Álgebra
Definición
Álgebra (del árabe "al-jabr"), que literalmente significa "reunión de partes rotas") es una de las partes amplias de las matemáticas, junto con la teoría de números, la geometría y el análisis. En su forma más general, el álgebra es el estudio de los símbolos matemáticos y las reglas para manipular estos símbolos; es un hilo unificador de casi todas las matemáticas. Como tal, incluye todo, desde la resolución de ecuaciones elementales hasta el estudio de abstracciones como grupos, anillos y campos. Las partes más básicas del álgebra se llaman álgebra elemental; las partes más abstractas se llaman álgebra abstracta o álgebra moderna. El álgebra elemental generalmente se considera esencial para cualquier estudio de matemáticas, ciencias o ingeniería, así como para aplicaciones como medicina y economía. El álgebra abstracta es un área importante en matemáticas avanzadas,
El álgebra elemental difiere de la aritmética en el uso de abstracciones, como el uso de letras para representar números que son desconocidos o que pueden tomar muchos valores. Por ejemplo, en la carta se desconoce, pero la ley de los inversos se puede utilizar para descubrir su valor: . En E = mc , las letras y son variables, y la letra es una constante, la velocidad de la luz en el vacío. El álgebra brinda métodos para escribir fórmulas y resolver ecuaciones que son mucho más claras y fáciles que el método anterior de escribir todo en palabras.
La palabra álgebra también se usa de ciertas maneras especializadas. Un tipo especial de objeto matemático en álgebra abstracta se llama "álgebra", y la palabra se usa, por ejemplo, en las frases álgebra lineal y topología algebraica.
Un matemático que hace la investigación en álgebra se llama un algebrista .
Etimología
The word algebra comes from the Arabic الجبر (al-jabr lit. "the reunion of broken parts") from the title of the book Ilm al-jabr wa'l-muḳābala by the Persian mathematician and astronomer al-Khwarizmi. The word entered the English language during the fifteenth century, from either Spanish, Italian, or Medieval Latin. It originally referred to the surgical procedure of setting broken or dislocated bones. The mathematical meaning was first recorded in the sixteenth century.
Different meanings of "algebra"
The word "algebra" has several related meanings in mathematics, as a single word or with qualifiers.
- As a single word without an article, "algebra" names a broad part of mathematics.
- Como una sola palabra con un artículo o en plural, "un álgebra" o "álgebras" denota una estructura matemática específica, cuya definición precisa depende del autor. Por lo general, la estructura tiene una suma, multiplicación y una multiplicación escalar (ver Álgebra sobre un campo). Cuando algunos autores usan el término "álgebra", hacen un subconjunto de los siguientes supuestos adicionales: asociativo, conmutativo, unital y / o finito-dimensional. En el álgebra universal, la palabra "álgebra" se refiere a una generalización del concepto anterior, que permite operaciones n-arias.
- Con un calificador, existe la misma distinción:
- Sin un artículo, significa una parte del álgebra, como el álgebra lineal, el álgebra elemental (las reglas de manipulación de símbolos enseñadas en cursos elementales de matemáticas como parte de la educación primaria y secundaria) o el álgebra abstracta (el estudio de las estructuras algebraicas para sí mismos).
- Con un artículo, significa una instancia de alguna estructura abstracta, como un álgebra de Lie, un álgebra asociativa o un álgebra de operador de vértices.
- A veces ambos significados existen para el mismo calificador, como en la oración: El álgebra conmutativa es el estudio de los anillos conmutativos, que son álgebras conmutativas sobre los enteros .
Álgebra como una rama de las matemáticas
El álgebra comenzó con cálculos similares a los de la aritmética, con letras que representan números. Esto permitió pruebas de propiedades que son verdaderas, sin importar los números involucrados. Por ejemplo, en la ecuación cuadrática
puede ser cualquier número que sea (excepto que no puede ser ), y la fórmula cuadrática se puede usar para encontrar rápida y fácilmente los valores de la cantidad desconocida que satisfacen la ecuación. Es decir, para encontrar todas las soluciones de la ecuación.
