Dimensión
Definición
En física y matemáticas, la dimensión de un espacio matemático (u objeto) se define informalmente como el número mínimo de coordenadas necesarias para especificar cualquier punto dentro de él. Por lo tanto, una línea tiene una dimensión de uno porque solo se necesita una coordenada para especificar un punto, por ejemplo, el punto en 5 en una recta numérica. Una superficie como un plano o la superficie de un cilindro o esfera tiene una dimensión de dos porque se necesitan dos coordenadas para especificar un punto; por ejemplo, se requieren tanto la latitud como la longitud para ubicar un punto en la superficie de un esfera. El interior de un cubo, un cilindro o una esfera es tridimensional porque se necesitan tres coordenadas para ubicar un punto dentro de estos espacios.
En la mecánica clásica, el espacio y el tiempo son categorías diferentes y se refieren al espacio y tiempo absoluto. Esa concepción del mundo es un espacio tetradimensional, pero no el que se consideró necesario para describir el electromagnetismo. Las cuatro dimensiones del espacio-tiempo consisten en eventos que no están absolutamente definidos espacial y temporalmente, sino que son conocidos en relación con el movimiento de un observador. El espacio de Minkowski primero se aproxima al universo sin gravedad; las variedades pseudo-riemannianas de la relatividad general describen el espacio-tiempo con la materia y la gravedad. Diez dimensiones se utilizan para describir la teoría de cuerdas, once dimensiones pueden describir la supergravedad y la teoría M, y el espacio de estado de la mecánica cuántica es un espacio funcional de dimensión infinita.
El concepto de dimensión no está restringido a objetos físicos. Alta dimensión del espacio s con frecuencia se producen en las matemáticas y las ciencias. Pueden ser espacios de parámetros o espacios de configuración como en la mecánica lagrangiana o hamiltoniana; estos son espacios abstractos, independientes del espacio físico en el que vivimos
En matemáticas
En matemáticas, la dimensión de un objeto es una propiedad intrínseca independiente del espacio en el que está incrustado el objeto. Por ejemplo, un punto en el círculo unitario en el plano se puede especificar mediante dos coordenadas cartesianas, pero una sola coordenada polar (el ángulo) sería suficiente, por lo que el círculo es unidimensional aunque exista en el plano bidimensional . Esta noción intrínseca de dimensión es una de las principales formas en que la noción matemática de dimensión difiere de sus usos comunes.
La dimensión euclidiana de
n -espacio E es n . Al tratar de generalizar a otros tipos de espacios, uno se enfrenta con la pregunta "¿qué hace E n -dimensional?" Una respuesta es que para cubrir una bola fija en E con bolas pequeñas de radio ε , se necesita del orden de ε tales bolas pequeñas. Esta observación conduce a la definición de la dimensión de Minkowski y su variante más sofisticada, la dimensión de Hausdorff, pero también hay otras respuestas a esa pregunta. Por ejemplo, el límite de una bola en E se ve localmente como E y esto lleva a la noción de la dimensión inductiva. Si bien estas nociones coinciden E , resultan ser diferentes cuando uno mira espacios más generales.
n -espacio E es n . Al tratar de generalizar a otros tipos de espacios, uno se enfrenta con la pregunta "¿qué hace E n -dimensional?" Una respuesta es que para cubrir una bola fija en E con bolas pequeñas de radio ε , se necesita del orden de ε tales bolas pequeñas. Esta observación conduce a la definición de la dimensión de Minkowski y su variante más sofisticada, la dimensión de Hausdorff, pero también hay otras respuestas a esa pregunta. Por ejemplo, el límite de una bola en E se ve localmente como E y esto lleva a la noción de la dimensión inductiva. Si bien estas nociones coinciden E , resultan ser diferentes cuando uno mira espacios más generales.
Un tesseract es un ejemplo de un objeto de cuatro dimensiones. Mientras que fuera de las matemáticas, el uso del término "dimensión" es como: "Un tesseract tiene cuatro dimensiones ", los matemáticos suelen expresar esto como: "El tesseract tiene dimensión 4 ", o: "La dimensión del tesseract es 4".
