Cálculo
Definición
Cálculo (del cálculo latino , literalmente 'pequeño guijarro', usado para contar y calcular, como en un ábaco), es el estudio matemático del cambio continuo, de la misma manera que la geometría es el estudio de la forma y el álgebra es el estudio de las generalizaciones de operaciones aritmeticas.
Tiene dos ramas principales, el cálculo diferencial (con respecto a las tasas de cambio instantáneas y las pendientes de las curvas) y el cálculo integral (con respecto a la acumulación de cantidades y las áreas debajo y entre las curvas). Estas dos ramas están relacionadas entre sí por el teorema fundamental del cálculo. Ambas ramas hacen uso de las nociones fundamentales de convergencia de secuencias infinitas y series infinitas a un límite bien definido.
En general, se considera que el cálculo moderno fue desarrollado en el siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Hoy en día, el cálculo tiene usos generalizados en ciencias, ingeniería y economía.
El cálculo es parte de la educación matemática moderna. Un curso de cálculo es una puerta de acceso a otros cursos más avanzados en matemáticas dedicados al estudio de funciones y límites, ampliamente llamado análisis matemático. Históricamente, se ha llamado al cálculo "el cálculo de infinitesimales" o "cálculo infinitesimal". El término cálculo (plural cálculos ) también se utiliza para dar nombre a métodos específicos de cálculo o notación, así como algunas teorías, como cálculo de proposiciones, cálculo Ricci, cálculo de variaciones, el cálculo lambda, y el cálculo proceso.
Historia
El cálculo moderno fue desarrollado en la Europa del siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz (independientemente el uno del otro, publicando por primera vez alrededor del mismo tiempo) pero elementos de él aparecieron en la antigua Grecia, luego en China y Medio Oriente, y aún más tarde en la Europa medieval y en la India.
Antiguo
El período antiguo introdujo algunas de las ideas que condujeron al cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas de una manera rigurosa y sistemática. Los cálculos de volumen y área, un objetivo del cálculo integral, se pueden encontrar en el papiro egipcio de Moscú (XIII dinastía, hacia 1820 aC), pero las fórmulas son instrucciones simples, sin indicación de método, y algunas carecen de importancia. componentes.
Desde la edad de las matemáticas griegas, Eudoxo ( hacia 408-355 aC) utilizó el método del agotamiento, que prefigura el concepto del límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes ( c 287-212 aC) desarrolló esta idea más adelante. , inventando heurísticas que se parecen a los métodos del cálculo integral.
El método del agotamiento fue descubierto más tarde en China por Liu Hui en el siglo III dC con el fin de encontrar el área de un círculo. En el siglo V dC, Zu Gengzhi, hijo de Zu Chongzhi, estableció un método que más tarde se llamaría el principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera.
Medieval
En el Medio Oriente, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen (c 965 - c 1040 ce ) derivó una fórmula para la suma de los cuartos poderes. Usó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y las cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide.
En el siglo XIV, los matemáticos indios dieron un método no riguroso, parecido a la diferenciación, aplicable a algunas funciones trigonométricas. Madhava de Sangamagrama y la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala establecieron los componentes del cálculo. Una teoría completa que abarca estos componentes es ahora bien conocida en el mundo occidental como la serie de Taylor o las aproximaciones de series infinitas . Sin embargo, no fueron capaces de "combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre las dos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".
Moderno
"El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas y es difícil sobreestimar su importancia. Creo que define más inequívocamente que cualquier otra cosa el comienzo de las matemáticas modernas, y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, todavía constituye el mayor avance técnico en el pensamiento exacto ".
-John von Neumann
En Europa, el trabajo fundamental fue un tratado escrito por Bonaventura Cavalieri, quien sostenía que los volúmenes y áreas deberían calcularse como las sumas de volúmenes y áreas de secciones infinitesimalmente delgadas. Las ideas eran similares a las de Arquímedes en El método , pero se cree que este tratado se perdió en el siglo XIII, y solo fue redescubierto a comienzos del siglo XX, por lo que Cavalieri lo desconoció. El trabajo de Cavalieri no fue muy respetado ya que sus métodos podían conducir a resultados erróneos, y las cantidades infinitesimales que introdujo eran desacreditadas al principio.
