Sustracción
Definición
La resta es una operación aritmética que representa la operación de eliminar objetos de una colección. El resultado de una resta se llama diferencia . La resta está significada por el signo menos (-). Por ejemplo, en la imagen adyacente, hay 5 - 2 manzanas, lo que significa 5 manzanas con 2 quitadas, que es un total de 3 manzanas. Por lo tanto, la diferencia de 5 y 2 es 3, es decir, 5 - 2 = 3 . La resta representa la eliminación o disminución de cantidades físicas y abstractas utilizando diferentes tipos de objetos, incluidos números negativos, fracciones, números irracionales, vectores, decimales, funciones y matrices.
La resta sigue varios patrones importantes. Es anticommutativo, lo que significa que cambiar el orden cambia el signo de la respuesta. No es asociativo, lo que significa que cuando uno resta más de dos números, importa el orden en que se realiza la resta. La resta de 0 no cambia un número. La resta también obedece a reglas predecibles sobre operaciones relacionadas, como la suma y la multiplicación. Todas estas reglas pueden ser probadas, comenzando con la resta de enteros y generalizando a través de los números reales y más allá. Las operaciones binarias generales que continúan estos patrones se estudian en álgebra abstracta.
Realizar la resta es una de las tareas numéricas más simples. La resta de números muy pequeños es accesible para los niños pequeños. En la educación primaria, a los estudiantes se les enseña a restar números en el sistema decimal, comenzando con un solo dígito y abordando progresivamente problemas más difíciles.
En el álgebra avanzada y en el álgebra de la computadora, una expresión que involucra la resta como A - B generalmente se trata como una notación abreviada para la adición A + (- B ) . Por lo tanto, A - B contiene dos términos, a saber, A y - B . Esto permite un uso más fácil de asociatividad y conmutatividad.
Notación y terminología
La resta se escribe usando el signo menos "-" entre los términos; es decir, en notación infija. El resultado se expresa con un signo igual. Por ejemplo,
- (verbalmente, "dos menos uno es igual a uno")
- (verbalmente, "cuatro menos dos es igual a dos")
- (verbalmente, "seis menos tres es igual a tres")
- (verbalmente, "cuatro menos seis es igual a dos negativos")
También hay situaciones en las que la resta se "entiende" aunque no aparezca ningún símbolo:
- Una columna de dos números, con el número más bajo en rojo, generalmente indica que se debe restar el número más bajo en la columna, con la diferencia escrita debajo, debajo de una línea. Esto es más común en contabilidad.
Formalmente, el número que se resta se conoce como el sustraendo , mientras que el número del que se resta es el minuendo . El resultado es la diferencia .
Toda esta terminología deriva del latín. "Resta" es una palabra en Inglés derivado del verbo latino subtrahere , que es a su vez un compuesto de sub "de bajo" y trahere "tirar"; por lo tanto, restar es dibujar desde abajo, quitar . Usar el sufijo de gerundio y los resultados en "substraer", "cosa que se restará". Del mismo modo, desde minuere "para reducir o disminuir", uno obtiene "minuendo", "cosa que se disminuirá".
De enteros y números reales
Enteros
Imagine un segmento de línea de longitud b con el extremo izquierdo etiquetado como a y el extremo derecho etiquetado como c . Comenzando desde a , toma b pasos a la derecha para llegar a c . Este movimiento a la derecha se modela matemáticamente por adición:
- a + b = c .
Desde c , toma b pasos a la izquierda para volver a a . Este movimiento a la izquierda se modela por sustracción:
- c - b = a .
Ahora, un segmento de línea etiquetado con los números 1, 2 y 3. Desde la posición 3, no toma pasos hacia la izquierda para permanecer en 3, entonces 3 - 0 = 3 . Se necesitan 2 pasos a la izquierda para llegar a la posición 1, por lo que 3 - 2 = 1 . Esta imagen es inadecuada para describir lo que sucedería después de ir 3 pasos a la izquierda de la posición 3. Para representar tal operación, la línea debe extenderse.
