Conjunto (matemáticas)
Definición
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos distintos, considerado como un objeto en sí mismo. Por ejemplo, los números 2, 4 y 6 son objetos distintos cuando se consideran por separado, pero cuando se los considera colectivamente, forman un único conjunto de tamaño tres, escrito {2,4,6}. El concepto de un conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas. Desarrollada a fines del siglo XIX, la teoría de conjuntos ahora es una parte omnipresente de las matemáticas, y se puede usar como base desde la cual se pueden derivar casi todas las matemáticas. En la educación matemática, los temas elementales de la teoría de conjuntos, como los diagramas de Venn, se enseñan a una edad temprana, mientras que los conceptos más avanzados se enseñan como parte de un título universitario.
La palabra alemana Menge , traducida como "conjunto" en inglés, fue acuñada por Bernard Bolzano en su obra Las paradojas del infinito .
Definición
Un conjunto es una colección bien definida de objetos distintos. Los objetos que componen un conjunto (también conocidos como elementos o miembros del conjunto ) pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras del alfabeto, otros conjuntos, etc. Georg Cantor, uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición de un conjunto al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :
Los conjuntos se indican convencionalmente con letras mayúsculas. Los conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen precisamente los mismos elementos.
Por razones técnicas, la definición de Cantor resultó inadecuada; hoy, en contextos donde se requiere más rigor, se puede usar la teoría de conjuntos axiomática, en la que la noción de "conjunto" se toma como una noción primitiva y las propiedades de los conjuntos se definen mediante una colección de axiomas. Las propiedades más básicas son que un conjunto puede tener elementos, y que dos conjuntos son iguales (uno y el mismo) si y solo si cada elemento de cada conjunto es un elemento del otro; esta propiedad se llama extensionalidad de conjuntos .
Describiendo conjuntos
Hay dos formas de describir o especificar los miembros de un conjunto. Una forma es por definición intensional, usando una regla o descripción semántica:
- A es el conjunto cuyos miembros son los primeros cuatro enteros positivos.
- B es el conjunto de colores de la bandera francesa.
La segunda forma es por extensión, es decir, enumerar cada miembro del conjunto. Una definición extensional se denota al encerrar la lista de miembros entre llaves:
- C = {4, 2, 1, 3}
- D = {azul, blanco, rojo}.
Uno a menudo tiene la opción de especificar un conjunto ya sea intensional o extensionalmente. En los ejemplos anteriores, por ejemplo, A = C y B = D .
En una definición extensional, un miembro del conjunto se puede enumerar dos o más veces, por ejemplo, {11, 6, 6}. Sin embargo, por extensionalidad, dos definiciones de conjuntos que difieren solo en que una de las definiciones enumera a los miembros varias veces definen el mismo conjunto. Por lo tanto, el conjunto {11, 6, 6} es idéntico al conjunto {11, 6}. Además, el orden en que se enumeran los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una secuencia o tupla). Podemos ilustrar estos dos puntos importantes con un ejemplo:
- {6, 11} = {11, 6} = {11, 6, 6, 11}.
Para conjuntos con muchos elementos, la enumeración de miembros se puede abreviar. Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil enteros positivos se puede especificar de forma extensiva como
- {1, 2, 3, ..., 1000},
donde las elipsis ("...") indican que la lista continúa de la manera obvia.
La notación con llaves también se puede usar en una especificación intensional de un conjunto. En este uso, las llaves tienen el significado "el conjunto de todos ...". Entonces, E = {naipes juegos} es el conjunto cuyos cuatro miembros son ♠, ♦, ♥ y ♣. Una forma más general de esto es la notación set-builder, a través de la cual, por ejemplo, se puede denotar el conjunto F de los veinte enteros más pequeños que son cuatro cuadrados menos perfectos
- F = { n - 4: n es un número entero; y 0 ≤ n ≤ 19}.
En esta notación, los dos puntos (":") significan "tal que", y la descripción se puede interpretar como " F es el conjunto de todos los números de la forma n - 4, tal que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive. " Algunas veces se usa la barra vertical ("|") en lugar de los dos puntos.