Aunque la noción de dimensiones más altas se remonta a René Descartes, el desarrollo sustancial de una geometría de dimensión superior solo comenzó en el siglo XIX, a través del trabajo de Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, Ludwig Schläfli y Bernhard Riemann. La Habilitationsschrift de 1854 de Riemann, Theorie der vielfachen Kontinuität de 1852 de Schläfli , el descubrimiento de los cuaterniones en 1843 por Hamilton y la construcción del álgebra de Cayley marcaron el comienzo de la geometría de dimensiones superiores.
El resto de esta sección examina algunas de las definiciones matemáticas más importantes de la dimensión.
Espacios vectoriales
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquier base para el espacio, es decir, el número de coordenadas necesarias para especificar cualquier vector. Esta noción de dimensión (la cardinalidad de una base) a menudo se denomina dimensión Hamel o dimensión algebraica para distinguirla de otras nociones de dimensión.
Para el caso no libre, esto se generaliza a la noción de la longitud de un módulo.
Colectores
Se puede calcular la dimensión definida de forma única de cada variedad topológica conectada. Una variedad topológica conectada es localmente homeomórfica al espacio euclidiano n , en el cual el número n es la dimensión del múltiple.
Para los colectores diferenciables conectados, la dimensión es también la dimensión del espacio vectorial de la tangente en cualquier punto.
En la topología geométrica, la teoría de los colectores se caracteriza por la forma en que las dimensiones 1 y 2 son relativamente elementales, los casos de dimensión elevada n > 4 se simplifican al tener un espacio adicional para "trabajar"; y los casos n = 3 y 4 son en algunos sentidos los más difíciles. Este estado de cosas fue muy marcado en los diversos casos de la conjetura de Poincaré, donde se aplican cuatro métodos de prueba diferentes.
Dimensión compleja
La dimensión de una variedad depende del campo de base con respecto a qué espacio euclidiano se define. Mientras que el análisis suele suponer una variedad para los números reales, a veces es útil en el estudio de las variedades complejas y las variedades algebraicas para trabajar sobre los números complejos en su lugar. Un número complejo ( x + iy ) tiene una parte real xy una parte imaginaria y , donde xey son ambos números reales; por lo tanto, la dimensión compleja es la mitad de la dimensión real.
Por el contrario, en contextos algebraicamente no restringidos, un solo sistema de coordenadas complejas se puede aplicar a un objeto que tenga dos dimensiones reales. Por ejemplo, una superficie esférica bidimensional ordinaria, cuando se le da una métrica compleja, se convierte en una esfera de Riemann de una dimensión compleja.
Variedades
La dimensión de una variedad algebraica se puede definir de varias maneras equivalentes. La forma más intuitiva es probablemente la dimensión del espacio tangente en cualquier punto regular de una variedad algebraica. Otra forma intuitiva es definir la dimensión como el número de hiperplanos que se necesitan para tener una intersección con la variedad que se reduce a un número finito de puntos (dimensión cero). Esta definición se basa en el hecho de que la intersección de una variedad con un hiperplano reduce la dimensión en uno a menos que el hiperplano contenga la variedad algebraica.
Un conjunto algebraico es una unión finita de variedades algebraicas, su dimensión es el máximo de las dimensiones de sus componentes. Es igual a la longitud máxima de las cadenas de subvariedades del conjunto algebraico dado (la longitud de dicha cadena es el número de " ").
Cada variedad se puede considerar como una pila algebraica, y su dimensión como variedad concuerda con su dimensión como pila. Sin embargo, hay muchas pilas que no corresponden a variedades, y algunas tienen una dimensión negativa. En concreto, si V es una variedad de dimensión m y G es un grupo algebraica de dimensión n que actúa sobre V , a continuación, la pila cociente [ V / G ] tiene dimensión m - n .
Dimensión de Krull
La dimensión de Krull de un anillo conmutativo es la longitud máxima de cadenas de ideales primordiales en él, una cadena de longitud n es una secuencia de ideales primarios relacionados por inclusión. Está fuertemente relacionado con la dimensión de una variedad algebraica, debido a la correspondencia natural entre las subvariedades y los ideales primarios del anillo de los polinomios en la variedad.
Para un álgebra sobre un campo, la dimensión como espacio vectorial es finita si y solo si su dimensión Krull es 0.
