Prueba matemática
Definición
En matemáticas, una prueba es un argumento inferencial para una declaración matemática. En el argumento, se pueden usar otras declaraciones previamente establecidas, como teoremas. En principio, una prueba puede remontarse a declaraciones autoevidentes o supuestas, conocidas como axiomas, junto con reglas de inferencia aceptadas. Los axiomas se pueden tratar como condiciones que se deben cumplir antes de aplicar la declaración. Las pruebas son ejemplos de razonamiento deductivo exhaustivo o razonamiento inductivo y se distinguen de los argumentos empíricos o del razonamiento inductivo no exhaustivo (o "expectativa razonable"). Una prueba debe demostrar que una declaración es siempre cierta (de vez en cuando, enumerando todas las posibles casos y mostrando que se mantiene en cada uno), en lugar de enumerar muchos casos confirmatorios. Una proposición no probada que se cree que es verdadera se conoce como conjetura.
Las pruebas emplean la lógica, pero generalmente incluyen cierta cantidad de lenguaje natural que generalmente admite cierta ambigüedad. De hecho, la gran mayoría de las pruebas en matemáticas escritas se pueden considerar como aplicaciones de una lógica informal rigurosa. Pruebas puramente formales, escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se consideran en la teoría de la prueba. La distinción entre pruebas formales e informales ha llevado a un examen exhaustivo de la práctica matemática actual e histórica, el cuasiempirismo en las matemáticas y las llamadas matemáticas populares (en ambos sentidos de ese término). La filosofía de las matemáticas se ocupa del papel del lenguaje y la lógica en las pruebas, y las matemáticas como lenguaje.
Historia y etimología
La palabra "prueba" proviene del latín probare que significa "probar". Las palabras modernas relacionadas son el inglés "probe", "probation" y "probability", el español probar (para oler o probar, o (menor uso) tocar o probar), italiano provare (intentar) y el alemán probieren ( intentar). El uso temprano de "probidad" fue en la presentación de evidencia legal. Se decía que una persona de autoridad, como un noble, tenía probidad, por lo que la evidencia era por su autoridad relativa, que pesaba más que el testimonio empírico.
Los argumentos de plausibilidad utilizando dispositivos heurísticos como imágenes y analogías precedieron a la prueba matemática estricta. Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera primero en relación con la geometría, que originalmente significaba lo mismo que "medición de la tierra". El desarrollo de la prueba matemática es principalmente el producto de las matemáticas griegas antiguas, y uno de los mayores logros de las mismas. Tales (624-546 aC) e Hipócrates de Quíos (c470-410 aC) demostraron algunos teoremas en geometría. Eudoxo (408-355 aC) y Teeteto (417-369 aEC) formularon teoremas pero no los probaron. Aristóteles (384-322 a. C.) dijo que las definiciones deberían describir el concepto definido en términos de otros conceptos ya conocidos. Las pruebas matemáticas fueron revolucionadas por Euclides (300 aC), quien introdujo el método axiomático todavía en uso hoy en día, comenzando con términos y axiomas indefinidos (proposiciones con respecto a los términos indefinidos asumidos como evidentemente verdaderos del griego "axios" que significa "algo digno"), y los usó para probar teoremas usando la lógica deductiva. Su libro, el Elements , fue leído por cualquiera que se considerara educado en Occidente hasta mediados del siglo XX. Además de los teoremas de la geometría, como el teorema de Pitágoras, los Elementos también cubren la teoría de los números, incluida una prueba de que la raíz cuadrada de dos es irracional y que hay infinitos números primos.
Se produjeron nuevos avances en las matemáticas islámicas medievales. Mientras que las pruebas griegas anteriores eran en gran parte demostraciones geométricas, el desarrollo de la aritmética y el álgebra por los matemáticos islámicos permitieron pruebas más generales que ya no dependían de la geometría. En el siglo X dC, el matemático iraquí Al-Hashimi proporcionó pruebas generales de los números (en lugar de demostraciones geométricas) cuando consideró la multiplicación, la división, etc. como "líneas". Él utilizó este método para proporcionar una prueba de la existencia de números irracionales. Se introdujo una prueba inductiva para las secuencias aritméticas en el Al-Fakhri (1000) por Al-Karaji, quien lo usó para probar el teorema binomial y las propiedades del triángulo de Pascal. Alhazen también desarrolló el método de prueba por contradicción, como el primer intento de probar el postulado euclidiano paralelo.
