Forma
Definición
Una forma es la forma de un objeto o su límite externo, contorno o superficie externa, a diferencia de otras propiedades como el color, la textura o la composición del material.
Clasificación de formas simples
Algunas formas simples se pueden poner en categorías amplias. Por ejemplo, los polígonos se clasifican según su número de aristas como triángulos, cuadriláteros, pentágonos, etc. Cada uno de estos se divide en categorías más pequeñas; los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles, obtusos, agudos, escalenos, etc., mientras que los cuadriláteros pueden ser rectángulos, rombos, trapecios, cuadrados, etc.
Otras formas comunes son puntos, líneas, planos y secciones cónicas, como elipses, círculos y parábolas.
Entre las formas tridimensionales más comunes se encuentran los poliedros, que son formas con caras planas; elipsoides, que son objetos en forma de huevo o en forma de esfera; cilindros; y conos.
Si un objeto cae en una de estas categorías exactamente o incluso aproximadamente, podemos usarlo para describir la forma del objeto. Por lo tanto, decimos que la forma de una tapa de alcantarilla es un disco, porque es aproximadamente el mismo objeto geométrico que un disco geométrico real.
Forma en geometría
Hay varias formas de comparar las formas de dos objetos:
- Congruencia: Dos objetos son congruentes si uno puede transformarse en el otro mediante una secuencia de rotaciones, traducciones y / o reflexiones.
- Similitud: Dos objetos son similares si uno puede transformarse en el otro mediante una escala uniforme, junto con una secuencia de rotaciones, traducciones y / o reflexiones.
- Isotopy: Dos objetos son isotópicos si uno puede transformarse en el otro por una secuencia de deformaciones que no rasgan el objeto ni le hacen agujeros.
A veces, se puede considerar que dos objetos similares o congruentes tienen una forma diferente si se requiere una reflexión para transformar uno en el otro. Por ejemplo, las letras " b " y " d ""son un reflejo el uno del otro, y por lo tanto son congruentes y similares, pero en algunos contextos no se considera que tengan la misma forma. A veces, solo se considera que el contorno o el límite externo del objeto determina su forma. , se puede considerar que una esfera hueca tiene la misma forma que una esfera sólida. El análisis de procrusto se utiliza en muchas ciencias para determinar si dos objetos tienen o no la misma forma o para medir la diferencia entre dos formas. En matemática avanzada, cuasi -isometría se puede utilizar como un criterio para indicar que dos formas son aproximadamente las mismas.
Las formas simples a menudo se pueden clasificar en objetos geométricos básicos, como un punto, una línea, una curva, un plano, una figura plana (por ejemplo, cuadrado o círculo) o una figura sólida (por ejemplo, cubo o esfera). Sin embargo, la mayoría de las formas que ocurren en el mundo físico son complejas. Algunas, como las estructuras de las plantas y las costas, pueden ser tan complicadas como para desafiar la descripción matemática tradicional, en cuyo caso pueden analizarse por geometría diferencial o como fractales.
Equivalencia de formas
En geometría, dos subconjuntos de un espacio euclidiano tienen la misma forma si uno puede transformarse en el otro mediante una combinación de traducciones, rotaciones (juntas también llamadas transformaciones rígidas) y escalas uniformes. En otras palabras, la forma de un conjunto de puntos es toda la información geométrica que es invariante para las traducciones, rotaciones y cambios de tamaño. Tener la misma forma es una relación de equivalencia, y en consecuencia una definición matemática precisa de la noción de forma se puede dar como una clase de equivalencia de subconjuntos de un espacio euclidiano que tiene la misma forma.
El matemático y estadístico David George Kendall escribe:
Las formas de los objetos físicos son iguales si los subconjuntos de espacio que ocupan estos objetos satisfacen la definición anterior. En particular, la forma no depende del tamaño y la ubicación en el espacio del objeto. Por ejemplo, una " d " y una " p " tienen la misma forma, ya que pueden superponerse perfectamente si la " d " se traduce a la derecha en una distancia determinada, girada al revés y magnificada por un factor determinado (ver Procrustes superposición para más detalles). Sin embargo, una imagen especular podría llamarse forma diferente. Por ejemplo, una " b " y una " p ""tienen una forma diferente, al menos cuando se ven obligados a moverse dentro de un espacio bidimensional como la página donde están escritos. Aunque tienen el mismo tamaño, no hay forma de superponerlos perfectamente al traducirlos y girarlos a lo largo de De forma similar, dentro de un espacio tridimensional, una mano derecha y una mano izquierda tienen una forma diferente, incluso si son las imágenes especulares una de la otra. Las formas pueden cambiar si el objeto se escala de forma no uniforme. Por ejemplo, una esfera se convierte en un elipsoide cuando se escala de forma diferente en las direcciones vertical y horizontal. En otras palabras, preservar los ejes de simetría (si existen) es importante para preservar las formas. Además, la forma se determina solo por el límite exterior de un objeto.