El estudio formal del cálculo reunió los infinitesimales de Cavalieri con el cálculo de diferencias finitas desarrollado en Europa al mismo tiempo. Pierre de Fermat, alegando que tomó prestado de Diofanto, introdujo el concepto de adecuación, que representaba la igualdad hasta un término de error infinitesimal. La combinación fue lograda por John Wallis, Isaac Barrow y James Gregory, los dos últimos probando el segundo teorema fundamental del cálculo alrededor de 1670.
La regla del producto y la regla de la cadena, las nociones de derivadas superiores y series de Taylor, y de las funciones analíticas fueron introducidas por Isaac Newton en una notación idiosincrásica que utilizó para resolver problemas de física matemática. En sus obras, Newton reformuló sus ideas para adaptarlas al lenguaje matemático de la época, reemplazando los cálculos con infinitesimales por argumentos geométricos equivalentes que se consideraron irreprochables. Usó los métodos del cálculo para resolver el problema del movimiento planetario, la forma de la superficie de un fluido rotativo, el achatamiento de la tierra, el movimiento de un peso deslizándose sobre una cicloide y muchos otros problemas discutidos en su Principia Mathematica (1687) En otro trabajo, desarrolló expansiones en serie para funciones, incluyendo poderes fraccionarios e irracionales, y estaba claro que entendía los principios de la serie de Taylor. No publicó todos estos descubrimientos, y en este momento los métodos infinitesimales todavía se consideraban desacreditados.
Estas ideas fueron organizadas en un verdadero cálculo de infinitesimales por Gottfried Wilhelm Leibniz, quien originalmente fue acusado de plagio por Newton. Ahora es considerado como un inventor independiente y colaborador del cálculo. Su contribución fue proporcionar un conjunto claro de reglas para trabajar con cantidades infinitesimales, permitiendo el cálculo de derivadas secundarias y superiores, y proporcionando la regla del producto y la regla de la cadena, en sus formas diferencial e integral. A diferencia de Newton, Leibniz prestó mucha atención al formalismo, a menudo pasó días determinando símbolos apropiados para los conceptos.
Hoy en día, a Leibniz y Newton generalmente se les da crédito por haber inventado y desarrollado cálculos de forma independiente. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general y Leibniz desarrolló gran parte de la notación utilizada actualmente en el cálculo. Las ideas básicas que proporcionaron Newton y Leibniz fueron las leyes de diferenciación e integración, segunda y más altas derivadas y la noción de una serie polinómica aproximada. Para la época de Newton, se conocía el teorema fundamental del cálculo.
Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, hubo una gran controversia sobre qué matemático (y, por lo tanto, qué país) merecía el crédito. Newton obtuvo sus resultados primero (más tarde para ser publicado en su Method of Fluxions)), pero Leibniz publicó su "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" primero. Newton afirmó que Leibniz robó ideas de sus notas inéditas, que Newton había compartido con algunos miembros de la Royal Society. Esta controversia dividió a los matemáticos de habla inglesa de los matemáticos europeos continentales durante muchos años, en detrimento de las matemáticas en inglés. Un examen cuidadoso de los documentos de Leibniz y Newton muestra que llegaron a sus resultados de forma independiente, con Leibniz comenzando primero con la integración y Newton con la diferenciación. Sin embargo, es Leibniz quien le dio su nombre a la nueva disciplina. Newton llamó a su cálculo "la ciencia de las fluxiones".
Desde los tiempos de Leibniz y Newton, muchos matemáticos han contribuido al desarrollo continuo del cálculo. Uno de los primeros y más completos trabajos sobre cálculo infinitesimal e integral fue escrito en 1748 por Maria Gaetana Agnesi.
Cimientos
En cálculo, las fundaciones se refieren al desarrollo riguroso del sujeto a partir de axiomas y definiciones. En el cálculo inicial, el uso de cantidades infinitesimales se consideraba poco riguroso, y fue criticado ferozmente por varios autores, entre los que destacan Michel Rolle y el Obispo Berkeley. Berkeley describió a los infinitesimales como los fantasmas de las cantidades difuntas en su libro The Analyst en 1734. Trabajar en una base rigurosa para el cálculo ocupó a los matemáticos durante gran parte del siglo siguiendo a Newton y Leibniz, y todavía hoy es un área activa de investigación.
