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Tipos de ángulos básicos

Tipos de ángulos

Ángulos 2D

Derecha
Interior
Exterior

Pares de ángulos 2D

Adyacente
Vertical
Complementario
Suplementario
Transversal

Ángulos 3D

Dihedral

Un ángulo formado por dos rayos que emanan de un vértice.

En geometría plana, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. Los ángulos formados por dos rayos se encuentran en un plano, pero este plano no tiene que ser un plano euclidiano. Los ángulos también se forman por la intersección de dos planos en Euclides y otros espacios. Estos se llaman ángulos diedros. Los ángulos formados por la intersección de dos curvas en un plano se definen como el ángulo determinado por los rayos tangentes en el punto de intersección. Declaraciones similares se sostienen en el espacio, por ejemplo, el ángulo esférico formado por dos grandes círculos en una esfera es el ángulo diedro entre los planos determinados por los círculos grandes.

El ángulo también se usa para designar la medida de un ángulo o de una rotación. Esta medida es la relación entre la longitud de un arco circular y su radio. En el caso de un ángulo geométrico, el arco está centrado en el vértice y delimitado por los lados. En el caso de una rotación, el arco se centra en el centro de la rotación y se delimita por cualquier otro punto y su imagen por la rotación.

El ángulo de la palabra proviene de la palabra latina angulus , que significa "esquina"; las palabras afines son el griego ἀγκύλος (ankylοs) , que significa "torcido, curvo" y la palabra inglesa "tobillo". Ambos están conectados con la raíz proto-indoeuropea * ank- , que significa "doblar" o "inclinarse".

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran entre sí, y no están rectas una con respecto a la otra. Según Proclus, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que consideraba un ángulo como una desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioquía, que lo consideró como el intervalo o espacio entre las líneas que se cruzan; Euclides adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos derecho, agudo y obtuso son ciertamente cuantitativas.

Identificando ángulos

En expresiones matemáticas, es común usar letras griegas ( α , β, γ , θ , φ,. ) Para que sirvan como variables para el tamaño de algún ángulo. (Para evitar confusiones con su otro significado, el símbolo

π por

lo general no se usa para este propósito.) También se usan letras romanas en minúsculas ( a , b , c , ...), así como letras romanas en mayúsculas en el contexto de polígonos. Vea las figuras en este artículo para ejemplos.

En las figuras geométricas, los ángulos también se pueden identificar por las etiquetas unidas a los tres puntos que los definen. Por ejemplo, el ángulo en el vértice A rodeado por los rayos AB y AC (es decir, las líneas del punto A al punto B y del punto A al punto C) se denota ∠BAC (en Unicode U + 2220 ∠ ANGLE ) o . A veces, cuando no hay riesgo de confusión, el ángulo puede referirse simplemente por su vértice ("ángulo A").

{\ displaystyle {\ widehat {\ rm {BAC}}}}

Potencialmente, un ángulo denotado, por ejemplo, ∠BAC podría referirse a cualquiera de los cuatro ángulos: el ángulo en sentido horario de B a C, el ángulo en sentido antihorario de B a C, el ángulo en sentido horario de C a B o el ángulo en sentido antihorario de C a B , donde la dirección en la que se mide el ángulo determina su signo (ver ángulos positivos y negativos). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas es obvio por contexto que el ángulo positivo es menor o igual a 180 grados y no se genera ambigüedad. De lo contrario, se puede adoptar una convención para que ∠BAC siempre se refiera al ángulo en sentido antihorario (positivo) de B a C, y ∠CAB al ángulo en sentido antihorario (positivo) de C a B.

Tipos de ángulos

Ángulos individuales

Ángulo recto.

Ángulo reflexivo.

