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Gráficos de funciones logaritmo de tres bases comúnmente utilizadas. Los puntos especiales

log b b = 1

se indican mediante líneas de puntos, y

log b 1 = 0

es donde se cruzan las curvas.

En matemáticas, el logaritmo es la función inversa a la exponenciación. Eso significa que el logaritmo de un número dado

x

es el exponente al que debe elevarse otro número fijo, la base

b

, para producir ese número

x

. En el caso más simple, el logaritmo cuenta la multiplicación repetida del mismo factor; por ejemplo, dado que

1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10

, el "logaritmo a base

10

" de

1000

es

3

. El logaritmo de

x

a la base

b

se denota como

log b (x)

(o, sin paréntesis, como

registro b x

, o incluso sin base explícita como

log x

, cuando no hay confusión posible). De manera más general, la exponenciación permite elevar cualquier número real positivo a cualquier potencia real, produciendo siempre un resultado positivo, por lo que el logaritmo de dos números reales positivos

b

y

x

donde

b

no es igual a

1

, es siempre un número real único

y

. Más explícitamente, la relación de definición entre exponenciación y logaritmo es:

{\ displaystyle \ log _ {b} (x) = y \ quad}

exactamente si

{\ displaystyle \ quad b ^ {y} = x.}

Por ejemplo,

log 2 64 = 6

, como

64 = 2

.

El logaritmo de base

10

(es decir,

b = 10

) se denomina logaritmo común y tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería. El logaritmo natural tiene el número

e

(que es

b \approx 2.718

) como su base; su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a su derivada más simple. El logaritmo binario utiliza la base

2

(es decir,

b = 2

) y se usa comúnmente en ciencias de la computación.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio para simplificar los cálculos. Fueron rápidamente adoptados por navegantes, científicos, ingenieros y otros para realizar cálculos más fácilmente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmo. Los tediosos pasos de multiplicación de varios dígitos pueden reemplazarse por consultas de tablas y adiciones más simples debido a los hechos -importantes por derecho propio- de que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

{\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} y, \,}

a condición de que

b

,

x

y

y

son todos positivos y

b \neq 1

. La noción actual de logaritmos proviene de Leonhard Euler, quien los relacionó con la función exponencial en el siglo XVIII.

Las escalas logarítmicas reducen cantidades de gran alcance a ámbitos pequeños. Por ejemplo, el decibel (dB) es una unidad utilizada para expresar las relaciones logarítmicas, principalmente para la potencia de la señal y la amplitud (de las cuales la presión sonora es un ejemplo común). En química, el pH es una medida logarítmica de la acidez de una solución acuosa. Los logaritmos son comunes en las fórmulas científicas y en las mediciones de la complejidad de los algoritmos y de los objetos geométricos llamados fractales. Ayudan a describir relaciones de frecuencia de intervalos musicales, aparecen en fórmulas que cuentan números primos o factores aproximados, informan algunos modelos en psicofísica y pueden ayudar en la contabilidad forense.

De la misma manera que el logaritmo invierte la exponenciación, el logaritmo complejo es la función inversa de la función exponencial aplicada a los números complejos. El logaritmo discreto es otra variante; tiene usos en la criptografía de clave pública.

Motivación y definición

La suma, la multiplicación y la exponenciación son tres operaciones aritméticas fundamentales. Además, el más simple de estos, se puede deshacer por sustracción: agregar, digamos, 2 a 3 da 5. El proceso de agregar 2 se puede deshacer restando 2: 5 - 2 = 3. La multiplicación, la siguiente operación más simple, puede ser deshecho por división: doblando un número

x

, es decir, multiplicando x por 2, el resultado es

2x

. Para recuperar

x

, es necesario dividir por 2. Por ejemplo, el proceso de multiplicar por 2 se deshace dividiendo por 2:

{\ displaystyle 2 \ cdot 3 = 6}

{\ displaystyle 6/2 = 3}

. La idea y el propósito de los logaritmos también es deshacer una operación aritmética fundamental, es decir, elevar un número a una cierta potencia, una operación también conocida como exponenciación. Por ejemplo, elevar 2 a la tercera potencia de 2 rinde 8, porque 8 es el producto de tres factores de 2:

{\ displaystyle 2 ^ {3} = 2 \ times 2 \ times 2 = 8}

El logaritmo (con respecto a la base 2) de 8 es 3, lo que refleja el hecho de que 2 se elevó a la tercera potencia para obtener 8.

Exponenciación

Esta subsección contiene una breve descripción general de la operación de exponenciación, que es fundamental para comprender los logaritmos. El aumento de

b

a la

n

-ésima potencia, donde

n

es un número natural, se hace multiplicando

n

factores iguales a

b

. El

n

-ésimo de potencia de

b

está escrito

b

, de modo que

{\ displaystyle b ^ {n} = \ underbrace {b \ times b \ times \ cdots \ times b} _ {n {\ text {factors}}}}

La exponenciación puede extenderse a

b

, donde

b

es un número positivo y el exponente

y

es cualquier número real. Por ejemplo,

b

es el recíproco de

b

, es decir,

1 / b

. Elevar b a la potencia 1/2 es la raíz cuadrada de b . Más en general, elevando b a una racional de potencia p / q , donde p y q son números enteros, se da por

{\ displaystyle b ^ {p / q} = {\ sqrt [{q}] {b ^ {p}}},}

la raíz q -ésima de b . Finalmente, cualquier número irracional (un número real que no sea racional) y puede ser aproximado a una precisión arbitraria mediante números racionales. Esto se puede usar para calcular la potencia y -ésima de b : por ejemplo, y se aproxima cada vez más a . Una explicación más detallada, así como la fórmula

b

=

b

•

b,

está contenida en el artículo sobre exponenciación.

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1.414 ...}

{\ displaystyle b ^ {\ sqrt {2}}}

{\ displaystyle b ^ {1}, b ^ {1.4}, b ^ {1.41}, b ^ {1.414}, ...}

Definición

El logaritmo de un número real positivo

x

con respecto a la base

b

es el exponente por el cual

b

debe elevarse para obtener

x

. En otras palabras, el logaritmo de

x

a la base

b

es la solución

y

a la ecuación

{\ displaystyle b ^ {y} = x.}

El logaritmo se denota como "

log b x

" (pronunciado como "el logaritmo de

x

para la base

b

" o "el logaritmo de base- b de

x

" o (más comúnmente) "el registro, base

b

, de

x

").

En la ecuación

y = log b x

, el valor

y

es la respuesta a la pregunta "¿A qué potencia debe elevarse

b

, para obtener

x

?".

Ejemplos

$log 2 16 = 4$ , ya que $2 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ .
Los logaritmos también pueden ser negativos: desde ${\ displaystyle \ quad \ log _ {2} \! {\ frac {1} {2}} = - 1 \ quad}$ ${\ displaystyle \ quad 2 ^ {- 1} = {\ frac {1} {2 ^ {1}}} = {\ frac {1} {2}}.}$
$log 10150$ es aproximadamente 2.176, que se encuentra entre 2 y 3, al igual que 150 se encuentra entre $10 = 100$ y $10 = 1000.$
Para cualquier base $b$ , $log b b = 1$ y $log b 1 = 0$ , ya que $b = b$ y $b = 1$ , respectivamente.

Identidades logarítmicas

Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas , relacionan los logaritmos entre sí.

