semicírculo: un arco que se extiende desde uno de los extremos de un diámetro hasta el otro. En el uso común no técnico puede significar el diámetro, arco y su interior, una región bidimensional, que técnicamente se llama un medio disco. Un medio disco es un caso especial de un segmento, a saber, el más grande.
Tangente: una línea coplanar que toca el círculo en un solo punto.

Cuerda, secante, tangente, radio y diámetro

Arco, sector y segmento

Historia

La brújula en este manuscrito del siglo XIII es un símbolo del acto de creación de Dios. Observe también la forma circular del halo.

La palabra círculo deriva del griego κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ), una metátesis del griego κρίκος ( krikos ) homérico , que significa "aro" o "anillo". Los orígenes de las palabras circo y circuito están estrechamente relacionados.

Pieza circular de seda con imágenes mongolas

Círculos en un viejo dibujo de Arabicastronomical.

El círculo se conoce desde antes del comienzo de la historia registrada. Se habrían observado círculos naturales, como la Luna, el Sol y un tallo corto de una planta que sopla en el viento sobre la arena, formando un círculo en la arena. El círculo es la base de la rueda, que, con invenciones relacionadas, tales como engranajes, hace que gran parte de la maquinaria moderna sea posible. En matemáticas, el estudio del círculo ha ayudado a inspirar el desarrollo de la geometría, la astronomía y el cálculo.

La ciencia primitiva, particularmente la geometría y la astrología y la astronomía, estaban conectadas con lo divino para la mayoría de los eruditos medievales, y muchos creían que había algo intrínsecamente "divino" o "perfecto" que se podía encontrar en los círculos.

Algunos aspectos destacados de la historia del círculo son:

1700 BCE - El papiro Rhind da un método para encontrar el área de un campo circular. El resultado corresponde a 256/81(3,16049 ...) como un valor aproximado de $π$ .

Torre Tughrul desde adentro

300 a. C. - El Libro 3 de los Elementos de Euclides trata las propiedades de los círculos.
En la Séptima Carta de Platón hay una definición detallada y explicación del círculo. Platón explica el círculo perfecto y cómo es diferente de cualquier dibujo, palabra, definición o explicación.
1880 CE - Lindemann demuestra que $π$ es trascendental, solucionando eficazmente el problema milenario de cuadrar el círculo.

Resultados analíticos

Longitud de la circunferencia

La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es

π

(pi), una constante irracional aproximadamente igual a 3.141592654. Por lo tanto, la longitud de la circunferencia C está relacionada con el radio ry el diámetro d mediante:

C = 2 \ pi r = \ pi d. \,

Área cerrada

Área encerrada por un círculo =

π

× área del cuadrado sombreado

Como lo demuestra Arquímedes, en su Medición de un círculo, el área encerrada por un círculo es igual a la de un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, que viene a

π

multiplicado por el radio cuadrado

\ mathrm {Área} = \ pi r ^ {2}. \,

Equivalentemente, que denota el diámetro por d ,

\ mathrm {Área} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \ approx 0 {.} 7854d ^ {2},

es decir, aproximadamente el 79% del cuadrado circunscrito (cuyo lado es de longitud d ).

El círculo es la curva plana que encierra el área máxima para una longitud de arco dada. Esto relaciona el círculo con un problema en el cálculo de variaciones, a saber, la desigualdad isoperimétrica.

Ecuaciones

Coordenadas cartesianas

Círculo de radio r = 1, centro ( a , b ) = (1.2, -0.5)

Ecuación de un círculo
En un sistema de coordenadas cartesianas x - y , el círculo con coordenadas centrales ( a , b ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) tal que

\ left (xa \ right) ^ {2} + \ left (yb \ right) ^ {2} = r ^ {2}.

Esta ecuación, conocida como la Ecuación del círculo, se sigue del teorema de Pitágoras aplicado a cualquier punto del círculo: como se muestra en el diagrama adyacente, el radio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos otros lados son de longitud | x - a | y | y - b |. Si el círculo está centrado en el origen (0, 0), entonces la ecuación se simplifica a

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}. \! \

Forma paramétrica
La ecuación se puede escribir en forma paramétrica usando las funciones trigonométricas seno y coseno como

x = a + r \, \ cos t, \,

y = b + r \, \ sin t \,

donde t es una variable paramétrica en el rango de 0 a 2

π

, interpretada geométricamente como el ángulo que el rayo de ( a , b ) a ( x , y ) forma con el eje x positivo .