Ángulos agudos ( a ), obtusos ( b ) y rectas ( c ). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

Un ángulo igual a 0 ° se llama ángulo cero.
Los ángulos más pequeños que un ángulo recto (menos de 90 °) se llaman ángulos agudos ("agudo" significa "agudo").
Un ángulo igual a 1/4 de vuelta (90 ° o $π$ /2 radianes) se llama un ángulo recto . Se dice que dos líneas que forman un ángulo recto son normales , ortogonales o perpendiculares .
Los ángulos más grandes que un ángulo recto y más pequeños que un ángulo recto (entre 90 ° y 180 °) se llaman ángulos obtusos ("obtuso" que significa "romo").
Un ángulo igual a 1/2 giro (180 ° o $pi$ radianes) se llama un ángulo recto .
Los ángulos más grandes que un ángulo recto pero menos de 1 vuelta (entre 180 ° y 360 °) se llaman ángulos reflejos .
Un ángulo igual a 1 vuelta (360 ° o 2 $π$ radianes) se llama ángulo completo , ángulo completoo perigón .
Los ángulos que no son ángulos rectos o un múltiplo de un ángulo recto se llaman ángulos oblicuos .

Los nombres, intervalos y unidades medidas se muestran en una tabla a continuación:

Unidades	Intervalo
Nombre	agudo	ángulo recto	obtuso	Derecho	reflejo	perigon
Vueltas	(0, 1/4)	1/4	( 1/4 , 1/2 )	1/2	( 1/2 , 1)	1
Radianos	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	( 1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
Grados	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
Gons	(0, 100)	100	(100, 200)	200	(200, 400)	400

Pares de ángulo de equivalencia

Se dice que los ángulos que tienen la misma medida (es decir, la misma magnitud) son iguales o congruentes . Un ángulo se define por su medida y no depende de las longitudes de los lados del ángulo (por ejemplo, todos los ángulos rectos son iguales en medida).
Dos ángulos que comparten lados terminales, pero difieren en tamaño por un múltiplo entero de un giro, se llaman ángulos de coterminal .
Un ángulo de referencia es la versión aguda de cualquier ángulo determinado restando repetidamente o la adición de ángulo recto ( 1/2 a su vez, 180 °, o $pi$ radianes), a los resultados como sea necesario, hasta que la magnitud de resultado es un ángulo agudo, un valor entre 0 y 1/4 a su vez, 90 °, o $pi$ /2 radianes. Por ejemplo, un ángulo de 30 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados, y un ángulo de 150 grados también tiene un ángulo de referencia de 30 grados (180 - 150). Un ángulo de 750 grados tiene un ángulo de referencia de 30 grados (750 - 720).

Pares de ángulos verticales y adyacentes

Los ángulos A y B son un par de ángulos verticales; los ángulos C y D son un par de ángulos verticales.

Cuando dos líneas rectas se cruzan en un punto, se forman cuatro ángulos. En parejas, estos ángulos se nombran según su ubicación relativa entre sí.

Un par de ángulos opuestos, formados por dos líneas rectas que se cruzan y que forman una forma de "X", se denominan ángulos verticales o ángulos opuestos o ángulos verticalmente opuestos . Se abrevian como vert. opp. ∠s .

La igualdad de los ángulos opuestos verticalmente se llama el teorema del ángulo vertical . Eudemus de Rodas atribuyó la prueba a Tales de Mileto. La proposición mostró que, dado que ambos de un par de ángulos verticales son suplementarios a ambos ángulos adyacentes, los ángulos verticales son iguales en medida. Según una Nota histórica, cuando Thales visitó Egipto, observó que cada vez que los egipcios dibujaban dos líneas que se intersectaban, medían los ángulos verticales para asegurarse de que eran iguales. Thales concluyó que uno podría probar que todos los ángulos verticales son iguales si uno acepta algunas nociones generales tales como: todos los ángulos rectos son iguales, los iguales sumados a iguales son iguales, y los iguales restados de los iguales son iguales.

En la figura, suponga la medida de Angulo A = x . Cuando dos ángulos adyacentes forman una línea recta, son suplementarios. Por lo tanto, la medida del ángulo C = 180 - x . Del mismo modo, la medida del Ángulo D = 180 - x . Tanto Angle C como Angle D tienen medidas iguales a 180 - x y son congruentes. Desde ángulo B es complementario a ambos ángulos C y D , cualquiera de estas medidas de los ángulos se pueden usar para determinar la medida del ángulo B . Usando la medida de Ángulo C o Ángulo D encontramos la medida del Ángulo B = 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x . Por lo tanto, tanto el ángulo A como el ángulo B tienen medidas iguales a xy son iguales en medida.

Los ángulos A y B son adyacentes.