Producto, cociente, poder y raíz

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la relación de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p veces el logaritmo del número en sí; el logaritmo de una raíz p - ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades puede derivarse después de la sustitución de las definiciones de logaritmo o en los lados de la izquierda.

{\ displaystyle x = b ^ {\ log _ {b} x}}

{\ displaystyle y = b ^ {\ log _ {b} y}}

	Fórmula	Ejemplo
Producto	${\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} y}$	${\ displaystyle \ log _ {3} 243 = \ log _ {3} (9 \ cdot 27) = \ log _ {3} 9+ \ log _ {3} 27 = 2 + 3 = 5}$
Cociente	${\ displaystyle \ log _ {b} \! {\ frac {x} {y}} = \ log _ {b} x- \ log _ {b} y}$	${\ displaystyle \ log _ {2} 16 = \ log _ {2} \! {\ frac {64} {4}} = \ log _ {2} 64- \ log _ {2} 4 = 6-2 = 4}$
Poder	${\ displaystyle \ log _ {b} \ left (x ^ {p} \ right) = p \ log _ {b} x}$	${\ displaystyle \ log _ {2} 64 = \ log _ {2} \ left (2 ^ {6} \ right) = 6 \ log _ {2} 2 = 6}$
Raíz	${\ displaystyle \ log _ {b} {\ sqrt [{p}] {x}} = {\ frac {\ log _ {b} x} {p}}}$	${\ displaystyle \ log _ {10} {\ sqrt {1000}} = {\ frac {1} {2}} \ log _ {10} 1000 = {\ frac {3} {2}} = 1.5}$

Cambio de base

El logaritmo

log b x

se puede calcular a partir de los logaritmos de

x

y

b

con respecto a una base arbitraria k usando la siguiente fórmula:

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {k} x} {\ log _ {k} b}}. \,}

Derivación del factor de conversión entre logaritmos de base arbitraria

Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos a las bases 10 y

e

. Los logaritmos con respecto a cualquier base

b

se pueden determinar usando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:

{\ displaystyle \ log _ {b} x = {\ frac {\ log _ {10} x} {\ log _ {10} b}} = {\ frac {\ log _ {e} x} {\ log _ {e} b}}. \,}

Dado un número

xy

su logaritmo

log b x

a una base desconocida

b

, la base está dada por:

{\ displaystyle b = x ^ {\ frac {1} {\ log _ {b} x}},}

que se puede ver desde tomar la ecuación de definición hasta el poder de

{\ displaystyle x = b ^ {\ log _ {b} x}}

{\ displaystyle \; {\ tfrac {1} {\ log _ {b} x}}.}

Bases particulares

Parcelas de logaritmo para las bases 0.5, 2 y

e

El gráfico del logaritmo a la base 2 cruza el eje x (eje horizontal) en 1 y pasa por los puntos con las coordenadas (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) . Por ejemplo,

log 2 (8) = 3

, porque

2 = 8

. El gráfico se acerca arbitrariamente al eje

y

, pero no lo encuentra ni lo cruza.

Entre todas las opciones para la base, tres son particularmente comunes. Estos son

b = 10

,

b = e

(la constante matemática irracional ≈ 2.71828)

yb = 2

(el logaritmo binario). En el análisis matemático, el logaritmo a la base

e

está muy extendido debido a sus particulares propiedades analíticas explicadas a continuación. Por otro lado, los logaritmos de base 10 son fáciles de usar para los cálculos manuales en el sistema de números decimales:

{\ displaystyle \ log _ {10} (10x) = \ log _ {10} 10+ \ log _ {10} x = 1 + \ log _ {10} x. \}

Por lo tanto,

log 10 x

está relacionado con el número de dígitos decimales de un entero positivo

x

: el número de dígitos es el entero más pequeño estrictamente más grande que log 10 x . Por ejemplo,

log 101430

es aproximadamente 3.15. El siguiente número entero es 4, que es el número de dígitos de 1430. Tanto el logaritmo natural como el logaritmo a la base dos se usan en la teoría de la información, que corresponde al uso de nats o bits como unidades fundamentales de información, respectivamente. Los logaritmos binarios también se usan en informática, donde el sistema binario es omnipresente, en teoría musical, donde una relación de afinación de dos (la octava) es omnipresente y el centavo es el logaritmo binario (escalado en 1200) de la relación entre dos adyacentes. tonos igualmente temperados, y en fotografía para medir valores de exposición.

La siguiente tabla enumera las notaciones comunes para los logaritmos de estas bases y los campos donde se usan. Muchas disciplinas escriben

log x en

lugar de

log b x

, cuando la base deseada se puede determinar a partir del contexto. La anotación

log x

también ocurre. La columna "Notación de ISO" enumera las designaciones sugeridas por la Organización Internacional de Normalización (ISO 31-11). Debido a que el

registro de

notación

x

se ha utilizado para las tres bases (o cuando la base es indeterminada o inmaterial), la base deseada a menudo debe inferirse en función del contexto o la disciplina. En informática y matemáticas, el registro por lo general se refiere al

registro 2

y

registro e

, respectivamente. En otros contextos, el registro a menudo significa

log 10

.

Base $b$	Nombre para log b x	Notación ISO	Otras anotaciones	Utilizada en
2	logaritmo binario	$lb x$	$ld x$ , $log x$ , $lg x$ , $log 2 x$	informática, teoría de la información, teoría musical, fotografía
$mi$	logaritmo natural	$En x$	$log x$ (en matemáticas y muchos lenguajes de programación)	matemáticas, física, química, estadística, economía, teoría de la información e ingeniería
10	logaritmo común	$lg x$	$log x$ , $log 10 x$ (en ingeniería, biología, astronomía)	varios campos de ingeniería (ver decibelios y ver a continuación), tablas de logaritmos, calculadoras de mano, espectroscopia

Historia

La historia del logaritmo en la Europa del siglo XVII es el descubrimiento de una nueva función que extendió el ámbito del análisis más allá del alcance de los métodos algebraicos. El método de logaritmos fue propuesto públicamente por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos ). Antes de la invención de Napier, había habido otras técnicas de alcances similares, como la prófrasferesis o el uso de tablas de progresiones, extensamente desarrolladas por Jost Bürgi alrededor de 1600.

El logaritmo común de un número es el índice de esa potencia de diez que es igual al número. Hablar de un número que requiere tantas figuras es una alusión burda al logaritmo común, y Arquímedes lo calificó de "orden de un número". Los primeros logaritmos reales fueron los métodos heurísticos para convertir la multiplicación en suma, lo que facilita el cálculo rápido. Algunos de estos métodos usaban tablas derivadas de identidades trigonométricas. Dichos métodos se llaman prosthaphaeresis.

La invención de la función ahora conocida como logaritmo natural comenzó como un intento de realizar una cuadratura de una hipérbola rectangular por Grégoire de Saint-Vincent, un jesuita belga residente en Praga. Arquímedes había escrito La cuadratura de la parábola en el siglo III aC, pero una cuadratura de la hipérbola eludió todos los esfuerzos hasta que Saint-Vincent publicó sus resultados en 1647. La relación que proporciona el logaritmo entre una progresión geométrica en su argumento y una progresión aritmética de valores, llevó a AA de Sarasa a establecer la conexión de la cuadratura de Saint-Vincent y la tradición de los logaritmos en la prófrasferesis, lo que lleva al término "logaritmo hiperbólico", un sinónimo de logaritmo natural. Pronto la nueva función fue apreciada por Christiaan Huygens, Patavii y James Gregory.

