Variable (matemáticas)
Definición
En matemáticas elementales, una variable es un símbolo, comúnmente un carácter alfabético, que representa un número, llamado el valor de la variable, que es arbitrario, no está completamente especificado o es desconocido. Hacer cálculos algebraicos con variables como si fueran números explícitos permite resolver un rango de problemas en un solo cálculo. Un ejemplo típico es la fórmula cuadrática, que permite resolver cada ecuación cuadrática simplemente sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes de la ecuación dada por las variables que los representan.
El concepto de una variable también es fundamental en el cálculo. Típicamente, una función y = f ( x ) involucra dos variables, y y x , que representan respectivamente el valor y el argumento de la función. El término "variable" proviene del hecho de que, cuando el argumento (también llamado "variable de la función") varía , entonces el valor varía en consecuencia.
En las matemáticas más avanzadas, una variable es un símbolo que denota un objeto matemático, que podría ser un número, un vector, una matriz o incluso una función. En este caso, la propiedad original de "variabilidad" de una variable no se mantiene (excepto, a veces, para explicaciones informales).
Del mismo modo, en ciencias de la computación, una variable es un nombre (comúnmente un carácter alfabético o una palabra) que representa algún valor almacenado en la memoria de la computadora. En lógica matemática, una variable es un símbolo que representa un término no especificado de la teoría, o un objeto básico de la teoría, que se manipula sin referirse a su posible interpretación intuitiva.
Etimología
"Variable" proviene de una palabra latina, variābilis , con " vari (us) " 'que significa "varios" y " -ābilis"' que significa "-able", que significa "capaz de cambiar".
Génesis y evolución del concepto
En el siglo VII Brahmagupta usó diferentes colores para representar las incógnitas en ecuaciones algebraicas en el Brāhmasphuṭasiddhānta . Una sección de este libro se llama "Ecuaciones de varios colores".
A finales del siglo XVI, François Viète introdujo la idea de representar números conocidos y desconocidos por letras, hoy llamadas variables, y de calcular con ellas como si fueran números, para obtener el resultado mediante un simple reemplazo. La convención de Viète era usar consonantes para valores conocidos y vocales para incógnitas.
En 1637, René Descartes "inventó la convención de representar incógnitas en ecuaciones por x , y , y z , y sabe por a , b y c ". Contrariamente a la convención de Viète, Descartes todavía está en uso.
Comenzando en la década de 1660, Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo infinitesimal, que consiste esencialmente en estudiar cómo una variación infinitesimal de una cantidad variable induce una variación correspondiente de otra cantidad que es una función de la primera variable (cantidad). Casi un siglo después, Leonhard Euler fijó la terminología del cálculo infinitesimal e introdujo la notación y = f ( x ) para una función f , su variable xy su valor y . Hasta el final del siglo XIX, la palabra variable se refirió casi exclusivamente a los argumentos y los valores de las funciones.
En la segunda mitad del siglo XIX, parecía que la base del cálculo infinitesimal no estaba lo suficientemente formalizada como para lidiar con aparentes paradojas como una función continua que no es en parte diferenciable. Para resolver este problema, Karl Weierstrass introdujo un nuevo formalismo que consiste en reemplazar la noción intuitiva de límite por una definición formal. La noción más antigua de límite era "cuando la variable x varía y tiende hacia a , entonces f ( x ) tiende hacia L ", sin una definición precisa de "tiende". Weierstrass reemplazó esta oración por la fórmula
en el que ninguna de las cinco variables se considera variable.
Esta formulación estática condujo a la noción moderna de variable, que es simplemente un símbolo que representa un objeto matemático que es desconocido o puede ser reemplazado por cualquier elemento de un conjunto dado; por ejemplo, el conjunto de números reales.
