Número natural
Definición
En matemáticas, los números naturales son los que se usan para contar (como en "hay seis monedas en la mesa") y ordenar (como en "esta es la tercera ciudad más grande del país"). En lenguaje común, las palabras usadas para contar son "números cardinales" y las palabras usadas para ordenar son "números ordinales".
Algunas definiciones, incluido el estándar ISO 80000-2, comienzan los números naturales con 0, que corresponden a los enteros no negativos 0, 1, 2, 3, ... , mientras que otros comienzan con 1, que corresponde a los enteros positivos 1, 2, 3, ... . Los textos que excluyen cero de los números naturales a veces se refieren a los números naturales junto con cero como números enteros , pero en otras escrituras, ese término se usa en cambio para los enteros (incluidos los enteros negativos).
Los números naturales son la base a partir de la cual se pueden construir muchos otros conjuntos de números por extensión: los enteros, incluyendo (si aún no está) el elemento neutral 0 y un inverso aditivo (- n ) para cada número natural distinto de cero n ; los números racionales, al incluir un inverso multiplicativo (1 / n ) para cada entero distinto de cero n (y también el producto de estos inversos por enteros); los números reales al incluir con los racionales los límites de las secuencias (convergentes) de Cauchy de los racionales; los números complejos, al incluir con los números reales la raíz cuadrada no resuelta de menos uno (y también las sumas y productos de los mismos); y así. Estas cadenas de extensiones hacen que los números naturales se incrustan canónicamente (identificados) en los otros sistemas numéricos.
Las propiedades de los números naturales, como la divisibilidad y la distribución de los números primos, se estudian en la teoría de los números. Los problemas relacionados con el conteo y el ordenamiento, como particiones y enumeraciones, se estudian en combinatoria.
En un lenguaje común, por ejemplo en la escuela primaria, los números naturales pueden llamarse números de conteo tanto para excluir intuitivamente los enteros negativos como cero, y también para contrastar la discreción de contar con la continuidad de la medición, establecida por los números reales.
Los números naturales pueden, a veces, aparecer como un conjunto conveniente de nombres (etiquetas), es decir, como lo que los lingüistas llaman números nominales, renunciando a muchas o todas las propiedades de ser un número en un sentido matemático.
Historia
Raíces antiguas
El método más primitivo de representar un número natural es poner una marca para cada objeto. Más tarde, un conjunto de objetos podría probarse para determinar la igualdad, el exceso o la escasez, tachando una marca y quitando un objeto del conjunto.
El primer gran avance en la abstracción fue el uso de números para representar números. Esto permitió desarrollar sistemas para registrar números grandes. Los antiguos egipcios desarrollaron un poderoso sistema de numerales con distintos jeroglíficos para 1, 10 y todos los poderes de 10 hasta más de 1 millón. Una talla de piedra de Karnak, que data de alrededor de 1500 aC y ahora en el Louvre de París, representa 276 como 2 cientos, 7 decenas y 6 unidades; y de manera similar para el número 4,622. Los babilonios tenían un sistema de valor de posición basado esencialmente en los números para 1 y 10, usando la base sesenta, de modo que el símbolo para sesenta era el mismo que el símbolo para uno, y su valor se determinaba a partir del contexto.
Un avance mucho más posterior fue el desarrollo de la idea de que 0 puede considerarse como un número, con su propio número. El uso de una notación de valor de posición de 0 dígitos (dentro de otros números) se remonta ya en el 700 aC por los babilonios, pero omitieron ese dígito cuando hubiera sido el último símbolo en el número. Las civilizaciones olmeca y maya usaron 0 como un número separado ya en el siglo I aC , pero este uso no se extendió más allá de Mesoamérica. El uso de un número 0 en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en 628. Sin embargo, 0 se había usado como un número en el computus medieval (el cálculo de la fecha de Pascua), comenzando con Dionysius Exiguus en 525, sin ser denotado por un número (los números romanos estándar no tienen un símbolo para 0); en cambio nulla (o la forma genitiva nullae ) de nullus , la palabra latina para "ninguno", se empleó para denotar un valor 0.
