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Gráfico de la ecuación Aquí,

e

es el número único mayor que 1 que hace que el área sombreada sea igual a 1.

{\ displaystyle y = 1 / x.}

El número $e$ es una constante matemática que es la base del logaritmo natural: el número único cuyo logaritmo natural es igual a uno. Es aproximadamente igual a 2.71828 , y es el límite de

(1 + 1 / n)

cuando

n se

acerca al infinito, una expresión que surge en el estudio del interés compuesto. También se puede calcular como la suma de las series infinitas

{\ displaystyle e = \ displaystyle \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {n!}} = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1 } {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} + \ cdots}

La constante se puede caracterizar de muchas maneras diferentes. Por ejemplo,

e

se puede definir como el número positivo único

a

tal que la gráfica de la función

y = a

tiene

una

pendiente unitaria en

x = 0

. La función

f (x) = e

se llama la función exponencial (natural), y es la función exponencial única igual a su propia derivada. El logaritmo natural, o logaritmo a base

e

, es la función inversa a la función exponencial natural. El logaritmo natural de un número

k > 1

se puede definir directamente como el área bajo la curva

y = 1 / x

entre

x = 1

y

x = k

, en cuyo caso

e

es el valor de k para el cual esta área es igual a uno (ver imagen). Hay caracterizaciones alternativas.

Algunas veces llamado el número de Euler después del matemático suizo Leonhard Euler,

e

no debe confundirse con

γ

, la constante de Euler-Mascheroni, a veces llamada simplemente la constante de Euler . El número

e

también se conoce como la constante de Napier , pero se dice que la elección de Euler del símbolo

e

se retuvo en su honor. La constante fue descubierta por el matemático suizo Jacob Bernoulli mientras estudiaba interés compuesto.

El número

e

es de importancia eminente en matemáticas, junto con 0, 1,

π

e

i

. Los cinco de estos números desempeñan papeles importantes y recurrentes en las matemáticas, y son las cinco constantes que aparecen en una formulación de la identidad de Euler. Al igual que la constante

π

,

e

es irracional: no es una relación de números enteros. También como

π

,

e

es trascendental: no es una raíz de ningún polinomio distinto de cero con coeficientes racionales. El valor numérico de

e

truncado a 50 decimales es

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 ... (secuencia A001113 en el OEIS).

Historia

Las primeras referencias a la constante se publicaron en 1618 en la tabla de un apéndice de un trabajo sobre logaritmos realizado por John Napier. Sin embargo, esto no contenía la constante en sí, sino simplemente una lista de logaritmos calculados a partir de la constante. Se supone que la tabla fue escrita por William Oughtred. El descubrimiento de la constante se atribuye a Jacob Bernoulli en 1683, quien intentó encontrar el valor de la siguiente expresión (que de hecho es

e

):

\ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra

b

, fue en correspondencia de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler introdujo la letra

e

como base para los logaritmos naturales, escribiendo en una carta a Christian Goldbach de 25 Noviembre de 1731. Euler comenzó a usar la letra

e

para la constante en 1727 o 1728, en un documento inédito sobre fuerzas explosivas en cañones, y la primera aparición de

e

en una publicación fue en Euler's Mechanica (1736). Mientras que en los años siguientes algunos investigadores utilizaron la letra

c

, la letra

e

era más común y finalmente se convirtió en estándar.

La constante ha sido históricamente compilada como "

e

", en cursiva, aunque el estándar ISO 80000-2: 2009 recomienda las constantes de composición tipográfica en un estilo vertical.

Aplicaciones

Interés compuesto

El efecto de ganar 20% de interés anual en una inversión inicial de $ 1,000 en varias frecuencias de capitalización

Jacob Bernoulli descubrió esta constante en 1683 al estudiar una pregunta sobre el interés compuesto:

Una cuenta comienza con $ 1.00 y paga el 100 por ciento de interés por año. Si el interés se acredita una vez, al final del año, el valor de la cuenta al final del año será de $ 2.00. ¿Qué sucede si el interés se calcula y acredita con más frecuencia durante el año?

Si el interés se acredita dos veces en el año, la tasa de interés para cada 6 meses será del 50%, por lo que el $ 1 inicial se multiplicará por el 1,5 dos veces, generando $ 1.00 × 1.5 = $ 2.25 al final del año. Rendimiento trimestral combinado $ 1.00 × 1.25 = $ 2.4414 ... y rendimientos mensuales compuestos $ 1.00 × (1 + 1/12) = $ 2.613035 ... Si hay

n

intervalos de capitalización , el interés para cada intervalo será del

100% / ny

el el valor al final del año será de $ 1.00 ×

(1 + 1 / n)

.