Ángulos adyacentes , a menudo abreviado como adj. ∠s , son ángulos que comparten un vértice y un borde común, pero no comparten ningún punto interior. En otras palabras, son ángulos que están uno al lado del otro, o adyacentes, compartiendo un "brazo". Los ángulos adyacentes que suman un ángulo recto, un ángulo recto o un ángulo completo son especiales y se denominan respectivamente ángulos complementarios , suplementarios y explementarios (consulte "Combinación de pares de ángulos" a continuación).

Una transversal es una línea que intersecta un par de líneas (a menudo paralelas) y está asociada con ángulos interiores alternos , ángulos correspondientes , ángulos interiores y ángulos exteriores .

Combinación de pares de ángulos

Hay tres pares de ángulos especiales que implican la suma de ángulos:

Los ángulos complementarios son pares de ángulos cuyas medidas resumir a un ángulo recto ( 1/4 a su vez, 90 °, o $pi$ /2 radianes). Si los dos ángulos complementarios son adyacentes, sus lados no compartidos forman un ángulo recto. En la geometría euclidiana, los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo son complementarios, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180 grados, y el ángulo derecho mismo explica noventa grados.

El adjetivo complementario es del complemento latino , asociado con el verbo complere , "llenar". Un ángulo agudo se "llena" por su complemento para formar un ángulo recto.

La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se denomina complemento del ángulo.

Si los ángulos A y B son complementarios, se mantienen las siguientes relaciones:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B = 1 && \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B = 1 \\ [3pt] & \ tan A = \ cot B && \ sec A = \ csc B \ end {aligned}}}

(La tangente de un ángulo es igual a la cotangente de su complemento y su secante es igual a la cosecante de su complemento).

El prefijo "co" en los nombres de algunas proporciones trigonométricas se refiere a la palabra "complementario".

Dos ángulos que resumen a un ángulo recto ( 1/2 a su vez, 180 °, o $π$ radianes) se denominan ángulos suplementarios .

Si los dos ángulos suplementarios son adyacentes (es decir, tienen un vértice común y comparten solo un lado), sus lados no compartidos forman una línea recta. Tales ángulos se llaman un par de ángulos lineales . Sin embargo, los ángulos suplementarios no tienen que estar en la misma línea, y pueden separarse en el espacio. Por ejemplo, los ángulos adyacentes de un paralelogramo son suplementarios, y los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (uno cuyos vértices caen todos sobre un solo círculo) son suplementarios.

Si un punto P es exterior a un círculo con centro O, y si las líneas tangentes de P tocan el círculo en los puntos T y Q, entonces ∠TPQ y ∠TOQ son suplementarios.

Los senos de los ángulos suplementarios son iguales. Sus cosenos y tangentes (a menos que no estén definidos) son iguales en magnitud pero tienen signos opuestos.

En la geometría euclidiana, cualquier suma de dos ángulos en un triángulo es suplementaria a la tercera, porque la suma de los ángulos internos de un triángulo es un ángulo recto.

Dos ángulos que suman un ángulo completo (1 vuelta, 360 ° o 2 $π$ radianes) se denominan ángulos explementarios o ángulos conjugados .

La diferencia entre un ángulo y un ángulo completo se denomina explemento del ángulo o conjugado de un ángulo.

Los ángulos complementarios a y b ( b es el complemento de a , y a es el complemento de b ).

Un ángulo reflejo y su conjugado son ángulos explementarios , y su suma es un ángulo completo .

Los ángulos a y b son ángulos suplementarios .

Ángulos relacionados con el polígono

Ángulos internos y externos.

Un ángulo que es parte de un polígono simple se llama ángulo interior si se encuentra en el interior de ese polígono simple. Un polígono cóncavo simple tiene al menos un ángulo interior que es un ángulo reflejo.

En la geometría euclidiana, las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman $pi$ radianes, 180 °, o 1/2 a su vez; las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero convexo simple suman hasta 2 $π$ radianes, 360 ° o 1 vuelta. En general, las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo simple con n lados suman ( n - 2) $π$ radianes, o 180 ( n - 2) grados, (2 n - 4) ángulos rectos, o ( n/2 - 1) vuelta.

