Geometría
Definición
La geometría (del griego antiguo: γεωμετρία ; geo- "tierra", -metron "medida") es una rama de las matemáticas que se ocupa de las cuestiones de forma, tamaño, posición relativa de las figuras y las propiedades del espacio. Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama un geómetra.
La geometría surgió de forma independiente en varias culturas tempranas como una forma práctica de tratar longitudes, áreas y volúmenes. La geometría comenzó a ver elementos de la ciencia matemática formal emergiendo en Occidente ya en el siglo VI a. En el siglo tercero antes de Cristo, la geometría fue puesta en forma axiomática por Euclides, cuyo tratamiento, los Elementos de Euclides , establecer un estándar durante muchos siglos a seguir. La geometría surgió independientemente en la India, y los textos proporcionaron reglas para las construcciones geométricas que aparecieron ya en el siglo III aC. Los científicos islámicos conservaron las ideas griegas y las ampliaron durante la Edad Media. A principios del siglo XVII, matemáticos como René Descartes y Pierre de Fermat colocaron la geometría en una sólida base analítica. Desde entonces, y en los tiempos modernos, la geometría se ha expandido hacia geometrías y variedades no euclidianas, describiendo espacios que están más allá del rango normal de la experiencia humana.
Si bien la geometría ha evolucionado significativamente a lo largo de los años, existen algunos conceptos generales que son más o menos fundamentales para la geometría. Estos incluyen los conceptos de puntos, líneas, planos, superficies, ángulos y curvas, así como las nociones más avanzadas de variedades y topología o métrica.
La geometría tiene aplicaciones en muchos campos, incluidos el arte, la arquitectura, la física y otras ramas de las matemáticas.
Visión de conjunto
La geometría contemporánea tiene muchos subcampos:
- La geometría euclidiana es geometría en su sentido clásico. El currículum educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de puntos, líneas, planos, ángulos, triángulos, congruencia, similitud, figuras sólidas, círculos y geometría analítica. La geometría euclidiana también tiene aplicaciones en ciencias de la computación, cristalografía y diversas ramas de las matemáticas modernas.
- La geometría diferencial usa técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas en geometría. Tiene aplicaciones en física, incluida la relatividad general.
- La topología es el campo relacionado con las propiedades de los objetos geométricos que no se modifican mediante asignaciones continuas. En la práctica, esto a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad.
- La geometría convexa investiga formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real. Tiene conexiones cercanas con análisis convexo, optimización y análisis funcional y aplicaciones importantes en teoría de números.
- La geometría algebraica estudia la geometría mediante el uso de polinomios multivariados y otras técnicas algebraicas. Tiene aplicaciones en muchas áreas, incluida la criptografía y la teoría de cuerdas.
- La geometría discreta se refiere principalmente a cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Comparte muchos métodos y principios con combinatoria.
Historia
Los primeros comienzos de la geometría registrados se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio antes de Cristo. La geometría temprana era una colección de principios empíricamente descubiertos relativos a longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en agrimensura, construcción, astronomía y diversos oficios. Los primeros textos conocidos sobre geometría son el Papiro Rhind egipcio (2000-1800 aC) y el Papiro de Moscú. (C. 1890 aC), las tabletas de arcilla babilonias como Plimpton 322 (1900 aC). Por ejemplo, el Papiro de Moscú da una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o tronco. Las tabletas de arcilla posteriores (350-50 aC) demuestran que los astrónomos de Babilonia implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter dentro del espacio tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos anticiparon las Calculadoras de Oxford, incluido el teorema de la velocidad media, por 14 siglos. Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía las primeras versiones de los relojes solares.
En el siglo VII aC, el matemático griego Tales de Mileto usó la geometría para resolver problemas tales como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos desde la orilla. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del Teorema de Thales. Pitágoras estableció la Escuela de Pitágoras, a la que se atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras, aunque la afirmación del teorema tiene una larga historia. Eudoxo (408-c. 355 aC) desarrolló el método de agotamiento, que permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, así como una teoría de relaciones que evitaba el problema de magnitudes inconmensurables, lo que permitió a los geómetras subsiguientes realizar avances significativos. . Alrededor de 300 aC, la geometría fue revolucionada por Euclides, cuyos elementos, ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, introdujo el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que aún se usa en las matemáticas de hoy, el de definición, axioma, teorema y prueba. Aunque la mayoría de los contenidos de los Elementos ya eran conocidos, Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. Los elementos era conocido por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría actual. Arquímedes (c 287-212 aC) de Siracusa usó el método del agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita, y dio aproximaciones notablemente precisas de Pi. También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución.
Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes en geometría. El Satapatha Brahmana (siglo III aC) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sutras Sulba . De acuerdo con (Hayashi 2005, p. 363), los Sūtras Sulba contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, a pesar de que ya había sido conocido por los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas, que son especialmente casos de ecuaciones diofánticas. En el manuscrito Bakhshali, hay un puñado de problemas geométricos (incluyendo problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). el manuscrito Bakhshali también "emplea un sistema de valor decimal con un punto de cero." de Aryabhata Aryabhatiya (499) incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su trabajo astronómico
Brāhma Sphuta Siddhānta en 628. Capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "Operaciones básicas" (incluyendo raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, y de trueque) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de granos). En la última sección, declaró su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico. El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Herón), así como una descripción completa de triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
Brāhma Sphuta Siddhānta en 628. Capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "Operaciones básicas" (incluyendo raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, y de trueque) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de granos). En la última sección, declaró su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico. El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Herón), así como una descripción completa de triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
En la Edad Media, las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica. Al-Mahani (nacido en 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como la duplicación del cubo a problemas en álgebra. Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín) (836-901) se ocupó de las operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica. Omar Khayyám (1048-1131) encontró soluciones geométricas a las ecuaciones cúbicas. Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi en cuadriláteros, incluyendo el cuadrilátero Lambert y el cuadrilátero Saccheri, fueron los primeros resultados en geometría hiperbólica, y junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair ,
A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en geometría. El primero fue la creación de geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones, por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física. El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). La geometría proyectiva es una geometría sin medidas o líneas paralelas, solo el estudio de cómo los puntos se relacionan entre sí.
Dos desarrollos en geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado anteriormente. Estos fueron el descubrimiento de las geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como la consideración central en el Programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidiana y no euclidiana). Dos de los geómetras maestros de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), que trabajó principalmente con herramientas de análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann, y Henri Poincaré, el fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos. Como consecuencia de estos grandes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de "espacio" se convirtió en algo rico y variado,
Conceptos importantes en geometría
Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría.
Axiomas
Euclid adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos, uno de los libros más influyentes jamás escritos. Euclides introdujo ciertos axiomas, o postulados, que expresan propiedades primarias o autoevidentes de puntos, líneas y planos. Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y se lo conoce como axiomático o sintético. geometría. A comienzos del siglo XIX, el descubrimiento de las geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros condujo a un resurgimiento del interés en esta disciplina, y en el siglo 20, David Hilbert (1862-1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría.
Puntos
Los puntos se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de varias maneras, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados. En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, ha habido algún estudio de geometría sin referencia a los puntos.
Líneas
Euclides describió una línea como "longitud sin anchura" que "se encuentra por igual con respecto a los puntos sobre sí misma". En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de una línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en la geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en una configuración más abstracta, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que se encuentran en él. En geometría diferencial, ageodesic es una generalización de la noción de una línea para espacios curvos.
Aviones
Un avión es una superficie plana y bidimensional que se extiende infinitamente lejos. Los aviones se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las relaciones, pero no las distancias; se puede estudiar como el plano complejo usando técnicas de análisis complejo; y así.
Anglos
Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran entre sí, y no están rectas una con respecto a la otra. En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo.
En la geometría euclidiana, los ángulos se usan para estudiar polígonos y triángulos, así como para formar un objeto de estudio por derecho propio. El estudio de los ángulos de un triángulo o de ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría.
En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre las curvas planas o las curvas o superficies espaciales se pueden calcular utilizando la derivada.
Curvas
Una curva es un objeto de 1 dimensión que puede ser recta (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.
En topología, una curva se define por una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función de definición sea diferenciable. La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de la dimensión uno.
Superficies
Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o paraboloide. En geometría diferencial y topología, las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o barrios) que se ensamblan por diffeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En la geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinomiales.
Colectores
Un colector es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene un vecindario que es homeomorfo al espacio euclidiano. En la geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es diffeomórfico al espacio euclidiano.
Los manifolds se usan ampliamente en física, incluso en relatividad general y teoría de cuerdas
Topologías y métricas
Una topología es una estructura matemática en un conjunto que indica cómo los elementos del conjunto se relacionan espacialmente entre sí. Los ejemplos más conocidos de topologías provienen de las métricas, que son formas de medir distancias entre puntos. Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y las métricas semi-riemannianas de la relatividad general.
Compás y construcciones de regla
Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en construcciones geométricas son la brújula y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron construcciones ingeniosas que utilizan parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.