La teoría moderna de la prueba trata las pruebas como estructuras de datos definidas inductivamente. Ya no existe la suposición de que los axiomas son "verdaderos" en ningún sentido; esto permite teorías matemáticas paralelas construidas sobre conjuntos alternativos de axiomas (ver ejemplos de teoría de conjuntos axiomáticos y geometría no euclidiana).
Naturaleza y propósito
Tal como se practica, una prueba se expresa en lenguaje natural y es un argumento riguroso destinado a convencer a la audiencia de la verdad de una declaración. El estándar de rigor no es absoluto y ha variado a lo largo de la historia. Una demostración puede presentarse de manera diferente dependiendo de la audiencia prevista. Para ganar la aceptación, una prueba tiene que cumplir declaraciones comunales de rigor; un argumento considerado vago o incompleto puede ser rechazado.
El concepto de una prueba se formaliza en el campo de la lógica matemática. Una prueba formal está escrita en un lenguaje formal en lugar de un lenguaje natural. Una prueba formal se define como la secuencia de fórmulas en un lenguaje formal, en el que cada fórmula es una consecuencia lógica de las fórmulas anteriores. Tener una definición de prueba formal hace que el concepto de prueba sea susceptible de estudio. De hecho, el campo de la teoría de la prueba estudia las pruebas formales y sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de que una declaración tiene una prueba formal. Una aplicación de la teoría de la prueba es mostrar que ciertos enunciados indecidibles no son comprobables.
La definición de una prueba formal pretende capturar el concepto de pruebas tal como está escrito en la práctica de las matemáticas. La solidez de esta definición equivale a la creencia de que una prueba publicada puede, en principio, convertirse en una prueba formal. Sin embargo, fuera del campo de los asistentes de prueba automatizados, esto rara vez se hace en la práctica. Una pregunta clásica en filosofía pregunta si las pruebas matemáticas son analíticas o sintéticas. Kant, quien introdujo la distinción analítico-sintético, creía que las pruebas matemáticas son sintéticas.
Las pruebas pueden verse como objetos estéticos, admirados por su belleza matemática. El matemático Paul Erdős era conocido por describir pruebas que le parecieron particularmente elegantes como provenientes de "El Libro", un tomo hipotético que contenía los métodos más bellos para probar cada teorema. El libro Proofs from THE BOOK , publicado en 2003, está dedicado a presentar 32 pruebas que sus editores encuentran particularmente agradables.
Métodos
Prueba directa
En la prueba directa, la conclusión se establece combinando lógicamente los axiomas, las definiciones y los teoremas anteriores. Por ejemplo, la prueba directa se puede usar para establecer que la suma de dos enteros pares sea siempre par:
- Considere dos enteros pares x e y . Como son pares, se pueden escribir como x = 2 a y y = 2 b , respectivamente, para los enteros a y b . Luego, la suma x + y = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ). Por lo tanto, x + y tiene 2 como factor y, por definición, es par. Por lo tanto, la suma de dos enteros pares es par.
Esta demostración usa la definición de enteros pares, las propiedades enteras de cierre bajo suma y multiplicación y distributividad.
Prueba por inducción matemática
A pesar de su nombre, la inducción matemática es un método de deducción, no una forma de razonamiento inductivo. En la prueba por inducción matemática, se prueba un solo "caso base" y se prueba una "regla de inducción" que establece que cualquier caso arbitrario implica el siguiente caso. Dado que, en principio, la regla de inducción puede aplicarse repetidamente a partir del caso base comprobado, vemos que todos los casos (generalmente infinitos) son comprobables. Esto evita tener que probar cada caso individualmente. Una variante de la inducción matemática es la prueba de un descenso infinito, que puede usarse, por ejemplo, para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.
Una aplicación común de la prueba por inducción matemática es probar que una propiedad conocida por varios números vale para todos los números naturales: Sea N = {1,2,3,4, ... } el conjunto de números naturales, y P ( n ) sea una afirmación matemática que involucre el número natural n que pertenece a N tal que
- (i) P (1) es verdadero, es decir, P ( n ) es verdadero para n = 1 .
- (ii) P ( n +1) es verdadero siempre que P ( n ) sea verdadero, es decir, P ( n ) sea verdadero implica que P ( n +1) es verdadero.
- Entonces P ( n ) es verdadero para todos los números naturales n .
Por ejemplo, podemos probar por inducción que todos los enteros positivos de la forma 2 n - 1 son impares. Deje que P ( n ) represente " 2 n - 1 es impar":
- (i) Para n = 1 , 2 n - 1 = 2 (1) - 1 = 1 , y 1 es impar, ya que deja un resto de 1 cuando se divide por 2 . Por lo tanto, P (1) es verdadero.
