Aritmética
Definición
La aritmética (del griego ἀριθμός arithmos , "número") es una rama de las matemáticas que consiste en el estudio de los números, especialmente las propiedades de las operaciones tradicionales sobre ellos: suma, resta, multiplicación y división. La aritmética es una parte elemental de la teoría de números, y la teoría de números se considera una de las divisiones de alto nivel de las matemáticas modernas, junto con el álgebra, la geometría y el análisis. Los términos aritmética y aritmética superior se utilizaron hasta principios del siglo XX como sinónimos de la teoría numérica y, en ocasiones, todavía se usan para referirse a una parte más amplia de la teoría numérica.
Historia
La prehistoria de la aritmética se limita a un pequeño número de artefactos que pueden indicar la concepción de la suma y la resta, el más conocido es el hueso Ishango del centro de África, que data de entre 20,000 y 18,000 AC, aunque su interpretación es discutida.
Los primeros registros escritos indican que los egipcios y los babilonios usaron todas las operaciones aritméticas elementales ya en el 2000 aC. Estos artefactos no siempre revelan el proceso específico utilizado para resolver problemas, pero las características del sistema numeral particular influyen fuertemente en la complejidad de los métodos. El sistema jeroglífico para los números egipcios, como los números romanos posteriores, descienden de las marcas utilizadas para contar. En ambos casos, este origen dio como resultado valores que usaban una base decimal pero no incluían la notación posicional. Los cálculos complejos con números romanos requerían la ayuda de una tabla de conteo o del ábaco romano para obtener los resultados.
Los primeros sistemas numéricos que incluían la notación posicional no eran decimales, incluido el sistema sexagesimal (base 60) para los números babilónicos y el sistema vigesimal (base 20) que definía los numerales mayas. Debido a este concepto de valor posicional, la capacidad de reutilizar los mismos dígitos para diferentes valores contribuyó a métodos de cálculo más simples y eficientes.
El desarrollo histórico continuo de la aritmética moderna comienza con la civilización helenística de la antigua Grecia, aunque se originó mucho más tarde que los ejemplos de Babilonia y Egipto. Antes de los trabajos de Euclides alrededor del año 300 aC, los estudios griegos en matemáticas se superponían con las creencias filosóficas y místicas. Por ejemplo, Nicomachus resumió el punto de vista del enfoque pitagórico anterior a los números, y sus relaciones entre sí, en su Introducción a la Aritmética .
Los números griegos fueron utilizados por Arquímedes, Diofanto y otros en una notación posicional no muy diferente a la nuestra. Los antiguos griegos carecían de un símbolo para cero hasta el período helenístico, y usaron tres conjuntos separados de símbolos como dígitos: uno para el lugar de las unidades, uno para el lugar de las decenas y uno para los cientos. Para el lugar de miles, reutilizarían los símbolos para el lugar de las unidades, y así sucesivamente. Su algoritmo de adición era idéntico al nuestro, y su algoritmo de multiplicación era solo ligeramente diferente. Su algoritmo de división larga era el mismo, y el algoritmo de raíz cuadrada dígito por dígito, popularmente utilizado tan recientemente como el siglo 20, era conocido por Arquímedes, quien pudo haberlo inventado. Lo prefería al método de aproximación sucesiva de Hero porque, una vez calculado, un dígito no cambia,
Los antiguos chinos tenían avanzados estudios aritméticos que databan de la dinastía Shang y continuaban a lo largo de la dinastía Tang, desde los números básicos hasta el álgebra avanzada. Los antiguos chinos usaban una notación posicional similar a la de los griegos. Como también carecían de un símbolo para cero, tenían un conjunto de símbolos para el lugar de la unidad y un segundo conjunto para el lugar de los diez. Para el lugar del centenario, luego reutilizaron los símbolos para el lugar de la unidad, y así sucesivamente. Sus símbolos se basaban en las antiguas varas de contar. Es una pregunta complicada determinar exactamente cuándo los chinos comenzaron a calcular con la representación posicional, pero definitivamente fue antes del 400 AC. Los antiguos chinos fueron los primeros en descubrir, comprender, ( Jiuzhang Suanshu ), que fue escrito por Liu Hui.