Dimensión
Donde la geometría tradicional permitió las dimensiones 1 (una línea), 2 (un plano) y 3 (nuestro mundo ambiental concebido como espacio tridimensional), los matemáticos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. La dimensión ha atravesado etapas de ser cualquier número natural n , posiblemente infinito con la introducción del espacio de Hilbert, y cualquier número real positivo en la geometría fractal. La teoría de la dimensión es un área técnica, inicialmente dentro de la topología general, que analiza las definiciones ; en común con la mayoría de las ideas matemáticas, la dimensión ahora se define en lugar de una intuición. Los colectores topológicos conectados tienen una dimensión bien definida; este es un teorema (invariancia del dominio) en lugar de algo a priori .
El tema de la dimensión sigue siendo importante para la geometría, en ausencia de respuestas completas a las preguntas clásicas. Las dimensiones 3 de espacio y 4 de espacio-tiempo son casos especiales en topología geométrica. La dimensión 10 u 11 es un número clave en la teoría de cuerdas. La investigación puede aportar una razón geométricasatisfactoria para la importancia de las dimensiones 10 y 11.
Simetría
El tema de la simetría en la geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un profundo significado para muchos filósofos antiguos y se investigaron en detalle antes de la época de Euclides. Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y se representaron artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de MC Escher. Sin embargo, no fue hasta la segunda mitad del siglo XIX cuando se reconoció el papel unificador de la simetría en los fundamentos de la geometría. El programa Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación, determina qué es la geometría . La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva un rol análogo lo desempeñan las colineaciones, transformaciones geométricas que toman líneas rectas en líneas rectas. Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein y Sophus Lie que la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría" resultó ser la más influyente. Tanto las simetrías discretas como las continuas desempeñan un papel destacado en la geometría, la primera en topología y la teoría de grupos geométricos, la última en la teoría de Lie y la geometría de Riemann.
Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva (ver Dualidad (geometría proyectiva)) entre otros campos. Este meta-fenómeno puede describirse aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema, punto de intercambio con plano, unirse con meet , se encuentra con contains , y obtendrá un teorema igualmente verdadero. Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual.
Geometría no euclidiana
En los casi dos mil años transcurridos desde Euclides, mientras el rango de preguntas geométricas formuladas y respondidas se expandía inevitablemente, la comprensión básica del espacio seguía siendo esencialmente la misma. Immanuel Kant argumentó que solo hay una geometría absoluta , que se sabe que es verdadera a priori por una facultad mental interna: la geometría euclidiana era sintética a priori. Esta visión dominante fue anulada por el descubrimiento revolucionario de la geometría no euclidiana en las obras de Bolyai, Lobachevsky y Gauss (que nunca publicó su teoría). Demostraron que el espacio euclidiano ordinario es solo una posibilidad para el desarrollo de la geometría. Una amplia visión del tema de la geometría fue expresada por Riemann en su conferencia de inauguración de 1867. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría ), publicado solo después de su muerte. La nueva idea de espacio de Riemann resultó crucial en la teoría de la relatividad general de Einstein, y la geometría riemanniana, que considera espacios muy generales en los que se define la noción de longitud, es un pilar de la geometría moderna.
Geometría contemporánea
Geometría euclidiana
La geometría euclidiana se ha relacionado estrechamente con la geometría computacional, los gráficos por computadora, la geometría convexa, la geometría de incidencia, la geometría finita, la geometría discreta y algunas áreas de combinatoria. Se prestó atención a los trabajos posteriores sobre la geometría euclidiana y los grupos euclidianos mediante cristalografía y el trabajo de HSM Coxeter, y se puede ver en las teorías de los grupos Coxeter y politopos. La teoría de grupos geométricos es un área en expansión de la teoría de grupos discretos más generales, basándose en modelos geométricos y técnicas algebraicas.
Geometría diferencial
La geometría diferencial ha sido de creciente importancia para la física matemática debido a la postulación de la relatividad general de Einstein de que el universo es curvo. La geometría diferencial contemporánea es intrínseca , lo que significa que los espacios que considera son variedades lisas cuya estructura geométrica está gobernada por una métrica riemanniana, que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto y no partes a priori de un espacio euclidiano plano.
Topología y geometría
El campo de la topología, que vio el desarrollo masivo en el siglo 20, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación, en el que las transformaciones son homeomorfismos. Esto a menudo se ha expresado en la forma del dictum 'topología es geometría de lámina de goma'. La topología geométrica contemporánea y la topología diferencial, y subcampos particulares como la teoría Morse, serían contados por la mayoría de los matemáticos como parte de la geometría. La topología algebraica y la topología general han seguido sus propios caminos.