Espacios topológicos
Para cualquier espacio topológico normal X , la dimensión de cobertura de Lebesgue de X se define como n si n es el entero más pequeño para el cual se cumple lo siguiente: cualquier cubierta abierta tiene un refinamiento abierto (una segunda cubierta abierta donde cada elemento es un subconjunto de un elemento en la primera cubierta) de modo que ningún punto se incluye en más de n + 1 elementos. En este caso dim X = n . Para X una variedad, esto coincide con la dimensión mencionada anteriormente. Si no existe ese número entero n , entonces se dice que la dimensión de X es infinita, y uno escribe dim X = ∞. Además, X tiene dimensión -1, es decir, dim X = -1 si y solo si X está vacío. Esta definición de dimensión de cobertura se puede extender desde la clase de espacios normales a todos los espacios de Tychonoff simplemente reemplazando el término "abierto" en la definición por el término " funcionalmente abierto ".
Una dimensión inductiva se puede definir inductivamente de la siguiente manera. Considere que un conjunto discreto de puntos (como una colección finita de puntos) es de 0 dimensiones. Al arrastrar un objeto de 0 dimensiones en alguna dirección, se obtiene un objeto de 1 dimensión. Al arrastrar un objeto de 1 dimensión en una nueva dirección , se obtiene un objeto de 2 dimensiones. En general, se obtiene un objeto ( n + 1 ) -dimensional arrastrando un objeto n- dimensional en una nueva dirección. La dimensión inductiva de un espacio topológico puede referirse a la pequeña dimensión inductiva o a la gran dimensión inductiva , y se basa en la analogía de que ( n + 1 ) -dimensional las bolas tienen límites n- dimensionales, lo que permite una definición inductiva basada en la dimensión de los límites de los conjuntos abiertos.
De manera similar, para la clase de complejos CW, la dimensión de un objeto es la n más grande para la cual el esqueleto
n no es trivial. Intuitivamente, esto se puede describir de la siguiente manera: si el espacio original se puede deformar continuamente en una colección de triángulos de mayor dimensión unidos a sus caras con una superficie complicada, entonces la dimensión del objeto es la dimensión de esos triángulos.
n no es trivial. Intuitivamente, esto se puede describir de la siguiente manera: si el espacio original se puede deformar continuamente en una colección de triángulos de mayor dimensión unidos a sus caras con una superficie complicada, entonces la dimensión del objeto es la dimensión de esos triángulos.
Dimensión de Hausdorff
La dimensión de Hausdorff es útil para estudiar conjuntos estructuralmente complicados, especialmente fractales. La dimensión de Hausdorff se define para todos los espacios métricos y, a diferencia de las dimensiones consideradas anteriormente, también puede tener valores reales no enteros. La dimensión del cuadro o la dimensión de Minkowski es una variante de la misma idea. En general, existen más definiciones de dimensiones fractales que funcionan para conjuntos altamente irregulares y obtienen valores reales positivos no enteros. Los fractales se han encontrado útiles para describir muchos objetos y fenómenos naturales.
Espacios de Hilbert
Cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal, y dos de tales bases para un espacio particular tienen la misma cardinalidad. Esta cardinalidad se llama la dimensión del espacio de Hilbert. Esta dimensión es finita si y solo si la dimensión de Hamel del espacio es finita, y en este caso las dos dimensiones coinciden.
En física
Dimensiones espaciales
Las teorías de la física clásica describen tres dimensiones físicas: desde un punto particular en el espacio, las direcciones básicas en las que podemos mover son arriba / abajo, izquierda / derecha y adelante / atrás. El movimiento en cualquier otra dirección se puede expresar en términos de solo estos tres. Bajar es lo mismo que subir una distancia negativa. Moverse diagonalmente hacia arriba y adelante es exactamente como lo indica el nombre de la dirección; es decir , moviéndose en una combinación lineal de arriba y adelante. En su forma más simple: una línea describe una dimensión, un plano describe dos dimensiones y un cubo describe tres dimensiones. (Consulte Sistema de coordenadas espaciales y cartesianas).
Número de dimensiones | Ejemplo de sistemas de coordenadas | |||
|---|---|---|---|---|
| 1 |
| |||
| 2 |
| |||
| 3 |
|
Hora
Una dimensión temporal es una dimensión de tiempo. El tiempo a menudo se conoce como la "cuarta dimensión" por esta razón, pero eso no implica que sea una dimensión espacial. Una dimensión temporal es una forma de medir el cambio físico. Se percibe de manera diferente a las tres dimensiones espaciales en el sentido de que solo hay una, y que no podemos movernos libremente en el tiempo, sino movernos subjetivamente en una dirección.