Una parametrización alternativa del círculo es:

{\ displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}. \,}

{\ displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}} \,}

En esta parametrización, la relación de t a r puede interpretarse geométricamente como la proyección estereográfica de la línea que pasa por el centro paralela al eje x (ver la sustitución de medio ángulo de la tangente). Sin embargo, esta parametrización solo funciona si t se establece en el rango no solo a través de todos los reales sino también a un punto en el infinito; de lo contrario, el punto más inferior del círculo se omitirá.

Forma de 3 puntos
La ecuación del círculo determinada por tres puntos que no están en una línea se obtiene mediante la conversión de la forma de 3 puntos de la ecuación de un círculo.

{\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}

{\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ color {red} y} -y_ {2})} {({\ color {red} y} -y_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) - ({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Forma
homogénea En coordenadas homogéneas, cada sección cónica con la ecuación de un círculo tiene la forma

x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0. \,

Se puede demostrar que una sección cónica es un círculo exactamente cuando contiene (cuando se extiende al plano proyectivo complejo) los puntos I (1: i : 0) y J (1: - i : 0). Estos puntos se llaman puntos circulares en el infinito.

Coordenadas polares

En coordenadas polares, la ecuación de un círculo es:

r ^ 2 - 2 r r_0 \ cos (\ theta - \ phi) + r_0 ^ 2 = a ^ 2 \,

donde a es el radio del círculo, es la coordenada polar de un punto genérico en el círculo, y es la coordenada polar del centro del círculo (es decir, r 0 es la distancia desde el origen al centro del círculo, y φ es el ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo a la línea que conecta el origen con el centro del círculo). Para un círculo centrado en el origen, es decir, r 0 = 0, esto se reduce a simplemente r = a . Cuando r 0 = a , o cuando el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte

(r, \ theta)

(r_0, \ phi)

r = 2 a \ cos (\ theta - \ phi). \,

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando

r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi)}} ,

Tenga en cuenta que sin el signo ±, la ecuación en algunos casos describiría solo la mitad de un círculo.

Plano complejo

En el plano complejo, un círculo con un centro en cy radio r tiene la ecuación:

| zc | = r \,

En forma paramétrica, esto se puede escribir:

z = re ^ {it} + c

La ecuación ligeramente generalizada

pz \ overline {z} + gz + \ overline {gz} = q

para real p , qy complejo g a veces se llama círculo generalizado. Esto se convierte en la ecuación anterior para un círculo con , desde . No todos los círculos generalizados son en realidad círculos: un círculo generalizado es un círculo (verdadero) o una línea.

p = 1, \ g = - \ overline {c}, \ q = r ^ 2- | c | ^ 2

| zc | ^ 2 = z \ overline {z} - \ overline {c} zc \ overline {z} + c \ overline {c}

Líneas tangentes

La línea tangente a través de un punto P en el círculo es perpendicular al diámetro que pasa por P. Si P = ( x 1 , y 1 ) y el círculo tiene centro ( a , b ) y radio r , entonces la línea tangente es perpendicular a la línea de ( a , b ) a ( x 1 , y 1 ), por lo que tiene la forma ( x 1 - a ) x + ( y 1 - b ) y = c . La evaluación en ( x 1 , y 1 ) determina el valor de c y el resultado es que la ecuación de la tangente es

(x_1-a) x + (y_1-b) y = (x_1-a) x_1 + (y_1-b) y_1 \,

(x_1-a) (xa) + (y_1-b) (yb) = r ^ 2. \! \

Si y 1 ≠ b entonces la pendiente de esta línea es

\ frac {dy} {dx} = - \ frac {x_1-a} {y_1-b}.

Esto también se puede encontrar usando diferenciación implícita.

Cuando el centro del círculo está en el origen, entonces la ecuación de la línea tangente se convierte

x_1x + y_1y = r ^ 2, \! \

y su pendiente es

\ frac {dy} {dx} = - \ frac {x_1} {y_1}.