Históricamente, y en la enseñanza actual, el estudio del álgebra comienza con la resolución de ecuaciones como la ecuación cuadrática anterior. Luego, preguntas más generales, como "¿tiene una ecuación una solución?", "¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?", "¿Qué se puede decir sobre la naturaleza de las soluciones?" son considerados. Estas preguntas conducen a ideas de forma, estructura y simetría. Este desarrollo permitió que el álgebra se extendiera para considerar objetos no numéricos, como vectores, matrices y polinomios. Las propiedades estructurales de estos objetos no numéricos se resumieron para definir estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.
Antes del siglo XVI, las matemáticas se dividían en solo dos subcampos, aritmética y geometría. Aunque algunos métodos, que se habían desarrollado mucho antes, se pueden considerar hoy en día como álgebra, la aparición del álgebra y, poco después, del cálculo infinitesimal como subcampos de las matemáticas solo data del siglo XVI o XVII. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, aparecieron muchos campos matemáticos nuevos, la mayoría de los cuales utilizaban la aritmética y la geometría, y casi todos usaban álgebra.
Hoy en día, el álgebra ha crecido hasta incluir muchas ramas de las matemáticas, como se puede ver en la Clasificación de Materias Matemáticas donde ninguna de las áreas de primer nivel (entradas de dos dígitos) se llama álgebra . El álgebra de hoy incluye la sección 08-Sistemas algebraicos generales, 12-Teoría de campo y polinomios, 13-Algebra conmutativa, 15-Lineal y álgebra multilineal; teoría matricial, 16-Anillos y álgebras asociativos, 17-Anillos asociativos y álgebras, 18-Categoría teoría; álgebra homológica, teoría de 19 K y teoría de 20 grupos. El álgebra también se usa ampliamente en la teoría de 11 números y la geometría de 14 algebraicos.
Historia
Historia temprana del álgebra
Las raíces del álgebra se remontan a los antiguos babilonios, que desarrollaron un sistema aritmético avanzado con el que podían hacer cálculos de forma algorítmica. Los babilonios desarrollaron fórmulas para calcular soluciones para problemas normalmente resueltos hoy usando ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas y ecuaciones lineales indeterminadas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, así como las matemáticas griegas y chinas en el 1er milenio antes de Cristo, solían resolver tales ecuaciones mediante métodos geométricos, como los descritos en el papiro matemático de Rhind , los elementos de Euclides y los nueve capítulos sobre el arte matemático. . El trabajo geométrico de los griegos, tipificado en los Elementos, proporcionó el marco para generalizar fórmulas más allá de la solución de problemas particulares en sistemas más generales de enunciado y resolución de ecuaciones, aunque esto no se realizaría hasta que las matemáticas se desarrollaran en el Islam medieval.
Para la época de Platón, las matemáticas griegas habían experimentado un cambio drástico. Los griegos crearon un álgebra geométrica donde los términos se representaban por lados de objetos geométricos, generalmente líneas, que tenían letras asociadas a ellos. Diofanto (siglo III dC) fue un matemático griego alejandrino y autor de una serie de libros llamados Arithmetica . Estos textos se ocupan de resolver ecuaciones algebraicas y han llevado, en teoría de números, a la noción moderna de la ecuación diofántica.
Las tradiciones anteriores discutidas anteriormente tuvieron una influencia directa en el matemático persa Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (hacia 780-850). Más tarde escribió The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que estableció el álgebra como una disciplina matemática que es independiente de la geometría y la aritmética.
Los matemáticos helenísticos Héroe de Alejandría y Diofanto, así como los matemáticos indios como Brahmagupta continuaron las tradiciones de Egipto y Babilonia, aunque la Aritmética deDiofanto y el Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta están en un nivel superior. Por ejemplo, Brahmagupta describió la primera solución aritmética completa (que incluye soluciones cero y negativas) a ecuaciones cuadráticas en su libro Brahmasphutasiddhanta . Más tarde, los matemáticos persas y árabes desarrollaron métodos algebraicos en un grado mucho más alto de sofisticación. Aunque Diofante y los babilonios usaban principalmente ad hoc especiales métodos para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental. Resolvió ecuaciones lineales y cuadráticas sin simbolismo algebraico, números negativos o cero, por lo que tuvo que distinguir varios tipos de ecuaciones.