\ int {\ frac {dy} {y}}.

Tablas de logaritmos, reglas de deslizamiento y aplicaciones históricas

La explicación de Encyclopædia Britannica de 1797 de los logaritmos

Al simplificar los cálculos difíciles, los logaritmos contribuyeron al avance de la ciencia, especialmente la astronomía. Eran críticos para los avances en topografía, navegación celestial y otros dominios. Pierre-Simon Laplace llamado logaritmos

"... un artificio admirable que, reduciendo a unos pocos días el trabajo de muchos meses, duplica la vida del astrónomo y le ahorra los errores y el disgusto inseparables de los largos cálculos".

Una herramienta clave que permitió el uso práctico de los logaritmos antes de las calculadoras y las computadoras fue la tabla de logaritmos . La primera de esas tablas fue compilada por Henry Briggs en 1617, inmediatamente después de la invención de Napier. Posteriormente, se escribieron tablas con un alcance creciente. Estas tablas enumeran los valores de

log b x

y

b

para cualquier número

x

en un cierto rango, con una cierta precisión, para una determinada base

b

(por lo general,

b = 10

). Por ejemplo, la primera tabla de Briggs contenía los logaritmos comunes de todos los enteros en el rango 1-1000, con una precisión de 14 dígitos. Como la función

f (x) = b

es la función inversa de log b x , se le ha llamado el antilogaritmo . El producto y el cociente de dos números positivos c y d se calcularon de forma rutinaria como la suma y la diferencia de sus logaritmos. El cd o cociente del producto c / d provino de buscar el antilogaritmo de la suma o diferencia, también a través de la misma tabla:

{\ displaystyle cd = b ^ {\ log _ {b} c} \, b ^ {\ log _ {b} d} = b ^ {\ log _ {b} c + \ log _ {b} d} \, }

y

{\ displaystyle {\ frac {c} {d}} = cd ^ {- 1} = b ^ {\ log _ {b} c- \ log _ {b} d}. \,}

Para los cálculos manuales que exigen una precisión apreciable, realizar las búsquedas de los dos logaritmos, calcular su suma o diferencia y buscar el antilogaritmo es mucho más rápido que realizar la multiplicación con métodos anteriores, como la prófrasferesis, que se basa en identidades trigonométricas. Los cálculos de poderes y raíces se reducen a multiplicaciones o divisiones y búsquedas por

{\ displaystyle c ^ {d} = \ left (b ^ {\ log _ {b} c} \ right) ^ {d} = b ^ {d \ log _ {b} c} \,}

y

{\ displaystyle {\ sqrt [{d}] {c}} = c ^ {\ frac {1} {d}} = b ^ {{frac} {d}} \ log _ {b} c} . \,}

Muchas tablas de logaritmos dan logaritmos al proporcionar por separado la característica y mantisa de

x

, es decir, la parte entera y la parte fraccionaria de

log 10 x

. La característica de

10 • x

es una más la característica de

x

, y sus significados son los mismos. Esto amplía el alcance de las tablas de logaritmo: dada una tabla que enumera el

registro 10 x

para todos los enteros

x que

van de 1 a 1000, el logaritmo de 3542 es aproximado por

{\ displaystyle \ log _ {10} 3542 = \ log _ {10} (10 \ cdot 354.2) = 1 + \ log _ {10} 354.2 \ approx 1+ \ log _ {10} 354. \,}

Se puede obtener una mayor precisión por interpolación.

Otra aplicación crítica fue la regla de cálculo, un par de escalas logarítmicamente divididas utilizadas para el cálculo. La escala logarítmica no deslizante, la regla de Gunter, se inventó poco después de la invención de Napier. William Oughtred lo mejoró para crear la regla de cálculo: un par de escalas logarítmicas movibles una con respecto a la otra. Los números se colocan en escalas móviles a distancias proporcionales a las diferencias entre sus logaritmos. Deslizar la escala superior apropiadamente equivale a agregar logaritmos mecánicamente, como se ilustra aquí:

Representación esquemática de una regla de cálculo. Comenzando desde 2 en la escala más baja, agregue la distancia a 3 en la escala superior para alcanzar el producto 6. La regla de cálculo funciona porque está marcada de tal manera que la distancia de 1 a

x

es proporcional al logaritmo de

x

.

Por ejemplo, si se agrega la distancia de 1 a 2 en la escala inferior a la distancia de 1 a 3 en la escala superior, se obtiene un producto de 6, que se lee en la parte inferior. La regla de cálculo fue una herramienta de cálculo esencial para ingenieros y científicos hasta la década de 1970, porque permite, a expensas de la precisión, un cálculo mucho más rápido que las técnicas basadas en tablas.

Propiedades analíticas

Un estudio más profundo de los logaritmos requiere el concepto de una función . Una función es una regla que, dado un número, produce otro número. Un ejemplo es la función que produce la potencia x -ésima de

b

de cualquier número real

x

, donde la base

b

es un número fijo. Esta función está escrita:

f (x) = b ^ {x}. \,

Función logarítmica

Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación

b ^ {x} = y \,

tiene una solución

xy

que esta solución es única, siempre que

y

sea positiva y que

b

sea positiva y desigual a 1. Una prueba de este hecho requiere el teorema del valor intermedio del cálculo elemental. Este teorema afirma que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentra entre m y n . Una función es continua si no "salta", es decir, si su gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz.

Se puede mostrar que esta propiedad se mantiene para la función

f (x) = b

. Debido f toma valores positivos arbitrariamente grandes y arbitrariamente pequeñas, cualquier número

y > 0

se encuentra entre

f (x 0)

y

f (x 1)

para adecuado

x 0

y

x 1

. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación

f (x) = y

tenga una solución. Además, solo hay una solución para esta ecuación, porque la función f es estrictamente creciente (para

b > 1

), o estrictamente decreciente (para

0 < b <1

).

La solución única

x

es el logaritmo de

y

para la base

b

,

log b y

. La función que asigna a

y

su logaritmo se denomina función logaritmo o función logarítmica (o solo logaritmo ).

La función

log b x

se caracteriza esencialmente por la fórmula del producto anterior

{\ displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} x + \ log _ {b} y.}

Más precisamente, el logaritmo de cualquier base

b > 1

es la única función creciente f de los reales positivos a los reales que satisfacen

f (b) = 1

y

f (xy) = f (x) + f (y).

Función inversa

El gráfico de la función logarítmica

log b (x)

(azul) se obtiene al reflejar el gráfico de la función

b

(rojo) en la línea diagonal (

x = y

).

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice, en particular, que para cualquier número

x

,

{\ displaystyle \ log _ {b} \ left (b ^ {x} \ right) = x \ log _ {b} b = x.}

En prosa, tomar la potencia

x -ésima

de

by

luego el logaritmo

base- b

devuelve

x

. Por el contrario, dado un número positivo

y

, la fórmula

{\ displaystyle b ^ {\ log _ {b} y} = y}

dice que primero tomar el logaritmo y luego exponenciar devuelve

y

. Por lo tanto, las dos formas posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciación devuelven el número original. Por lo tanto, el logaritmo para la base

b

es la función inversa de

f (x) = b

.