Varios matemáticos, incluido Maclaurin, trataron de demostrar la solidez del uso de infinitesimales, pero no sería hasta 150 años más tarde cuando, gracias al trabajo de Cauchy y Weierstrass, finalmente se descubrió una manera de evitar las meras "nociones" de cantidades infinitamente pequeñas. . Los fundamentos del cálculo diferencial e integral habían sido establecidos. En el Cours d'Analyze de Cauchy , encontramos una amplia gama de enfoques fundacionales, que incluyen una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de una definición (ε, δ) de límite en la definición de diferenciación. En su trabajo, Weierstrass formalizó el concepto de límite y eliminó infinitesimales (aunque su definición en realidad puede validar nilsquare infinitesimals). Siguiendo el trabajo de Weierstrass, finalmente se hizo común basar el cálculo en los límites en lugar de cantidades infinitesimales, aunque el tema todavía se llama ocasionalmente "cálculo infinitesimal". Bernhard Riemann usó estas ideas para dar una definición precisa de la integral. También fue durante este período que las ideas de cálculo se generalizaron al espacio euclidiano y al plano complejo.
En la matemática moderna, los fundamentos del cálculo se incluyen en el campo del análisis real, que contiene definiciones completas y pruebas de los teoremas del cálculo. El alcance del cálculo también se ha extendido mucho. Henri Lebesgue inventó la teoría de la medida y la utilizó para definir integrales de todas las funciones, excepto las más patológicas. Laurent Schwartz introdujo distribuciones, que se pueden usar para tomar la derivada de cualquier función que sea.
Los límites no son el único enfoque riguroso para la base del cálculo. Otra forma es usar el análisis no estándar de Abraham Robinson. El enfoque de Robinson, desarrollado en la década de 1960, utiliza la maquinaria técnica de la lógica matemática para aumentar el sistema numérico real con números infinitesimales e infinitos, como en la concepción original de Newton-Leibniz. Los números resultantes se llaman números hiperreales, y se pueden usar para dar un desarrollo tipo Leibniz de las reglas de cálculo habituales. También hay un análisis infinitesimal suave, que difiere del análisis no estándar en que obliga a descuidar los infinitesimales de mayor potencia durante las derivaciones.
Significado
Si bien muchas de las ideas del cálculo se habían desarrollado anteriormente en Grecia, China, India, Iraq, Persia y Japón, el uso del cálculo comenzó en Europa, durante el siglo XVII, cuando Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz se basaron en el trabajo de los matemáticos anteriores para presentar sus principios básicos. El desarrollo del cálculo se basó en conceptos anteriores de movimiento instantáneo y área debajo de las curvas.
Las aplicaciones de cálculo diferencial incluyen cálculos que involucran la velocidad y la aceleración, la pendiente de una curva y la optimización. Las aplicaciones de cálculo integral incluyen cálculos que incluyen área, volumen, longitud de arco, centro de masa, trabajo y presión. Las aplicaciones más avanzadas incluyen series de potencia y series de Fourier.
El cálculo también se usa para obtener una comprensión más precisa de la naturaleza del espacio, el tiempo y el movimiento. Durante siglos, los matemáticos y filósofos lucharon con paradojas que implican división por cero o sumas de infinitos números. Estas preguntas surgen en el estudio de movimiento y área. El filósofo griego antiguo Zeno de Elea dio varios ejemplos famosos de tales paradojas. El cálculo proporciona herramientas, especialmente el límite y las series infinitas, que resuelven las paradojas.
Principios
Límites e infinitesimales
El cálculo generalmente se desarrolla al trabajar con cantidades muy pequeñas. Históricamente, el primer método de hacerlo fue por infinitesimales. Estos son objetos que pueden tratarse como números reales pero que, en cierto sentido, son "infinitamente pequeños". Por ejemplo, un número infinitesimal podría ser mayor que 0, pero menor que cualquier número en la secuencia 1, 1/2, 1/3, ... y por lo tanto menor que cualquier número real positivo. Desde este punto de vista, el cálculo es una colección de técnicas para manipular infinitesimales. Los símbolos y se tomaron como infinitesimales, y la derivada fue simplemente su relación.
El enfoque infinitesimal cayó en desgracia en el siglo XIX porque era difícil hacer precisa la noción de un infinitesimal. Sin embargo, el concepto fue revivido en el siglo XX con la introducción del análisis no estándar y el análisis liso infinitesimal, que proporcionó fundamentos sólidos para la manipulación de infinitesimales.