En el contexto donde el álgebra se identifica con la teoría de ecuaciones, el matemático griego Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra" y en un contexto donde se identifica con reglas para manipular y resolver ecuaciones, se considera al matemático persa al-Khwarizmi como "el padre del álgebra". Ahora existe un debate sobre si quién (en sentido general) tiene más derecho a ser conocido como "el padre del álgebra". Aquellos que apoyan a Diofanto apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es ligeramente más elemental que el álgebra que se encuentra en Arithmetica y que Arithmetica se sincopa mientras que Al-Jabr es completamente retórico Quienes apoyan a Al-Khwarizmi señalan el hecho de que introdujo los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos similares en lados opuestos del ecuación) que el término al-jabr originalmente mencionado, y que dio una explicación exhaustiva para resolver ecuaciones cuadráticas, respaldadas por pruebas geométricas, mientras trataba el álgebra como una disciplina independiente en sí misma. Su álgebra ya no estaba preocupada "por una serie de problemas por resolver, sino por una exposición que comienza con términos primitivos en los que las combinaciones deben dar todos los prototipos posibles para ecuaciones, que de ahora en adelante constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación por sí misma y "de una manera genérica, en la medida en que no surge simplemente en el curso de la solución de un problema, sino que se la llama específicamente a definir una clase infinita de problemas".
A otro matemático persa, Omar Khayyam, se le atribuye la identificación de los fundamentos de la geometría algebraica y se encuentra la solución geométrica general de la ecuación cúbica. Su libro Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), que estableció los principios del álgebra, es parte del cuerpo de las matemáticas persas que finalmente se transmitió a Europa. Sin embargo, otro matemático persa, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, encontró soluciones algebraicas y numéricas para varios casos de cúbicos ecuaciones. Él también desarrolló el concepto de una función. Los matemáticos indios Mahavira y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones polinómicas cúbicas, cuárticas, quínticas y de orden superior utilizando métodos numéricos. En el siglo XIII, la solución de una ecuación cúbica de Fibonacci es representativa del comienzo de un renacimiento en el álgebra europea. Abū al-Ḥasan ibn'Alī al-Qalaṣādī (1412-1486) dio los "primeros pasos hacia la introducción del simbolismo algebraico"., Σ n y usó el método de aproximación sucesiva para determinar las raíces cuadradas. Como el mundo islámico estaba disminuyendo, el mundo europeo estaba ascendiendo. Y es aquí donde el álgebra se desarrolló aún más.
Historia moderna del álgebra
El trabajo de François Viète sobre el nuevo álgebra a fines del siglo XVI fue un paso importante hacia el álgebra moderna. En 1637, René Descartes publicó La Géométrie , inventando la geometría analítica e introduciendo la notación algebraica moderna. Otro evento clave en el posterior desarrollo del álgebra fue la solución algebraica general de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, desarrollada a mediados del siglo XVI. La idea de un determinante fue desarrollada por el matemático japonés Seki Kōwa en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas usando matrices. Gabriel Cramer también hizo algún trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Las permutaciones fueron estudiadas por Joseph-Louis Lagrange en su artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations dedicada a las soluciones de ecuaciones algebraicas, en la que introdujo los disolventes de Lagrange. Paolo Ruffini fue la primera persona en desarrollar la teoría de los grupos de permutación, y al igual que sus predecesores, también en el contexto de la resolución de ecuaciones algebraicas.
El álgebra abstracta fue desarrollada en el siglo XIX, derivada del interés en resolver ecuaciones, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois y en cuestiones de constructibilidad. George Peacock fue el fundador del pensamiento axiomático en aritmética y álgebra. Augustus De Morgan descubrió la relación álgebra en su Syllabus de un Sistema Propuesto de Lógica . Josiah Willard Gibbs desarrolló un álgebra de vectores en el espacio tridimensional, y Arthur Cayley desarrolló un álgebra de matrices (esta es una álgebra no conmutativa).
Áreas de las matemáticas con la palabra álgebra en su nombre
Algunas áreas de las matemáticas que caen bajo la clasificación de álgebra abstracta tienen la palabra álgebra en su nombre; el álgebra lineal es un ejemplo. Otros no: la teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos son ejemplos. En esta sección, enumeramos algunas áreas de las matemáticas con la palabra "álgebra" en el nombre.