Para restar números naturales arbitrarios, uno comienza con una línea que contiene todos los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). De 3, toma 3 pasos a la izquierda para llegar a 0, entonces 3 - 3 = 0 . Pero 3 - 4 sigue siendo inválido ya que nuevamente deja la línea. Los números naturales no son un contexto útil para la resta.
La solución es considerar la recta numérica entera (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). De 3, toma 4 pasos hacia la izquierda para llegar a -1:
- 3 - 4 = -1 .
Números naturales
La resta de números naturales no está cerrada. La diferencia no es un número natural a menos que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Por ejemplo, 26 no se puede restar de 11 para dar un número natural. Tal caso usa uno de dos enfoques:
- Digamos que 26 no se puede restar de 11; la resta se convierte en una función parcial.
- Da la respuesta como un número entero que representa un número negativo, por lo que el resultado de restar 26 de 11 es -15.
Numeros reales
La resta de números reales se define como la suma de números con signo. Específicamente, se resta un número agregando su inverso aditivo. Entonces tenemos 3 - π = 3 + (-π) . Esto ayuda a mantener el anillo de números reales "simple" al evitar la introducción de operadores "nuevos" como la resta. Por lo general, un anillo solo tiene dos operaciones definidas en él; en el caso de los enteros, estos son suma y multiplicación. Un anillo ya tiene el concepto de inversas aditivas, pero no tiene ninguna noción de una operación de resta separada, por lo que el uso de la suma con signo como sustracción nos permite aplicar los axiomas del anillo a la resta sin necesidad de probar nada.
Propiedades
Anticomutatividad
La resta es anti-conmutativa, lo que significa que si uno invierte los términos en una diferencia de izquierda a derecha, el resultado es el resultado negativo del original. Simbólicamente, si a y b son dos números, entonces
- a - b = - ( b - a) .
No asociatividad
La resta no asociativa, que aparece cuando se trata de definir restas repetidas. Debería la expresión
- " a - b - c "
definirse para significar ( a - b ) - c o a - ( b - c )? Estas dos posibilidades dan respuestas diferentes. Para resolver este problema, uno debe establecer un orden de operaciones, con diferentes órdenes dando diferentes resultados.
Predecesor
En el contexto de los enteros, la resta de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a , el entero ( a - 1) es el entero más grande menor que a , también conocido como el predecesor de a .
Unidades de medida
Al restar dos números con unidades de medida, como kilogramos o libras, deben tener la misma unidad. En la mayoría de los casos, la diferencia tendrá la misma unidad que los números originales.
Porcentajes
Los cambios en los porcentajes se pueden informar en al menos dos formas, cambio de porcentaje y cambio de punto porcentual. El cambio porcentual representa el cambio relativo entre las dos cantidades como un porcentaje, mientras que el cambio del punto porcentual es simplemente el número obtenido al restar los dos porcentajes.
Como ejemplo, suponga que el 30% de los widgets fabricados en una fábrica son defectuosos. Seis meses después, el 20% de los widgets son defectuosos. El cambio porcentual es -33 13 %, mientras que el cambio del punto porcentual es -10 puntos porcentuales.
En informática
El método de complementos es una técnica utilizada para restar un número de otro utilizando solo la suma de números positivos. Este método se usaba comúnmente en las calculadoras mecánicas y todavía se usa en las computadoras modernas.
Dígito binario | El complemento de uno |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Para restar un número binario y (el sustraendo) de otro número x (el minuendo), el complemento de y se agrega a x y se agrega uno a la suma. El dígito inicial "1" del resultado se descarta.
