Emmy Noether
Emmy Noether
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Amalie Emmy Noether (alemán: [nøːtɐ], 23 de marzo de 1882 - 14 de abril de 1935) fue un matemático alemán que hizo importantes contribuciones al álgebra abstracta y la física teórica. Ella invariablemente usó el nombre "Emmy Noether" en su vida y publicaciones. Ella fue descrita por Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl y Norbert Wiener como la mujer más importante en la historia de las matemáticas. Como uno de los principales matemáticos de su tiempo, desarrolló las teorías de anillos, campos y álgebras. En física, el teorema de Noether explica la conexión entre la simetría y las leyes de conservación.
Noether nació en el seno de una familia judía en la ciudad francona de Erlangen; su padre era un matemático, Max Noether. Originalmente planeó enseñar francés e inglés después de pasar los exámenes requeridos, pero en cambio estudió matemáticas en la Universidad de Erlangen, donde su padre dio una conferencia. Después de completar su disertación en 1907 bajo la supervisión de Paul Gordan, trabajó en el Instituto de Matemáticas de Erlangen sin paga durante siete años. En ese momento, las mujeres fueron excluidas en gran medida de los puestos académicos. En 1915, David Hilbert y Felix Klein la invitaron a unirse al departamento de matemáticas de la Universidad de Göttingen, un centro de investigación matemática de fama mundial. La facultad filosófica se opuso, sin embargo, y pasó cuatro años dando conferencias bajo el nombre de Hilbert. Su habilitaciónfue aprobado en 1919, lo que le permitió obtener el rango de Privatdozent .
Noether siguió siendo un miembro destacado del departamento de matemáticas de Göttingen hasta 1933; a sus estudiantes a veces se los llamaba "Niños Noether". En 1924, el matemático holandés BL van der Waerden se unió a su círculo y pronto se convirtió en el principal expositor de las ideas de Noether: su trabajo fue la base para el segundo volumen de su influyente libro de texto de 1931, Moderne Algebra. En el momento de su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1932 en Zúrich, su perspicacia algebraica fue reconocida en todo el mundo. El año siguiente, el gobierno nazi de Alemania despidió a los judíos de las posiciones universitarias, y Noether se mudó a los Estados Unidos para ocupar un puesto en Bryn Mawr College en Pennsylvania. En 1935 se sometió a cirugía por un quiste ovárico y, a pesar de los signos de una recuperación, murió cuatro días después a la edad de 53 años.
Contenido
- Vida personal
- educación universitaria
- Enseñando
- Universidad de Erlangen
- Universidad de Göttingen
- Trabajar en álgebra abstracta
- Estudiantes graduados y conferencias influyentes
- Göttingen
- Moscú
- Reconocimiento
- Expulsión de Göttingen por el Tercer Reich
- Refugio en Bryn Mawr y Princeton, en América
- Muerte
- Contribuciones a las matemáticas y la física
- Contexto histórico
- Antecedentes sobre álgebra abstracta y matemática matemática (matemática conceptual)
- Ejemplo: enteros como un anillo
- Primera época (1908-1919): teoría invariante algebraica
- Primera época (1908-1919): teoría de Galois
- Primera época (1908-1919): Física
- Segunda época (1920-1926): condiciones de la cadena ascendente y descendente
- Segunda época (1920-1926): anillos conmutativos, ideales y módulos
- Segunda época (1920-1926): teoría de la eliminación
- Segunda época (1920-1926): teoría invariante de grupos finitos
- Segunda época (1920-1926): contribuciones a la topología
- Tercera época (1927-1935): números hipercomplejos y teoría de la representación
- Tercera época (1927-1935): álgebra no conmutativa
- Evaluación, reconocimiento y memoriales
- Lista de estudiantes de doctorado
- Temas matemáticos del mismo nombre
- Obras seleccionadas por Emmy Noether (en alemán)
- Fuentes adicionales
Vida personal
El padre de Emmy, Max Noether, descendía de una familia de comerciantes al por mayor en Alemania. A los 14 años, había sido paralizado por la polio. Recuperó la movilidad, pero una pierna quedó afectada. Gran autodidacta, recibió un doctorado de la Universidad de Heidelberg en 1868. Después de enseñar allí durante siete años, tomó un puesto en la ciudad bávara de Erlangen, donde conoció y se casó con Ida Amalia Kaufmann, la hija de un próspero. comerciante.
Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882, la primera de cuatro hijos. Su primer nombre era "Amalie", en honor a su madre y su abuela paterna, pero comenzó a usar su segundo nombre a una edad temprana.
Como niña, Noether era muy querido. Ella no se destacó académicamente aunque era conocida por ser inteligente y amigable. Fue miope y habló con un ceceo menor durante la infancia. Un amigo de la familia contó una historia años más tarde sobre el joven Noether resolviendo rápidamente un acertijo en una fiesta infantil, mostrando una perspicacia lógica a esa temprana edad. Le enseñaron a cocinar y limpiar, como la mayoría de las chicas de la época, y tomó clases de piano. Ella no siguió ninguna de estas actividades con pasión, aunque le encantaba bailar.
Tenía tres hermanos menores: el mayor, Alfred, nació en 1883, obtuvo un doctorado en química de Erlangen en 1909, pero murió nueve años después. Fritz Noether, nacido en 1884, es recordado por sus logros académicos; después de estudiar en Munich se hizo una reputación en matemáticas aplicadas. El más joven, Gustav Robert, nació en 1889. Se sabe muy poco sobre su vida; sufrió una enfermedad crónica y murió en 1928. No hay registros de que Noether se haya casado o tenido hijos.
educación universitaria
Noether mostró dominio temprano en francés e inglés. En la primavera de 1900, ella tomó el examen para maestros de estos idiomas y recibió un puntaje general de Sehr Gut (muy bueno). Su actuación la calificó para enseñar idiomas en escuelas reservadas para niñas, pero optó por continuar sus estudios en la Universidad de Erlangen.
Esta fue una decisión no convencional; dos años antes, el Senado Académico de la universidad había declarado que permitir la educación sexual mixta "derrocaría todo orden académico". Una de las dos únicas mujeres en una universidad de 986 estudiantes, a Noether solo se le permitió auditar las clases en lugar de participar completamente, y requirió el permiso de los profesores individuales a cuyas conferencias ella deseaba asistir. A pesar de estos obstáculos, el 14 de julio de 1903 aprobó el examen de graduación en un Realgymnasium en Nuremberg.
Durante el semestre de invierno 1903-1904, estudió en la Universidad de Göttingen, asistiendo a conferencias impartidas por el astrónomo Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein y David Hilbert. Poco después, se anularon las restricciones a la participación de las mujeres en esa universidad.
Noether regresó a Erlangen. Ella volvió a ingresar oficialmente a la universidad en octubre de 1904, y declaró su intención de enfocarse únicamente en las matemáticas. Bajo la supervisión de Paul Gordan, escribió su disertación, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( Sobre sistemas completos de invariantes para formas ternarias biquadráticas , 1907). Gordan era un miembro de la escuela "computacional" de investigadores invariantes, y la tesis de Noether finalizó con una lista de más de 300 invariantes explícitamente resueltos. Este acercamiento a invariantes fue reemplazado más tarde por el enfoque más abstracto y general iniciado por Hilbert. A pesar de haber sido bien recibido, Noether describió más tarde su tesis y una serie de artículos similares posteriores que ella produjo como "basura".
Enseñando
Universidad de Erlangen
Durante los siguientes siete años (1908-1915) enseñó en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Erlangen sin pagar, sustituyendo ocasionalmente a su padre cuando estaba demasiado enfermo para dar una conferencia. En 1910 y 1911 publicó una extensión de su trabajo de tesis de tres variables a n variables.
Gordan se retiró en la primavera de 1910, pero continuó enseñando de vez en cuando con su sucesor, Erhard Schmidt, quien se fue poco después para un puesto en Breslau. Gordan se retiró de la enseñanza por completo en 1911 cuando llegó el sucesor de Schmidt, Ernst Fischer; Gordan murió un año después en diciembre de 1912.
Según Hermann Weyl, Fischer fue una influencia importante en Noether, en particular al presentarla a la obra de David Hilbert. Desde 1913-1916, Noether publicó varios artículos que extendían y aplicaban los métodos de Hilbert a objetos matemáticos, como los campos de funciones racionales y las invariantes de grupos finitos. Esta fase marca el comienzo de su compromiso con el álgebra abstracta, el campo de las matemáticas al que haría contribuciones innovadoras.