- Álgebra elemental, la parte de álgebra que generalmente se enseña en cursos elementales de matemáticas.
- Álgebra abstracta, en la cual las estructuras algebraicas tales como grupos, anillos y campos se definen axiomáticamente e investigan.
- Álgebra lineal, en la que se estudian las propiedades específicas de ecuaciones lineales, espacios de vectores y matrices.
- Álgebra booleana, una rama del álgebra que resume el cálculo con los valores de verdad falsos y verdaderos .
- Algebra conmutativa, el estudio de los anillos conmutativos.
- Álgebra computacional, la implementación de métodos algebraicos como algoritmos y programas informáticos.
- Álgebra homológica, el estudio de las estructuras algebraicas que son fundamentales para estudiar los espacios topológicos.
- Álgebra universal, en la cual se estudian propiedades comunes a todas las estructuras algebraicas.
- Teoría de números algebraicos, en la que las propiedades de los números se estudian desde un punto de vista algebraico.
- La geometría algebraica, una rama de la geometría, en su forma primitiva que especifica curvas y superficies como soluciones de ecuaciones polinomiales.
- Combinaciones algebraicas, en las que los métodos algebraicos se utilizan para estudiar cuestiones combinatorias.
- Álgebra relacional: un conjunto de relaciones finitarias que se cierra bajo ciertos operadores.
Muchas estructuras matemáticas se llaman álgebras :
- Álgebra sobre un campo o más generalmente álgebra sobre un anillo.
Muchas clases de álgebras sobre un campo o sobre un anillo tienen un nombre específico:- Álgebra asociativa
- Álgebra no asociativa
- Lie álgebra
- Álgebra de Hopf
- C * -algebra
- Álgebra simétrica
- Álgebra exterior
- Álgebra tensor
- En la teoría de la medida,
- Sigma-álgebra
- Álgebra sobre un conjunto
- En la teoría de categorías
- F-álgebra y F-coalgebra
- T-álgebra
- En lógica,
- Álgebra de relación, un álgebra booleana residual se expandió con una involución llamada converse.
- Álgebra de Boole, un enrejado distributivo complementado.
- Heyting álgebra
Álgebra elemental
El álgebra elemental es la forma más básica de álgebra. Se enseña a los estudiantes que se presume que no tienen conocimiento de las matemáticas más allá de los principios básicos de la aritmética. En aritmética, solo se producen números y sus operaciones aritméticas (como +, -, ×, ÷). En álgebra, los números a menudo se representan mediante símbolos llamados variables (como a , n , x , y o z ). Esto es útil porque:
- Permite la formulación general de leyes aritméticas (como a + b = b + a para todos a y b ), y por lo tanto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades del sistema numérico real.
- Permite la referencia a números "desconocidos", la formulación de ecuaciones y el estudio de cómo resolverlos. (Por ejemplo, "Encuentre un número x tal que 3 x + 1 = 10" o yendo un poco más allá "Encuentre un número x tal que ax + b = c ". Este paso lleva a la conclusión de que no es la naturaleza de los números específicos que nos permiten resolverlo, pero el de las operaciones involucradas.)
- Permite la formulación de relaciones funcionales. (Por ejemplo, "Si vende x tickets, su ganancia será de 3 x 10 dólares, o f ( x ) = 3 x 10, donde f es la función y x es el número al que se aplica la función ".)
Polinomios
Un polinomio es una expresión que es la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada término consiste en el producto de una constante y un número finito de variables elevadas a potencias de números enteros. Por ejemplo, x + 2 x - 3 es un polinomio en la variable única x . Una expresión polinomial es una expresión que puede reescribirse como un polinomio, mediante la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad de la suma y la multiplicación. Por ejemplo, ( x - 1) ( x + 3) es una expresión polinomial, que, propiamente hablando, no es un polinomio. Una función polinomial es una función que está definida por un polinomio, o, de manera equivalente, por una expresión polinómica. Los dos ejemplos anteriores definen la misma función polinómica.
Dos problemas importantes y relacionados en álgebra son la factorización de polinomios, es decir, expresar un polinomio dado como un producto de otros polinomios que no se pueden factorizar más, y el cálculo de los mayores divisores comunes polinomiales. El ejemplo de polinomio anterior se puede factorizar como ( x - 1) ( x + 3). Una clase relacionada de problemas es encontrar expresiones algebraicas para las raíces de un polinomio en una sola variable.