En el siglo XIX, los infinitesimales fueron reemplazados por el épsilon, delta, enfoque a los límites. Los límites describen el valor de una función en una determinada entrada en términos de sus valores en entradas cercanas. Captan el comportamiento a pequeña escala en el contexto del sistema de números reales. En este tratamiento, el cálculo es una colección de técnicas para manipular ciertos límites. Los infinitesimales son reemplazados por números muy pequeños, y el comportamiento infinitamente pequeño de la función se encuentra tomando el comportamiento limitante para números cada vez más pequeños. Los límites fueron la primera forma de proporcionar bases rigurosas para el cálculo, y por esta razón son el enfoque estándar.
Calculo diferencial
El cálculo diferencial es el estudio de la definición, propiedades y aplicaciones de la derivada de una función. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación . Dada una función y un punto en el dominio, la derivada en ese punto es una forma de codificar el comportamiento a pequeña escala de la función cerca de ese punto. Al encontrar la derivada de una función en cada punto de su dominio, es posible producir una nueva función, llamada función derivada o solo derivada de la función original. En términos formales, la derivada es un operador lineal que toma una función como su entrada y produce una segunda función como salida. Esto es más abstracto que muchos de los procesos estudiados en el álgebra elemental, donde las funciones generalmente ingresan un número y arrojan otro número. Por ejemplo, si a la función de duplicar se le da la entrada tres, entonces da salida a seis, y si la función de cuadratura recibe la entrada tres, entonces emite nueve. La derivada, sin embargo, puede tomar la función de cuadratura como una entrada. Esto significa que la derivada toma toda la información de la función de cuadratura, como que dos se envían a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente, y utiliza esta información para producir otra función.
En términos más explícitos, la "función de duplicación" se puede denotar por g ( x ) = 2 x y la "función de cuadratura" por f ( x ) = x . La "derivada" ahora toma la función f ( x ) , definida por la expresión " x ", como una entrada, que es toda la información, como que dos se envía a cuatro, tres se envía a nueve, cuatro se envía a dieciséis, y así sucesivamente- y usa esta información para dar salida a otra función, la función g ( x ) = 2 x , como resultará.
El símbolo más común para un derivado es una marca parecida a un apóstrofo llamada primo. Por lo tanto, la derivada de una función llamada f se denota por f ' , pronunciada "f prime". Por ejemplo, si f ( x ) = x es la función de cuadratura, entonces f ' ( x ) = 2 x es su derivada (la función de doblamiento g desde arriba). Esta notación se conoce como la notación de Lagrange.
Si la entrada de la función representa el tiempo, entonces la derivada representa un cambio con respecto al tiempo. Por ejemplo, si f es una función que toma un tiempo como entrada y da la posición de una bola en ese momento como salida, entonces la derivada de f es cómo la posición está cambiando en el tiempo, es decir, es la velocidad del pelota.
Si una función es lineal (es decir, si la gráfica de la función es una línea recta), entonces la función se puede escribir como y = mx + b , donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente, b es la y -intercept, y:
Esto da un valor exacto para la pendiente de una línea recta. Si el gráfico de la función no es una línea recta, sin embargo, el cambio en y dividido por el cambio en x varía. Los derivados dan un significado exacto a la noción de cambio en el producto con respecto al cambio en la entrada. Para ser concreto, sea f una función y fije un punto a en el dominio de f . ( a , f ( a )) es un punto en la gráfica de la función. Si h es un número cercano a cero, entonces a + h es un número cercano a a . Por lo tanto, (a + h , f ( a + h )) está cerca de ( a , f ( a )) . La pendiente entre estos dos puntos es
Esta expresión se llama cociente de diferencia . Una línea a través de dos puntos en una curva se llama línea secante , entonces m es la pendiente de la línea secante entre ( a , f ( a )) y ( a + h , f ( a + h )) . La línea secante es solo una aproximación al comportamiento de la función en el punto a porque no tiene en cuenta lo que ocurre entre a y a + h . No es posible descubrir el comportamiento en un estableciendo h en cero porque esto requeriría dividir por cero, lo cual no está definido. La derivada se define tomando el límite cuando h tiende a cero, lo que significa que considera el comportamiento de f para todos los valores pequeños de h y extrae un valor constante para el caso cuando h es igual a cero:
Geométricamente, la derivada es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de f en a . La línea tangente es un límite de líneas secantes así como la derivada es un límite de cocientes de diferencia. Por esta razón, la derivada a veces se denomina pendiente de la función f .
