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Subconjuntos de los números complejos.

Un número es un objeto matemático usado para contar, medir y también etiquetar. Los ejemplos originales son los números naturales 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente. Un símbolo de notación que representa un número se llama numeral. Además de su uso en contar y medir, los números se usan a menudo para etiquetas (como con números de teléfono), para ordenar (como con números de serie) y para códigos (como con ISBN). En el uso común, el número puede referirse a un símbolo, una palabra o una abstracción matemática.

En matemáticas, la noción de número se ha extendido a través de los siglos para incluir 0, los números negativos, números racionales, tales como

1 / 2

y

- 2 / 3

, los números reales tales como

\sqrt 2

y

π

, y los números complejos, que se extienden el verdadero números al agregar una raíz cuadrada de

-1

. Los cálculos con números se realizan con operaciones aritméticas, siendo las más familiares la adición, la resta, la multiplicación, la división y la exponenciación. Su estudio o uso se llama aritmética. El mismo término también puede referirse a la teoría de números, el estudio de las propiedades de los números.

Además de sus usos prácticos, los números tienen un significado cultural en todo el mundo. Por ejemplo, en la sociedad occidental, el número 13 se considera de mala suerte, y "un millón" puede significar "mucho". Aunque ahora se considera como pseudociencia, la numerología, la creencia en un significado místico de los números, impregnó el pensamiento antiguo y medieval. La numerología influyó fuertemente en el desarrollo de las matemáticas griegas, estimulando la investigación de muchos problemas en la teoría de números que todavía son de interés en la actualidad.

Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a desarrollar muchas abstracciones diferentes que comparten ciertas propiedades de los números y pueden verse como la extensión del concepto. Entre los primeros estaban los números hipercomplejos, que consisten en varias extensiones o modificaciones del sistema numérico complejo. Hoy en día, los sistemas numéricos se consideran importantes ejemplos especiales de categorías mucho más generales, como anillos y campos, y la aplicación del término "número" es una cuestión de convención, sin importancia fundamental.

Numerales

Los números se deben distinguir de los números , los símbolos utilizados para representar números. Los egipcios inventaron el primer sistema numérico cifrado, y los griegos siguieron mapeando sus números de conteo en los alfabetos jónico y dórico. Los números romanos, un sistema que usaba combinaciones de letras del alfabeto romano, siguieron siendo dominantes en Europa hasta la expansión del sistema de números arábigos superior a fines del siglo XIV, y el sistema de números arábigos sigue siendo el sistema más común para representar números en el mundo hoy. La clave de la efectividad del sistema fue el símbolo de cero, que fue desarrollado por matemáticos antiguos en el subcontinente indio alrededor del 500 DC.

Clasificación principal

Los números se pueden clasificar en conjuntos, llamados sistemas numéricos , como los números naturales y los números reales. Las principales categorías de números son las siguientes:

Sistemas de números principales
$\ mathbb {N}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... o 1, 2, 3, 4, 5, ... $\ mathbb {N} _ {0}$ o a veces se usan. $\ mathbb {N} _ {1}$
$\ mathbb {Z}$	Entero	..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\ mathbb {Q}$	Racional	a/b donde a y b son números enteros yb no es 0
$\ mathbb {R}$	Real	El límite de una secuencia convergente de números racionales
$\ mathbb {C}$	Complejo	a + bi donde a y b son números reales e i es una raíz cuadrada formal de -1

Generalmente no hay problema en identificar cada sistema numérico con un subconjunto apropiado del siguiente (por abuso de notación), porque cada uno de estos sistemas numéricos es canónicamente isomorfo a un subconjunto apropiado del próximo. La jerarquía resultante permite, por ejemplo, hablar, formalmente correctamente, sobre números reales que son números racionales, y se expresa simbólicamente escribiendo

\ mathbb {N} \ subconjunto \ mathbb {Z} \ subconjunto \ mathbb {Q} \ subconjunto \ mathbb {R} \ subconjunto \ mathbb {C}

.