Educación
Se ha sugerido que se debe enseñar álgebra elemental a estudiantes de hasta once años, aunque en los últimos años es más común que las clases públicas comiencen en el nivel de octavo grado (yo 13 años) en los Estados Unidos. Sin embargo, en algunas escuelas de los Estados Unidos, el álgebra se inicia en el noveno grado.
Álgebra abstracta
El álgebra abstracta extiende los conceptos familiares que se encuentran en el álgebra elemental y la aritmética de los números a conceptos más generales. Aquí están los conceptos fundamentales enumerados en álgebra abstracta.
Conjuntos : en lugar de considerar únicamente los diferentes tipos de números, el álgebra abstracta trata el concepto más general de conjuntos : una colección de todos los objetos (elementos llamados) seleccionados por propiedad específica para el conjunto. Todas las colecciones de los tipos familiares de números son conjuntos. Otros ejemplos de conjuntos incluyen el conjunto de todas las matrices de dos por dos, el conjunto de todos los polinomios de segundo grado ( ax + bx + c ), el conjunto de todos los dos vectores dimensionales en el plano y los diversos grupos finitos tales como los grupos cíclicos, que son los grupos de enteros módulo n . La teoría de conjuntos es una rama de la lógica y no es técnicamente una rama del álgebra.
Operaciones binarias : la noción de suma (+) se abstrae para dar una operación binaria , * por ejemplo. La noción de operación binaria no tiene sentido sin el conjunto en el que se define la operación. Para dos elementos a y b en un conjunto S , a * b es otro elemento en el conjunto; esta condición se llama cierre. La suma (+), la resta (-), la multiplicación (×) y la división (÷) pueden ser operaciones binarias cuando se definen en conjuntos diferentes, así como la suma y multiplicación de matrices, vectores y polinomios.
Elementos de identidad : los números cero y uno se abstraen para dar la noción de un elemento de identidad para una operación. Cero es el elemento de identidad para la suma y uno es el elemento de identidad para la multiplicación. Para un operador binario general *, el elemento de identidad e debe satisfacer a * e = a y e * a = a , y es necesariamente único, si existe. Esto es válido para la suma como a + 0 = a y 0 + a = a y la multiplicación a × 1 = a y 1 × a = a . No todos los conjuntos y combinaciones de operadores tienen un elemento de identidad; por ejemplo, el conjunto de números naturales positivos (1, 2, 3, ...) no tiene elemento de identidad para la suma.
Elementos inversos : los números negativos dan lugar al concepto de elementos inversos . Además, el inverso de a se escribe - a , y para la multiplicación, el inverso se escribe a . Un elemento inverso general de dos lados a satisface la propiedad de que a * a = e y a * a = e , donde e es el elemento de identidad.
Asociatividad : La suma de enteros tiene una propiedad llamada asociatividad. Es decir, la agrupación de los números que se agregarán no afecta la suma. Por ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . En general, esto se convierte en ( a * b ) * c = a * ( b * c ). Esta propiedad es compartida por la mayoría de las operaciones binarias, pero no por la resta o división o por la multiplicación de octoniones.
Conmutatividad : suma y multiplicación de números reales son conmutativos. Es decir, el orden de los números no afecta el resultado. Por ejemplo: 2 + 3 = 3 + 2. En general, esto se convierte en a * b = b * a . Esta propiedad no es válida para todas las operaciones binarias. Por ejemplo, la multiplicación de matrices y la multiplicación de cuaterniones son ambas no conmutativas.
Grupos
La combinación de los conceptos anteriores brinda una de las estructuras más importantes en matemáticas: un grupo . Un grupo es una combinación de un conjunto S y una operación binaria simple *, definida de la manera que elija, pero con las siguientes propiedades:
- Existe un elemento de identidad e , de modo que para cada miembro a de S , e * a y a * e son idénticos a a .
- Cada elemento tiene una inversa: para cada miembro de una de S , existe un miembro de una de tal manera que un * una y un * una son ambos idénticos al elemento de identidad.