- (ii) Para cualquier n , si 2 n - 1 es impar ( P ( n ) ), entonces (2 n - 1) + 2 también debe ser impar, porque agregar 2 a un número impar da como resultado un número impar. Pero (2 n - 1) + 2 = 2 n + 1 = 2 ( n +1) - 1 , entonces 2 ( n +1) - 1 es impar ( P ( n +1) ). Entonces P ( n ) implica P ( n +1) .
- Por lo tanto, 2 n - 1 es impar, para todos los enteros positivos n .
La frase más corta "prueba por inducción" se usa a menudo en lugar de "prueba por inducción matemática".
Prueba por contraposición
La prueba por contraposición deduce la conclusión "si p luego q " de la premisa "si no es q, entonces no p ". La afirmación "si no es q, luego no p " se llama la contrapositiva de la declaración "si p, luego q ". Por ejemplo, la contraposición se puede usar para establecer que, dado un número entero , si es par, entonces es par:
- Supongamos que no es par. Entonces es extraño. El producto de dos números impares es impar, por lo tanto, es impar. Por lo tanto, no es par. Por lo tanto, si es par, la suposición debe ser falsa, entonces tiene que ser par.
Prueba por contradicción
En la prueba por contradicción (también conocida como reductio ad absurdum , latín para "reducción al absurdo"), se demuestra que si alguna afirmación fuera cierta, se produce una contradicción lógica, por lo tanto, la declaración debe ser falsa. Un famoso ejemplo de prueba por contradicción muestra que es un número irracional:
- Supongamos que fuera un número racional, por lo que, por definición, donde un y b son enteros distintos de cero con ningún factor común. (Si hay un factor común, dividir el numerador y el denominador por ese factor para eliminarlo, y repetir hasta que no queda factor común. Mediante el método del descenso infinito, este proceso debe terminar.) Por lo tanto, . Al cuadrar ambos lados rinde 2 b = a . Como 2 divide el lado izquierdo, 2 también debe dividir el lado derecho (de lo contrario, un número par equivaldría a un número impar). Así que a es par, lo que implica que a también debe ser par. Entonces podemos escribir a = 2 c , donde c también es un número entero. La sustitución en la ecuación original rinde 2 b = (2 c ) = 4 c . Dividiendo ambos lados por 2 rendimientos b = 2 c . Pero luego, por el mismo argumento que antes, 2 divide a b , entonces b debe ser par. Sin embargo, si a y b son ambos pares, tienen un factor común, a saber, 2. Esto contradice nuestra suposición inicial, por lo que nos vemos obligados a concluir que es un número irracional.
Prueba por construcción
La prueba por construcción, o prueba por ejemplo, es la construcción de un ejemplo concreto con una propiedad para mostrar que algo que tiene esa propiedad existe. Joseph Liouville, por ejemplo, probó la existencia de números trascendentales al construir un ejemplo explícito. También se puede usar para construir un contraejemplo para refutar una proposición de que todos los elementos tienen una cierta propiedad.
Prueba por agotamiento
En la prueba de agotamiento, la conclusión se establece dividiéndola en un número finito de casos y probando cada uno por separado. El número de casos a veces puede llegar a ser muy grande. Por ejemplo, la primera prueba del teorema de cuatro colores fue una prueba de agotamiento con 1.936 casos. Esta prueba fue controvertida porque la mayoría de los casos fueron verificados por un programa de computadora, no a mano. La prueba más corta conocida del teorema de cuatro colores a partir de 2011 todavía tiene más de 600 casos.
Prueba probabilística
Una prueba probabilística es aquella en la que se muestra que existe un ejemplo, con certeza, mediante el uso de métodos de teoría de la probabilidad. La prueba probabilística, como prueba por construcción, es una de las muchas maneras de mostrar teoremas de existencia.
Esto no debe confundirse con un argumento de que un teorema es 'probablemente' verdadero, un 'argumento de verosimilitud'. El trabajo sobre la conjetura de Collatz muestra cuán plausible es la prueba genuina.
Mientras que la mayoría de los matemáticos no creen que la evidencia probabilística cuente como una prueba matemática genuina, algunos matemáticos y filósofos han argumentado que al menos algunos tipos de evidencia probabilística (como el algoritmo probabilístico de Rabin para probar la primalidad) son tan buenos como las pruebas matemáticas genuinas.