Noether y Fischer compartían un alegre disfrute de las matemáticas y a menudo discutían las conferencias mucho después de que terminaran; Se sabe que Noether le envió postales a Fischer, continuando con su tren de pensamientos matemáticos.
Universidad de Göttingen
En la primavera de 1915, David Hilbert y Felix Klein invitaron a Noether a regresar a la Universidad de Göttingen. Sin embargo, su esfuerzo por reclutarla fue bloqueado por los filólogos e historiadores de la facultad filosófica: las mujeres, insistían, no debían convertirse en privatdozent . Un miembro de la facultad protestó: " ¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y descubran que deben aprender a los pies de una mujer? " Hilbert respondió con indignación y dijo: " No veo que el sexo del candidato es un argumento en contra de su admisión como privatdozent . Después de todo, somos una universidad, no una casa de baños " .
Noether se fue a Göttingen a fines de abril; dos semanas después, su madre murió repentinamente en Erlangen. Anteriormente había recibido atención médica por una afección ocular, pero se desconoce su naturaleza e impacto en su muerte. Casi al mismo tiempo, el padre de Noether se retiró y su hermano se unió al ejército alemán para servir en la Primera Guerra Mundial. Regresó a Erlangen durante varias semanas, principalmente para cuidar a su anciano padre.
Durante sus primeros años enseñando en Göttingen, ella no tenía un puesto oficial y no recibía sueldo; su familia pagó su alojamiento y comida y apoyó su trabajo académico. Sus conferencias a menudo se anunciaban bajo el nombre de Hilbert, y Noether brindaba "asistencia".
Poco después de llegar a Göttingen, sin embargo, demostró sus capacidades demostrando el teorema ahora conocido como el teorema de Noether, que muestra que una ley de conservación está asociada con cualquier simetría diferenciable de un sistema físico. Los físicos estadounidenses Leon M. Lederman y Christopher T. Hill sostienen en su libro Symmetry and the Beautiful Universe que el teorema de Noether es "sin duda uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás probado para guiar el desarrollo de la física moderna, posiblemente a la par del pitagórico teorema".
Cuando terminó la Primera Guerra Mundial, la Revolución Alemana de 1918-1919 trajo un cambio significativo en las actitudes sociales, incluyendo más derechos para las mujeres. En 1919, la Universidad de Göttingen permitió a Noether continuar con su habilitación(elegibilidad para la tenencia). Su examen oral se realizó a fines de mayo, y ella pronunció con éxito su clase de habilitación en junio de 1919.
Tres años más tarde recibió una carta de Otto Boelitz, el ministro prusiano de Ciencia, Arte y Educación Pública, en la que le confirió el título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor (un profesor no titulado con derechos administrativos y funciones limitadas). Esta era una cátedra "extraordinaria" no remunerada, no la cátedra "ordinaria" superior, que era una posición de servicio civil. Aunque reconoció la importancia de su trabajo, el puesto aún no proporcionaba ningún salario. A Noether no le pagaron por sus conferencias hasta que fue nombrada para el puesto especial de Lehrbeauftragte für Algebra un año después.
Trabajar en álgebra abstracta
Aunque el teorema de Noether tuvo un efecto significativo sobre la mecánica clásica y cuántica, entre los matemáticos es mejor recordado por sus contribuciones al álgebra abstracta. En su introducción a los Papeles Recogidos de Noether , Nathan Jacobson escribió que
A veces permitía que sus colegas y estudiantes recibieran crédito por sus ideas, ayudándolas a desarrollar sus carreras a expensas de las suyas propias.
El trabajo de Noether en álgebra comenzó en 1920. En colaboración con W. Schmeidler, ella publicó un artículo sobre la teoría de los ideales en el que definían los ideales izquierdos y derechos en un círculo.
En 1924, un joven matemático holandés, BL van der Waerden, llegó a la Universidad de Göttingen. Inmediatamente comenzó a trabajar con Noether, quien proporcionó métodos invaluables de conceptualización abstracta. Van der Waerden luego dijo que su originalidad era "absolutamente incomparable". En 1931 publicó Moderne Algebra , un texto central en el campo; su segundo volumen tomó prestado en gran medida del trabajo de Noether. Aunque Noether no buscó el reconocimiento, lo incluyó como una nota en la séptima edición "basada en parte en las conferencias de E. Artin y E. Noether".