Números naturales

Los números naturales, comenzando con 1

Los números más familiares son los números naturales (a veces llamados números enteros o números de conteo): 1, 2, 3, y así sucesivamente. Tradicionalmente, la secuencia de números naturales comenzaba con 1 (0 ni siquiera se consideraba un número para los antiguos griegos). Sin embargo, en el siglo XIX, los teóricos y otros matemáticos comenzaron a incluir 0 (cardinalidad del conjunto vacío, es decir, 0 elementos, donde 0 es, por lo tanto, el número cardinal más pequeño) en el conjunto de números naturales. Hoy en día, diferentes matemáticos usan el término para describir ambos conjuntos, incluidos 0 o no. El símbolo matemático para el conjunto de todos los números naturales es N , también está escrito , y algunas veces o cuando es necesario indicar si el conjunto debe comenzar con 0 o 1, respectivamente.

\ mathbb {N}

\ mathbb {N} _ {0}

\ mathbb {N} _ {1}

En el sistema numérico de base 10, que hoy en día se usa casi universalmente para operaciones matemáticas, los símbolos para números naturales se escriben usando diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La raíz o base es la cantidad de dígitos numéricos únicos, incluido el cero, que un sistema numérico usa para representar números (para el sistema decimal, la raíz es 10). En este sistema de base 10, el dígito más a la derecha de un número natural tiene un valor de posición de 1, y cada otro dígito tiene un valor de posición diez veces mayor que el valor de posición del dígito a su derecha.

En la teoría de conjuntos, que es capaz de actuar como una base axiomática para las matemáticas modernas, los números naturales pueden representarse mediante clases de conjuntos equivalentes. Por ejemplo, el número 3 se puede representar como la clase de todos los conjuntos que tienen exactamente tres elementos. Alternativamente, en Aritmética de Peano, el número 3 se representa como sss0, donde s es la función "sucesora" (es decir, 3 es el tercer sucesor de 0). Muchas representaciones diferentes son posibles; todo lo que se necesita para representar formalmente 3 es inscribir un cierto símbolo o patrón de símbolos tres veces.

Enteros

El negativo de un entero positivo se define como un número que produce 0 cuando se agrega al entero positivo correspondiente. Los números negativos generalmente se escriben con un signo negativo (un signo menos). Como ejemplo, el negativo de 7 se escribe -7, y 7 + (-7) = 0 . Cuando el conjunto de números negativos se combina con el conjunto de números naturales (incluido 0), el resultado se define como el conjunto de números enteros, Z también escrito . Aquí la letra Z viene del alemán Zahl , que significa 'número'. El conjunto de enteros forma un anillo con la adición y multiplicación de operaciones.

\ mathbb {Z}

Los números naturales forman un subconjunto de los enteros. Como no existe un estándar común para la inclusión o no de cero en los números naturales, los números naturales sin cero se conocen comúnmente como enteros positivos , y los números naturales con cero se conocen como enteros no negativos .

Numeros racionales

Un número racional es un número que se puede expresar como una fracción con un numerador entero y un denominador entero positivo. Los denominadores negativos están permitidos, pero comúnmente se evitan, ya que cada número racional es igual a una fracción con denominador positivo. Las fracciones se escriben como dos enteros, el numerador y el denominador, con una barra divisoria entre ellos. La fracción m/n representa m partes de un todo dividido en n partes iguales. Dos fracciones diferentes pueden corresponder al mismo número racional; por ejemplo 1/2 y 2/4 son iguales, es decir:

{\ displaystyle {1 \ over 2} = {2 \ over 4}.}

En general,

{\ displaystyle {a \ over b} = {c \ over d}}

si y solo si

{\ displaystyle {a \ times d} = {c \ times b}.}

Si el valor absoluto de m es mayor que n (se supone que es positivo), entonces el valor absoluto de la fracción es mayor que 1. Las fracciones pueden ser mayores, menores que, o iguales a 1 y también pueden ser positivas, negativas, o 0. El conjunto de todos los números racionales incluye los enteros, ya que cada entero se puede escribir como una fracción con el denominador 1. Por ejemplo, -7 se puede escribir -7/1 . El símbolo para los números racionales es Q (para el cociente ), también escrito .