El suplemento de un ángulo interior se denomina ángulo exterior , es decir, un ángulo interior y un ángulo exterior forman un par de ángulos lineales. Hay dos ángulos exteriores en cada vértice del polígono, cada uno determinado por la extensión de uno de los dos lados del polígono que se encuentran en el vértice; estos dos ángulos son ángulos verticales y, por lo tanto, son iguales. Un ángulo exterior mide la cantidad de rotación que uno tiene que hacer en un vértice para trazar el polígono. Si el ángulo interior correspondiente es un ángulo reflejo, el ángulo exterior debe considerarse negativo. Incluso en un polígono no simple, es posible definir el ángulo exterior, pero uno tendrá que elegir una orientación del plano (o superficie) para decidir el signo de la medida del ángulo exterior.

En la geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo simple será una vuelta completa (360 °). El ángulo exterior aquí podría llamarse un ángulo exterior suplementario . Los ángulos exteriores se usan comúnmente en Logo Turtle Geometry cuando se dibujan polígonos regulares.

En un triángulo, las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz del otro ángulo interior son concurrentes (se encuentran en un solo punto).

En un triángulo, tres puntos de intersección, cada uno de una bisectriz de ángulo externo con el lado extendido opuesto, son colineales.

En un triángulo, tres puntos de intersección, dos de ellos entre una bisectriz de ángulo interior y el lado opuesto, y el tercero entre la otra bisectriz de ángulo exterior y el lado opuesto extendido, son colineales.

Algunos autores usan el nombre de ángulo exterior de un polígono simple para simplemente significar el ángulo exterior de la aplicación (¡ no como complemento!) Del ángulo interior. Esto entra en conflicto con el uso anterior.

Ángulos relacionados con el plano

El ángulo entre dos planos (como dos caras adyacentes de un poliedro) se denomina ángulo diedro . Se puede definir como el ángulo agudo entre dos líneas normales a los planos.
El ángulo entre un plano y una línea recta de intersección es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea de intersección y la línea que pasa por el punto de intersección y es normal al plano.

Ángulos de medición

El tamaño de un ángulo geométrico se caracteriza generalmente por la magnitud de la rotación más pequeña que mapea uno de los rayos en el otro. Se dice que los ángulos que tienen el mismo tamaño son iguales o congruentes o iguales en medida .

En algunos contextos, como identificar un punto en un círculo o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo exacto de un giro completo son efectivamente equivalentes. En otros contextos, como identificar un punto en una curva en espiral o describir la rotación acumulativa de un objeto en dos dimensiones con respecto a una orientación de referencia, los ángulos que difieren en un múltiplo distinto de cero de un giro completo no son equivalentes.

La medida del ángulo θ (en radianes) es el cociente de s y r .

Para medir un ángulo θ , se dibuja un arco circular centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un compás. La relación de la longitud s del arco por el radio r del círculo es la medida del ángulo en radianes.

La medida del ángulo en otra unidad angular se obtiene multiplicando su medida en radianes por el factor de escala k/2

π

, donde k es la medida de un giro completo en la unidad elegida (por ejemplo 360 para grados o 400 para graduados) )

\ theta = k {\ frac {s} {2 \ pi r}}.

El valor de θ así definido es independiente del tamaño del círculo: si se cambia la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación s / r permanece inalterada. (Prueba. La fórmula anterior puede reescribirse como k = θr/s . Una vuelta, para la cual θ = n unidades, corresponde a un arco de longitud igual a la circunferencia del círculo, que es 2

π

r , entonces s = 2

π

r Sustituyendo n por θ y 2

π

r por s en la fórmula, resulta en k = nr/2

π

r = n/2

π

. )

Postulado de adición de ángulo

El postulado de adición de ángulo indica que si B está en el interior del ángulo AOC , entonces

m \ ángulo AOC = m \ ángulo AOB + m \ ángulo BOC

La medida del ángulo AOC es la suma de la medida del ángulo AOB y la medida del ángulo BOC . En este postulado, no importa en qué unidad se mide el ángulo, siempre y cuando se mida cada ángulo en la misma unidad.