Las funciones inversas están estrechamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden mutuamente al intercambiar las coordenadas

x

- y

y

- (o al reflexionar en la línea diagonal

x

=

y

), como se muestra a la derecha: un punto

(t, u = b)

en el gráfico de f cede un punto

(u, t = log b u)

en el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log b ( x ) diverge al infinito (se vuelve más grande que cualquier número dado) si

x

crece hasta el infinito, siempre que

b

sea mayor que uno. En ese caso,

log b (x)

es una función creciente. Para

b <1

,

log b (x)

tiende a menos infinito en su lugar. Cuando

x se

aproxima a cero,

log b x

va a menos infinito para

b > 1

(más infinito para

b <1

, respectivamente).

Derivada y antiderivada

El gráfico del logaritmo natural (verde) y su tangente en

x = 1.5

(negro)

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas. Por lo tanto, como

f (x) = b

es una función continua y diferenciable, también lo es

log b y

. Aproximadamente, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene "esquinas" definidas. Además, como la derivada de

f (x) se

evalúa a

ln (b) b

por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de

log b x

viene dada por

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ log _ {b} x = {\ frac {1} {x \ ln b}}.}

Es decir, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo de

base- b

en el punto

(x, log b (x))

es igual a

1 / (x ln (b))

.

La derivada de ln

x

es 1 / x ; esto implica que ln

x

es la antiderivada única de

1 / x

que tiene el valor 0 para

x = 1

. Es esta fórmula muy simple la que motivó calificar como "natural" el logaritmo natural; esta es también una de las principales razones de la importancia de la constante

e

.

La derivada con un argumento funcional generalizado

f (x)

es

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln f (x) = {\ frac {f '(x)} {f (x)}}.}

El cociente en el lado derecho se llama la derivada logarítmica de f . La computación

f ' (x)

por medio de la derivada de

ln (f (x))

se conoce como diferenciación logarítmica. La antiderivada del logaritmo natural

ln (x)

es:

\ int \ ln (x) \, dx = x \ ln (x) -x + C.

Las fórmulas relacionadas, como las antiderivadas de los logaritmos a otras bases se pueden derivar de esta ecuación usando el cambio de bases.

Representación integral del logaritmo natural

El logaritmo natural de t es el área sombreada debajo del gráfico de la función

f (x) = 1 / x

(recíproco de

x

).

El logaritmo natural de t es igual a la integral de 1 / x dx de 1 a t :

\ ln (t) = \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {1} {x}} \, dx.

En otras palabras,

ln (t)

es igual al área entre el eje

xy

la gráfica de la función

1 / x

, que va de

x = 1

a

x = t

(figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de

ln (x)

es

1 / x

. El lado derecho de esta ecuación puede servir como una definición del logaritmo natural. Las fórmulas de logaritmo de producto y potencia se pueden derivar de esta definición. Por ejemplo, la fórmula del producto

ln (tu) = ln (t) + ln (u)

se deduce como:

\ ln (tu) = \ int _ {1} ^ {tu} {\ frac {1} {x}} \, dx \ {\ stackrel {(1)} {=}} \ int _ {1} ^ { t} {\ frac {1} {x}} \, dx + \ int _ {t} ^ {tu} {\ frac {1} {x}} \, dx \ {\ stackrel {(2)} {=} } \ ln (t) + \ int _ {1} ^ {u} {\ frac {1} {w}} \, dw = \ ln (t) + \ ln (u).

La igualdad (1) divide la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable (

w = x / t

). En la siguiente ilustración, la división corresponde a dividir el área en las partes amarilla y azul. El cambio de escala del área azul de la mano izquierda verticalmente por el factor t y el encogimiento horizontal del mismo factor no cambia su tamaño. Moviéndolo apropiadamente, el área se ajusta nuevamente al gráfico de la función

f (x) = 1 / x

. Por lo tanto, el área azul de la mano izquierda, que es la integral de

f (x)

de t a tu es lo mismo que la integral de 1 a u . Esto justifica la igualdad (2) con una prueba más geométrica.

Una prueba visual de la fórmula del producto del logaritmo natural

La fórmula de potencia

ln (t) = r ln (t)

puede derivarse de una manera similar:

\ ln (t ^ {r}) = \ int _ {1} ^ {t ^ {r}} {\ frac {1} {x}} dx = \ int _ {1} ^ {t} {\ frac { 1} {w ^ {r}}} \ left (rw ^ {r-1} \, dw \ right) = r \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {1} {w}} \, dw = r \ ln (t).

La segunda igualdad usa un cambio de variables (integración por sustitución),

w = x

.

La suma sobre los reciprocals de números naturales,

1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},

se llama la serie armónica. Está estrechamente relacionado con el logaritmo natural: cuando n tiende al infinito, la diferencia,

\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln (n),

converge (es decir, se pone arbitrariamente cerca) a un número conocido como la constante de Euler-Mascheroni

γ = 0,5772 ...

. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos como quicksort.

También hay algunas otras representaciones integrales del logaritmo que son útiles en algunas situaciones:

\ ln (x) = - \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ int _ {\ epsilon} ^ {\ infty} {\ frac {dt} {t}} \ left (e ^ {- xt} -e ^ {- t} \ right)

{\ displaystyle \ ln (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, {\ frac {dt} {t}} \, \ left [\ cos (t) - \ cos (xt) \ right ]}

La primera identidad se puede verificar mostrando que tiene el mismo valor en

x = 1

y la misma derivada. La segunda identidad puede ser probada por escrito

{\ displaystyle {\ frac {1} {t}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, dq \, e ^ {- qt}}

y luego insertando la transformada de Laplace de

cos (xt)

(y

cos (t)

).

Trascendencia del logaritmo

Los números reales que no son algebraicos se llaman trascendentales; por ejemplo,

π

y e son tales números, pero no lo son. Casi todos los números reales son trascendentales. El logaritmo es un ejemplo de una función trascendental. El teorema de Gelfond-Schneider afirma que los logaritmos generalmente toman valores trascendentales, es decir, "difíciles".

{\ sqrt {2 - {\ sqrt {3}}}}

Cálculo

Las claves de logaritmo (LOG para base-10 y LN para base-

e

) en una calculadora científica típica

Los logaritmos son fáciles de calcular en algunos casos, como

log 10 (1000) = 3

. En general, los logaritmos se pueden calcular utilizando series de potencias o la media aritmético-geométrica, o se pueden recuperar a partir de una tabla de logaritmo precalculada que proporciona una precisión fija. El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, también se puede usar para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, se puede calcular de manera eficiente. Al utilizar tablas de búsqueda, se pueden usar métodos similares a CORDIC para calcular logaritmos si las únicas operaciones disponibles son los cambios de suma y de bit. Además, el algoritmo del logaritmo binario calcula

lb (x)

recursivamente en base a escuadrados repetidos de

x

, aprovechando la relación

\ log _ {2} (x ^ {2}) = 2 \ log _ {2} (x). \,

Serie de potencia

Serie de Taylor

La serie de Taylor de

ln (z)

centrada en

z = 1

. La animación muestra las primeras 10 aproximaciones junto con la 99ma y la 100ma. Las aproximaciones no convergen más allá de una distancia de 1 desde el centro.