\ mathbb {Q}

Numeros reales

El símbolo para los números reales es R , también escrito como Incluyen todos los números de medición. Cada número real corresponde a un punto en la recta numérica. El siguiente párrafo se enfocará principalmente en números reales positivos. El tratamiento de los números reales negativos está de acuerdo con las reglas generales de la aritmética y su denotación es simplemente prefijar el correspondiente número positivo con un signo menos, por ejemplo, -123.456.

{\ displaystyle \ mathbb {R}.}

La mayoría de los números reales solo se pueden aproximar mediante numerales decimales, en los que un punto decimal se coloca a la derecha del dígito con un valor de posición 1. Cada dígito a la derecha del punto decimal tiene un valor posicional de un décimo del valor posicional de el dígito a su izquierda. Por ejemplo, 123.456 representa 123,456 mil/1,000o, en palabras, cien, dos decenas, tres unidades, cuatro décimas, cinco centésimas y seis milésimas. Un número real puede expresarse mediante un número finito de dígitos decimales solo si es racional y su parte fraccionaria tiene un denominador cuyos factores primos son 2 o 5 o ambos, porque estos son los factores primos de 10, la base del sistema decimal . Así, por ejemplo, una mitad es 0.5, una quinta es 0.2, una décima es 0.1, y una quincuagésima es 0.02. Representar otros números reales como decimales requeriría una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal. Si esta secuencia infinita de dígitos sigue un patrón, se puede escribir con puntos suspensivos u otra notación que indique el patrón de repetición. Tal decimal se llama decimal recurrente. Por lo tanto 1/3 puede escribirse como 0.333 ..., con una elipsis para indicar que el patrón continúa. Siempre repitiendo 3s también se escriben como 0. 3 .

Resulta que estos decimales repetidos (incluida la repetición de ceros) denotan exactamente los números racionales, es decir, todos los números racionales son también números reales, pero no es el caso que cada número real sea racional. Un número real que no es racional se llama irracional. Un número real irracional famoso es el número

π

, la relación entre la circunferencia de cualquier círculo y su diámetro. Cuando pi está escrito como

{\ displaystyle \ pi = 3.14159265358979 \ dots,}

como a veces es, la elipsis no significa que los decimales se repitan (no), sino que no hay fin para ellos. Se ha demostrado que

π

es irracional. Otro número bien conocido, demostrado ser un número real irracional, es

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1.41421356237 \ dots,}

la raíz cuadrada de 2, es decir, el único número real positivo cuyo cuadrado es 2. Ambos números se han aproximado (por computadora) a billones (1 billón = 10 = 1,000,000,000,000) de dígitos.

No solo estos ejemplos destacados, sino que casi todos los números reales son irracionales y, por lo tanto, no tienen patrones repetitivos y, por lo tanto, no tienen numeración decimal correspondiente. Solo se pueden aproximar mediante numerales decimales, que denotan números reales redondeados o truncados. Cualquier número redondeado o truncado es necesariamente un número racional, del cual solo hay muchos contables. Todas las mediciones son, por su naturaleza, aproximaciones, y siempre tienen un margen de error. Así 123.456 se considera una aproximación de cualquier número real mayor o igual a 1234555/10000 y estrictamente inferior a 1234,565 mil/10000 (redondeando a 3 decimales), o de cualquier número real mayor o igual a 123456/1,000 y estrictamente inferior a 123.457/1.000 (truncamiento después de la 3. decimal). Los dígitos que sugieren una mayor precisión que la medición en sí misma, deben eliminarse. Los dígitos restantes se llaman dígitos significativos. Por ejemplo, las mediciones con una regla rara vez se pueden hacer sin un margen de error de al menos 0,001 metros. Si los lados de un rectángulo se miden como 1.23 metros y 4.56 metros, la multiplicación da un área para el rectángulo entre 5.614591 metros cuadrados y 5.603011 metros cuadrados . Como ni siquiera se conserva el segundo dígito después del lugar decimal, los siguientes dígitos no son significativos . Por lo tanto, el resultado generalmente se redondea a 5.61.