Unidades

Las unidades utilizadas para representar ángulos se enumeran a continuación en orden de magnitud descendente. De estas unidades, el grado y el radián son con mucho los más utilizados. Los ángulos expresados en radianes son adimensionales para el análisis dimensional.

La mayoría de las unidades de medición angular se definen de tal manera que un giro (es decir, un círculo completo) es igual a n unidades, para un número entero n . Las dos excepciones son el radián y la parte de diámetro.

Turn ( n = 1): El giro , también ciclo , círculo completo , revolución y rotación , es un movimiento circular completo o medida (como para volver al mismo punto) con círculo o elipse. Un turno se abrevia $τ$ , cyc , rev o rot dependiendo de la aplicación, pero en el acrónimo rpm (revoluciones por minuto), solo se usa r . A su vez de n unidades se obtiene mediante el establecimiento de k = 1/2 $π$ en la fórmula anterior. La equivalencia de 1 turno es 360 °, 2 $π$ rad, 400 grad y 4 ángulos rectos. El símbolo $τ$ también se puede usar como una constante matemática para representar 2 $π$ radianes. Utilizado de esta manera ( k = $τ$ /2 $π$ ) permite que los radianes se expresen como una fracción de un giro. Por ejemplo, medio giro es $τ$ /2 = $π$ .

Cuadrante ( n = 4): El cuadrante es 1/4 de vuelta, es decir, un ángulo recto . Es la unidad utilizada en los Elementos de Euclides. 1 quad = 90 ° = $π$ /2 rad = 1/4 vuelta = 100 grad. En alemán, el símbolo se ha usado para denotar un cuadrante.

Sextante ( n = 6): El sextante ( ángulo del triángulo equilátero ) es 1/6 de vuelta. Era la unidad utilizada por los babilonios, y es especialmente fácil de construir con regla y brújulas. El grado, minuto de arco y segundo de arco son subunidades sexagesimales de la unidad babilónica. 1 unidad babilónica = 60 ° = $π$ / 3 rad ≈ 1.047197551 rad.

θ = s / r rad = 1 rad.

Radián ( n = 2 $π$ = 6.283 ...): El radián es el ángulo subtendido por un arco de un círculo que tiene la misma longitud que el radio del círculo. El caso de radian para la fórmula dada anteriormente, un radianes de n = 2 unidades $π$ se obtiene estableciendo k = 2 $π$ /2 $π$ = 1. Un giro es 2 $π$ radianes, y un radianes es 180/ $π$ grados, o aproximadamente 57.2958 grados. El radián se abrevia rad, aunque este símbolo a menudo se omite en textos matemáticos, donde se presuponen radianes a menos que se especifique lo contrario. Cuando se usan radianes, los ángulos se consideran sin dimensiones. El radián se utiliza en prácticamente todo el trabajo matemático más allá de la geometría práctica simple, debido, por ejemplo, a las propiedades agradables y "naturales" que muestran las funciones trigonométricas cuando sus argumentos están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de medición angular en el sistema SI.

Posición del reloj ( n = 12): Una posición del reloj es la dirección relativa de un objeto descrito usando la analogía de un reloj de 12 horas. Uno imagina que la cara de un reloj yace vertical o plana frente a uno mismo e identifica las marcas de doce horas con las direcciones en que apuntan.

Ángulo de hora ( n = 24): El astronómico ángulo horas es 1/24 de vuelta. Como este sistema es apto para medir objetos que ciclan una vez por día (como la posición relativa de las estrellas), las subunidades sexagesimales se llaman minuto de tiempo y segundo de tiempo . Estos son distintos de, y 15 veces más grandes que, minutos y segundos de arco. 1 hora = 15 ° = $π$ /12 rad = 1/6 quad. = 1/24 a su vez = 16 2/3 grad.

(Brújula) punto o viento ( n = 32): El punto , que se utiliza en la navegación, es 1/32 de vuelta. 1 punto = 1/8 de un ángulo recto = 11,25 ° = 12,5 grad. Cada punto se subdivide en cuatro puntos trimestrales, por lo que 1 turno equivale a 128 puntos cuartiles.

Hexacontade ( n = 60): El hexacontade es una unidad de 6 ° que usaba Eratóstenes, por lo que un giro completo se dividió en 60 unidades.