Bernoulli notó que esta secuencia se aproxima a un límite (la fuerza de interés) con

n

mayores y, por lo tanto, intervalos de capitalización más pequeños. La combinación semanal (

n = 52

) rinde $ 2.692597 ..., mientras que la capitalización diaria (

n = 365

) rinde $ 2.714567 ..., solo dos centavos más. El límite a medida que

n

crece es el número que llegó a conocerse como

e

; con capitalización continua , el valor de la cuenta alcanzará los $ 2,7182818 ...

En términos más generales, una cuenta que comienza en $ 1 y ofrece una tasa de interés anual de

R

, después de

t

años, rinde

e

dólares con capitalización continua. (Aquí

R

es el equivalente decimal de la tasa de interés expresada como un porcentaje, por lo que para el 5% de interés,

R = 5/100 = 0.05

).

Juicios de Bernoulli

Gráficos de la probabilidad P de no observar eventos independientes, cada uno de probabilidad 1 / n después de n ensayos de Bernoulli, y 1 - P vs n ; se puede observar que a medida que n aumenta, la probabilidad de que ocurra un evento 1 / n -cances que nunca aparece después de n intentos converge rápidamente a 1 / e .

El número

e

mismo también tiene aplicaciones para la teoría de la probabilidad, donde surge de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Supongamos que un jugador juega una máquina tragamonedas que paga con una probabilidad de uno en

ny la

juega

n

veces. Entonces, para

n

grande (como un millón) la probabilidad de que el jugador pierda cada apuesta es aproximadamente

1 / e

. Para

n = 20

ya es aproximadamente 1 / 2.79.

Este es un ejemplo de un proceso de prueba de Bernoulli. Cada vez que el jugador juega las máquinas tragamonedas, hay una posibilidad de ganar en un millón. Jugar un millón de veces está modelado por la distribución binomial, que está estrechamente relacionada con el teorema binomial. La probabilidad de ganar

k

veces de un millón de intentos es:

{\ binom {10 ^ {6}} {k}} \ left (10 ^ {- 6} \ right) ^ {k} (1-10 ^ {- 6}) ^ {10 ^ {6} -k} .

En particular, la probabilidad de ganar cero veces (

k = 0

) es

\ left (1 - {\ frac {1} {10 ^ {6}}} \ right) ^ {10 ^ {6}}.

Esto está muy cerca del siguiente límite:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} = {\ frac {1} {e}}.}

Derangements

Otra aplicación de

e

, también descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, está en el problema de los trastornos, también conocido como el problema del cheque de sombrero :

n los

invitados son invitados a una fiesta, y en la puerta cada invitado revisa su sombrero con el mayordomo que luego los coloca en

n

cajas, cada una etiquetada con el nombre de un invitado. Pero el mayordomo no conoce las identidades de los invitados, por lo que coloca los sombreros en cajas seleccionadas al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros se coloque en el cuadro de la derecha. La respuesta es:

p_ {n} = 1 - {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} - {\ frac {1} {3!}} + \ cdots + {\ frac { (-1) ^ {n}} {n!}} = \ Sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}}.

Como el número

n

de invitados tiende a infinito,

p n se

aproxima a

1 / e

. Además, la cantidad de formas en que los sombreros se pueden colocar en los cuadros para que ninguno de los sombreros esté en el recuadro correcto se redondea

n! / E

al entero más cercano, por cada

n

positivo .

Problemas óptimos de planificación

Una barra de longitud

L

se divide en

n

partes iguales. El valor de

n

que maximiza el producto de las longitudes es entonces

{\ displaystyle n = \ lfloor L / e \ rfloor, \, \, {\ text {o}} \, \, \ lfloor L / e \ rfloor +1.}

El resultado indicado sigue porque el valor máximo de ocurre en (problema de Steiner, discutido a continuación). La cantidad es una medida de la información obtenida de un evento que ocurre con probabilidad , de modo que esencialmente la misma división óptima aparece en problemas de planificación óptimos, como el problema del secretario.

{\ displaystyle x ^ {- 1} \ ln x}

x = e

{\ displaystyle x ^ {- 1} \ ln x}

{\ displaystyle 1 / x}

Asintóticos

El número

e

ocurre naturalmente en conexión con muchos problemas que involucran asintóticos. Un ejemplo es la fórmula de Stirling para las asintóticas de la función factorial, en la que entran los números

e

y

π

:

n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}.