Del mismo modo que la misma fracción se puede escribir en más de una forma, el mismo número real puede tener más de una representación decimal. Por ejemplo, 0.999 ..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., todos representan el número natural 1. Un número real dado tiene solo las siguientes representaciones decimales: una aproximación a un número finito de decimales, una aproximación en la cual se establece un patrón que continúa para un número ilimitado de lugares decimales, o un valor exacto con solo muchos lugares decimales. En este último caso, el último dígito distinto de cero puede ser reemplazado por el dígito uno más pequeño seguido por un número ilimitado de 9, o el último dígito distinto de cero puede ir seguido por un número ilimitado de ceros. Por lo tanto, el número real exacto 3.74 también se puede escribir 3.7399999999 ... y 3.74000000000 .... Del mismo modo, un número decimal con un número ilimitado de 0 puede reescribirse dejando caer los 0 a la derecha del lugar decimal, y un número decimal con un número ilimitado de 9 puede reescribirse aumentando el dígito no 9 más a la derecha por uno, cambiando todo los 9's a la derecha de ese dígito a 0's. Finalmente, se puede descartar una secuencia ilimitada de 0 a la derecha del lugar decimal. Por ejemplo, 6.849999999999 ... = 6.85 y 6.850000000000 ... = 6.85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puede soltar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno a la cadena de 9s a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo 99.999 ... = 100. y un número decimal con un número ilimitado de 9 se puede reescribir aumentando el dígito no 9 más a la derecha por uno, cambiando todos los 9 a la derecha de ese dígito a 0. Finalmente, se puede descartar una secuencia ilimitada de 0 a la derecha del lugar decimal. Por ejemplo, 6.849999999999 ... = 6.85 y 6.850000000000 ... = 6.85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puede soltar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno a la cadena de 9s a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo 99.999 ... = 100. y un número decimal con un número ilimitado de 9 se puede reescribir aumentando el dígito no 9 más a la derecha por uno, cambiando todos los 9 a la derecha de ese dígito a 0. Finalmente, se puede descartar una secuencia ilimitada de 0 a la derecha del lugar decimal. Por ejemplo, 6.849999999999 ... = 6.85 y 6.850000000000 ... = 6.85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puede soltar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno a la cadena de 9s a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo 99.999 ... = 100. s a la derecha del lugar decimal se puede soltar. Por ejemplo, 6.849999999999 ... = 6.85 y 6.850000000000 ... = 6.85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puede soltar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno a la cadena de 9s a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo 99.999 ... = 100. s a la derecha del lugar decimal se puede soltar. Por ejemplo, 6.849999999999 ... = 6.85 y 6.850000000000 ... = 6.85. Finalmente, si todos los dígitos de un número son 0, el número es 0, y si todos los dígitos de un número son una cadena interminable de 9, puede soltar los nueves a la derecha del lugar decimal y agregar uno a la cadena de 9s a la izquierda del lugar decimal. Por ejemplo 99.999 ... = 100.

Los números reales también tienen una propiedad importante pero altamente técnica llamada la propiedad de límite superior mínimo.

Se puede demostrar que cualquier campo ordenado, que también es completo, es isomorfo a los números reales. Sin embargo, los números reales no son un campo algebraicamente cerrado, ya que no incluyen una solución (a menudo denominada raíz cuadrada de menos uno) para la ecuación algebraica .

{\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}

Números complejos

Pasando a un mayor nivel de abstracción, los números reales se pueden extender a los números complejos. Este conjunto de números surgió históricamente de tratar de encontrar fórmulas cerradas para las raíces de polinomios cúbicos y cuadráticos. Esto condujo a expresiones que involucraban las raíces cuadradas de los números negativos, y finalmente a la definición de un nuevo número: una raíz cuadrada de -1, denotada por i , un símbolo asignado por Leonhard Euler, y llamada la unidad imaginaria. Los números complejos constan de todos los números del formulario

\, a + bi

donde a y b son números reales. Debido a esto, los números complejos corresponden a puntos en el plano complejo, un espacio vectorial de dos dimensiones reales. En la expresión a + bi , el número real a se llama parte real y b se llama parte imaginaria. Si la parte real de un número complejo es 0, entonces el número se llama número imaginario o se denomina puramente imaginario ; si la parte imaginaria es 0, entonces el número es un número real. Por lo tanto, los números reales son un subconjunto de los números complejos. Si las partes real e imaginaria de un número complejo son ambos enteros, entonces el número se llama entero gaussiano. El símbolo para los números complejos es C o .