Pechus ( n = 144-180): -La pechus era una unidad de Babilonia igual a aproximadamente 2 ° o 2 1/2 °.

Grado binario ( n = 256): El grado binario , también conocido como el radián binario (o Brad ), es 1/256 de vuelta. El grado binario se utiliza en la informática para que un ángulo se pueda representar eficientemente en un solo byte (aunque con una precisión limitada). Otras medidas de ángulo utilizadas en la informática pueden basarse en dividir un giro completo en 2 partes iguales para otros valores de n .

Grado ( n = 360): El grado , denotado por un pequeño círculo superíndice (°), es 1/360 de vuelta, por lo que un giro es 360 °. El caso de grados para la fórmula dada anteriormente, un grado de n = 360 ° unidades se obtiene al establecer k = 360 °/2 $π$ . Una ventaja de esta antigua subunidad sexagesimal es que muchos ángulos comunes en la geometría simple se miden como un número entero de grados. Las fracciones de un grado pueden escribirse en notación decimal normal (por ejemplo, 3.5 ° para tres grados y medio), pero las subunidades sexagesimales "minuto" y "segundo" del sistema "grado-minuto-segundo" también están en uso, especialmente para coordenadas geográficas y en astronomía y balística.

Parte del diámetro ( n = 376.99 ...): La parte de diámetro (de vez en cuando se utiliza en las matemáticas islámicas) es 1/60 radianes. Una "parte de diámetro" es aproximadamente 0.95493 °. Hay aproximadamente 376.991 partes de diámetro por vuelta.

Graduado ( n = 400): El grad , también llamado grado , centesimales , o gon , es 1/400 de un giro, por lo que un ángulo recto es 100 grados centesimales. Es una subunidad decimal del cuadrante. Un kilómetro se definió históricamente como un centígrado de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra, por lo que el kilómetro es el decimal análogo a la milla náutica sexagesimal. El graduado se usa principalmente en triangulación.

Milliradian: El milirradio (mil o mrad) se define como una milésima de un radián, lo que significa que una rotación de un turno consiste en 2000π mil (o aproximadamente 6283.185 ... mil), y casi todas las miras de alcance para armas de fuego están calibradas según esta definición . Además, hay otras tres definiciones derivadas utilizadas para la artillería y la navegación, que son aproximadamente iguales a un milliradio. Según estas otras tres definiciones, una vuelta representa exactamente 6000, 6300 o 6400 mil, lo que equivale a abarcar el rango de 0.05625 a 0.06 grados (3.375 a 3.6 minutos). En comparación, el verdadero milirradio es aproximadamente 0.05729578 ... grados (3.43775 ... minutos). Una "mil OTAN" se define como 1/6 400 de un círculo Al igual que con el verdadero milirradio, cada una de las otras definiciones explota la propiedad handby de subtensiones de mil, es decir, que el valor de un milirradio equivale aproximadamente al ángulo subtendido por un ancho de 1 metro visto desde 1 km de distancia ( 2 $π$ /6400 = 0.0009817 ... ≈ 1/1000 ).

Minuto de arco ( n = 21,600): El minuto de arco (o MOA , minuto de arco , o simplemente minuto ) es 1/60 de un grado = 1/21.600 a su vez. Se denota por un primo único ('). Por ejemplo, 3 ° 30 'es igual a 3 x 60 + 30 = 210 minutos o 3 + 30/60 = 3,5 grados. A veces se usa un formato mixto con fracciones decimales, p. Ej. 3 ° 5,72 '= 3 + 5,72/60 grados. Una milla náutica se definió históricamente como un minuto de arco a lo largo de un gran círculo de la Tierra.

Segundo del arco ( n = 1,296,000): El segundo de arco (o segundo de arco , o simplemente segundos ) es 1/60 de un minuto de arco y 1/3.6 mil de un grado. Se denota por un doble primo ("). Por ejemplo, 3 ° 7 '30 "es igual a 3 + 7/60 + 30/3.600 grados, o 3,125 grados.

Ángulos positivos y negativos

Aunque la definición de la medida de un ángulo no es compatible con el concepto de un ángulo negativo, con frecuencia es útil imponer una convención que permita que los valores angulares positivos y negativos representen orientaciones y / o rotaciones en direcciones opuestas con respecto a alguna referencia.