Aquí hay un ejemplo particular, la derivada de la función de cuadratura en la entrada 3. Sea f ( x ) = x la función de cuadratura.
La pendiente de la línea tangente a la función de cuadratura en el punto (3, 9) es 6, es decir, sube seis veces más rápido que hacia la derecha. El proceso límite recién descrito se puede realizar para cualquier punto en el dominio de la función de cuadratura. Esto define la función derivada de la función de escuadrado, o simplemente la derivada de la función de escuadrado para abreviar. Un cálculo similar al anterior muestra que la derivada de la función de cuadratura es la función de duplicación.
Notación de Leibniz
Una notación común, introducida por Leibniz, para la derivada en el ejemplo anterior es
En un enfoque basado en límites, el símbolo dydx debe interpretarse no como el cociente de dos números, sino como una abreviación del límite calculado anteriormente. Leibniz, sin embargo, tuvo la intención de representar el cociente de dos números infinitesimalmente pequeños, dy siendo el cambio infinitesimalmente pequeño en y causado por un cambio infinitesimalmente pequeño dx aplicado a x . También podemos pensar en ddx como un operador de diferenciación, que toma una función como entrada y le da otra función, la derivada, como salida. Por ejemplo:
En este uso, el dx en el denominador se lee como "con respecto a x ". Otro ejemplo de notación correcta podría ser:
Incluso cuando el cálculo se desarrolla utilizando límites en lugar de infinitesimales, es común manipular símbolos como dx y dy como si fueran números reales; aunque es posible evitar tales manipulaciones, a veces son notablemente convenientes para expresar operaciones tales como la derivada total.
Cálculo integral
El cálculo integral es el estudio de las definiciones, propiedades y aplicaciones de dos conceptos relacionados, la integral indefinida y la integral definida . El proceso de encontrar el valor de una integral se llama integración . En lenguaje técnico, el cálculo integral estudia dos operadores lineales relacionados.
La integral indefinida , también conocida como antiderivada , es la operación inversa de la derivada. F es una integral indefinida de f cuando f es un derivado de F . (Este uso de letras mayúsculas y minúsculas para una función y su integral indefinida es común en cálculo).
La integral definida ingresa una función y emite un número, que da la suma algebraica de las áreas entre el gráfico de la entrada y el eje x. La definición técnica de la integral definida implica el límite de una suma de áreas de rectángulos, llamada suma de Riemann.
Un ejemplo motivador son las distancias recorridas en un tiempo dado.
Si la velocidad es constante, solo se necesita multiplicación, pero si la velocidad cambia, es necesario un método más poderoso para encontrar la distancia. Uno de estos métodos es aproximar la distancia recorrida dividiendo el tiempo en muchos intervalos de tiempo cortos, luego multiplicando el tiempo transcurrido en cada intervalo por una de las velocidades en ese intervalo, y luego tomando la suma (una suma de Riemann) del distancia aproximada recorrida en cada intervalo La idea básica es que si solo transcurre un corto tiempo, la velocidad se mantendrá más o menos igual. Sin embargo, una suma de Riemann solo da una aproximación de la distancia recorrida. Debemos tomar el límite de todas las sumas de Riemann para encontrar la distancia exacta recorrida.
Cuando la velocidad es constante, la distancia total recorrida en el intervalo de tiempo dado puede calcularse multiplicando la velocidad y el tiempo. Por ejemplo, viajar a una velocidad constante de 50 mph durante 3 horas resulta en una distancia total de 150 millas. En el diagrama de la izquierda, cuando se grafican la velocidad constante y el tiempo, estos dos valores forman un rectángulo con una altura igual a la velocidad y ancho igual al tiempo transcurrido. Por lo tanto, el producto de velocidad y tiempo también calcula el área rectangular bajo la curva de velocidad (constante). Esta conexión entre el área bajo una curva y la distancia recorrida puede extenderse a cualquier región de forma irregular que presente una velocidad fluctuante durante un período de tiempo dado. Si f ( x ) en el diagrama de la derecha representa la velocidad, ya que varía con el tiempo, la distancia recorrida (entre los tiempos representados por una y b ) es el área de la región sombreada s .