\ mathbb {C}

El teorema fundamental del álgebra afirma que los números complejos forman un campo algebraicamente cerrado, lo que significa que cada polinomio con coeficientes complejos tiene una raíz en los números complejos. Al igual que los reales, los números complejos forman un campo, que es completo, pero a diferencia de los números reales, no está ordenado. Es decir, no hay un significado consistente asignable para decir que i es mayor que 1, ni tiene sentido decir que i es menor que 1. En términos técnicos, los números complejos carecen de un orden total que sea compatible con las operaciones de campo .

Subclases de los enteros

Números pares e impares

Un número par es un número entero que es "divisible uniformemente" por dos, que es divisible por dos sin resto; un número impar es un número entero que no es par. (El antiguo término "uniformemente divisible" casi siempre se abrevia a "divisible"). De forma equivalente, otra forma de definir un número impar es que es un número entero de la forma n = 2 k + 1, donde k es un entero, y un número par tiene la forma n = 2 k donde k es un número entero.

números primos

Un número primo es un número entero mayor que 1 que no es el producto de dos enteros positivos más pequeños. Los primeros pocos números primos son 2, 3, 5, 7 y 11. Los números primos se han estudiado ampliamente durante más de 2000 años y han dado lugar a muchas preguntas, de las cuales solo algunas han sido respondidas. El estudio de estas preguntas pertenece a la teoría de números. Un ejemplo de una pregunta que aún no se responde es si cada número par es la suma de dos números primos. Esto se llama conjetura de Goldbach.

Una pregunta que ha sido respondida es si cada entero mayor que uno es un producto de números primos en una sola forma, a excepción de una reorganización de los números primos. Esto se llama teorema fundamental de la aritmética. Una prueba aparece en los Elementos de Euclides.

Otras clases de enteros

Muchos subconjuntos de los números naturales han sido objeto de estudios específicos y han sido nombrados, a menudo después del primer matemático que los ha estudiado. Ejemplo de tales conjuntos de enteros son números de Fibonacci y números perfectos. Para ver más ejemplos, vea Secuencia entera.

Subclases de los números complejos

Números algebraicos, irracionales y trascendentales

Los números algebraicos son los que son una solución a una ecuación polinomial con coeficientes enteros. Los números reales que no son números racionales se llaman números irracionales. Los números complejos que no son algebraicos se llaman números trascendentales. Los números algebraicos que son soluciones de una ecuación polinómica monica con coeficientes enteros se llaman enteros algebraicos.

Números computables

Un número computable , también conocido como número recursivo , es un número real tal que existe un algoritmo que, dado un número positivo n como entrada, produce los primeros n dígitos de la representación decimal del número computable. Se pueden dar definiciones equivalentes usando funciones recursivas μ, máquinas Turing o cálculo λ. Los números computables son estables para todas las operaciones aritméticas habituales, incluido el cálculo de las raíces de un polinomio, y así forman un campo cerrado real que contiene los números algebraicos reales.

Los números computables se pueden ver como los números reales que pueden representarse exactamente en una computadora: un número computable está representado exactamente por sus primeros dígitos y un programa para calcular más dígitos. Sin embargo, los números computables rara vez se usan en la práctica. Una razón es que no existe un algoritmo para probar la igualdad de dos números computables. Más precisamente, no puede existir ningún algoritmo que tome cualquier número computable como una entrada, y decide en cada caso si este número es igual a cero o no.

El conjunto de números computables tiene la misma cardinalidad que los números naturales. Por lo tanto, casi todos los números reales no son computables. Sin embargo, es muy difícil producir explícitamente un número real que no sea computable.

Extensiones del concepto

p -adic números

Los p números -adic pueden tener expansiones infinitamente largos a la izquierda del punto decimal, de la misma manera que los números reales pueden tener expansiones infinitamente largos a la derecha. El sistema numérico que resulta depende de qué base se use para los dígitos: cualquier base es posible, pero una base de números primos proporciona las mejores propiedades matemáticas. El conjunto de los p números -adic contiene los números racionales, pero no está contenida en los números complejos.