Como consecuencia,

{\ displaystyle e = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n} {\ sqrt [{n}] {n!}}}.}

Distribución normal estándar

La distribución normal con media cero y desviación estándar unitaria se conoce como la distribución normal estándar , dada por la función de densidad de probabilidad

\ phi (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {- {\ frac {\ scriptscriptstyle 1} {\ scriptscriptstyle 2}} x ^ {2}}.

La restricción de la unidad de varianza (y por tanto también la unidad de desviación estándar) resultados en el 1/2 en el exponente, y la restricción del área total bajo la curva unidad

φ (x)

los resultados en el factor . Esta función es simétrica alrededor de

x

= 0

, donde alcanza su valor máximo , y tiene puntos de inflexión en

x

= \pm 1

.

{\ displaystyle \ textstyle 1 / {\ sqrt {2 \ pi}}}

{\ displaystyle \ textstyle 1 / {\ sqrt {2 \ pi}}}

En cálculo

Las funciones se muestran para (punteado), (azul) y ( punteado ). Todos pasan por el punto pero solo hay tangente a la línea roja de la pendiente

{\ displaystyle x \ mapsto a ^ {x}}

{\ displaystyle a = 2}

{\ displaystyle a = e}

a = 4

{\ displaystyle (0,1),}

e ^ {x}

1.

El valor de la función de registro natural para el argumento

e

, es decir,

ln (e)

, es igual a

1.

La principal motivación para introducir el número

e

, particularmente en cálculo, es realizar cálculo diferencial e integral con funciones exponenciales y logaritmos. Una función

exponencial general

y

=

a

tiene una derivada, dada por un límite:

{\ textstyle {\ begin {aligned} {\ fract {d} {dx}} a ^ {x} & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x + h} -a ^ { x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {x} a ^ {h} -a ^ {x}} {h}} \\ & = a ^ {x } \ cdot \ left (\ lim _ {h \ to 0} {\ frac {a ^ {h} -1} {h}} \ right). \ end {aligned}}}

El límite entre paréntesis a la derecha es independiente de la variable

x

: depende solo de la base

a

. Cuando la base se establece en

e

, este límite es igual a

1

, por lo que

e

se define simbólicamente mediante la ecuación:

{\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}.

En consecuencia, la función exponencial con base

e

es particularmente adecuada para hacer cálculos. Elegir

e

, a diferencia de otro número, como base de la función exponencial hace que los cálculos que involucran a la derivada sean mucho más simples.

Otra motivación proviene de considerar la derivada de la base:

un

logaritmo, es decir,

log a x

para

x> 0

:

{\ textstyle {\ begin {aligned} {\ frac {d} {dx}} \ log _ {a} x & = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ log _ {a} (x + h) ) - \ log _ {a} (x)} {h}} \\ & = \ lim _ {h \ a 0} {\ frac {\ log _ {a} (1 + h / x)} {x \ cdot h / x}} \\ & = {\ frac {1} {x}} \ log _ {a} \ left (\ lim _ {u \ to 0} (1 + u) ^ {1 / u} \ derecha) \\ & = {\ frac {1} {x}} \ log _ {a} e, \ end {aligned}}}

donde se hizo la sustitución

u = h / x

. El

a

-logaritmo de

e

es 1, si

a

es igual a

e

. Así que simbólicamente

{\ frac {d} {dx}} \ log _ {e} x = {\ frac {1} {x}}.

El logaritmo con esta base especial se llama logaritmo natural y se denota como

ln

; se comporta bien bajo diferenciación ya que no hay un límite indeterminado para llevar a cabo los cálculos.

Por lo tanto, hay dos formas de seleccionar dichos números especiales

a

. Una forma es establecer la derivada de la función exponencial

a

igual a

a

, y resolver para

a

. La otra forma es establecer la derivada de la base

un

logaritmo en

1 / x

y resolver para

a

. En cada caso, uno llega a una elección conveniente de base para hacer cálculos. Resulta que estas dos soluciones para

a

son realmente iguales , el número

e

.