El primer estudio sistemático de los números como abstracciones suele atribuirse a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes. Algunos matemáticos griegos trataron el número 1 de manera diferente a los números más grandes, a veces incluso no como un número en absoluto.
Los estudios independientes también ocurrieron casi al mismo tiempo en India, China y Mesoamérica.
Definiciones modernas
En la Europa del siglo XIX, hubo una discusión matemática y filosófica sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Una escuela de Naturalismo declaró que los números naturales eran una consecuencia directa de la psique humana. Henri Poincaré fue uno de sus defensores, al igual que Leopold Kronecker quien resumió "Dios hizo los enteros, todo lo demás es obra del hombre".
En oposición a los naturalistas, los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas. En la década de 1860, Hermann Grassmann sugirió una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de las definiciones. Más tarde, se construyeron dos clases de tales definiciones formales; más tarde, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.
Fige inició definiciones teóricas de conjuntos de números naturales e inicialmente definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia uno-a-uno con un conjunto particular, pero esta definición resultó en paradojas, incluida la paradoja de Russell. . Por lo tanto, este formalismo se modificó para que un número natural se defina como un conjunto particular, y se dice que cualquier conjunto que se puede poner en correspondencia uno a uno con ese conjunto tiene esa cantidad de elementos.
La segunda clase de definiciones fue introducida por Charles Sanders Peirce, refinado por Richard Dedekind, y más explorado por Giuseppe Peano; este enfoque ahora se llama aritmética de Peano. Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales: cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un predecesor único. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. Uno de estos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. Los teoremas que se pueden probar en ZFC pero que no se pueden probar usando los Axiomas de Peano incluyen el teorema de Goodstein.
Con todas estas definiciones, es conveniente incluir 0 (que corresponde al conjunto vacío) como un número natural. Incluir 0 es ahora la convención común entre los teóricos y lógicos establecidos. Otros matemáticos también incluyen 0 aunque muchos han conservado la tradición anterior y toman 1 para ser el primer número natural. Los informáticos a menudo comienzan desde cero al enumerar elementos como los contadores de bucles y los elementos de cadena o de matriz.
Notación
Los matemáticos usan N o ℕ (una N en negrita negrita) para referirse al conjunto de todos los números naturales. Los textos antiguos también han usado ocasionalmente J como el símbolo de este conjunto. Este conjunto es infinitamente contable: es infinito pero contable por definición. Esto también se expresa diciendo que el número cardinal del conjunto es aleph-nada ( ℵ 0 ).
Para no ser ambiguo sobre si 0 está incluido o no, a veces se agrega un índice (o superíndice) "0" en el primer caso, y se agrega un superíndice " * " o un subíndice " > 0 " en este último caso:
- ℕ = ℕ 0 = {0, 1, 2, ...}
- ℕ = ℕ = ℕ 1 = ℕ > 0 = {1, 2, ...} .
Alternativamente, los números naturales se pueden distinguir de los enteros positivos con la notación del índice, pero debe entenderse por el contexto que, dado que ambos símbolos se usan, los números naturales contienen cero.
- ℕ = {0, 1, 2, ...} .
- ℤ = {1, 2, ...} .
Propiedades
Adición
Uno puede definir recursivamente un operador de suma en los números naturales al establecer un + 0 = a y a + S ( b ) = S ( a + b ) para todos los a , b . Aquí S debe leerse como "sucesor". Esto convierte los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con el elemento de identidad 0, el llamado objeto libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad de cancelación y puede integrarse en un grupo (en el sentido matemático del grupo depalabras ). El grupo más pequeño que contiene los números naturales son los enteros.
Si 1 se define como S (0) , entonces b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . Es decir, b + 1 es simplemente el sucesor de b .
Multiplicación
Análogamente, dado que se ha definido la adición, se puede definir un operador de multiplicación × mediante un × 0 = 0 y a × S ( b ) = ( a × b ) + a . Esto convierte (ℕ, ×) en un monoide conmutativo libre con el elemento de identidad 1; un grupo electrógeno para este monoide es el conjunto de números primos.