Prueba combinatoria
Una prueba combinatoria establece la equivalencia de diferentes expresiones al mostrar que cuentan el mismo objeto de diferentes maneras. A menudo, se usa una biyección entre dos conjuntos para mostrar que las expresiones para sus dos tamaños son iguales. Alternativamente, un argumento de doble conteo proporciona dos expresiones diferentes para el tamaño de un solo conjunto, mostrando nuevamente que las dos expresiones son iguales.
Prueba no constructiva
Una prueba no constructiva establece que existe un objeto matemático con una propiedad determinada sin explicar cómo se puede encontrar dicho objeto. A menudo, esto toma la forma de una prueba por contradicción en la que se demuestra que la no existencia del objeto es imposible. Por el contrario, una prueba constructiva establece que existe un objeto particular al proporcionar un método para encontrarlo. Un ejemplo famoso de una prueba no constructiva muestra que existen dos números irracionales a y b tales que es un número racional:
- O bien es un número racional y hemos terminado (tomar ), o es irracional para que podamos escribir y . Esto luego da , que es por lo tanto un racional de la forma
Pruebas estadísticas en matemáticas puras
La expresión "prueba estadística" puede utilizarse técnica o coloquialmente en áreas de matemática pura, como la criptografía, las series caóticas y la teoría de números probabilísticos o analíticos. Se utiliza con menos frecuencia para referirse a una prueba matemática en la rama de las matemáticas conocida como estadística matemática. Consulte también la sección "Prueba estadística usando datos" a continuación.
Pruebas asistidas por computadora
Hasta el siglo XX se asumió que cualquier prueba podría, en principio, ser revisada por un matemático competente para confirmar su validez. Sin embargo, las computadoras ahora se usan tanto para probar teoremas como para realizar cálculos que son demasiado largos para que cualquier humano o equipo de humanos los controle; la primera prueba del teorema de los cuatro colores es un ejemplo de prueba asistida por computadora. Algunos matemáticos están preocupados de que la posibilidad de un error en un programa de computadora o un error de tiempo de ejecución en sus cálculos llame la validez de tales pruebas asistidas por computadora en cuestión. En la práctica, las posibilidades de que un error invalide una prueba asistida por computadora se pueden reducir incorporando redundancia y autocomprobaciones en los cálculos, y desarrollando múltiples enfoques y programas independientes.
Declaraciones indecidibles
Una afirmación que no es demostrable ni desprovista de un conjunto de axiomas se denomina indecidible (de esos axiomas). Un ejemplo es el postulado paralelo, que no es comprobable ni refutable de los axiomas restantes de la geometría euclidiana.
Los matemáticos han demostrado que hay muchas afirmaciones que no son comprobables ni desprovistas en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de la elección (ZFC), el sistema estándar de la teoría de conjuntos en matemáticas (suponiendo que ZFC sea consistente); ver lista de declaraciones indecidible en ZFC.
El teorema de la incompletitud de Gödel (primero) muestra que muchos sistemas axiomáticos de interés matemático tendrán enunciados indecidibles.
Matemáticas heurísticas y matemáticas experimentales
Mientras que los primeros matemáticos como Eudoxus de Cnidus no usaron pruebas, desde Euclides hasta los desarrollos matemáticos fundamentales de finales del siglo XIX y XX, las pruebas fueron una parte esencial de las matemáticas. Con el aumento en el poder de cómputo en la década de 1960, se comenzó a realizar un trabajo significativo investigando objetos matemáticos fuera del marco del teorema de la prueba, en matemáticas experimentales. Los primeros pioneros de estos métodos pretendían que el trabajo finalmente se integrara en un marco teórico clásico de pruebas, por ejemplo, el desarrollo inicial de la geometría fractal, que en última instancia estaba tan incrustada.
Conceptos relacionados
Prueba visual
Aunque no es una prueba formal, una demostración visual de un teorema matemático a veces se denomina "prueba sin palabras". La imagen de la izquierda a continuación es un ejemplo de una prueba visual histórica del teorema de Pitágoras en el caso del triángulo (3,4,5).
Prueba visual para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 AC.
Prueba visual animada para el teorema de Pitágoras por reordenamiento.
Una segunda prueba animada del teorema de Pitágoras.