Para aproximar esa área, un método intuitivo sería dividir la distancia entre a y b en un número de segmentos iguales, la longitud de cada segmento representado por el símbolo Δ x . Para cada segmento pequeño, podemos elegir un valor de la función f ( x ) . Llame a ese valor h . Entonces, el área del rectángulo con la base Δ x y la altura h da la distancia (tiempo Δ x multiplicado por la velocidad h ) recorrida en ese segmento. Asociado a cada segmento está el valor promedio de la función que está sobre él, f ( x) = h . La suma de todos esos rectángulos proporciona una aproximación del área entre el eje y la curva, que es una aproximación de la distancia total recorrida. Un valor menor para Δ x dará más rectángulos y en la mayoría de los casos una mejor aproximación, pero para una respuesta exacta necesitamos tomar un límite cuando Δ x se aproxima a cero.
El símbolo de integración es , un S alargado (el S representa "suma"). La integral definida está escrita como:
y se lee "la integral de una a b de f -OF- x con respecto a x ." La notación Leibniz dx se pretende sugerir dividiendo el área bajo la curva en un número infinito de rectángulos, de modo que su anchura Δ x se convierte en el infinitesimalmente pequeño dx . En una formulación del cálculo basada en límites, la notación
debe entenderse como un operador que toma una función como entrada y le da un número, el área, como salida. El diferencial de terminación, dx , no es un número, y no está siendo multiplicado por f ( x ) , aunque, sirviendo como un recordatorio de la definición de Δ x límite, puede tratarse como tal en manipulaciones simbólicas de la integral. Formalmente, el diferencial indica la variable sobre la que se integra la función y sirve como un corchete de cierre para el operador de integración.
La integral indefinida, o antiderivada, está escrita:
Las funciones que difieren solo en una constante tienen la misma derivada, y se puede demostrar que la antiderivada de una función dada es en realidad una familia de funciones que difieren solo por una constante. Como la derivada de la función y = x + C , donde C es cualquier constante, es y ' = 2 x , la antiderivada de esta última dada por:
La constante C no especificada presente en la integral indefinida o antiderivada se conoce como la constante de integración.
Teorema fundamental
El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Más precisamente, relaciona los valores de las antiderivadas con las integrales definidas. Debido a que generalmente es más fácil calcular una antiderivada que aplicar la definición de una integral definida, el teorema fundamental del cálculo proporciona una forma práctica de calcular integrales definidas. También se puede interpretar como una afirmación precisa del hecho de que la diferenciación es la inversa de la integración.
El teorema fundamental de los estados de cálculo: si una función f es continua en el intervalo [ a , b y si F es una función cuya derivada es f en el intervalo ( a , b ) , entonces
Además, por cada x en el intervalo ( a , b ) ,
Esta constatación, hecha por Newton y Leibniz, quienes basaron sus resultados en trabajos anteriores de Isaac Barrow, fue clave para la proliferación de resultados analíticos después de que su trabajo se conoció. El teorema fundamental proporciona un método algebraico para calcular muchas integrales definidas, sin realizar procesos límite, mediante la búsqueda de fórmulas para antiderivadas. También es una solución prototipo de una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales relacionan una función desconocida con sus derivadas, y son omnipresentes en las ciencias.
Aplicaciones
El cálculo se usa en todas las ramas de las ciencias físicas, ciencias actuariales, ciencias de la computación, estadísticas, ingeniería, economía, negocios, medicina, demografía y en otros campos donde un problema se puede modelar matemáticamente y se desea una solución óptima. Le permite a uno ir de las tasas de cambio (no constantes) al cambio total o viceversa, y muchas veces al estudiar un problema conocemos uno y tratamos de encontrar el otro.
La física hace un uso particular del cálculo; todos los conceptos en mecánica clásica y electromagnetismo están relacionados a través del cálculo. La masa de un objeto de densidad conocida, el momento de inercia de los objetos, así como la energía total de un objeto dentro de un campo conservador se puede encontrar mediante el uso de cálculo. Un ejemplo del uso del cálculo en la mecánica es la segunda ley del movimiento de Newton: históricamente se dice que usa expresamente el término "cambio de movimiento" que implica la derivada que dice: El cambio de momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y está en la misma dirección. Comúnmente expresado hoy como fuerza = masa × aceleración, implica cálculo diferencial porque la aceleración es la derivada en el tiempo de la velocidad o derivada en el segundo tiempo de la trayectoria o posición espacial. Empezando por saber cómo se está acelerando un objeto, utilizamos el cálculo para derivar su camino.