Relación entre suma y multiplicación
La suma y la multiplicación son compatibles, lo que se expresa en la ley de distribución: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Estas propiedades de suma y multiplicación hacen que los números naturales sean un ejemplo de semirección conmutativa. Los semilleros son una generalización algebraica de los números naturales donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa. La falta de inversos aditivos, que es equivalente al hecho de que ℕ no se cierra por sustracción (es decir, restar uno natural de otro no siempre resulta en otro natural), significa que ℕ no es un anillo; en cambio, es un semired (también conocido como rig ).
Si los números naturales se toman como "excluyendo 0", y "comenzando en 1", las definiciones de + y × son como arriba, excepto que comienzan con a + 1 = S ( a ) y a × 1 = a .
Orden
En esta sección, las variables yuxtapuestas como ab indican el producto a × b , y se supone el orden estándar de las operaciones.
Un orden total en los números naturales se define dejando un ≤ b si y solo si existe otro número natural c donde a + c = b . Esta orden es compatible con el operationsin aritmética el siguiente sentido: si una , b y c son números naturales y un ≤ b , a continuación, un + c ≤ b + c y ac ≤ bc .
Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados: cada conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal; para los números naturales, esto se denota como
ω (omega).
ω (omega).
División
En esta sección, las variables yuxtapuestas como ab indican el producto a × b , y se supone el orden estándar de las operaciones.
Si bien en general no es posible dividir un número natural por otro y obtener un número natural como resultado, el procedimiento de división con resto está disponible como sustituto: para dos números naturales a y b con b ≠ 0 hay números naturales q y r tal que
- a = bq + r y r < b .
El número q se llama cociente y r se llama el resto de la división de a por b . Los números de q y r son determinadas unívocamente por una y b . Esta división euclidiana es clave para varias otras propiedades (divisibilidad), algoritmos (como el algoritmo euclidiano) e ideas en teoría de números.
Propiedades algebraicas satisfechas por los números naturales
Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) en números naturales como se definió anteriormente tienen varias propiedades algebraicas:
- Cierre bajo suma y multiplicación: para todos los números naturales a y b , tanto a + b como a × b son números naturales.
- Asociatividad: para todos los números naturales a , b y c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a × ( b × c ) = ( a × b ) × c .
- Conmutatividad: para todos los números naturales a y b , a + b = b + a y a × b = b × a .
- Existencia de elementos de identidad: para cada número natural a , a + 0 = a y a × 1 = a .
- Distributividad de la multiplicación sobre la suma para todos los números naturales a , b y c, a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
- No hay divisores cero distintos de cero: si a y b son números naturales tales que a × b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 (o ambos).
Generalizaciones
Dos importantes generalizaciones de los números naturales surgen de los dos usos de contar y ordenar: números cardinales y números ordinales.
- Se puede usar un número natural para expresar el tamaño de un conjunto finito; más precisamente, un número cardinal es una medida para el tamaño de un conjunto, que incluso es adecuado para conjuntos infinitos. Este concepto de "tamaño" se basa en mapas entre conjuntos, de modo que dos conjuntos tienen el mismo tamaño, exactamente si existe una biyección entre ellos. Se dice que el conjunto de números naturales en sí, y cualquier imagen biyectiva de él, son infinitamente contables y tienen cardinalidad aleph-null ( ℵ 0 ).
- Los números naturales también se usan como números ordinales lingüísticos: "primero", "segundo", "tercero", y así sucesivamente. De esta forma, pueden asignarse a los elementos de un conjunto finito totalmente ordenado, y también a los elementos de cualquier conjunto contable infinito ordenado. Esta asignación se puede generalizar a ordenamientos de pozo generales con una cardinalidad más allá de la contabilización, para dar los números ordinales. También se puede usar un número ordinal para describir la noción de "tamaño" para un conjunto bien ordenado, en un sentido diferente de la cardinalidad: si hay un isomorfismo de orden (¡más que una biyección!) Entre dos conjuntos bien ordenados, tener el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como ω ; este es también el número ordinal del conjunto de números naturales en sí.