Algunas pruebas visuales ilusorias, como el rompecabezas cuadrado faltante, se pueden construir de una manera que parece demostrar un supuesto hecho matemático, pero solo bajo la presencia de pequeños errores (por ejemplo, líneas supuestamente rectas que en realidad se curvan ligeramente) que son imperceptible hasta que toda la imagen se examina de cerca, con longitudes y ángulos medidos o calculados con precisión.
Prueba elemental
Una prueba elemental es una prueba que solo usa técnicas básicas. Más específicamente, el término se usa en teoría de números para referirse a pruebas que no usan el análisis complejo. Durante algún tiempo se pensó que ciertos teoremas, como el teorema del número primo, solo podían ser probados utilizando las matemáticas "superiores". Sin embargo, con el tiempo, muchos de estos resultados han sido reprobados usando solo técnicas elementales.
Prueba de dos columnas
Una forma particular de organizar una prueba usando dos columnas paralelas se usa a menudo en las clases de geometría elemental en los Estados Unidos. La prueba está escrita como una serie de líneas en dos columnas. En cada línea, la columna de la izquierda contiene una proposición, mientras que la columna de la derecha contiene una breve explicación de cómo la proposición correspondiente en la columna de la izquierda es un axioma, una hipótesis o puede derivarse lógicamente de proposiciones anteriores . La columna de la izquierda suele estar encabezada por "Declaraciones" y la columna de la derecha por lo general se titula "Razones".
Uso coloquial de "prueba matemática"
La expresión "prueba matemática" es utilizada por personas legas para referirse al uso de métodos matemáticos o argumentar con objetos matemáticos, como números, para demostrar algo sobre la vida cotidiana, o cuando los datos utilizados en un argumento son numéricos. A veces también se usa para indicar una "prueba estadística" (a continuación), especialmente cuando se usa para argumentar a partir de los datos.
Prueba estadística usando datos
La "prueba estadística" de los datos se refiere a la aplicación de estadísticas, análisis de datos o análisis bayesiano para inferir proposiciones con respecto a la probabilidad de los datos. Al usar pruebas matemáticas para establecer teoremas en las estadísticas, generalmente no es una prueba matemática en el sentido de que los supuestos de los cuales se derivan las declaraciones de probabilidad requieren evidencia empírica de las matemáticas externas para verificar. En física, además de los métodos estadísticos, la "prueba estadística" puede referirse a los métodos matemáticos especializados de la física. aplicado para analizar datos en un experimento de física de partículas o estudio observacional en cosmología física. La "prueba estadística" también puede referirse a datos brutos o a un diagrama convincente que involucra datos, como diagramas de dispersión, cuando los datos o el diagrama son convincentes de manera adecuada sin más análisis.
Pruebas de lógica inductiva y análisis bayesiano
Las pruebas que usan la lógica inductiva, aunque se consideran de naturaleza matemática, buscan establecer proposiciones con un grado de certeza, que actúa de manera similar a la probabilidad y puede ser menos que la certeza total. La lógica inductiva no debe confundirse con la inducción matemática.
El análisis bayesiano usa el teorema de Bayes para actualizar la evaluación de una persona de las probabilidades de hipótesis cuando se adquiere nueva evidencia o información.
Pruebas como objetos mentales
El psicologismo ve las pruebas matemáticas como objetos psicológicos o mentales. Los filósofos matemáticos, como Leibniz, Frege y Carnap, han criticado de diversas maneras este punto de vista e intentaron desarrollar una semántica para lo que consideraban el lenguaje del pensamiento, según el cual los estándares de la prueba matemática podían aplicarse a la ciencia empírica.
Influencia de los métodos de prueba matemática fuera de las matemáticas
Los filósofos-matemáticos como Spinoza han intentado formular argumentos filosóficos de una manera axiomática, mediante el cual los estándares matemáticos de prueba podrían aplicarse a la argumentación en la filosofía general. Otros matemáticos-filósofos han tratado de usar los estándares de la prueba matemática y la razón, sin empirismo, para llegar a enunciados fuera de las matemáticas, pero teniendo la certeza de las proposiciones deducidas en una prueba matemática, como el argumento cogito de Descartes .
Terminando una prueba
A veces, la abreviatura "QED" se escribe para indicar el final de una prueba. Esta abreviatura significa "Quod Erat Demonstrandum" , que en latín significa "lo que se iba a demostrar" . Una alternativa más común es usar un cuadrado o un rectángulo, como □ o ∎, conocido como "lápida" o "halmos" después de su epónimo Paul Halmos. A menudo, "lo que se iba a mostrar" se expresa verbalmente al escribir "QED", "□" o "∎" durante una presentación oral.