Caracterizaciones alternativas

Las cinco regiones sombreadas son de igual área y definen unidades de ángulo hiperbólico a lo largo de la hipérbola .

xy = 1

También son posibles otras caracterizaciones de

e

: una es como el límite de una secuencia, otra es como la suma de una serie infinita, y otras se basan en el cálculo integral. Hasta el momento, se han introducido las siguientes dos propiedades (equivalentes):

El número $e$ es el número real positivo único tal que . ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {t} = e ^ {t}}$
El número $e$ es el número real positivo único tal que . ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ log _ {e} t = {\ frac {1} {t}}}$

Las siguientes cuatro caracterizaciones pueden ser equivalentes probadas:

El número $e$ es el límite

$e = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}$
Similar:

${\ displaystyle e = \ lim _ {t \ to 0} \ left (1 + t \ right) ^ {\ frac {1} {t}}}$

El número $e$ es la suma de las series infinitas

$e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} = {\ frac {1} {0!}} + {\ frac {1} {1!}} + {\ frac {1} {2!}} + {\ frac {1} {3!}} + {\ frac {1} {4!}} + \ cdots \ ,,$
donde $n!$ es el factorial de $n$ .

El número $e$ es el número real positivo único tal que

$\ int _ {1} ^ {e} {\ frac {1} {t}} \, dt = 1.$

Si $f (t)$ es una función exponencial, entonces la cantidad es una constante, a veces llamada constante de tiempo (es el recíproco de la constante de crecimiento exponencial o constante de desintegración). La constante de tiempo es el tiempo que tarda la función exponencial para aumentar en un factor de $correo$ : . ${\ displaystyle f (t) / f '(t)}$ ${\ displaystyle f (t + \ tau) = ef (t)}$

Propiedades

Cálculo

Como en la motivación, la función exponencial

e

es importante en parte porque es la única función no trivial (hasta la multiplicación por una constante) que es su propia derivada

{\ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}

y por lo tanto su propia antiderivada también:

{\ displaystyle \ int e ^ {x} \, dx = e ^ {x} + C.}

Desigualdades

El número

e

es el número real único tal que

\ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right) ^ {x} <e <\ left (1 + {\ frac {1} {x}} \ right) ^ {x + 1}

para todos los positivos

x

.

Además, tenemos la desigualdad

e ^ {x} \ geq x + 1

para todo real

x

, con igualdad si y solo si

x = 0

. Además,

e

es la base única de la exponencial para la cual la desigualdad

a \geq x + 1

tiene para todo

x

. Este es un caso límite de la desigualdad de Bernoulli.

Funciones tipo exponencial

El máximo global de ocurre en

x

=

e

.

{\ sqrt [{x}] {x}}

El problema de Steiner pide encontrar el máximo global para la función

{\ displaystyle f (x) = x ^ {1 / x}.}

Este máximo ocurre precisamente en

x = e

. Como prueba, la desigualdad , desde arriba, evaluada en y simplifica da . Entonces para todo x positivo .

e ^ {y} \ geq y + 1

y = (xe) / e

e ^ {x / e} \ geq x

e ^ {1 / e} \ geq x ^ {1 / x}

Del mismo modo,

x = 1 / e

es donde ocurre el mínimo global para la función

{\ displaystyle f (x) = x ^ {x}}

definido para positivo

x

. Más generalmente, para la función

{\ displaystyle f (x) = x ^ {x ^ {n}}}

el máximo global para

x

positivo ocurre en

x = 1 / e

para cualquier

n <0

; y el mínimo global ocurre en

x = e

para cualquier

n > 0

.

La tetration infinita

x ^ {x ^ {x ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}}

o

{^ {\ infty}} x

converge si y solo si

e \leq x \leq e

(o aproximadamente entre 0.0660 y 1.4447), debido a un teorema de Leonhard Euler.

Teoría de los números

El número real

e

es irracional. Euler lo demostró al mostrar que su simple expansión continua de fracciones es infinita. (Véase también la prueba de Fourier de que

e

es irracional).

Además, según el teorema de Lindemann-Weierstrass,

e

es trascendental, lo que significa que no es una solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales. Fue el primer número que se demostró trascendental sin haberse construido específicamente para este propósito (compáralo con el número de Liouville); la prueba fue dada por Charles Hermite en 1873.

Se conjetura que

e

es normal, lo que significa que cuando

e

se expresa en cualquier base, los posibles dígitos en esa base se distribuyen uniformemente (ocurren con la misma probabilidad en cualquier secuencia de longitud dada).