Afiliación
Si B es un conjunto yx es uno de los objetos de B , esto se denota x ∈ B , y se lee como "x pertenece a B", o "x es un elemento de B". Si y no es miembro de B , esto se escribe como y ∉ B , y se lee como "y no pertenece a B".
Por ejemplo, con respecto a los conjuntos A = {1,2,3,4}, B = {azul, blanco, rojo}, y F = { n - 4: n es un número entero; y 0 ≤ n ≤ 19} definido anteriormente,
- 4 ∈ A y 12 ∈ F ; pero
- 9 ∉ F y ∉ verde B .
Subconjuntos
Si cada miembro del conjunto A también es miembro del conjunto B , se dice que A es un subconjunto de B , escrito A ⊆ B (también pronunciado A está contenido en B ). De manera equivalente, podemos escribir B ⊇ A , leído como B es un superconjunto de A , B incluye una o B contiene una . La relación entre los conjuntos establecidos por ⊆ se llama inclusión o contención .
Si A es un subconjunto de, pero no es igual a, B , entonces A se llama un subconjunto propio de B , escrito A ⊊ B ( A es un subconjunto propio de B ) o B ⊋ A ( B es un superconjunto adecuado de A ) .
Las expresiones A ⊂ B y B ⊃ A son usadas de forma diferente por diferentes autores; algunos autores los usan para significar lo mismo que A ⊆ B (respectivamente B ⊇ A ), mientras que otros los usan para significar lo mismo que A ⊊ B (respectivamente B ⊋ A ).
Ejemplos:
- El conjunto de todos los hombres es un subconjunto propio del conjunto de todas las personas.
- {1, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.
El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto y cada conjunto es un subconjunto de sí mismo:
- ∅ ⊆ A .
- A ⊆ A .
Cada conjunto es un subconjunto del conjunto universal:
- A ⊆ T .
Una identidad obvia pero útil, que a menudo se puede usar para mostrar que dos conjuntos aparentemente diferentes son iguales:
- A = B si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A .
Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos no vacíos de S tal que cada elemento x en S está exactamente en uno de estos subconjuntos.
Juegos de energía
El conjunto potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S . El conjunto potencia contiene S en sí y el conjunto vacío, porque estos son los dos subconjuntos de S . Por ejemplo, el conjunto de potencia del conjunto {1, 2, 3} es {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2 }, {3}, ∅}. El conjunto de potencia de un conjunto S generalmente se escribe como P ( S ).
El conjunto de potencia de un conjunto finito con n elementos tiene 2 elementos. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} contiene tres elementos, y el conjunto de potencia que se muestra arriba contiene 2 = 8 elementos.
El conjunto de potencia de un conjunto infinito (contable o incontable) siempre es incontable. Además, el conjunto de potencia de un conjunto siempre es estrictamente "más grande" que el conjunto original en el sentido de que no hay forma de emparejar cada elemento de S con exactamente un elemento de P ( S ). (Nunca hay un mapa o una proyección de S a P ( S )).
Cada partición de un conjunto S es un subconjunto de la powerset de S .
Cardinalidad
La cardinalidad | S | de un conjunto S es "el número de miembros de S ". Por ejemplo, si B = { azul, blanco, rojo } , entonces | B | = 3.
Hay un conjunto único sin miembros, llamado el conjunto vacío (o el conjunto nulo ), que se denota con el símbolo ∅ (se usan otras anotaciones, vea el conjunto vacío). La cardinalidad del conjunto vacío es cero. Por ejemplo, el conjunto de todos los cuadrados de tres lados tiene cero miembros y, por lo tanto, es el conjunto vacío. Aunque parezca trivial, el conjunto vacío, como el número cero, es importante en matemáticas. De hecho, la existencia de este conjunto es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos axiomática.
Algunos conjuntos tienen cardinalidad infinita. El conjunto N de números naturales, por ejemplo, es infinito. Algunas cardinalidades infinitas son mayores que otras. Por ejemplo, el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de (es decir, el número de puntos en) una línea recta es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, de todo el plano y, de hecho, de cualquier dimensión finita Espacio euclidiano.