Geometría algebraica
El campo de la geometría algebraica es la encarnación moderna de la geometría cartesiana de coordenadas. Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la de 1970, experimentó un gran desarrollo fundacional, en gran parte debido al trabajo de Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck. Esto condujo a la introducción de esquemas y un mayor énfasis en los métodos topológicos, incluidas varias teorías de cohomología. Uno de los siete problemas del Premio Milenio, la conjetura de Hodge, es una pregunta en geometría algebraica.
El estudio de variedades algebraicas de baja dimensión, curvas algebraicas, superficies algebraicas y variedades algebraicas de dimensión 3 ("triples algebraicos"), ha avanzado mucho. La teoría de base de Gröbner y la geometría algebraica real están entre los subcampos más aplicados de la geometría algebraica moderna. La geometría aritmética es un campo activo que combina geometría algebraica y teoría de números. Otras direcciones de investigación involucran espacios modulares y geometría compleja. Los métodos algebro-geométricos se aplican comúnmente en la teoría de cuerdas y brañas.
Aplicaciones
La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.
Art
Las matemáticas y el arte están relacionados en una variedad de formas. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva mostró que la geometría tiene más que solo las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva.
Arquitectura
Las matemáticas y la arquitectura están relacionadas, ya que, al igual que otras artes, los arquitectos usan las matemáticas por varias razones. Además de las matemáticas necesarias para la ingeniería de edificios, los arquitectos usan la geometría: para definir la forma espacial de un edificio; de los pitagóricos del siglo vi a. C. en adelante, para crear formas consideradas armoniosas, y así establecer edificios y sus alrededores de acuerdo con principios matemáticos, estéticos y a veces religiosos; decorar edificios con objetos matemáticos como mosaicos; y cumplir objetivos medioambientales, como minimizar las velocidades del viento alrededor de las bases de edificios altos.
Física
El campo de la astronomía, especialmente en lo que se refiere a mapear las posiciones de las estrellas y planetas en la esfera celeste y describir la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una importante fuente de problemas geométricos a lo largo de la historia.
La geometría moderna tiene muchos vínculos con la física, como lo ejemplifican los vínculos entre la geometría pseudo-riemanniana y la relatividad general. Una de las teorías físicas más jóvenes, la teoría de cuerdas, también tiene un sabor muy geométrico.
Otros campos de las matemáticas
La geometría también ha tenido un gran efecto en otras áreas de las matemáticas. Por ejemplo, la introducción de coordenadas por René Descartes y los desarrollos concurrentes del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas como las curvas planas ahora podrían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. El tema de la geometría se enriqueció aún más mediante el estudio de la estructura intrínseca de los objetos geométricos que se originaron con Euler y Gauss y condujo a la creación de topología y geometría diferencial.
Un área importante de aplicación es la teoría de números. En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraban el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables, que contradecían sus puntos de vista filosóficos, los hizo abandonar números abstractos en favor de cantidades geométricas concretas, como la longitud y el área de las figuras. Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas en la teoría de números, por ejemplo, a través de la geometría de los números o, más recientemente, de la teoría de esquemas, que se utiliza en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat.
Si bien la naturaleza visual de la geometría la hace inicialmente más accesible que otras áreas matemáticas como el álgebra o la teoría de números, el lenguaje geométrico también se usa en contextos muy alejados de su procedencia tradicional euclidiana (por ejemplo, en geometría fractal y geometría algebraica).
La geometría analítica aplica métodos de álgebra a preguntas geométricas, generalmente relacionando curvas geométricas con ecuaciones algebraicas. Estas ideas desempeñaron un papel clave en el desarrollo del cálculo en el siglo XVII y condujeron al descubrimiento de muchas propiedades nuevas de las curvas planas. La geometría algebraica moderna considera preguntas similares en un nivel mucho más abstracto.
Leonhard Euler, al estudiar problemas como los Siete Puentes de Königsberg, consideró las propiedades más fundamentales de las figuras geométricas basadas únicamente en la forma, independientemente de sus propiedades métricas. Euler llamó a esta nueva rama de la geometría geometria situs (geometría del lugar), pero ahora se conoce como topología. La topología surgió de la geometría, pero se convirtió en una gran disciplina independiente. No diferencia entre objetos que pueden deformarse continuamente el uno al otro. Sin embargo, los objetos pueden conservar cierta geometría, como en el caso de los nudos hiperbólicos.