El método de complementos es especialmente útil en binario (raíz 2) ya que el complemento de las personas se obtiene fácilmente invirtiendo cada bit (cambiando "0" a "1" y viceversa). Y agregar 1 para obtener el complemento de dos se puede hacer simulando un acarreo en el bit menos significativo. Por ejemplo:
01100100 (x, es igual a 100 decimales) - 00010110 (y, es igual a decimal 22)
se convierte en la suma:
01100100 (x) + 11101001 (complemento de uno de y) + 1 (para obtener el complemento de los dos) ---------- 101001110
Dejar caer el "1" inicial da la respuesta: 01001110 (es igual al decimal 78)
La enseñanza de la resta en las escuelas
Los métodos utilizados para enseñar la resta a la escuela primaria varían de un país a otro, y dentro de un país, diferentes métodos están de moda en diferentes momentos. En lo que es, en los Estados Unidos, llamado matemática tradicional, un proceso específico se enseña a los estudiantes al final del primer año o durante el segundo año para su uso con números enteros de varios dígitos, y se extiende en el cuarto o quinto grado para incluir representaciones decimales de números fraccionarios.
En América
Casi todas las escuelas estadounidenses actualmente enseñan un método de sustracción utilizando préstamos o reagrupación (el algoritmo de descomposición) y un sistema de marcas llamado muletas. Aunque un método de endeudamiento había sido conocido y publicado en libros de texto anteriormente, el uso de muletas en las escuelas estadounidenses se extendió después de que William A. Brownell publicó un estudio afirmando que eran muletas beneficioso para los estudiantes que utilizan este método. Este sistema cogió rápidamente, desplazando a los otros métodos de sustracción en uso en América en ese momento.
En Europa
Algunas escuelas europeas emplean un método de sustracción llamado método austriaco, también conocido como el método de las adiciones. No hay préstamos en este método. También hay muletas (marcas para ayudar a la memoria), que varían según el país.
Comparando los dos métodos principales
Ambos métodos descomponen la resta como un proceso de restas de un dígito por valor de posición. Comenzando con un dígito menos significativo, una resta de sustraendo:
- s j s j -1 ... s 1
de minuend
- m k m k -1 ... m 1 ,
donde cada s i y m i es un dígito, procede anotando m 1 - s 1 , m 2 - s 2 , y así sucesivamente, siempre que s i no exceda m i . De lo contrario, m i se incrementa en 10 y otro dígito se modifica para corregir este aumento. El método estadounidense corrige al intentar disminuir el dígito de minuendo m i +1 por uno (o continuar el préstamo a la izquierda hasta que haya un dígito distinto de cero para tomar prestado). El método europeo corrige aumentando el número de sustracción s i+1 en uno.
Ejemplo: 704 - 512.
El minuendo es 704, el sustraendo es 512. Los dígitos del minuendo son m 3 = 7 , m 2 = 0 y m 1 = 4 . Los dígitos del sustraendo son s 3 = 5 , s 2 = 1 y s 1 = 2. Comenzando por el lugar de uno, 4 no es menor que 2, por lo que la diferencia 2 se anota en el lugar del resultado. En el lugar de los diez, 0 es menor que 1, por lo que el 0 se incrementa en 10, y la diferencia con 1, que es 9, se anota en el lugar de los diez. El método estadounidense corrige el aumento de diez al reducir el número en cientos de lugares del minuendo. Es decir, el 7 se tacha y se reemplaza por un 6. La resta continúa en el lugar de las centenas, donde 6 no es inferior a 5, por lo que la diferencia se anota en el lugar de los cien del resultado. Ya hemos terminado, el resultado es 192.
El método austriaco no reduce el 7 a 6. Más bien incrementa el dígito del sustraendio en uno. Se hace una pequeña marca cerca o debajo de este dígito (dependiendo de la escuela). Luego, la resta procede preguntando qué número cuando se incrementa en 1, y se le agrega 5, hace 7. La respuesta es 1, y se anota en el lugar del resultado del centenar.
Hay una sutileza adicional en que el estudiante siempre emplea una tabla de resta mental en el método estadounidense. El método austríaco a menudo alienta al estudiante a usar mentalmente la tabla de adición al revés. En el ejemplo anterior, en lugar de agregar 1 a 5, obtener 6 y restarlo de 7, se le pide al estudiante que considere qué número, cuando se incrementa en 1 y se le agrega 5, hace 7.