Propiedades

El círculo es la forma con el área más grande para una longitud dada de perímetro. (Ver desigualdad isoperimétrica)
El círculo es una forma altamente simétrica: cada línea a través del centro forma una línea de simetría de reflexión y tiene una simetría de rotación alrededor del centro para cada ángulo. Su grupo de simetría es el grupo ortogonal O (2, R ). El grupo de rotaciones por sí solo es el grupo círculo T .
Todos los círculos son similares.
- La circunferencia y el radio de un círculo son proporcionales.
- El área encerrada y el cuadrado de su radio son proporcionales.
- Las constantes de proporcionalidad son 2 $π$ y $π$ , respectivamente.
El círculo que está centrado en el origen con radio 1 se llama círculo unitario.
- Pensado como un gran círculo de la esfera de la unidad, se convierte en el círculo de Riemann.
A través de tres puntos, no todos en la misma línea, se encuentra un círculo único. En coordenadas cartesianas, es posible dar fórmulas explícitas para las coordenadas del centro del círculo y el radio en términos de las coordenadas de los tres puntos dados. Ver circumcircle.

Acorde

Los acordes son equidistantes del centro de un círculo si y solo si tienen la misma longitud.
La bisectriz perpendicular de un acorde pasa por el centro de un círculo; declaraciones equivalentes derivadas de la singularidad de la bisectriz perpendicular son:
- Una línea perpendicular desde el centro de un círculo divide en dos el acorde.
- El segmento de línea a través del centro que divide un acorde es perpendicular al acorde.
Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo están subtendidos por el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en el mismo lado del acorde, entonces son iguales.
Si dos ángulos están inscritos en el mismo acorde y en lados opuestos del acorde, entonces son suplementarios.
- Para un cuadrilátero cíclico, el ángulo exterior es igual al ángulo opuesto interior.
Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto (ver el teorema de Thales).
El diámetro es el acorde más largo del círculo.
- Entre todos los círculos con un acorde AB en común, el círculo con radio mínimo es el que tiene diámetro AB.
Si la intersección de cualquiera de los dos acordes divide un acorde en las longitudes a y b y divide el otro acorde en las longitudes c y d , entonces ab = cd .
Si la intersección de dos acordes perpendiculares divide un acorde en las longitudes a y b y divide el otro acorde en las longitudes c y d , entonces a + b + c + d es igual al cuadrado del diámetro.
La suma de las longitudes cuadradas de dos acordes que se cortan en ángulo recto en un punto dado es la misma que la de cualquier otro acorde perpendicular que se cruza en el mismo punto, y está dada por 8 r - 4 p (donde r es el círculo radio yp es la distancia desde el punto central al punto de intersección).
La distancia desde un punto en el círculo hasta un acorde dado multiplicado por el diámetro del círculo es igual al producto de las distancias desde el punto hasta los extremos del acorde.

Tangente

Una línea dibujada perpendicular a un radio a través del punto final del radio que se encuentra en el círculo es una tangente al círculo.
Una línea dibujada perpendicular a una tangente a través del punto de contacto con un círculo pasa por el centro del círculo.
Siempre se pueden atraer dos tangentes a un círculo desde cualquier punto fuera del círculo, y estas tangentes tienen la misma longitud.
Si una tangente en A y una tangente en B se cruzan en el punto exterior P , y luego denota el centro como O , los ángulos ∠ BOA y ∠ BPA son suplementarios.
Si AD es tangente al círculo en A y si AQ es una cuerda del círculo, entonces ∠ DAQ = 1/2 arco ( AQ ) .