Números complejos

La función exponencial

e

puede escribirse como una serie de Taylor

e ^ {x} = 1 + {x \ sobre 1!} + {x ^ {2} \ sobre 2!} + {x ^ {3} \ sobre 3!} + \ cdots = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}

Debido a que esta serie conserva muchas propiedades importantes para

e

incluso cuando

x

es compleja, se usa comúnmente para extender la definición de

e

a los números complejos. Esto, con la serie de Taylor para

sin

y

cos x

, permite derivar la fórmula de Euler:

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

que vale para todo

x

. El caso especial con

x = π

es la identidad de Euler:

{\ displaystyle e ^ {i \ pi} + 1 = 0,}

de lo cual se deduce que, en la rama principal del logaritmo,

{\ displaystyle \ ln (-1) = i \ pi.}

Además, usando las leyes para la exponenciación,

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = \ left (e ^ {ix} \ right) ^ {n} = e ^ {inx} = \ cos (nx) + i \ sin ( nx),}

que es la fórmula de De Moivre.

La expresion

{\ displaystyle \ cos x + i \ sin x}

a veces se denomina

cis (x)

.

Ecuaciones diferenciales

La función general

{\ displaystyle y (x) = Ce ^ {x}}

es la solución a la ecuación diferencial:

{\ displaystyle y '= y.}

Representaciones

El número

e

se puede representar como un número real en una variedad de formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o un límite de una secuencia. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos introductorios de cálculo, es el límite

\ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n},

dado anteriormente, así como la serie

e = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}}

dada al evaluar la serie de potencias anterior para

e

en

x = 1

.

Menos común es la fracción continua (secuencia A003417 en el OEIS).

{\ displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1, ..., 1,2n, 1, ...] = [1; 0,1,1, 2,1,1,4,1,1, ..., 2n, 1,1, ...],}

cuál escrito parece

{\ displaystyle e = 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} { 4 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}} = 1 + {\ cfrac {1} {0 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} { 4 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Esta fracción continua para

e

converge tres veces más rápido:

e = [1; 0.5,12,5,28,9,44,13, \ ldots, 4 (4n-1), (4n + 1), \ ldots],

cuál escrito parece

e = 1 + {\ cfrac {2} {1 + {\ cfrac {1} {6 + {\ cfrac {1} {10 + {\ cfrac {1} {14 + {\ cfrac {1} {18+ { \ cfrac {1} {22 + {\ cfrac {1} {26+ \ ddots \,}}}}}}}}}}}}}}.

Se han desarrollado muchas otras series, secuencias, fracciones continuas e infinitas representaciones de productos de

e

.

Representaciones estocásticas

Además de las expresiones analíticas exactas para la representación de

e

, existen técnicas estocásticas para estimar

e

. Uno de estos enfoques comienza con una secuencia infinita de variables aleatorias independientes

X 1

,

X 2

..., extraídas de la distribución uniforme en [0, 1]. Deje

V

ser el menor número

n

tal que la suma de las primeras

n

observaciones exceda 1:

V = \ min {\ left \ {n \ mid X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}> 1 \ right \}}.

Entonces el valor esperado de

V

es

e

:

E (V) = e

.

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de

e

ha aumentado sustancialmente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al mayor rendimiento de las computadoras como a las mejoras algorítmicas.

**Número de dígitos decimales conocidos de $e$**
Fecha	Dígitos decimales	Cálculo realizado por
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2,010	John von Neumann (en el ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks y John Wrench
1978	116,000	Steve Wozniak en el Apple II

Desde entonces, la proliferación de computadoras de escritorio modernas de alta velocidad ha hecho posible que los aficionados, con el hardware adecuado, puedan computar billones de dígitos de e .

En cultura informática

En la cultura de Internet contemporánea, los individuos y las organizaciones suelen rendir homenaje al número

e

.

Por ejemplo, en la presentación de salida a bolsa de Google en 2004, en lugar de una cantidad de números típica ronda de dinero, la compañía ha anunciado su intención de elevar $ 2718281,828 mil, que es

e

mil millones de dólares redondeados al dólar más cercano. Google también fue responsable de una cartelera que apareció en el corazón de Silicon Valley, y más tarde en Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; y Austin, Texas. Decía "{primer primer dígito de 10 dígitos encontrado en dígitos consecutivos de

e

} .com". Resolver este problema y visitar el sitio web publicitado (ahora desaparecido) dio lugar a un problema aún más difícil de resolver, que a su vez llevó a Google Labs, donde se invitó al visitante a enviar un currículum. El primer primo de 10 dígitos en

e

es 7427466391, que comienza en el 99º dígito.

En otra instancia, el científico informático Donald Knuth permitió que los números de versión de su programa Metafont se acercaran

e

. Las versiones son 2, 2.7, 2.71, 2.718, y así sucesivamente.

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e (constante matemática)

e (constante matemática)

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