En un sistema cartesiano de coordenadas bidimensional, un ángulo se define típicamente por sus dos lados, con su vértice en el origen. El lado inicial está en el eje x positivo, mientras que el lado opuesto o terminal está definido por la medida del lado inicial en radianes, grados o giros. Con ángulos positivos que representan rotaciones hacia el eje y positivo y ángulos negativos querepresentan rotaciones hacia el eje y negativo . Cuando las coordenadas cartesianas están representadas por la posición estándar , definida por el eje x hacia la derecha y el eje y hacia arriba, las rotaciones positivas son en sentido antihorario y las rotaciones negativas son en sentido horario.

En muchos contextos, un ángulo de - θ es efectivamente equivalente a un ángulo de "un giro completo menos θ ". Por ejemplo, una orientación representada como -45 ° es efectivamente equivalente a una orientación representada como 360 ° - 45 ° o 315 °. Aunque la posición final es la misma, una rotación física (movimiento) de -45 ° no es lo mismo que una rotación de 315 ° (por ejemplo, la rotación de una persona que sostiene una escoba que descansa sobre un piso polvoriento dejaría visualmente rastros diferentes de regiones barridas en el piso).

En la geometría tridimensional, "en sentido horario" y "antihorario" no tienen significado absoluto, por lo que la dirección de los ángulos positivos y negativos debe definirse en relación con alguna referencia, que suele ser un vector que pasa por el vértice del ángulo y perpendicular al plano que los rayos del ángulo mienten.

En la navegación, los rodamientos se miden en relación con el norte. Por convención, vistos desde arriba, los ángulos de orientación son positivos en el sentido de las agujas del reloj, por lo que un rumbo de 45 ° corresponde a una orientación noreste. Los rodamientos negativos no se utilizan en la navegación, por lo que una orientación noroeste corresponde a un rumbo de 315 °.

Formas alternativas de medir el tamaño de un ángulo

Hay varias alternativas para medir el tamaño de un ángulo por el ángulo de rotación. El grado de una pendiente o gradiente es igual a la tangente del ángulo, o algunas veces (rara vez) el seno. Un gradiente a menudo se expresa como un porcentaje. Para valores muy pequeños (menos del 5%), el grado de una pendiente es aproximadamente la medida del ángulo en radianes.

En la geometría racional, la dispersión entre dos líneas se define como el cuadrado del seno del ángulo entre las líneas. Como el seno de un ángulo y el seno de su ángulo suplementario son iguales, cualquier ángulo de rotación que mapee una de las líneas en la otra conduce al mismo valor para la dispersión entre las líneas.

Aproximaciones astronómicas

Los astrónomos miden la separación angular de objetos en grados desde su punto de observación.

0.5 ° es aproximadamente el ancho del sol o la luna.
1 ° es aproximadamente del ancho de un meñique con el brazo extendido.
10 ° es aproximadamente el ancho de un puño cerrado con el brazo extendido.
20 ° es aproximadamente del ancho de un palmo con la longitud de un brazo.

Estas mediciones dependen claramente del sujeto individual, y lo anterior debe tratarse como aproximaciones generales aproximadas.

Ángulos entre curvas

El ángulo entre las dos curvas en P se define como el ángulo entre las tangentes A y B en P .

El ángulo entre una línea y una curva (ángulo mixto) o entre dos curvas de intersección (ángulo curvilíneo) se define como el ángulo entre las tangentes en el punto de intersección. Se han dado varios nombres (ahora raramente, si alguna vez, usados) a casos particulares: - ampicicártico (Gr. Ἀμφί , en ambos lados, κυρτός, convexo) o cisoidal (Gr. Κισσός, hiedra), biconvexo; xystroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίς, una herramienta para raspar), concavo-convexo; amphicoelic (Gr. κοίλη, un hueco) o angulus lunularis , bicóncavo.

Ángulos de bisección y trisección

Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo dividir un ángulo (dividirlo en dos ángulos de igual medida) utilizando solo una brújula y una regla, pero solo podían trisectar ciertos ángulos. En 1837 Pierre Wantzel demostró que para la mayoría de los ángulos esta construcción no puede realizarse.