Teoremas

Teorema secante-secante

El teorema de acordes establece que si dos acordes, CD y EB , se cruzan en A , entonces AC × AD = AB × AE .
Si dos secantes, AE y AD , también cortan el círculo en B y C respectivamente, entonces AC × AD = AB × AE . (Corolario del teorema de acordes)
Una tangente puede considerarse un caso límite de una secante cuyos extremos son coincidentes. Si una tangente de un punto externo A se encuentra con el círculo en F y una secante desde el punto externo A se encuentra con el círculo en C y D , respectivamente, entonces AF = AC × AD . (Teorema tangente-secante)
El ángulo entre un acorde y la tangente en uno de sus extremos es igual a la mitad del ángulo subtendido en el centro del círculo, en el lado opuesto del acorde (ángulo de acorde tangente).
Si el ángulo subtendido por el acorde en el centro es de 90 grados, entonces ℓ = r √ 2 , donde ℓ es la longitud del acorde y r es el radio del círculo.
Si dos secadores están inscritos en el círculo como se muestra a la derecha, entonces la medida del ángulo A es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos cerrados ( DE y BC ). Es decir 2∠ CAB = ∠ DOE - ∠ BOC , donde O es el centro del círculo. Este es el teorema secante-secante.

Ángulos inscritos

Teorema de ángulo inscrito

Un ángulo inscrito (los ejemplos son los ángulos azul y verde en la figura) es exactamente la mitad del ángulo central correspondiente (rojo). Por lo tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (rosa) son iguales. Los ángulos inscritos en el arco (marrón) son suplementarios. En particular, cada ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto (ya que el ángulo central es de 180 grados).

Sagitta

La sagitta es el segmento vertical.

La sagitta (también conocida como la versina) es un segmento de línea dibujado perpendicular a un acorde, entre el punto medio de ese acorde y el arco del círculo.
Dada la longitud y de un acorde, y la longitud x de la sagitta, el teorema de Pitágoras se puede usar para calcular el radio del círculo único que se ajustará alrededor de las dos líneas:

r = \ frac {y ^ 2} {8x} + \ frac {x} {2}.

Otra prueba de este resultado, que se basa solo en dos propiedades de acordes que se indican anteriormente, es la siguiente. Dado un acorde de longitud y y con sagita de longitud x , dado que la sagita se cruza con el punto medio del acorde, sabemos que es parte del diámetro del círculo. Como el diámetro es dos veces el radio, la parte "faltante" del diámetro es ( 2 r - x ) de longitud. Usando el hecho de que una parte de un acorde por la otra parte es igual al mismo producto tomado a lo largo de un acorde que corta el primer acorde, encontramos que ( 2 r - x ) x = ( y / 2). Resolviendo para r, encontramos el resultado requerido.

Compás y construcciones de regla

Hay muchas construcciones de compás y regla que dan como resultado círculos.

La más simple y básica es la construcción dada en el centro del círculo y un punto en el círculo. Coloque la pierna fija de la brújula en el punto central, la pierna móvil en el punto del círculo y gire la brújula.

Construye un círculo con un diámetro dado

Construye el punto medio $M$ del diámetro.
Construya el círculo con el centro $M$ pasando por uno de los extremos del diámetro (también pasará por el otro extremo).

Construye un círculo a través de los puntos A, B y C encontrando las bisectrices perpendiculares (rojas) de los lados del triángulo (azul). Solo dos de las tres bisectrices son necesarias para encontrar el centro.

Construya un círculo a través de 3 puntos no colineales

Nombra los puntos $P$ , $Q$ y $R$ ,
Construya la bisectriz perpendicular del segmento $PQ$ .
Construya la bisectriz perpendicular del segmento $PR$ .
Etiquetar el punto de intersección de estas dos mediatrices $M$ . (Se encuentran porque los puntos no son colineales).
Construye el círculo con el centro $M$ pasando por uno de los puntos $P$ , $Q$ o $R$ (también pasará por los otros dos puntos).

Círculo de Apolonio

Definición de Apollonius de un círculo: constante d 1 / d 2

Apolonio de Perga mostró que un círculo también puede definirse como el conjunto de puntos en un plano que tiene una constante de proporción (que no sea 1) de las distancias a dos focos fijos, A y B . (El conjunto de puntos en el que las distancias son iguales es la bisectriz perpendicular del segmento AB , una línea.) A veces se dice que ese círculo se dibuja alrededor de dos puntos.

La prueba está en dos partes. Primero, uno debe probar que, dados dos focos A y B y una relación de distancias, cualquier punto P que satisfaga la relación de distancias debe caer sobre un círculo particular. Sea C otro punto, también satisfaciendo la relación y mintiendo en el segmento AB . Mediante el teorema de bisectriz de ángulo, el segmento de línea PC bisectará el ángulo interior APB , ya que los segmentos son similares:

\ frac {AP} {BP} = \ frac {AC} {BC}.