Para cualquier número real

z

que satisfaga

0 < z <2

, se cumple la siguiente fórmula:

\ ln (z) = {\ frac {(z-1) ^ {1}} {1}} - {\ frac {(z-1) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(z -1) ^ {3}} {3}} - {\ frac {(z-1) ^ {4}} {4}} + \ cdots

Esta es una abreviatura para decir que

ln (z)

se puede aproximar a un valor cada vez más preciso mediante las siguientes expresiones:

{\ begin {array} {lllll} (z-1) && \\ (z-1) & - & {\ frac {(z-1) ^ {2}} {2}} & \\ (z-1 ) & - & {\ frac {(z-1) ^ {2}} {2}} & + & {\ frac {(z-1) ^ {3}} {3}} \\\ vdots & \ end {formación}}

Por ejemplo, con

z = 1.5

la tercera aproximación produce 0.4167, que es aproximadamente 0.011 mayor que

ln (1.5) = 0.405465

. Esta serie se aproxima a

ln (z)

con precisión arbitraria, siempre que el número de summit sea lo suficientemente grande. En cálculo elemental,

ln (z)

es por lo tanto el límite de esta serie. Es la serie de Taylor del logaritmo natural en

z = 1

. La serie de Taylor de

ln (z)

proporciona una aproximación particularmente útil para

ln (1+ z)

cuando

z

es pequeño,

| z | <1

, desde entonces

\ ln (1 + z) = z - {\ frac {z ^ {2}} {2}} + {\ frac {z ^ {3}} {3}} \ cdots \ approx z.

Por ejemplo, con

z = 0.1

la aproximación de primer orden da

ln (1.1) \approx 0.1

, que es menos del 5% del valor correcto 0.0953.

Serie más eficiente

Otra serie se basa en la función de tangente hiperbólica de área:

\ ln (z) = 2 \ cdot \ operatorname {artanh} \, {\ frac {z-1} {z + 1}} = 2 \ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} + {\ frac {1} {3}} {\ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} \ right)} ^ {3} + {\ frac {1} {5}} {\ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} \ right)} ^ {5} + \ cdots \ right),

para cualquier número real

z > 0

. Usando la notación sigma, esto también se escribe como

\ ln (z) = 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} \ left ({\ frac {z-1} {z + 1}} \ derecha) ^ {2n + 1}.

Esta serie se puede derivar de la serie anterior de Taylor. Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si

z

está cerca de 1. Por ejemplo, para

z = 1.5

, los primeros tres términos de la segunda serie se aproximan a

ln (1.5)

con un error de aproximadamente 3 × 10 . La rápida convergencia para

z

cercana a 1 se puede aprovechar de la siguiente manera: dada una aproximación de baja precisión

y \approx ln (z)

y poner

A = {\ frac {z} {\ exp (y)}}, \,

el logaritmo de

z

es:

\ ln (z) = y + \ ln (A). \,

Cuanto mejor sea la aproximación inicial

y

, cuanto más cerca esté

A

de 1, su logaritmo se puede calcular de manera eficiente.

A

puede calcularse usando la serie exponencial, que converge rápidamente siempre que

y

no sea demasiado grande. El cálculo del logaritmo de mayor

z

se puede reducir a valores más pequeños de

z

escribiendo

z = a • 10

, de modo que

ln (z) = ln (a) + b • ln (10)

.

Un método estrechamente relacionado se puede usar para calcular el logaritmo de enteros. De la serie anterior, se deduce que:

\ ln (n + 1) = \ ln (n) +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2k + 1}} \ left ({\ frac {1} { 2n + 1}} \ right) ^ {2k + 1}.

Si se conoce el logaritmo de un número entero grande

n

, esta serie produce una serie convergente rápida para

log (n +1)

.

Aproximación media aritmético-geométrica

La media aritmético-geométrica produce aproximaciones de alta precisión del logaritmo natural. Sasaki y Kanada mostraron en 1982 que era particularmente rápido para precisiones entre 400 y 1000 decimales, mientras que los métodos de la serie Taylor eran típicamente más rápidos cuando se necesitaba menos precisión. En su trabajo,

ln (x)

se aproxima a una precisión de

2

(o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (debido a Carl Friedrich Gauss):

\ ln (x) \ approx {\ frac {\ pi} {2M (1,2 ^ {2-m} / x)}} - m \ ln (2).

Aquí

M (x, y)

indica la media aritmética-geométrica de

x

y

y

. Se obtiene en varias ocasiones calculando la media

(x + y) / 2

(media aritmética) y (media geométrica) de

x

y

y

luego dejar que esos dos números se convierten en los próximos

x

y

y

. Los dos números convergen rápidamente a un límite común que es el valor de

M (

x

,

y

)

. m se elige de tal manera que

{\ sqrt {xy}}

x \, 2 ^ {m}> 2 ^ {p / 2}. \,

para garantizar la precisión requerida. Una m más grande hace que el cálculo

M (x, y)

tome más pasos (la x inicial y la y están más separadas, por lo que se necesitan más pasos para converger), pero se obtiene más precisión. Las constantes

pi

y

ln (2)

se pueden calcular con series que convergen rápidamente.

Algoritmo de Feynman

Mientras se encontraba en el Laboratorio Nacional de Los Álamos trabajando en el Proyecto Manhattan, Richard Feynman desarrolló un algoritmo de procesamiento de bits que es similar a la división larga y luego fue utilizado en la Máquina de Conexión. El algoritmo utiliza el hecho de que cada número real es representable de forma única como producto de distintos factores de la forma . El algoritmo construye secuencialmente ese producto : si , entonces cambia a . Luego aumenta en uno independientemente. El algoritmo se detiene cuando es lo suficientemente grande como para dar la precisión deseada. Porque es la suma de los términos del formulario correspondiente a aquellos para los que se incluyó el factor en el producto ,

{\ displaystyle 1 <x <2}

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {- k}}

PAG

{\ displaystyle P \ cdot (1 + 2 ^ {- k}) <x}

PAG

{\ displaystyle P \ cdot (1 + 2 ^ {- k})}

k

k

\ log (x)

{\ displaystyle \ log (1 + 2 ^ {- k})}

k

{\ displaystyle 1 + 2 ^ {- k}}

PAG

\ log (x)

puede computarse por simple suma, usando una tabla de para todos . Cualquier base se puede usar para la tabla de logaritmo.

{\ displaystyle \ log (1 + 2 ^ {- k})}

k

Aplicaciones

Una fotografía del caparazón de un nautilus.

Un nautilus mostrando una espiral logarítmica

Los logaritmos tienen muchas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Algunas de estas ocurrencias están relacionadas con la noción de invarianza de escala. Por ejemplo, cada cámara del caparazón de un nautilus es una copia aproximada del siguiente, escalado por un factor constante. Esto da lugar a una espiral logarítmica. La ley de Benford sobre la distribución de los dígitos principales también se puede explicar por la invarianza de escala. Los logaritmos también están relacionados con la auto-similitud. Por ejemplo, los logaritmos aparecen en el análisis de algoritmos que resuelven un problema dividiéndolo en dos problemas similares más pequeños y parcheando sus soluciones. Las dimensiones de las formas geométricas auto-similares, es decir, las formas cuyas partes se parecen a la imagen general también se basan en logaritmos. Las escalas logarítmicas son útiles para cuantificar el cambio relativo de un valor en oposición a su diferencia absoluta.

log (x)

crece muy lentamente para grandes

x

, las escalas logarítmicas se utilizan para comprimir datos científicos a gran escala. Los logaritmos también se producen en numerosas fórmulas científicas, como la ecuación del cohete Tsiolkovsky, la ecuación de Fenske o la ecuación de Nernst.