Las ecuaciones usadas en física para modelar la realidad no tratan el tiempo de la misma manera que los humanos comúnmente lo perciben. Las ecuaciones de la mecánica clásica son simétricas con respecto al tiempo, y las ecuaciones de la mecánica cuántica son típicamente simétricas si el tiempo y otras cantidades (como la carga y la paridad) se invierten. En estos modelos, la percepción del tiempo que fluye en una dirección es un artefacto de las leyes de la termodinámica (percibimos que el tiempo fluye en la dirección de la creciente entropía).
El tratamiento más conocido del tiempo como dimensión es la relatividad especial de Poincaré y Einstein (y extendida a la relatividad general), que trata el espacio y el tiempo percibidos como componentes de una variedad tetradimensional, conocida como espaciotiempo, y en el caso especial, plano como el espacio de Minkowski.
Dimensiones adicionales
En física, tres dimensiones del espacio y una de tiempo es la norma aceptada. Sin embargo, hay teorías que intentan unificar las cuatro fuerzas fundamentales mediante la introducción de dimensiones adicionales. En particular, la teoría de supercuerdas requiere 10 dimensiones de espacio-tiempo, y se origina de una teoría 11-dimensional más fundamental tentativamente llamada teoría-M que subsume cinco teorías de supercuerdas previamente distintas. Hasta la fecha, no hay evidencia experimental o de observación disponible para confirmar la existencia de estas dimensiones adicionales. Si existen dimensiones adicionales, deben estar ocultas de nosotros por algún mecanismo físico. Una posibilidad bien estudiada es que las dimensiones adicionales se pueden "enrollar" a escalas tan pequeñas que sean efectivamente invisibles a los experimentos actuales.
En el nivel de la teoría de campos cuánticos, la teoría de Kaluza-Klein unifica la gravedad con interacciones de gauge, basándose en la comprensión de que la gravedad que se propaga en dimensiones extra pequeñas y compactas equivale a interacciones de gauge a largas distancias. En particular, cuando la geometría de las dimensiones extra es trivial, reproduce el electromagnetismo. Sin embargo, a energías suficientemente altas o distancias cortas, esta configuración aún sufre de las mismas patologías que obstruyen famosos intentos directos para describir la gravedad cuántica. Por lo tanto, estos modelos aún requieren una terminación UV, del tipo que la teoría de cuerdas pretende proporcionar. En particular, la teoría de supercuerdas requiere seis dimensiones compactas que forman una variedad de Calabi-Yau. Por lo tanto, la teoría de Kaluza-Klein puede considerarse como una descripción incompleta por sí misma,
Además de las dimensiones extra pequeñas y rizadas, puede haber dimensiones extra que en cambio no son aparentes porque la materia asociada con nuestro universo visible se localiza en un (3 + 1) -dimensional subespacio. Por lo tanto, las dimensiones adicionales no necesitan ser pequeñas y compactas, pero pueden ser grandes dimensiones extra. Las D-branas son objetos dinámicos extendidos de varias dimensionalidades predichas por la teoría de cuerdas que podrían desempeñar este papel. Tienen la propiedad de que las excitaciones de cadenas abiertas, que están asociadas a las interacciones de indicadores, están limitadas a la brana por sus puntos finales, mientras que las cadenas cerradas que median la interacción gravitacional se propagan libremente a todo el espacio-tiempo o "a granel". Esto podría estar relacionado con por qué la gravedad es exponencialmente más débil que las otras fuerzas, ya que se diluye efectivamente a medida que se propaga a un volumen de mayor dimensión.
Algunos aspectos de la física de la brana se han aplicado a la cosmología. Por ejemplo, la cosmología del gas de Brane intenta explicar por qué hay tres dimensiones del espacio usando consideraciones topológicas y termodinámicas. De acuerdo con esta idea, sería porque tres es la mayor cantidad de dimensiones espaciales donde las cadenas pueden cruzarse genéricamente. Si inicialmente hay muchos devanados de cuerdas alrededor de dimensiones compactas, el espacio solo podría expandirse a tamaños macroscópicos una vez que estos devanados se eliminen, lo que requiere cuerdas con cuerdas opuestas para encontrarse y aniquilarse. Pero las cadenas solo pueden encontrarse entre sí para aniquilarse a un ritmo significativo en tres dimensiones, por lo que se deduce que solo tres dimensiones del espacio pueden crecer con esta configuración inicial.