Punto de producto y generalizaciones

En el espacio euclidiano, el ángulo θ entre dos vectores euclidianas u y v se relaciona con su producto escalar y sus longitudes por la fórmula

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

Esta fórmula proporciona un método sencillo para encontrar el ángulo entre dos planos (o superficies curvas) desde sus vectores normales y entre líneas oblicuas desde sus ecuaciones de vectores.

Producto Interno

Para definir ángulos en un espacio de producto interior real abstracto, reemplazamos el producto de punto euclidiano ( • ) por el producto interno , es decir,

\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle

\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ | .

En un espacio de producto interior complejo, la expresión del coseno anterior puede dar valores no reales, por lo que se reemplaza con

{\ displaystyle \ operatorname {Re} \ left (\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right) = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

o, más comúnmente, usando el valor absoluto, con

\ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.

La última definición ignora la dirección de los vectores y, por lo tanto, describe el ángulo entre subespacios unidimensionales y abarcado por los vectores y correspondientemente.

\ operatorname {span} (\ mathbf {u})

\ operatorname {span} (\ mathbf {v})

\ mathbf {u}

\ mathbf {v}

Ángulos entre subespacios

La definición del ángulo entre subespacios unidimensionales y dada por

\ operatorname {span} (\ mathbf {u})

\ operatorname {span} (\ mathbf {v})

{\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |}

en un espacio de Hilbert puede extenderse a subespacios de cualquier dimensión finita. Dado dos subespacios , con , esto conduce a una definición de ángulos llamados ángulos canónicos o principales entre subespacios.

{\ mathcal {U}}

{\ mathcal {W}}

{\ displaystyle \ dim ({\ mathcal {U}}): = k \ leq \ dim ({\ mathcal {W}}): = l}

k

Ángulos en la geometría de Riemann

En la geometría de Riemann, el tensor métrico se usa para definir el ángulo entre dos tangentes. Donde U y V son vectores tangentes y g ij son los componentes del tensor métrico G ,

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {g_ {ij} U ^ {i} V ^ {j}} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} U ^ {i} U ^ {j} \ right | left | g_ {ij} V ^ {i} V ^ {j} \ right |}}}.}}

Ángulo hiperbólico

Un ángulo hiperbólico es un argumento de una función hiperbólica igual que el ángulo circular es el argumento de una función circular. La comparación se puede visualizar como el tamaño de las aberturas de un sector hiperbólico y un sector circular, ya que las áreas de estos sectores corresponden a las magnitudes de los ángulos en cada caso. A diferencia del ángulo circular, el ángulo hiperbólico no tiene límites. Cuando las funciones circulares e hiperbólicas se ven como series infinitas en su argumento de ángulo, las circulares son solo formas de series alternas de las funciones hiperbólicas. Leonhard Euler explicó este tejido de los dos tipos de ángulo y función en Introducción al Análisis del Infinito .

Ángulos en geografía y astronomía

En geografía, la ubicación de cualquier punto de la Tierra se puede identificar utilizando un sistema de coordenadas geográficas . Este sistema especifica la latitud y la longitud de cualquier ubicación en términos de ángulos subtendidos en el centro de la Tierra, utilizando el ecuador y (por lo general) el meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía, un punto dado en la esfera celeste (es decir, la posición aparente de un objeto astronómico) se puede identificar usando cualquiera de varios sistemas de coordenadas astronómicas , donde las referencias varían de acuerdo con el sistema particular. Los astrónomos miden la separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro de la Tierra, cada una de las cuales se cruza con una de las estrellas. El ángulo entre esas líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.

Tanto en la geografía como en la astronomía, una dirección de observación puede especificarse en términos de un ángulo vertical, como la altitud / elevación con respecto al horizonte, así como el acimut con respecto al norte.

Los astrónomos también miden el tamaño aparente de los objetos como un diámetro angular. Por ejemplo, la luna llena tiene un diámetro angular de aproximadamente 0.5 ° cuando se ve desde la Tierra. Uno podría decir: "El diámetro de la Luna subtiende un ángulo de medio grado". La fórmula de ángulo pequeño se puede usar para convertir una medición angular de este tipo en una relación de distancia / tamaño.

Ángulo

Definición