Conjuntos especiales
Hay algunos conjuntos o clases de conjuntos que tienen una gran importancia matemática y se mencionan con tal regularidad que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos. Uno de estos es el conjunto vacío, denotado {} o ∅. Un conjunto con exactamente un elemento, x, es un conjunto de unidades, o singleton, {x}.
Muchos de estos conjuntos están representados usando negrita negrita o negrita. Los conjuntos especiales de números incluyen
- P o ℙ, que denota el conjunto de todos los números primos: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}.
- N o , que denota el conjunto de todos los números naturales: N = {0, 1, 2, 3, ...} (a veces definido excluyendo 0).
- Z o , que denota el conjunto de todos los enteros (ya sean positivos, negativos o cero): Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
- Q o ℚ, que denota el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todas las fracciones apropiadas e incorrectas): Q = { a / b : a , b ∈ Z , b ≠ 0}. Por ejemplo, 1/4 ∈ Q y 11/6 ∈ Q . Todos los enteros están en este conjunto ya que cada entero a se puede expresar como la fracción a / 1 ( Z ⊊ Q ).
- R o , que denota el conjunto de todos los números reales. Este conjunto incluye todos los números racionales, junto con todos los números irracionales (es decir, los números algebraicos que no pueden ser reescritos como fracciones como √ 2 , así como los números trascendentales como π, e ).
- C o ℂ, que denota el conjunto de todos los números complejos: C = { a + bi : a , b ∈ R }. Por ejemplo, 1 + 2 i ∈ C .
- H o ℍ, que denota el conjunto de todos los cuaterniones: H = { a + bi + cj + dk : a , b , c , d ∈ R }. Por ejemplo, 1 + i + 2 j - k ∈ H .
Los conjuntos positivo y negativo se denotan con un superíndice - o +. Por ejemplo, ℚ representa el conjunto de números racionales positivos.
Cada uno de los conjuntos de números anteriores tiene un número infinito de elementos, y cada uno se puede considerar como un subconjunto propio de los conjuntos enumerados a continuación. Los primos se utilizan con menos frecuencia que los demás fuera de la teoría de números y campos relacionados.
Operaciones básicas
Hay varias operaciones fundamentales para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados.
Sindicatos
Dos conjuntos se pueden "agregar" juntos. La unión de A y B , denotada por A ∪ B , es el conjunto de todas las cosas que son miembros de cualquiera de A o B .
Ejemplos:
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
- {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
Algunas propiedades básicas de uniones:
- A ∪ B = B ∪ A .
- A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
- A ⊆ ( A ∪ B ).
- A ∪ A = A .
- A ∪ U = U .
- A ∪ ∅ = A .
- A ⊆ B si y sólo si A ∪ B = B .
Intersecciones
También se puede construir un nuevo conjunto determinando qué miembros tienen dos conjuntos "en común". La intersección de A y B , denotada por A ∩ B , es el conjunto de todas las cosas que son miembros tanto de A y B . Si A ∩ B = ∅, entonces se dice que A y B son disjuntos .
Ejemplos:
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
- {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
Algunas propiedades básicas de las intersecciones:
- A ∩ B = B ∩ A .
- A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
- A ∩ B ⊆ A .
- A ∩ A = A .
- A ∩ U = A .
- A ∩ ∅ = ∅.
- A ⊆ B si y sólo si A ∩ B = A .
Complementos
Dos conjuntos también pueden ser "restados". El complemento relativa de B en A (también llamada la diferencia de teoría de conjuntos de A y B ), denotado por A \ B (o A - B ), es el conjunto de todos los elementos que son miembros de una pero no miembros de B . Tenga en cuenta que es válido para "restar" miembros de un conjunto que no están en el conjunto, como eliminar el elemento verde del conjunto {1, 2, 3}; hacerlo no tiene ningún efecto.
En ciertas configuraciones de todos los conjuntos en discusión son considerados como subconjuntos de un conjunto universal dado T . En tales casos, U \ A se llama complemento absoluto o simplemente complemento de A , y se denota por A '.
- A '= U \ A
Ejemplos:
- {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
- {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
- Si T es el conjunto de números enteros, E es el conjunto de los enteros, y O es el conjunto de números enteros impares, entonces T \ E = E '= O.