Se dice que las dimensiones adicionales son universales si todos los campos tienen la misma libertad de propagarse dentro de ellas.
Redes y dimensión
Algunas redes complejas se caracterizan por dimensiones fractales. El concepto de dimensión se puede generalizar para incluir redes integradas en el espacio. La dimensión caracteriza sus restricciones espaciales.
En literatura
Los textos de ciencia ficción a menudo mencionan el concepto de "dimensión" cuando se refieren a universos paralelos o alternativos u otros planos imaginarios de existencia. Este uso se deriva de la idea de que para viajar a universos / planos de existencia paralelos / alternativos, uno debe viajar en una dirección / dimensión además de las estándar. En efecto, los otros universos / planos están a una pequeña distancia del nuestro, pero la distancia está en una cuarta (o superior) dimensión espacial (o no espacial), no las dimensiones estándar.
Una de las historias de ciencia ficción más anunciadas con respecto a la verdadera dimensionalidad geométrica, y a menudo recomendada como punto de partida para aquellos que recién comienzan a investigar tales asuntos, es la novela de 1884 Flatland de Edwin A. Abbott. Isaac Asimov, en su prólogo a la edición Signet Classics 1984, describió Flatland como "la mejor introducción que se puede encontrar en la forma de percibir las dimensiones".
La idea de otras dimensiones se incorporó a muchas de las primeras historias de ciencia ficción, apareciendo de manera destacada, por ejemplo, en The append and the spectacles (1928) de Miles J. Breuer y The Fifth-Dimension Catapult (1931) de Murray Leinster ; y apareció irregularmente en la ciencia ficción en la década de 1940. Las historias clásicas que involucran otras dimensiones incluyen Robert A. Heinlein's y He Built a Crooked House (1941), en el cual un arquitecto de California diseña una casa basada en una proyección tridimensional de un tesseract; y Tiger by the Tail y The Universe Between de Alan E. Nourse (ambos de 1951). Otra referencia es la novela de Madeleine L'Engle A Wrinkle In Time (1962), que utiliza la quinta dimensión como una forma de "tesseractuar el universo" o "plegar" el espacio para moverse rápidamente a través de él. Las dimensiones cuarta y quinta también fueron un componente clave del libro El niño que se revirtió a sí mismo por William Sleator.
En filosofía
Immanuel Kant, en 1783, escribió: "Que el espacio en todas partes (que no es el límite de otro espacio) tiene tres dimensiones y que el espacio en general no puede tener más dimensiones se basa en la proposición de que no más de tres líneas pueden cruzarse a la derecha ángulos en un punto. Esta proposición no puede mostrarse en absoluto a partir de conceptos, sino que descansa inmediatamente en la intuición y, de hecho, en la intuición pura a priori porque es apodícticamente (demostrablemente) cierta ".
"El espacio tiene cuatro dimensiones" es una historia corta publicada en 1846 por el filósofo alemán y psicólogo experimental Gustav Fechner bajo el seudónimo de "Dr. Mises". El protagonista de la historia es una sombra que conoce y es capaz de comunicarse con otras sombras, pero que está atrapada en una superficie bidimensional. Según Fechner, este "hombre sombrío" concebiría la tercera dimensión como una de tiempo. La historia tiene una gran similitud con la "Alegoría de la cueva" presentada en La República de Platón (hacia el año 380 aC).
Simon Newcomb escribió un artículo para el Boletín de la American Mathematical Society en 1898 titulado "The Philosophy of Hyperspace". Linda Dalrymple Henderson acuñó el término "filosofía hiperespacial", utilizado para describir la escritura que usa dimensiones más altas para explorar temas metafísicos, en su tesis de 1983 sobre la cuarta dimensión en el arte de principios del siglo XX. Ejemplos de "filósofos hiperespaciales" incluyen Charles Howard Hinton , el primer escritor, en 1888, para usar la palabra "tesseract"; y el esoterista ruso PD Ouspensky.
Más dimensiones
- Grados de libertad en mecánica / física y química / estadística
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