Tipos específicos de variables
Es común que muchas variables aparezcan en la misma fórmula matemática, que desempeñan diferentes roles. Algunos nombres o calificadores se han introducido para distinguirlos. Por ejemplo, la ecuación cúbica general
se interpreta que tiene cinco variables, cuatro de las cuales, a , b , c , d se toman como números. La quinta variable, x , se entiende como un número desconocido , la solución de la ecuación, que se desea resolver. Para distinguirlos, la variable x se denomina desconocida , y las otras variables se llaman parámetros o coeficientes , o a veces constantes , aunque esta última terminología es incorrecta para una ecuación y debe reservarse para la función definida por el lado izquierdo de esta ecuación
En el contexto de las funciones, el término variable se refiere comúnmente a los argumentos de las funciones. Este es típicamente el caso en oraciones como "función de una variable real", " x es la variable de la función f : x ↦ f ( x ) ", " f es una función de la variable x " (lo que significa que el argumento de la función se refiere a la variable x ).
En el mismo contexto, las variables que son independientes de x definen funciones constantes y, por lo tanto, se llaman constantes . Por ejemplo, una constante de integración es una función constante arbitraria que se agrega a una antiderivada particular para obtener las otras antiderivadas. Debido a la fuerte relación entre los polinomios y la función polinómica, el término "constante" se usa a menudo para denotar los coeficientes de un polinomio, que son funciones constantes de lo indeterminado.
Este uso de "constante" como abreviatura de "función constante" debe distinguirse del significado normal de la palabra en matemáticas. Una constante constante o matemática es un número bien definido de manera inequívoca u otro objeto matemático, como, por ejemplo, los números 0, 1,
π y el elemento de identidad de un grupo.
π y el elemento de identidad de un grupo.
Otros nombres específicos para las variables son:
- Un desconocido es una variable en una ecuación que debe ser resuelta.
- Un indeterminado es un símbolo, comúnmente llamado variable, que aparece en un polinomio o una serie de poder formal. Formalmente hablando, un indeterminado no es una variable, sino una constante en el anillo polinómico o el anillo de serie de poder formal. Sin embargo, debido a la fuerte relación entre los polinomios o series de potencias y las funciones que definen, muchos autores consideran indeterminadas como un tipo especial de variables.
- Un parámetro es una cantidad (generalmente un número) que es una parte de la entrada de un problema, y permanece constante durante toda la solución de este problema. Por ejemplo, en mecánica, la masa y el tamaño de un cuerpo sólido son parámetros para el estudio de su movimiento. En ciencias de la computación, el parámetro tiene un significado diferente y denota un argumento de una función.
- Variables libres y variables consolidadas
- Una variable aleatoria es un tipo de variable que se usa en la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones.
Debe enfatizarse que todas estas denominaciones de variables son de naturaleza semántica y que la forma de computar con ellas (sintaxis) es la misma para todos.
Variables dependientes e independientes
En el cálculo y su aplicación a la física y otras ciencias, es bastante común considerar una variable, digamos y , cuyos valores posibles dependen del valor de otra variable, digamos x . En términos matemáticos, la variable dependiente y representa el valor de una función de x . Para simplificar las fórmulas, a menudo es útil usar el mismo símbolo para la variable dependiente yy la función mapear x sobre y. Por ejemplo, el estado de un sistema físico depende de cantidades medibles tales como la presión, la temperatura, la posición espacial, ..., y todas estas cantidades varían cuando el sistema evoluciona, es decir, están en función del tiempo. En las fórmulas que describen el sistema, estas cantidades están representadas por variables que dependen del tiempo y, por lo tanto, se consideran implícitamente como funciones del tiempo.
Por lo tanto, en una fórmula, una variable dependiente es una variable que es implícitamente una función de otra (o de varias otras) variables. Una variable independiente es una variable que no es dependiente.
La propiedad de una variable para ser dependiente o independiente depende a menudo del punto de vista y no es intrínseca. Por ejemplo, en la notación f ( x , y , z ) , las tres variables pueden ser todas independientes y la notación representa una función de tres variables. Por otro lado, si y y z dependen de x (son variables dependientes ), entonces la notación representa una función de la variable individual independiente x .
Ejemplos
Si uno define una función f de los números reales a los números reales por
entonces x es una variable válida para el argumento de la función que se define, que puede ser cualquier número real. En la identidad
la variable i es una variable de suma que designa a su vez cada uno de los enteros 1, 2, ..., n (también se llama índice porque su variación es sobre un conjunto discreto de valores) mientras que n es un parámetro (no lo hace) variar dentro de la fórmula).