La teoría del electromagnetismo de Maxwell y la teoría de la relatividad general de Einstein también se expresan en el lenguaje del cálculo diferencial. La química también utiliza el cálculo para determinar las velocidades de reacción y la descomposición radiactiva. En biología, la dinámica de la población comienza con las tasas de reproducción y mortalidad para modelar los cambios poblacionales.
El cálculo se puede usar junto con otras disciplinas matemáticas. Por ejemplo, puede usarse con álgebra lineal para encontrar la aproximación lineal "mejor ajustada" para un conjunto de puntos en un dominio. O puede usarse en la teoría de la probabilidad para determinar la probabilidad de una variable aleatoria continua a partir de una función de densidad asumida. En geometría analítica, el estudio de gráficos de funciones, cálculo se usa para encontrar puntos altos y puntos bajos (máximos y mínimos), pendientes, concavidad y puntos de inflexión.
El teorema de Green, que da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D delimitada por C, se aplica en un instrumento conocido como planímetro, que se usa para calcular el área de un plano superficie en un dibujo. Por ejemplo, se puede usar para calcular la cantidad de área ocupada por un macizo de flores o una piscina de forma irregular al diseñar el diseño de una propiedad.
El Teorema del Verde Discreto, que da la relación entre una integral doble de una función alrededor de una curva rectangular cerrada simple C y una combinación lineal de los valores de la antiderivada en puntos de esquina a lo largo del borde de la curva, permite un cálculo rápido de sumas de valores en dominios rectangulares . Por ejemplo, se puede usar para calcular de manera eficiente sumas de dominios rectangulares en imágenes, con el fin de extraer rápidamente características y detectar objetos; otro algoritmo que podría usarse es la tabla de áreas sumadas.
En el campo de la medicina, el cálculo se puede utilizar para encontrar el ángulo de ramificación óptimo de un vaso sanguíneo a fin de maximizar el flujo. De las leyes de decaimiento para la eliminación de un medicamento en particular del cuerpo, se utiliza para derivar las leyes de dosificación. En medicina nuclear, se usa para construir modelos de transporte de radiación en terapias tumorales específicas.
En economía, el cálculo permite la determinación de la ganancia máxima al proporcionar una forma de calcular fácilmente tanto el costo marginal como el ingreso marginal.
El cálculo también se usa para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones; en la práctica, es la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales y hacer hallazgos de raíz en la mayoría de las aplicaciones. Los ejemplos son métodos como el método de Newton, la iteración de punto fijo y la aproximación lineal. Por ejemplo, las naves espaciales usan una variación del método de Euler para aproximarse a cursos curvos dentro de entornos de gravedad cero.
Variedades
Con los años, muchas reformulaciones de cálculo se han investigado para diferentes propósitos.
Cálculo no estándar
Los cálculos imprecisos con infinitesimales fueron ampliamente reemplazados por la rigurosa (ε, δ) definición de límite que comenzó en la década de 1870. Mientras tanto, los cálculos con infinitesimales persisten y a menudo conducen a resultados correctos. Esto llevó a Abraham Robinson a investigar si era posible desarrollar un sistema numérico con cantidades infinitesimales sobre las cuales los teoremas del cálculo todavía eran válidos. En 1960, basándose en el trabajo de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś, logró desarrollar un análisis no estándar. La teoría del análisis no estándar es lo suficientemente rica como para aplicarse en muchas ramas de las matemáticas. Como tal, los libros y artículos dedicados exclusivamente a los teoremas tradicionales de cálculo a menudo se ajustan al título de cálculo no estándar.
Suave análisis infinitesimal
Esta es otra reformulación del cálculo en términos de infinitesimales. Basado en las ideas de FW Lawvere y empleando los métodos de la teoría de categorías, considera que todas las funciones son continuas e incapaces de expresarse en términos de entidades discretas. Un aspecto de esta formulación es que la ley del medio excluido no se cumple en esta formulación.
Análisis constructivo
La matemática constructiva es una rama de las matemáticas que insiste en que las pruebas de la existencia de un número, función u otro objeto matemático deberían dar una construcción del objeto. Como tal, las matemáticas constructivas también rechazan la ley del medio excluido. Las reformulaciones del cálculo en un marco constructivo generalmente son parte del tema del análisis constructivo.