Análogamente, un segmento de línea PD a través de algún punto D en AB biseca el correspondiente ángulo exterior BPQ donde Q está en AP extendido. Como los ángulos interior y exterior suman 180 grados, el ángulo CPD es exactamente 90 grados, es decir, un ángulo recto. El conjunto de puntos P tal que el ángulo CPD es un ángulo recto forma un círculo, cuyo CD es un diámetro.

Segundo, busque una prueba de que cada punto en el círculo indicado satisface la proporción dada.

Ratios cruzados

Una propiedad estrechamente relacionada de los círculos implica la geometría de la relación cruzada de puntos en el plano complejo. Si A , B y C son como los de arriba, entonces el círculo de Apolonio para estos tres puntos es la colección de puntos P para los cuales el valor absoluto de la relación cruzada es igual a uno:

| [A, B; C, P] | = 1. \

Dicho de otra manera, P es un punto en el círculo de Apolonio si y solo si la relación cruzada [ A , B; C , P ] está en el círculo unitario en el plano complejo.

Círculos generalizados

Si C es el punto medio del segmento AB , entonces la colección de puntos P satisface la condición de Apolonio.

\ frac {| AP |} {| BP |} = \ frac {| AC |} {| BC |}

no es un círculo, sino una línea.

Por lo tanto, si A , B y C tienen puntos distintos en el plano, entonces el lugar de los puntos P que satisface la ecuación anterior se denomina "círculo generalizado". Puede ser un verdadero círculo o una línea. En este sentido, una línea es un círculo generalizado de radio infinito.

Círculos inscritos o circunscritos a otras figuras

En cada triángulo, un círculo único, llamado incircle, puede inscribirse de modo que sea tangente a cada uno de los tres lados del triángulo.

Alrededor de cada triángulo, un círculo único, llamado circunferencia circunscrita, puede circunscribirse de manera tal que pase por cada uno de los tres vértices del triángulo.

Un polígono tangencial, como un cuadrilátero tangencial, es cualquier polígono convexo dentro del cual se puede inscribir un círculo que es tangente a cada lado del polígono. Cada polígono regular y cada triángulo es un polígono tangencial.

Un polígono cíclico es cualquier polígono convexo sobre el cual se puede circunscribir un círculo, pasando por cada vértice. Un ejemplo bien estudiado es el cuadrilátero cíclico. Cada polígono regular y cada triángulo es un polígono cíclico. Un polígono que es tanto cíclico como tangencial se llama polígono bicéntrico.

Una hipocicloide es una curva que se inscribe en un círculo dado al trazar un punto fijo en un círculo más pequeño que rueda dentro y tangente al círculo dado.

Círculo como caso límite de otras figuras

El círculo se puede ver como un caso límite de cada una de varias otras figuras:

Un óvalo cartesiano es un conjunto de puntos tal que una suma ponderada de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos (focos) es una constante. Una elipse es el caso en el que los pesos son iguales. Un círculo es una elipse con una excentricidad de cero, lo que significa que los dos focos coinciden entre sí como el centro del círculo. Un círculo es también un caso especial diferente de un óvalo cartesiano en el que uno de los pesos es cero.
Una superelipse tiene una ecuación de la forma para positivo a , b y n . Un supercirculo tiene b = a . Un círculo es el caso especial de un supercirculo en el que n = 2 . $\ left | \ frac {x} {a} \ right | ^ n \! + \ left | \ frac {y} {b} \ right | ^ n \! = 1$
Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos tal que el producto de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una constante. Cuando los dos puntos fijos coinciden, resulta un círculo.
Una curva de ancho constante es una figura cuyo ancho, definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas que intersectan su límite en un solo punto, es el mismo independientemente de la dirección de esas dos líneas paralelas. El círculo es el ejemplo más simple de este tipo de figura.

Cuadrando el círculo

Cuadrar el círculo es el problema, propuesto por los geómetras antiguos, de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo un número finito de pasos con brújula y regla.

En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, que prueba que pi (

π

) es un número trascendental, en lugar de un número irracional algebraico; es decir, no es la raíz de ningún polinomio c

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