Escala logarítmica

Un gráfico logarítmico que representa el valor de un Goldmark en Papiermarks durante la hiperinflación alemana en la década de 1920

Las cantidades científicas a menudo se expresan como logaritmos de otras cantidades, utilizando una escala logarítmica. Por ejemplo, el decibel es una unidad de medida asociada a cantidades logarítmicas. Se basa en el logaritmo común de las relaciones: 10 veces el logaritmo común de una relación de potencia o 20 veces el logaritmo común de una relación de voltaje. Se utiliza para cuantificar la pérdida de niveles de voltaje en la transmisión de señales eléctricas, para describir los niveles de potencia de los sonidos en acústica y la absorción de luz en los campos de espectrometría y óptica. La relación señal / ruido que describe la cantidad de ruido no deseado en relación con una señal (significativa) también se mide en decibelios. En una línea similar, la relación pico señal / ruido se usa comúnmente para evaluar la calidad de los métodos de compresión de sonido e imagen usando el logaritmo.

La intensidad de un terremoto se mide tomando el logaritmo común de la energía emitida en el terremoto. Esto se usa en la escala de magnitud de momento o en la escala de magnitud de Richter. Por ejemplo, un terremoto de 5.0 libera 32 veces

(10)

y un 6.0 libera 1000 veces

(10)

la energía de un 4.0. Otra escala logarítmica es la magnitud aparente. Mide el brillo de las estrellas logarítmicamente. Otro ejemplo más es el pH en química; El pH es el negativo del logaritmo común de la actividad de los iones de hidronio (la forma de iones de hidrógeno H +
tomar agua). La actividad de los iones hidronio en agua neutra es 10 mol • L, por lo tanto un pH de 7. El vinagre típicamente tiene un pH de alrededor de 3. La diferencia de 4 corresponde a una proporción de 10 de la actividad, es decir, actividad de iones hidronio del vinagre es de aproximadamente

10 mol • L

.

Los gráficos Semilog (log-linear) usan el concepto de escala logarítmica para la visualización: un eje, típicamente el vertical, se escala logarítmicamente. Por ejemplo, el gráfico de la derecha comprime el aumento pronunciado de 1 millón a 1 billón al mismo espacio (en el eje vertical) como el aumento de 1 a 1 millón. En dichos gráficos, las funciones exponenciales de la forma

f (x) = a • b

aparecen como líneas rectas con pendiente igual al logaritmo de

b

. Los log-loggraphs escalan ambos ejes logarítmicamente, lo que hace que las funciones de la forma

f (x) = a • x

se representen como líneas rectas con pendiente igual al exponente k . Esto se aplica al visualizar y analizar las leyes de potencia.

Psicología

Los logaritmos ocurren en varias leyes que describen la percepción humana: la ley de Hick propone una relación logarítmica entre el tiempo que los individuos toman para elegir una alternativa y el número de elecciones que tienen. La ley de Fitts predice que el tiempo requerido para moverse rápidamente a un área objetivo es una función logarítmica de la distancia y el tamaño del objetivo. En psicofísica, la ley de Weber-Fechner propone una relación logarítmica entre el estímulo y la sensación, como el peso real frente al peso percibido de un objeto que lleva una persona. (Esta "ley", sin embargo, es menos precisa que los modelos más recientes, como la ley de poder de Stevens).

Los estudios psicológicos encontraron que las personas con poca educación matemática tienden a estimar las cantidades logarítmicamente, es decir, posicionan un número en una línea no marcada de acuerdo con su logaritmo, de modo que 10 se posiciona tan cerca de 100 como 100 es a 1000. El aumento de la educación cambia esto a una estimación lineal (posicionando 1000 10x como distancia) en algunas circunstancias, mientras que los logaritmos se usan cuando los números que se trazan son difíciles de trazar linealmente.

Probabilidad teoría y estadística

Tres funciones de densidad de probabilidad (PDF) de variables aleatorias con distribuciones log-normales. El parámetro de ubicación

μ

, que es cero para los tres archivos PDF que se muestran, es la media del logaritmo de la variable aleatoria, no la media de la variable en sí misma.

Distribución de los primeros dígitos (en%, barras rojas) en la población de los 237 países del mundo. Los puntos negros indican la distribución predicha por la ley de Benford.

Los logaritmos surgen en la teoría de la probabilidad: la ley de los grandes números dicta que, para una moneda justa, a medida que el número de lanzamientos de monedas aumenta hasta el infinito, la proporción observada de cabezas se aproxima a la mitad. Las fluctuaciones de esta proporción alrededor de la mitad están descritas por la ley del logaritmo iterado.

Los logaritmos también ocurren en las distribuciones log-normales. Cuando el logaritmo de una variable aleatoria tiene una distribución normal, se dice que la variable tiene una distribución log-normal. Las distribuciones log-normales se encuentran en muchos campos, donde quiera que se forme una variable como el producto de muchas variables aleatorias positivas independientes, por ejemplo en el estudio de la turbulencia.

Los logaritmos se utilizan para la estimación de máxima verosimilitud de modelos estadísticos paramétricos. Para dicho modelo, la función de verosimilitud depende de al menos un parámetro que debe estimarse. Un máximo de la función de verosimilitud se produce con el mismo valor de parámetro que un máximo del logaritmo de la probabilidad (la " verosimilitud logarítmica "), porque el logaritmo es una función creciente. La probabilidad logarítmica es más fácil de maximizar, especialmente para las probabilidades multiplicadas para variables aleatorias independientes.

La ley de Benford describe la aparición de dígitos en muchos conjuntos de datos, como la altura de los edificios. Según la ley de Benford, la probabilidad de que el primer dígito decimal de un elemento en la muestra de datos sea d (de 1 a 9) es igual a

log 10 (d + 1) - log 10 (d)

, independientemente de la unidad de medida. Por lo tanto, se puede esperar que alrededor del 30% de los datos tengan 1 como primer dígito, 18% como 2, etc. Los auditores examinan las desviaciones de la ley de Benford para detectar contabilidad fraudulenta.

Complejidad computacional

El análisis de algoritmos es una rama de la informática que estudia el rendimiento de los algoritmos (los programas informáticos que resuelven un determinado problema) .Los algoritmos son valiosos para describir algoritmos que dividen un problema en otros más pequeños y se unen a las soluciones de los subproblemas.

Por ejemplo, para encontrar un número en una lista ordenada, el algoritmo de búsqueda binaria verifica la entrada del medio y continúa con la mitad antes o después de la entrada del medio si aún no se encuentra el número. Este algoritmo requiere, en promedio,

log 2 (N)

comparaciones, donde N es la longitud de la lista. De forma similar, el algoritmo de ordenación por fusión ordena una lista desordenada dividiendo la lista en mitades y clasificándolas primero antes de fusionar los resultados. Los algoritmos de ordenación de mezcla generalmente requieren un tiempo aproximadamente proporcional a

N • log (N)

. La base del logaritmo no se especifica aquí, porque el resultado solo cambia por un factor constante cuando se usa otra base. Por lo general, un factor constante se descarta en el análisis de algoritmos bajo el modelo de costo uniforme estándar.