En la teoría de polinomios, un polinomio de grado 2 es generalmente denota como ax + bx + c , donde a , b y c son llamados coeficientes (que se supone que son fijos, es decir, parámetros del problema considerado), mientras que x se llama una variable. Al estudiar este polinomio para su función polinomial, esta x representa el argumento de la función. Cuando se estudia el polinomio como un objeto en sí mismo, x se toma como indeterminado y, a menudo, se escribe con una letra mayúscula para indicar este estado.
Notación
En matemáticas, las variables generalmente se denotan con una sola letra. Sin embargo, esta letra es seguido frecuentemente por un subíndice, como en x 2 , y este subíndice puede ser un número, otra variable ( x i ), una palabra o la abreviación de una palabra ( x in y x out ), e incluso una expresión matemática Bajo la influencia de la informática, uno puede encontrar en las matemáticas puras algunos nombres de variables que consisten en varias letras y dígitos.
Siguiendo al filósofo y matemático francés del siglo XVII, René Descartes, las letras al comienzo del alfabeto, por ejemplo, a , b , c , se usan comúnmente para los valores y parámetros conocidos, y las letras al final del alfabeto, por ejemplo , x , y , z y t se usan comúnmente para incógnitas y variables de funciones. En matemáticas impresas, la norma es establecer variables y constantes en un tipo de letra cursiva.
Por ejemplo, una función cuadrática general se escribe convencionalmente como:
donde una , b y c son parámetros (también llamados constantes, porque son funciones constantes), mientras que x es la variable de la función. Una forma más explícita de denotar esta función es
lo que hace que el estado del argumento de la función de x sea claro, y por lo tanto implícitamente el estado constante de a , b y c . Como c ocurre en un término que es una función constante de x , se llama término constante.
Las ramas específicas y las aplicaciones de las matemáticas generalmente tienen convenciones de nomenclatura específicas para las variables. A las variables con roles o significados similares a menudo se les asignan letras consecutivas. Por ejemplo, los tres ejes en el espacio de coordenadas 3D se llaman convencionalmente x , y y z . En física, los nombres de las variables están determinados en gran medida por la cantidad física que describen, pero existen varias convenciones de denominación. Una convención seguida a menudo en probabilidad y estadística es usar X , Y , Z para los nombres de variables aleatorias, manteniendo x , y , z para las variables que representan los valores reales correspondientes.
Hay muchos otros usos notacionales. Por lo general, las variables que desempeñan un papel similar están representadas por letras consecutivas o por la misma letra con diferente subíndice. A continuación se encuentran algunos de los usos más comunes.
- a , b , c y d (a veces extendidas a e y f ) a menudo representan parámetros o coeficientes.
- a 0 , a 1 , a 2 , ... desempeñan un papel similar, cuando de otro modo se necesitarían demasiadas letras diferentes.
- a i o u i se usa a menudo para denotar el i -ésimo término de una secuencia o el coeficiente i -ésimo de una serie.
- f y g (a veces h ) denotan comúnmente funciones.
- i , j y k (a veces l o h ) se utilizan a menudo para designar enteros o índices variables en una familia indexada. También pueden usarse para denotar vectores unitarios.
- I y W se usan a menudo para representar la longitud y el ancho de una figura.
- l también se usa para denotar una línea. En teoría de números, l menudo denota un número primo no es igual a p .
- n generalmente denota un número entero fijo, como un conteo de objetos o el grado de una ecuación.
- Cuando se necesitan dos enteros, por ejemplo para las dimensiones de una matriz, uno usa comúnmente m y n .
- p a menudo denota un número primo o una probabilidad.
- q a menudo denota una potencia principal o un cociente
- r a menudo denota un radio, un resto o un coeficiente de correlación.
- a menudo denota tiempo.
- x , y y z normalmente denotan las tres coordenadas cartesianas de un punto en geometría euclidiana. Por extensión, se usan para nombrar los ejes correspondientes.
- z típicamente denota un número complejo, o, en estadística, una variable aleatoria normal.
- α , β , γ , θ y φ comúnmente denotan medidas de ángulo.
- ε generalmente representa un número positivo arbitrariamente pequeño.
- ε y δ comúnmente denotan dos pequeños positivos.
- λ se usa para valores propios.
- σ a menudo denota una suma, o, en estadísticas, la desviación estándar.