Congruencia y similitud
Los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas y reflejos (pero sin escalar) son congruentes. Por lo tanto, un objeto es congruente con su imagen especular (incluso si no es simétrica), pero no con una versión escalada. Dos objetos congruentes siempre tienen la misma forma o formas de imagen espejo, y tienen el mismo tamaño.
Los objetos que tienen la misma forma o formas de imagen especular se llaman geométricamente similares, tengan o no el mismo tamaño. Por lo tanto, los objetos que pueden transformarse entre sí mediante transformaciones rígidas, reflejos y escalas uniformes son similares. La similitud se conserva cuando uno de los objetos tiene una escala uniforme, mientras que la congruencia no lo es. Por lo tanto, los objetos congruentes siempre son geométricamente similares, pero los objetos similares pueden no ser congruentes, ya que pueden tener diferentes tamaños.
Homeomorfismo
Una definición más flexible de la forma tiene en cuenta el hecho de que las formas realistas son a menudo deformables, por ejemplo, una persona en diferentes posturas, un árbol doblado en el viento o una mano con diferentes posiciones de los dedos.
Una forma de modelar movimientos no rígidos es por homeomorfismos. En términos generales, un homeomorfismo es un estiramiento continuo y la flexión de un objeto en una nueva forma. Por lo tanto, un cuadrado y un círculo son homeomórficos entre sí, pero una esfera y una rosquilla no lo son. Una broma matemática a menudo repetida es que los topólogos no pueden distinguir su taza de café de su rosquilla, ya que una rosquilla suficientemente flexible podría remodelarse en forma de taza de café creando un hoyuelo y ampliándolo progresivamente, mientras se preserva el agujero de la rosquilla en el mango de una taza.
Análisis de forma
Las definiciones matemáticas mencionadas anteriormente de formas rígidas y no rígidas han surgido en el campo del análisis estadístico de formas. En particular, el análisis de Procrustes, que es una técnica utilizada para comparar formas de objetos similares (por ejemplo, huesos de diferentes animales) o para medir la deformación de un objeto deformable. Otros métodos están diseñados para trabajar con objetos no rígidos (flexibles), por ejemplo, para la recuperación de formas independientes de la postura (véase, por ejemplo, el análisis de formas espectrales).
Clases de similitud
Todos los triángulos similares tienen la misma forma. Estas formas se pueden clasificar utilizando números complejos en un método avanzado por JA Lester y Rafael Artzy. Por ejemplo, un triángulo equilátero puede expresarse mediante los números complejos 0, 1, (1 + i √3) / 2 que representan sus vértices. Lester y Artzy llaman la proporción
- la forma del triángulo ( u, v, w ). Entonces la forma del triángulo equilátero es
- (0- (1+ √3) / 2) / (0-1) = (1 + i √3) / 2 = cos (60 °) + i sin (60 °) = exp (i π / 3).
Para cualquier transformación afín del plano complejo, un triángulo se transforma pero no cambia su forma. Por lo tanto, la forma es una invariante de la geometría afín. La forma p = S ( u, v, w ) depende del orden de los argumentos de la función S, pero las permutaciones conducen a valores relacionados. Por ejemplo,
- también
La combinación de estas permutaciones da además,
- Estas relaciones son "reglas de conversión" para la forma de un triángulo.
La forma de un cuadrilátero está asociada con dos números complejos p, q . Si el cuadrilátero tiene los vértices u, v, w, x , entonces p = S ( u, v, w ) yq = S ( v, w, x ). Artzy demuestra estas proposiciones sobre formas cuadriláteras:
- Si entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
- Si un paralelogramo tiene | arg p | = | arg q |, entonces es un rombo.
- Cuando p = 1 + i y q = (1 + i) / 2, entonces el cuadrilátero es cuadrado.
- Si y sgn r = sgn (Im p ), entonces el cuadrilátero es un trapezoide.
Un polígono tiene una forma definida por n - 2 números complejos. El polígono delimita un conjunto convexo cuando todos estos componentes de forma tienen componentes imaginarios del mismo signo.
Percepción humana de las formas
Los psicólogos han teorizado que los humanos degradan mentalmente las imágenes en formas geométricas simples llamadas geones. Los ejemplos de geons incluyen conos y esferas.