El desarrollo gradual de los números hindúes-arábigos diseñó independientemente el concepto de valor de posición y la notación posicional, que combinó los métodos más simples para cálculos con una base decimal y el uso de un dígito que representa 0. Esto permitió que el sistema representara consistentemente tanto grandes como pequeños enteros. Este enfoque eventualmente reemplazó a todos los otros sistemas. A principios del siglo VI dC, el matemático indio Aryabhata incorporó una versión existente de este sistema en su trabajo y experimentó con diferentes notaciones. En el siglo VII, Brahmagupta estableció el uso de 0 como un número separado y determinó los resultados para la multiplicación, división, suma y resta de cero y todos los demás números, excepto el resultado de la división por 0. Su contemporáneo, el obispo sirio Severus Sebokht (650 DC) dijo: "Los indios poseen un método de cálculo que ninguna palabra puede alabar lo suficiente. Su sistema racional de matemáticas, o su método de cálculo. Me refiero al sistema que usa nueve símbolos". Los árabes también aprendieron este nuevo método y lo llamaron hesab .
Aunque el Codex Vigilanus describió una forma primitiva de números arábigos (omitiendo 0) hacia 976 d. C., Leonardo de Pisa (Fibonacci) fue el principal responsable de difundir su uso en toda Europa después de la publicación de su libro Liber Abaci en 1202. Escribió: "El El método de los indios (Latin Modus Indoram ) sobrepasa cualquier método conocido para calcular. Es un método maravilloso. Hacen sus cálculos usando nueve figuras y el símbolo cero ".
En la Edad Media, la aritmética era una de las siete artes liberales que se enseñaban en las universidades.
El florecimiento del álgebra en el mundo islámico medieval y en la Europa del Renacimiento fue consecuencia de la enorme simplificación de la computación a través de la notación decimal.
Varios tipos de herramientas se han inventado y utilizado ampliamente para ayudar en los cálculos numéricos. Antes del Renacimiento, eran varios tipos de abaci. Los ejemplos más recientes incluyen reglas de cálculo, nomogramas y calculadoras mecánicas, como la calculadora de Pascal. En la actualidad, han sido suplantados por calculadoras electrónicas y computadoras.
Operaciones aritmeticas
Las operaciones aritméticas básicas son suma, resta, multiplicación y división, aunque este tema también incluye operaciones más avanzadas, como manipulaciones de porcentajes, raíces cuadradas, exponenciación y funciones logarítmicas. La aritmética se realiza según un orden de operaciones. Cualquier conjunto de objetos sobre los que se pueden realizar las cuatro operaciones aritméticas (excepto la división por 0), y donde estas cuatro operaciones obedecen a las leyes habituales, se denomina campo.
Adición (+)
La suma es la operación básica de la aritmética. En su forma más simple, la adición combina dos números, los sumandos o términos , en un solo número, la suma de los números (como 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 8 ).
Agregar más de dos números se puede ver como una suma repetida; este procedimiento se conoce como suma e incluye maneras de agregar infinitamente muchos números en una serie infinita; la suma repetida del número 1 es la forma más básica de contar.
La suma es conmutativa y asociativa, por lo que no importa el orden en que se agreguen los términos. El elemento identidad de la suma (la identidad aditiva) es 0, es decir, al sumar 0 a cualquier número se obtiene ese mismo número. Además, el elemento inverso de suma (el inverso aditivo) es el opuesto de cualquier número, es decir, agregar el opuesto de cualquier número al número en sí mismo produce la identidad aditiva, 0. Por ejemplo, el opuesto de 7 es -7, entonces 7 + (-7) = 0 .
La adición se puede dar geométricamente como en el siguiente ejemplo:
- Si tenemos dos palos de longitudes 2 y 5 , entonces si colocamos los palos uno después del otro, la longitud del palo así formado es 2 + 5 = 7 .
Resta (-)
La resta es la inversa de la suma. La resta encuentra la diferencia entre dos números, el minuendo menos el sustraendo . Si el minuendo es más grande que el sustraendo, la diferencia es positiva; si el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la diferencia es negativa; si son iguales, la diferencia es 0.
La resta no es ni conmutativa ni asociativa. Por esa razón, a menudo es útil considerar la resta como la suma del minuendo y lo opuesto al sustraendo, es decir a - b = a + (- b ) . Cuando se escribe como una suma, todas las propiedades de adición se mantienen.