Se dice que una función

f (x)

crece logarítmicamente si

f (x)

es (exactamente o aproximadamente) proporcional al logaritmo de

x

. (Las descripciones biológicas del crecimiento del organismo, sin embargo, usan este término para una función exponencial). Por ejemplo, cualquier número natural N puede representarse en forma binaria en no más de

log 2 (N) + 1

bit. En otras palabras, la cantidad de memoria necesaria para almacenar N crece logarítmicamente con N .

Entropía y caos

Billar en una mesa de billar oval. Dos partículas, comenzando en el centro con un ángulo que difiere en un grado, toman caminos que divergen caóticamente debido a las reflexiones en el límite.

La entropía es, en general, una medida del desorden de algún sistema. En termodinámica estadística, la entropía S de algún sistema físico se define como

S = -k \ sum _ {i} p_ {i} \ ln (p_ {i}). \,

La suma es sobre todos los estados posibles i del sistema en cuestión, como las posiciones de las partículas de gas en un contenedor. Por otra parte,

p i

es la probabilidad de que el estado i se alcanza y k es la constante de Boltzmann. De manera similar, la entropía en la teoría de la información mide la cantidad de información. Si un destinatario del mensaje puede esperar uno cualquiera de N mensajes posibles con igual probabilidad, entonces la cantidad de información transmitida por uno de tales mensajes se cuantifica como

log 2 (N)

bits.

Los exponentes de Lyapunov usan logaritmos para medir el grado de caotismo de un sistema dinámico. Por ejemplo, para una partícula que se mueve sobre una mesa de billar ovalada, incluso pequeños cambios en las condiciones iniciales resultan en trayectorias muy diferentes de la partícula. Dichos sistemas son caóticos de una manera determinista, ya que los pequeños errores de medición del estado inicial conducen a estados finales en gran medida diferentes. Al menos un exponente de Lyapunov de un sistema determinísticamente caótico es positivo.

Fractales

El triángulo de Sierpinski (a la derecha) se construye reemplazando repetidamente triángulos equiláteros por tres más pequeños.

Los logaritmos ocurren en las definiciones de la dimensión de los fractales. Los fractales son objetos geométricos que son auto-similares: las partes pequeñas reproducen, al menos aproximadamente, toda la estructura global. El triángulo de Sierpinski (en la imagen) se puede cubrir con tres copias de sí mismo, cada una con lados que tienen la mitad de la longitud original. Esto hace que la dimensión de Hausdorff de esta estructura

ln (3) / ln (2) \approx 1.58

. Se obtiene otra noción de dimensión basada en el logaritmo contando el número de cajas necesarias para cubrir el fractal en cuestión.

Música

Cuatro octavas diferentes se muestran en una escala lineal, luego se muestran en una escala logarítmica (a medida que el oído las escucha).

Los logaritmos están relacionados con los tonos musicales y los intervalos. En el temperamento igual, la relación de frecuencia depende únicamente del intervalo entre dos tonos, no de la frecuencia específica, o el tono, de los tonos individuales. Por ejemplo, la nota A tiene una frecuencia de 440 Hz y B-flat tiene una frecuencia de 466 Hz. El intervalo entre A y B-flat es un semitono, como el que está entre B-flat y B (frecuencia 493 Hz). En consecuencia, las relaciones de frecuencia están de acuerdo:

{\ frac {466} {440}} \ approx {\ frac {493} {466}} \ approx 1.059 \ approx {\ sqrt [{12}] {2}}.

Por lo tanto, los logaritmos pueden usarse para describir los intervalos: un intervalo se mide en semitonos tomando el logaritmo de

base 2

de la relación de frecuencia, mientras que el logaritmo de

base 2

de la razón de frecuencia expresa el intervalo en centésimas de centésimas de un semitono. Este último se utiliza para una codificación más fina, ya que se necesita para temperamentos no iguales.

Intervalo (los dos tonos se tocan al mismo tiempo)	1/12 tono de juego	Juego desemitono	Sólo un tercerjuego importante	Tercer juego importante	Tritone play	Juego deoctava
Frecuencia de frecuencia r	$2 ^ {\ frac {1} {72}} \ approx 1.0097$	$2 ^ {\ frac {1} {12}} \ approx 1.0595$	${\ tfrac {5} {4}} = 1.25$	${\ begin {aligned} 2 ^ {\ frac {4} {12}} & = {\ sqrt [{3}] {2}} \\ & \ approx 1.2599 \ end {aligned}}$	${\ begin {aligned} 2 ^ {\ frac {6} {12}} & = {\ sqrt {2}} \\ & \ approx 1.4142 \ end {aligned}}$	$2 ^ {\ frac {12} {12}} = 2$
Número correspondiente de semitonos $\ log _ {\ sqrt [{12}] {2}} (r) = 12 \ log _ {2} (r)$	${\ tfrac {1} {6}} \,$	$1 \,$	$\ approx 3.8631 \,$	$4 \,$	$6 \,$	$12 \,$
Número correspondiente de centavos $\ log _ {\ sqrt [{1200}] {2}} (r) = 1200 \ log _ {2} (r)$	$16 {\ tfrac {2} {3}} \,$	$100 \,$	$\ approx 386.31 \,$	$400 \,$	$600 \,$	$1200 \,$

Teoría de los números

Los logaritmos naturales están estrechamente relacionados con el conteo de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...), un tema importante en la teoría de los números. Para cualquier número entero

x

, la cantidad de números primos menores o iguales a

x

se denota

π (x)

. El teorema del número primo afirma que

π (x)

está aproximadamente dado por

{\ frac {x} {\ ln (x)}},

en el sentido de que la relación de

π (x)

y esa fracción se aproxima a 1 cuando

x

tiende al infinito. Como consecuencia, la probabilidad de que un número elegido al azar entre 1 y

x

sea primo es inversamente proporcional al número de dígitos decimales de

x

. Una estimación mucho mejor de

π (x)

viene dada por la función integral logarítmica de desplazamiento

Li (x)

, definida por

\ mathrm {Li} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {1} {\ ln (t)}} \, dt.

La hipótesis de Riemann, una de las más antiguas conjeturas matemáticas abiertas, puede establecerse en términos de comparar

π (x)

y

Li (x)

. El teorema de Erdős-Kac que describe el número de factores primos distintos también involucra el logaritmo natural.

El logaritmo de n factorial,

n! = 1 • 2 • ... • n

, está dado por

\ ln (n!) = \ ln (1) + \ ln (2) + \ cdots + \ ln (n). \,

Esto puede usarse para obtener la fórmula de Stirling, una aproximación de

n!

para n grande .

Generalizaciones

Logaritmo complejo

Forma polar de

z = x + iy

. Ambos

φ

y

φ '

son argumentos de

z

.

Todos los números complejos

a

que resuelven la ecuación

{\ displaystyle e ^ {a} = z}

se llaman logaritmos complejos de

z

, cuando

z

es (considerado como) un número complejo. Un número complejo se representa comúnmente como

z = x + iy

, donde

x

y

y

son números reales y

i

es una unidad imaginaria, el cuadrado de los cuales es -1. Tal número se puede visualizar por un punto en el plano complejo, como se muestra a la derecha. La forma polar codifica un número complejo distinto de cero

z

por su valor absoluto, es decir, la distancia (positiva, real)

r

al origen, y un ángulo entre el eje real (

x

) Re y la línea que pasa a través del origen y

z

. Este ángulo se llama argumento de

z

.