Los elementos de un campo de función algebraica sobre un campo finito y números algebraicos tienen muchas propiedades similares (véase la analogía del campo de función). Por lo tanto, a menudo son considerados como números por teóricos numéricos. Los p números -adic juegan un papel importante en esta analogía.

Números hipercomplejos

Algunos sistemas numéricos que no están incluidos en los números complejos pueden construirse a partir de los números reales de una manera que generalice la construcción de los números complejos. A veces se llaman números hipercomplejos. Incluyen los cuaterniones H , introducidos por Sir William Rowan Hamilton, en los que la multiplicación no es conmutativa, los octonions, en los que la multiplicación no es asociativa además de no ser conmutativa, y las secuencias, en las que la multiplicación no es alternativa, ni asociativas ni conmutativa.

Números transfinitos

Para tratar con conjuntos infinitos, los números naturales se han generalizado a los números ordinales y a los números cardinales. El primero da el orden del conjunto, mientras que el segundo da su tamaño. Para conjuntos finitos, tanto los números ordinales como los cardinales se identifican con los números naturales. En el caso infinito, muchos números ordinales corresponden al mismo número cardinal.

Números no estándar

Los números hiperreales se usan en análisis no estándar. Los hiperrenales, o reales no estándar (generalmente denotados como * R ), denotan un campo ordenado que es una extensión adecuada del campo ordenado de números reales R y satisface el principio de transferencia. Este principio permite a las declaraciones de primer orden sobre los verdaderos R a ser reinterpretados declaraciones de primer orden como verdaderos sobre * R .

Los números surrealistas y superreales extienden los números reales al agregar números infinitamente pequeños y números infinitamente grandes, pero aún forman campos.

Un número de relación se define como la clase de relaciones que consiste en todas aquellas relaciones que son similares a un miembro de la clase.

Historia

Primer uso de números

Huesos y otros artefactos han sido descubiertos con marcas cortadas en ellos que muchos creen que son marcas de conteo. Estas marcas de conteo se pueden haber usado para contar el tiempo transcurrido, como el número de días, los ciclos lunares o el registro de cantidades, como de animales.

Un sistema de conteo no tiene ningún concepto de valor posicional (como en la notación decimal moderna), lo que limita su representación de números grandes. No obstante, los sistemas de conteo se consideran el primer tipo de sistema numérico abstracto.

El primer sistema conocido con valor posicional fue el sistema mesopotámico de base 60 (alrededor de 3400 aC) y el sistema de base 10 más antiguo conocido data del 3100 aC en Egipto.

Cero

Un uso documentado temprano del cero por Brahmagupta (en el Brāhmasphuṭasiddhānta ) data del año 628 dC. Él trató 0 como un número y discutió las operaciones que lo involucraban, incluida la división. En este momento (el siglo VII), el concepto había llegado claramente a Camboya como numerales jemeres, y la documentación muestra que la idea se extendió luego a China y al mundo islámico.

El número 605 en números Khmer, de una inscripción del 683 AD. Un uso temprano de cero como una cifra decimal.

Brahmagupta's Brahmasphuṭasiddhanta es el primer libro que menciona cero como un número, por lo tanto, Brahmagupta generalmente se considera el primero en formular el concepto de cero. Dio reglas de usar cero con números negativos y positivos, como 'cero más un número positivo es el número positivo, y un número negativo más cero es el número negativo'. El Brahmasphutasiddhanta es el texto más antiguo conocido para tratar el cero como un número en sí mismo, en lugar de simplemente un dígito marcador de posición para representar otro número como lo hicieron los babilonios o como un símbolo de falta de cantidad como lo hizo Ptolomeo y los romanos.

El uso de 0 como un número debe distinguirse de su uso como un número de marcador de posición en sistemas de valor de posición. Muchos textos antiguos usaron 0. Los textos babilónicos y egipcios lo usaron. Los egipcios usaban la palabra nfr para indicar saldo cero en la contabilidad de doble entrada. Textos indios usan una palabra en sánscrito Shunye o shunya para referirse al concepto de vacío . En los textos de matemáticas, esta palabra a menudo se refiere al número cero. En una línea similar, Pāṇini (siglo V aC) usó el operador nulo (cero) en el Ashtadhyayi, un ejemplo temprano de una gramática algebraica para el lenguaje sánscrito (ver también Pingala).