Existen varios métodos para calcular los resultados, algunos de los cuales son particularmente ventajosos para el cálculo de la máquina. Por ejemplo, las computadoras digitales emplean el método del complemento a dos. De gran importancia es el método de conteo por el cual se realiza el cambio. Supongamos que una cantidad P se da para pagar la cantidad requerida Q , con P mayor que Q . En lugar de realizar la resta P - Q y contando esa cantidad en cambio, el dinero se contó a partir de Q y continuando hasta alcanzar P . Aunque la cantidad contada debe ser igual al resultado de la resta P - Q, la resta nunca se hizo realmente y el valor de P - Q aún podría ser desconocido para el fabricante de cambios.
Multiplicación (× o • o *)
La multiplicación es la segunda operación básica de la aritmética. La multiplicación también combina dos números en un solo número, el producto . Los dos números originales se llaman multiplicador y multiplicando , a veces ambos simplemente se llaman factores .
La multiplicación se puede ver como una operación de escalado. Si se imagina que los números están en una línea, la multiplicación por un número, digamos x , mayor que 1 es lo mismo que estirar todo lejos de 0 uniformemente, de tal manera que el número 1 mismo se estira hasta donde estaba x . De manera similar, multiplicar por un número menor a 1 se puede imaginar como apretar hacia 0. (De nuevo, de tal manera que 1 pasa al multiplicando).
La multiplicación es conmutativa y asociativa; además, es distributivo sobre la suma y la resta. La identidad multiplicativa es 1, es decir, multiplicar cualquier número por 1 produce ese mismo número. Además, el inverso multiplicativo es el recíproco de cualquier número (excepto que 0; 0 es el único número sin un inverso multiplicativo), es decir, multiplicar el recíproco de cualquier número por el número en sí mismo produce la identidad multiplicativa.
El producto de una y b se escribe como un × b o un • b . Cuando una o b son expresiones escritas no simplemente con los dígitos, también está escrito por simple yuxtaposición: ab . En los lenguajes de programación de computadoras y paquetes de software en los que uno solo puede usar caracteres que normalmente se encuentran en un teclado, a menudo se escribe con un asterisco: a * b .
División (÷ o /)
La división es esencialmente la inversa de la multiplicación. La división encuentra el cociente de dos números, el dividendo dividido por el divisor . Cualquier dividendo dividido por 0 no está definido. Para los números positivos distintos, si el dividendo es mayor que el divisor, el cociente es mayor que 1, de lo contrario es menor que 1 (se aplica una regla similar para los números negativos). El cociente multiplicado por el divisor siempre produce el dividendo.
La división no es ni conmutativa ni asociativa. Ya que es útil observar la resta como Además, es útil observar la división como la multiplicación de los tiempos de dividendos el recíproco del divisor, que es un ÷ b = un × 1b . Cuando se escribe como un producto, obedece a todas las propiedades de la multiplicación.
Aritmética decimal
La representación decimal se refiere exclusivamente, en uso común, al sistema numérico escrito que emplea números arábigos como los dígitos para una notación posicional de raíz 10 ("decimal"); sin embargo, cualquier sistema numérico basado en potencias de 10, por ejemplo, números griegos, cirílicos, romanos o chinos, puede describirse conceptualmente como "notación decimal" o "representación decimal".
Los métodos modernos para cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) fueron ideados por primera vez por Brahmagupta de la India. Esto fue conocido durante la Europa medieval como "Modus Indoram" o Método de los indios. La notación posicional (también conocida como "notación de valor de posición") se refiere a la representación o codificación de números usando el mismo símbolo para los diferentes órdenes de magnitud (por ejemplo, "el lugar de uno", "lugar de decenas", "lugar de cientos") y, con un punto de base, usando esos mismos símbolos para representar fracciones (por ejemplo, el "lugar de décimas", "lugar de centésimas"). Por ejemplo, 507.36 denota 5 cientos (10), más 0 decenas (10), más 7 unidades (10), más 3 décimas (10) más 6 centésimas (10).
El concepto de 0 como un número comparable a los otros dígitos básicos es esencial para esta notación, como es el concepto del uso de 0 como marcador de posición, y como es la definición de multiplicación y adición con 0. El uso de 0 como marcador de posición y Por lo tanto, el uso de una notación posicional está atestiguado por primera vez en el texto Jain de la India titulado Lokavibhâga , fechado en el año 458 dC y fue solo a principios del siglo XIII cuando se introdujeron estos conceptos, transmitidos a través de la erudición del mundo árabe. en Europa por Fibonacci usando el sistema numérico hindú-árabe.