Algunas propiedades básicas de los complementos:
- A \ B ≠ B \ A de A ≠ B .
- A ∪ A '= U .
- A ∩ A '= ∅.
- ( A ')' = A .
- ∅ \ A = ∅.
- Un \ ∅ = A .
- A \ A = ∅.
- A \ U = ∅.
- A \ A '= A y A ' \ A = A '.
- T '= ∅ y ∅' = T .
- A \ B = A ∩ B ' .
- si A ⊆ B entonces A \ B = ∅.
Una extensión del complemento es la diferencia simétrica, definida para los conjuntos A , B como
Por ejemplo, la diferencia simétrica de {7,8,9,10} y {9,10,11,12} es el conjunto {7,8,11,12}. El conjunto de potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con diferencia simétrica como la adición del anillo (con el conjunto vacío como elemento neutro) y la intersección como la multiplicación del anillo.
producto cartesiano
Se puede construir un nuevo conjunto asociando cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado por A × B es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) de tal manera que una es un miembro de A y B es un miembro de B .
Ejemplos:
- {1, 2} × {rojo, blanco, verde} = {(1, rojo), (1, blanco), (1, verde), (2, rojo), (2, blanco), (2, verde) }.
- {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
- {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.
Algunas propiedades básicas de los productos cartesianos:
- A × ∅ = ∅.
- A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
- ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).
Deje que A y B sean conjuntos finitos; entonces la cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades:
- | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.
Aplicaciones
La teoría de conjuntos se ve como la base desde la cual se pueden derivar virtualmente todas las matemáticas. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta, como grupos, campos y anillos, son conjuntos cerrados en una o más operaciones.
Una de las principales aplicaciones de la teoría de conjuntos ingenua es la construcción de relaciones. Una relación de un dominio A a un codomain B es un subconjunto del producto cartesiano A × B . Dado este concepto, vemos rápidamente que el conjunto F de todos los pares ordenados ( x , x ), donde x es real, es bastante familiar. Tiene un conjunto de dominios R y un conjunto de dominios codificados que también es R , porque el conjunto de todos los cuadrados es un subconjunto del conjunto de todos los números reales. Si se coloca en notación funcional, esta relación se convierte en f ( x ) = x. La razón de estos dos son equivalentes es para cualquier valor dado, y que la función se define para, su correspondiente par ordenado, ( y , y ) es un miembro del conjunto F .
Teoría de conjuntos axiomáticos
Aunque inicialmente la teoría de conjuntos ingenua, que define un conjunto simplemente como una colección bien definida , fue bien aceptada, pronto se encontró con varios obstáculos. Se encontró que esta definición generó varias paradojas, más notablemente:
- La paradoja de Russell: muestra que "el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen ", es decir, el "conjunto" { x : x es un conjunto y x ∉ x } no existe.
- La paradoja de Cantor: muestra que "el conjunto de todos los conjuntos" no puede existir.
La razón es que la frase bien definida no está muy bien definida. Era importante liberar la teoría de conjuntos de estas paradojas porque casi todas las matemáticas se redefinían en términos de teoría de conjuntos. En un intento por evitar estas paradojas, la teoría de conjuntos se axiomatizó en base a la lógica de primer orden, y así nació la teoría de conjuntos axiomática .
Para la mayoría de los propósitos, sin embargo, la teoría de conjuntos ingenua aún es útil.
Principio de inclusión y exclusión
El principio de inclusión-exclusión es una técnica de conteo que se puede usar para contar el número de elementos en una unión de dos conjuntos, si se conoce el tamaño de cada conjunto y el tamaño de su intersección. Se puede expresar simbólicamente como
Se puede usar una forma más general del principio para encontrar la cardinalidad de cualquier unión finita de conjuntos:
Las leyes de De Morgan
Augustus De Morgan declaró dos leyes sobre conjuntos.
Si A y B son dos conjuntos, entonces,
- (A ∪ B) '= A' ∩ B '
El complemento de A union B es igual al complemento de A intersectado con el complemento de B.
- (A ∩ B) '= A' ∪ B '
El complemento de A intersectado con B es igual al complemento de A union al complemento de B.