Resta a mano
Método austríaco
Ejemplo:
1 + ... = 3
La diferencia está escrita debajo de la línea.
9 + ... = 5 ¡
La suma requerida (5) es demasiado pequeña!
Entonces, le agregamos 10 y ponemos un 1 debajo del siguiente lugar más alto en el sustraendo.
9 + ... = 15
Ahora podemos encontrar la diferencia como antes.
(4 + 1) + ... = 7
La diferencia está escrita debajo de la línea.
La diferencia total
Resta de izquierda a derecha
Ejemplo:
7 - 4 = 3
Este resultado solo está escrito en lápiz.
Debido a que el siguiente dígito del minuendo es más pequeño que el sustraendo, restamos uno de nuestro número a lápiz y sumamos mentalmente diez a la siguiente.
15 - 9 = 6
Debido a que el siguiente dígito en el minuendo no es más pequeño que el sustraendo, guardamos este número.
3 - 1 = 2
Método estadounidense
En este método, cada dígito del sustraendo se resta del dígito superior que comienza de derecha a izquierda. Si el número superior es demasiado pequeño para restar el número inferior, le agregamos 10; este 10 es "prestado" del dígito superior a la izquierda, del cual restamos 1. Luego pasamos a restar el siguiente dígito y pedir prestado según sea necesario, hasta que cada dígito ha sido restado. Ejemplo:
3 - 1 = ...
Escribimos la diferencia debajo de la línea.
5 - 9 = ... ¡
El minuendo (5) es demasiado pequeño!
Entonces, le agregamos 10. El 10 es "prestado" del dígito de la izquierda, que baja 1.
15 - 9 = ...
Ahora la resta funciona, y escribimos la diferencia debajo de la línea.
6 - 4 = ...
Escribimos la diferencia debajo de la línea.
La diferencia total
Negociar primero
Una variante del método estadounidense donde todos los préstamos se realizan antes de todas las restas.
Ejemplo:
1 - 3 = no es posible.
Agregamos un 10 a 1. Debido a que el 10 es "prestado" de los 5 cercanos, el 5 se baja por 1.
4 - 9 = no es posible.
Entonces procedemos como en el paso 1.
Trabajando de derecha a izquierda:
11 - 3 = 8
14 - 9 = 5
6 - 4 = 2
Diferencias parciales
El método de diferencias parciales es diferente de otros métodos de sustracción vertical porque no tiene lugar el préstamo o el traslado. En su lugar, uno coloca signos más o menos dependiendo de si el minuendo es mayor o menor que el sustraendo. La suma de las diferencias parciales es la diferencia total.
Ejemplo:
El número menor se resta del mayor:
700 - 400 = 300
Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo más.
El número más pequeño se resta del mayor:
90 - 50 = 40
Debido a que el minuendo es más pequeño que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo menos.
El número más pequeño se resta del mayor:
3 - 1 = 2
Debido a que el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo más.
+300 - 40 + 2 = 262
Métodos no verticales
Contando
En lugar de encontrar la diferencia dígito por dígito, uno puede contar los números entre el sustraendo y el minuendo.
Ejemplo: 1234 - 567 = se puede encontrar mediante los siguientes pasos:
- 567 + 3 = 570
- 570 + 30 = 600
- 600 + 400 = 1000
- 1000 + 234 = 1234
Sume el valor de cada paso para obtener la diferencia total: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .
Rompiendo la resta
Otro método que es útil para la aritmética mental es dividir la resta en pequeños pasos.
Ejemplo: 1234 - 567 = puede ser resuelto de la siguiente manera:
- 1234 - 500 = 734
- 734 - 60 = 674
- 674 - 7 = 667
Mismo cambio
El mismo método de cambio utiliza el hecho de que sumar o restar el mismo número del minuendo y el sustraendo no cambia la respuesta. Uno agrega la cantidad necesaria para obtener ceros en el sustraendo.
Ejemplo:
"1234 - 567 =" se puede resolver de la siguiente manera:
- 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667