Muchos conjuntos bien ordenados con número cardinal ℵ 0 tienen un número ordinal mayor que ω (este último es el más bajo posible). El mínimo ordinal de cardinalidad ℵ 0 (es decir, el ordinal inicial) es ω .
Para los conjuntos finitos bien ordenados, existe una correspondencia uno a uno entre los números ordinales y cardinales; por lo tanto, ambos pueden expresarse mediante el mismo número natural, la cantidad de elementos del conjunto. Este número también se puede usar para describir la posición de un elemento en una secuencia finita más grande o infinita.
Un modelo de aritmética no estándar contable que satisface la aritmética de Peano (es decir, los axiomas de Peano de primer orden) fue desarrollado por Skolem en 1933. Los números hipernaturales son un modelo incontable que se puede construir a partir de los números naturales ordinarios a través de la construcción de ultra potencia.
Georges Reeb solía decir provocativamente que los enteros ingenuos no se llenan ℕ . Otras generalizaciones se discuten en el artículo sobre números.
Definiciones formales
Axiomas de Peano
Muchas propiedades de los números naturales se pueden derivar de los cinco axiomas de Peano:
- 0 es un número natural.
- Cada número natural tiene un sucesor.
- 0 no es el sucesor de ningún número natural.
- Si el sucesor de es igual al sucesor de , entonces es igual .
- El axioma de inducción: si una afirmación es verdadera para 0, y si la verdad de esa afirmación para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces la afirmación es verdadera para cada número natural.
Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, pero se nombran en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de es . Al reemplazar el Axiom Five por un esquema de axioma, se obtiene una teoría de primer orden (más débil) llamada Peano Arithmetic.
Construcciones basadas en teoría de conjuntos
Órdenes de Von Neumann
En el área de las matemáticas llamada teoría de conjuntos, una construcción específica debido a John von Neumann define los números naturales de la siguiente manera:
- Establecer 0 = {} , el conjunto vacío,
- Defina S ( a ) = a ∪ { a } para cada conjunto a . S ( a ) es el sucesor de a , y S se llama la función sucesora.
- Por el axioma del infinito, existe un conjunto que contiene 0 y se cierra bajo la función sucesora. Se dice que tales conjuntos son "inductivos". La intersección de todos estos conjuntos inductivos se define como el conjunto de números naturales. Se puede verificar que el conjunto de números naturales satisfaga los axiomas de Peano.
- Se deduce que cada número natural es igual al conjunto de todos los números naturales menos que él:
- 0 = {} ,
- 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{}} ,
- 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{}, {{}}} ,
- 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ,
- n = n -1 ∪ { n -1} = {0, 1, ..., n -1} = {{}, {{}}, ..., {{}, {{}}, ...}} , etc.
Con esta definición, un número natural n es un conjunto particular con n elementos, yn ≤ m si y solo si n es un subconjunto de m . La definición estándar, ahora llamada definición de ordinalesde von Neumann , es: "cada ordinal es el conjunto bien ordenado de todos los ordinales más pequeños".
Además, con esta definición, coinciden diferentes posibles interpretaciones de notaciones como ℝ ( n -tuples versus mapeos de n en ℝ ).
Incluso si uno no acepta el axioma del infinito y, por lo tanto, no puede aceptar que exista el conjunto de todos los números naturales, aún es posible definir cualquiera de estos conjuntos.
Ordinales de Zermelo
Aunque la construcción estándar es útil, no es la única construcción posible. La construcción de Ernst Zermelo es la siguiente:
- Establecer 0 = {}
- Definir S ( a ) = { a } ,
- Luego sigue eso
- 0 = {} ,
- 1 = {0} = {{}} ,
- 2 = {1} = {{{}}} ,
- n = { n -1} = {{{...}}} , etc.
- Cada número natural es entonces igual al conjunto que contiene solo el número natural que lo precede. (Esta es la definición de los ordinales de Zermelo ).