Hay otros usos de cero antes de Brahmagupta, aunque la documentación no es tan completa como en el Brahmasphutasiddhanta.

Los registros muestran que los antiguos griegos parecían inseguros sobre el estado de 0 como un número: se preguntaban "¿cómo puede 'nada' ser algo?" dando lugar a interesantes argumentos filosóficos y, por el período medieval, religiosos sobre la naturaleza y existencia de 0 y el vacío. Las paradojas de Zeno de Elea dependen en parte de la interpretación incierta de 0. (Los antiguos griegos incluso cuestionaron si 1 era un número).

Los últimos olmecas del sur-centro de México comenzaron a usar un símbolo de cero, un glifo de caparazón, en el Nuevo Mundo, posiblemente en el siglo IV aC pero ciertamente en el 40 aC, que se convirtió en parte integral de los números mayas y el calendario maya . La aritmética maya utilizó la base 4 y la base 5 como base 20. Sánchez en 1961 reportó una base 4, base 5 de "dedo" de ábaco.

Hacia el 130 dC, Ptolomeo, influenciado por Hiparco y los babilonios, estaba usando un símbolo para 0 (un círculo pequeño con una barra de arriba larga) dentro de un sistema de numeración sexagesimal, de lo contrario utilizaría numerales griegos alfabéticos. Debido a que se utilizó solo, no como un marcador de posición, este cero helenístico fue el primer uso documentado de un cero verdadero en el Viejo Mundo. En manuscritos bizantinos posteriores de su Syntaxis Mathematica ( Almagesto ), el cero helenístico se había transformado en la letra griega omicron (que significa 70).

Otro cero verdadero se usó en las tablas junto con los números romanos antes de 525 (primer uso conocido por Dionysius Exiguus), pero como una palabra, nulla que no significa nada , no como un símbolo. Cuando la división produjo 0 como residuo , se usó nihil , que tampoco significaba nada . Estos ceros medievales fueron utilizados por todos los futuros computistas medievales (calculadoras de Pascua). Un uso aislado de su inicial, N, fue usado en una tabla de números romanos por Bede o un colega de aproximadamente 725, un verdadero símbolo cero.

Números negativos

El concepto abstracto de números negativos se reconoció ya en el año 100 aC - 50 aC en China. Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático contienen métodos para encontrar las áreas de figuras; las barras rojas se usaron para denotar coeficientes positivos, negro para negativo. La primera referencia en una obra occidental fue en el siglo III dC en Grecia. Diofanto se refirió a la ecuación equivalente a 4 x + 20 = 0 (la solución es negativa) en Aritmética , diciendo que la ecuación dio un resultado absurdo.

Durante los 600, los números negativos se usaban en India para representar deudas. La referencia previa de Diophantus fue discutida más explícitamente por el matemático indio Brahmagupta, en Brāhmasphuṭasiddhānta 628, quien usó números negativos para producir la fórmula cuadrática de forma general que permanece en uso hoy en día. Sin embargo, en el siglo XII en India, Bhaskara da raíces negativas para las ecuaciones cuadráticas, pero dice que el valor negativo "en este caso no debe tomarse, porque es inadecuado, la gente no aprueba las raíces negativas".

Los matemáticos europeos, en su mayoría, resistieron el concepto de números negativos hasta el siglo XVII, aunque Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podrían interpretarse como deudas (capítulo 13 de Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos ) Al mismo tiempo, los chinos indicaban números negativos dibujando un trazo diagonal a través del dígito que no es cero en el extremo derecho del número del número positivo correspondiente. El primer uso de números negativos en una obra europea fue por Nicolas Chuquet durante el siglo XV. Los usó como exponentes, pero se refirió a ellos como "números absurdos".

Tan recientemente como en el siglo XVIII, era una práctica común ignorar los resultados negativos devueltos por las ecuaciones en el supuesto de que carecían de sentido, tal como lo hizo René Descartes con soluciones negativas en un sistema de coordenadas cartesianas.