- La operación es asociativa: si una , b y c son miembros de S , entonces ( a * b ) * c es idéntica a un * ( b * c ).
Si un grupo también es conmutativo, es decir, para dos miembros a y b de S , a * b es idéntico a b * a -entonces se dice que el grupo es abeliano.
Por ejemplo, el conjunto de enteros bajo la operación de adición es un grupo. En este grupo, el elemento de identidad es 0 y el inverso de cualquier elemento a es su negación, - a . El requisito de asociatividad se cumple, porque para cualquier número entero a , b y c , ( a + b ) + c = a + ( b + c )
Los números racionales distintos de cero forman un grupo bajo multiplicación. Aquí, el elemento de identidad es 1, ya que 1 × a = a × 1 = a para cualquier número racional a . El inverso de a es 1 / a, ya que a × 1 / a = 1.
Los enteros bajo la operación de multiplicación, sin embargo, no forman un grupo. Esto se debe a que, en general, el inverso multiplicativo de un entero no es un número entero. Por ejemplo, 4 es un número entero, pero su inversa multiplicativa es ¼, que no es un número entero.
La teoría de grupos se estudia en teoría de grupos. Un resultado importante de esta teoría es la clasificación de grupos simples finitos, publicados principalmente entre 1955 y 1983, que separa los grupos simples finitos en aproximadamente 30 tipos básicos.
Semigrupos, cuasigrupos y monoides son estructuras similares a grupos, pero más generales. Comprenden un conjunto y una operación binaria cerrada, pero no satisfacen necesariamente las otras condiciones. Un semigrupo tiene una operación binaria asociativa , pero puede no tener un elemento de identidad. Un monoide es un semigrupo que sí tiene una identidad, pero puede no tener un inverso para cada elemento. Un cuasigrupo satisface el requisito de que cualquier elemento se puede convertir en cualquier otro mediante una multiplicación izquierda o una multiplicación derecha únicas; sin embargo, la operación binaria puede no ser asociativa.
Todos los grupos son monoides, y todos los monoides son semigrupos.
| Conjunto | Números naturales N | Enteros Z | Números racionales Q (tambiénnúmeros R reales y complejos C ) | Enteros módulo 3: Z 3 = {0, 1, 2} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Operación | + | × (sin cero) | + | × (sin cero) | + | - | × (sin cero) | ÷ (sin cero) | + | × (sin cero) |
| Cerrado | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí |
| Identidad | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | N / A | 1 | N / A | 0 | 1 |
| Inverso | N / A | N / A | - a | N / A | - a | N / A | 1 / a | N / A | 0, 2, 1, respectivamente | N / A, 1, 2, respectivamente |
| De asociación | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | No | Sí | No | Sí | Sí |
| Conmutativo | Sí | Sí | Sí | Sí | Sí | No | Sí | No | Sí | Sí |
| Estructura | monoide | monoide | grupo abelian | monoide | grupo abelian | cuasigrupo | grupo abelian | cuasigrupo | grupo abelian | grupo abeliano ( Z 2 ) |
Anillos y campos
Los grupos solo tienen una operación binaria. Para explicar completamente el comportamiento de los diferentes tipos de números, es necesario estudiar las estructuras con dos operadores. El más importante de estos son anillos y campos.
Un anillo tiene dos operaciones binarias (+) y (×), con × distributivo sobre +. Bajo el primer operador (+) forma un grupo abeliano . Bajo el segundo operador (×) es asociativo, pero no necesita tener identidad, o inverso, por lo que no se requiere división. El elemento de identidad aditivo (+) se escribe como 0 y el inverso aditivo de a se escribe como - a .
La distributividad generaliza la ley distributiva de los números. Para los números enteros ( a + b ) × c = a × c + b × c y c × ( a + b ) = c × a + c × b , y × se dice que es distributivo sobre +.
Los enteros son un ejemplo de un anillo. Los enteros tienen propiedades adicionales que lo hacen un dominio integral .
Un campo es un anillo con la propiedad adicional de que todos los elementos, excluyendo 0, forman un grupo abeliano bajo ×. La identidad multiplicativa (×) se escribe como 1 y la inversa multiplicativa de a se escribe como a .
Los números racionales, los números reales y los números complejos son todos ejemplos de campos.