El valor absoluto

r

de

z

viene dado por

{\ displaystyle \ textstyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Uso de la interpretación geométrica de y y su periodicidad en cualquier número complejo

z

puede indicarse como

\pecado

\ cos

2 \ pi,

{\ displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = r (\ cos (\ varphi + 2k \ pi) + i \ sin (\ varphi + 2k \ pi)),}

para cualquier número entero

k

. Evidentemente, el argumento de

z

no se especifica de forma exclusiva: tanto

φ

como

φ

'=

φ

+ 2 k

π

son argumentos válidos de

z

para todos los enteros

k

, porque agregar 2 k

π

radián o k ⋅360 ° a

φ

corresponde a "devanado" alrededor el origen en sentido antihorario por

k

giros. El número complejo resultante es siempre

z

, como se ilustra a la derecha para

k = 1

. Uno puede seleccionar exactamente uno de los argumentos posibles de

z

como el llamado argumento principal , denotado

Arg (z)

, con mayúscula

A

, al requerir que

φ

pertenezca a uno, viraje convenientemente seleccionado, p. ej., o Estas regiones, donde el argumento de

z

está determinado de forma única, se denominan ramas del función de argumento.

{\ displaystyle - \ pi <\ varphi \ leq \ pi}

{\ displaystyle 0 \ leq \ varphi <2 \ pi.}

La rama principal (-

π

,

π

) del logaritmo complejo,

Log (z)

. El punto negro en

z = 1

corresponde al valor absoluto cero y los colores más brillantes (más saturados) se refieren a valores absolutos más grandes. el argumento de

Log (z)

.

La fórmula de Euler conecta las funciones trigonométricas seno y coseno a la exponencial compleja:

{\ displaystyle e ^ {i \ varphi} = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi.}

Usando esta fórmula, y nuevamente la periodicidad, las siguientes identidades son válidas:

{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} z & = & r \ left (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi \ right) \\ & = & r \ left (\ cos (\ varphi + 2k \ pi) + i \ sin (\ varphi + 2k \ pi) \ right) \\ & = & re ^ {i (\ varphi + 2k \ pi)} \\ & = & e ^ {\ ln (r)} e ^ {i (\ varphi + 2k \ pi)} \\ & = & e ^ {\ ln (r) + i (\ varphi + 2k \ pi)} = e ^ {a_ {k}}, \ end {array}}}

donde

ln (r)

es el logaritmo natural verdadero único,

un k

denotan las complejas logaritmos de

z

, y

k

es un número entero arbitrario. Por lo tanto, los logaritmos complejos de

z

, que son todos esos valores complejos

a k

para los cuales la

a k -

potencia de

e

es igual a

z

, son infinitamente muchos valores

{\ displaystyle a_ {k} = \ ln (r) + i (\ varphi + 2k \ pi), \ quad}

para enteros arbitrarios

k

.

Tomando

k

de tal manera que se encuentra dentro del intervalo definido por los principales argumentos, a continuación,

una

k

se llama el valor principal del logaritmo, denotado

Log (

z

)

, de nuevo con un capital

L

. El argumento principal de cualquier número real positivo

x

es 0; por lo tanto,

Log (

x

)

es un número real y es igual al logaritmo real (natural). Sin embargo, las fórmulas anteriores para los logaritmos de productos y poderes no se generalizan al valor principal del logaritmo complejo.

{\ displaystyle \ varphi + 2k \ pi}

La ilustración de la derecha muestra

Log (z)

, limitando los argumentos de

z

al intervalo

(- π, π

. De esta manera, la rama correspondiente del logaritmo complejo tiene discontinuidades a lo largo del eje

x

real negativo , que se puede ver en el salta en el tono allí. Esta discontinuidad surge al saltar al otro límite en la misma rama, al cruzar un límite, es decir, sin cambiar al valor

k

correspondiente de la rama continuamente contigua. Tal locus se llama corte de rama. Dejar caer las restricciones de rango en el argumento hace que las relaciones "argumento de

z

" y, en consecuencia, el "logaritmo de

z

", funciones de múltiples valores.

Inversos de otras funciones exponenciales

La exponenciación ocurre en muchas áreas de las matemáticas y su función inversa a menudo se denomina logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo de una matriz es la función inversa (multivaluada) de la matriz exponencial. Otro ejemplo es el logaritmo p -adic, la función inversa de la exponencial p-adic. Ambos se definen a través de series de Taylor análogas al caso real. En el contexto de la geometría diferencial, el mapa exponencial mapea el espacio de la tangente en un punto de un colector a una vecindad de ese punto. Su inversa también se llama el mapa logarítmico (o log).

En el contexto de grupos finitos, la exponenciación se da multiplicando repetidamente un elemento del grupo

b

con él mismo. El logaritmo discreto es el número entero n resolviendo la ecuación

b ^ {n} = x, \,

donde

x

es un elemento del grupo. Llevar a cabo la exponenciación puede hacerse de manera eficiente, pero se cree que el logaritmo discreto es muy difícil de calcular en algunos grupos. Esta asimetría tiene aplicaciones importantes en la criptografía de clave pública, como por ejemplo en el intercambio de claves Diffie-Hellman, una rutina que permite intercambios seguros de claves criptográficas sobre canales de información no segura. El logaritmo de Zech está relacionado con el logaritmo discreto en el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo finito.

Otras funciones inversas similares al logaritmo incluyen el logaritmo doble ln (ln ( x )), el logaritmo super- o hiper-4 (una ligera variación de lo que se denomina logaritmo iterado en ciencias de la computación), la función de W de Lambert y el logit . Son las funciones inversas de la función exponencial doble, tetration, de

f (w) = we

, y de la función logística, respectivamente.

Conceptos relacionados

Desde la perspectiva de la teoría de grupos, el

log de

identidad

(

cd

) = log (

c

) + log (

d

)

expresa un isomorfismo grupal entre reales positivos bajo multiplicación y reales bajo adición. Las funciones logarítmicas son los únicos isomorfismos continuos entre estos grupos. Por medio de ese isomorfismo, la medida de Haar (medida de Lebesgue) dx en los reales corresponde a la medida de Haar

dx / x

en los reales positivos.

Las formas

unidimensionales

logarítmicas

df

/

f

aparecen en análisis complejos y geometría algebraica como formas diferenciales con polos logarítmicos.

El polilogaritmo es la función definida por

\ operatorname {Li} _ {s} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {z ^ {k} \ over k ^ {s}}.

Está relacionado con el logaritmo natural por

Li 1 (z) = -ln (1 - z)

. Además,

Li s (1)

es igual a la función zeta de Riemann

ζ (s)

.

Logaritmo

Definición

Motivación y definición

Exponenciación

Definición

Ejemplos

Identidades logarítmicas

Producto, cociente, poder y raíz

Cambio de base

Bases particulares

Historia

Tablas de logaritmos, reglas de deslizamiento y aplicaciones históricas

Propiedades analíticas

Función logarítmica

Función inversa

Derivada y antiderivada

Representación integral del logaritmo natural

Trascendencia del logaritmo

Cálculo

Serie de potencia

Aproximación media aritmético-geométrica

Algoritmo de Feynman

Aplicaciones

Escala logarítmica

Psicología

Probabilidad teoría y estadística

Complejidad computacional

Entropía y caos

Fractales

Música

Teoría de los números

Generalizaciones

Logaritmo complejo

Inversos de otras funciones exponenciales

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