El algoritmo comprende todas las reglas para realizar cálculos aritméticos usando este tipo de números escritos. Por ejemplo, agregar produce la suma de dos números arbitrarios. El resultado se calcula sumando repetidamente dígitos individuales de cada número que ocupa la misma posición, procediendo de derecha a izquierda. Una tabla de adición con diez filas y diez columnas muestra todos los valores posibles para cada suma. Si una suma individual excede el valor 9, el resultado se representa con dos dígitos. El dígito más a la derecha es el valor de la posición actual, y el resultado para la adición posterior de los dígitos a la izquierda aumenta en el valor del segundo dígito (el izquierdo), que siempre es uno. Este ajuste se denomina carry del valor 1.
El proceso para multiplicar dos números arbitrarios es similar al proceso de suma. Una tabla de multiplicar con diez filas y diez columnas enumera los resultados para cada par de dígitos. Si un producto individual de un par de dígitos excede 9, el ajuste de acarreo aumenta el resultado de cualquier multiplicación posterior de dígitos a la izquierda por un valor igual al segundo dígito (el izquierdo), que es cualquier valor de 1 a 8 ( 9 × 9 = 81 ). Pasos adicionales definen el resultado final.
Existen técnicas similares para la resta y la división.
La creación de un proceso correcto para la multiplicación se basa en la relación entre los valores de los dígitos adyacentes. El valor de cualquier dígito en un número depende de su posición. Además, cada posición a la izquierda representa un valor diez veces más grande que la posición a la derecha. En términos matemáticos, el exponente para la raíz (base) de 10 aumenta en 1 (hacia la izquierda) o disminuye en 1 (hacia la derecha). Por lo tanto, el valor de cualquier dígito arbitrario se multiplica por un valor de la forma 10 con número entero n . La lista de valores correspondientes a todas las posiciones posibles para un solo dígito se escribe como {..., 10, 10, 1, 10, 10, ...}.
La multiplicación repetida de cualquier valor en esta lista por 10 produce otro valor en la lista. En terminología matemática, esta característica se define como cierre, y la lista anterior se describe como cerrada bajo multiplicación . Es la base para encontrar correctamente los resultados de la multiplicación usando la técnica anterior. Este resultado es un ejemplo de los usos de la teoría de números.
Aritmética de unidades compuestas
La aritmética de unidades compuestas es la aplicación de operaciones aritméticas a cantidades de radix mixtas, como pies y pulgadas, galones y pintas, libras de chelines y peniques, y así sucesivamente. Antes del uso de sistemas de dinero basados en decimales y unidades de medida, el uso de aritmética de unidades compuestas formaba una parte importante del comercio y la industria.
Operaciones aritméticas básicas
Las técnicas utilizadas para la unidad aritmética de unidades se desarrollaron durante muchos siglos y están bien documentadas en muchos libros de texto en muchos idiomas diferentes. Además de las funciones aritméticas básicas que se encuentran en la aritmética decimal, la aritmética de unidades compuestas emplea tres funciones más:
- Reducción donde una cantidad compuesta se reduce a una sola cantidad, por ejemplo conversión de una distancia expresada en yardas, pies y pulgadas a una expresada en pulgadas.
- Expansión , la función inversa a la reducción, es la conversión de una cantidad que se expresa como una unidad de medida única a una unidad compuesta, como la expansión de 24 oz a 1 lb, 8 oz .
- La normalización es la conversión de un conjunto de unidades compuestas a una forma estándar, por ejemplo, reescribiendo " 1 pie 13 en " como " 2 pie 1 en ".
El conocimiento de la relación entre las diversas unidades de medida, sus múltiplos y sus submúltiplos forma una parte esencial de la aritmética de unidades compuestas.
Principios de la aritmética de unidades compuestas
Hay dos enfoques básicos para la aritmética de unidades compuestas:
- Método de reducción de expansión donde todas las variables de la unidad compuesta se reducen a las variables de una sola unidad, el cálculo se realiza y el resultado se expande a unidades compuestas. Este enfoque es adecuado para cálculos automatizados. Un ejemplo típico es el manejo del tiempo por Microsoft Excel donde todos los intervalos de tiempo se procesan internamente como días y fracciones decimales de un día.
- Método de normalización continuo en el que cada unidad se trata por separado y el problema se normaliza continuamente a medida que se desarrolla la solución. Este enfoque, que se describe ampliamente en textos clásicos, es el más adecuado para cálculos manuales. A continuación, se muestra un ejemplo del método de normalización en curso aplicado a la adición.
| Moneda pre-decimal del Reino Unido | |||
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La operación de adición se lleva a cabo de derecha a izquierda; en este caso, los peniques se procesan primero, luego los chelines seguidos de libras. Los números debajo de la "línea de respuesta" son resultados intermedios.
El total en la columna de peniques es 25. Como hay 12 peniques en un chelín, 25 se divide por 12 para dar 2 con un resto de 1. El valor "1" se escribe en la fila de respuesta y el valor "2" llevado a la columna de chelines. Esta operación se repite utilizando los valores en la columna de chelines, con el paso adicional de agregar el valor que se transfirió desde la columna de peniques. El total intermedio se divide por 20 ya que hay 20 chelines en una libra. La columna de libra se procesa, pero como libras es la unidad más grande que se está considerando, no se transfieren valores de la columna de libras.
En aras de la simplicidad, el ejemplo elegido no tenía farthings.
Operaciones en la práctica
Durante los siglos XIX y XX se desarrollaron varias ayudas para ayudar a la manipulación de unidades compuestas, particularmente en aplicaciones comerciales. Las ayudas más comunes fueron las cajas mecánicas que fueron adaptadas en países como el Reino Unido para dar cabida a libras, chelines, centavos y farthings y "Ready Reckoners" - libros dirigidos a los comerciantes que catalogaron los resultados de varios cálculos de rutina como los porcentajes o múltiplos de varias sumas de dinero. Un folleto típico que funcionaba con 150 páginas en múltiplos tabulados "de uno a diez mil a los distintos precios de un cuarto a una libra".
La naturaleza engorrosa de la unidad aritmética compuesta ha sido reconocida durante muchos años: en 1586, el matemático flamenco Simon Stevin publicó un pequeño folleto llamado De Thiende ("el décimo") en el que declaraba la introducción universal de monedas decimales, medidas y pesos para ser solo una cuestión de tiempo. En la era moderna, muchos programas de conversión, como el incluido en la calculadora del sistema operativo Microsoft Windows 7, muestran unidades compuestas en un formato decimal reducido en lugar de usar un formato expandido (es decir, se muestran "2.5 pies" en lugar de "2 pies 6" en " ).
Teoría de los números
Hasta el siglo XIX, la teoría de números era un sinónimo de "aritmética". Los problemas abordados estaban directamente relacionados con las operaciones básicas y la primalidad, divisibilidad y solución de ecuaciones en enteros, como el último teorema de Fermat. Parece que la mayoría de estos problemas, aunque son muy elementales, son muy difíciles y no pueden resolverse sin una matemática muy profunda que involucre conceptos y métodos de muchas otras ramas de las matemáticas. Esto condujo a nuevas ramas de la teoría de números, como la teoría analítica de números, la teoría de números algebraicos, la geometría diofántica y la geometría aritmética algebraica. La demostración de Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo típico de la necesidad de métodos sofisticados, que van mucho más allá de los métodos clásicos de aritmética, para resolver problemas que pueden establecerse en la aritmética elemental.
Aritmética en educación
La educación primaria en matemáticas a menudo se enfoca fuertemente en algoritmos para la aritmética de números naturales, enteros, fracciones y decimales (usando el sistema de valor de lugar decimal). Este estudio a veces se conoce como algorismo.
La dificultad y la apariencia desmotivada de estos algoritmos han llevado a los educadores a cuestionar este plan de estudios, defendiendo la enseñanza temprana de ideas matemáticas más centrales e intuitivas. Un movimiento notable en esta dirección fue la Nueva Matemática de los años 60 y 70, que intentó enseñar la aritmética en el espíritu del desarrollo axiomático a partir de la teoría de conjuntos, un eco de la tendencia prevaleciente en las matemáticas superiores.
Además, los eruditos islámicos utilizaron la aritmética para enseñar la aplicación de las reglas relacionadas con Zakat e Irth. Esto fue hecho en un libro titulado The Best of Arithmetic por Abd-al-Fattah-al-Dumyati.
El libro comienza con los fundamentos de las matemáticas y procede a su aplicación en los capítulos posteriores.