La visita de Van der Waerden fue parte de una convergencia de matemáticos de todo el mundo a Göttingen, que se convirtió en un importante centro de investigación matemática y física. Desde 1926 hasta 1930, el topólogo ruso Pavel Alexandrov dio una conferencia en la universidad, y él y Noether se hicieron buenos amigos rápidamente. Él comenzó a referirse a ella como der Noether , utilizando el artículo masculino alemán como un término cariñoso para mostrar su respeto. Intentó que él consiguiera un puesto en Göttingen como profesor regular, pero solo pudo ayudarlo a obtener una beca de la Fundación Rockefeller. Se reunieron regularmente y disfrutaron las discusiones sobre las intersecciones del álgebra y la topología. En su discurso conmemorativo de 1935, Alexandrov nombró a Emmy Noether "la mejor mujer matemática de todos los tiempos".
Estudiantes graduados y conferencias influyentes
Además de su visión matemática, Noether fue respetada por su consideración de los demás. Aunque a veces actuó con rudeza hacia aquellos que no estaban de acuerdo con ella, sin embargo se ganó una reputación de constante ayuda y orientación paciente de nuevos estudiantes. Su lealtad a la precisión matemática hizo que un colega la llamara "una crítica severa", pero combinó esta exigencia de precisión con una actitud afectuosa. Un colega luego la describió de esta manera:
Göttingen
En Göttingen, Noether supervisó a más de una docena de estudiantes de doctorado; la primera fue Grete Hermann, que defendió su disertación en febrero de 1925. Más tarde habló reverentemente de su "madre tesista". Noether también supervisó a Max Deuring, quien se distinguió como estudiante universitario y contribuyó significativamente al campo de la geometría aritmética; Hans Fitting, recordado por el teorema de Fitting y el lema de Fitting; y Zeng Jiongzhi (también traducido como "Chiungtze C. Tsen" en inglés), quien demostró el teorema de Tsen. También trabajó estrechamente con Wolfgang Krull, quien avanzó mucho en álgebra conmutativa con su Hauptidealsatz y su teoría de dimensión para anillos conmutativos.
Su estilo de vida frugal al principio se debía a que le negaban el pago por su trabajo; Sin embargo, incluso después de que la universidad comenzó a pagarle un pequeño salario en 1923, ella continuó viviendo una vida simple y modesta. Le pagaron más generosamente más adelante en su vida, pero le ahorraron la mitad de su salario para legar a su sobrino, Gottfried E. Noether.
Mayormente sin preocuparse por la apariencia y los modales, los biógrafos sugieren que se centró en sus estudios. Una distinguida algebraica Olga Taussky-Todd describió un almuerzo, durante el cual Noether, totalmente absorta en una discusión sobre las matemáticas, "gesticulaba violentamente" mientras comía y "derramaba constantemente su comida y se la quitaba del vestido, completamente imperturbable". Los estudiantes conscientes de la apariencia se encogieron al retirar el pañuelo de su blusa e ignoraron el creciente desorden de su cabello durante una conferencia. Una vez, dos alumnas se acercaron a ella durante un descanso en una clase de dos horas para expresar su preocupación, pero no pudieron superar la enérgica discusión de matemáticas que estaba teniendo con otros estudiantes.
Según el obituario de van der Waerden de Emmy Noether, ella no siguió un plan de lección para sus conferencias, lo que frustró a algunos estudiantes. En cambio, usó sus conferencias como un tiempo de discusión espontáneo con sus alumnos, para reflexionar y aclarar problemas importantes en matemáticas. Algunos de sus resultados más importantes se desarrollaron en estas conferencias, y las notas de sus alumnos formaron la base de varios libros de texto importantes, como los de Van der Waerden y Deuring.
Varios de sus colegas asistieron a sus conferencias y permitió que algunas de sus ideas, como el producto cruzado ( verschränktes Produkt en alemán) de álgebras asociativas, fueran publicadas por otros. Se registró que Noether había impartido al menos cinco cursos semestrales en Göttingen:
- Invierno 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [ Teoría de grupos y números hipercomplejos ]
- Invierno 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [ Hipercomplejo cantidades y teoría de la representación ]
- Verano de 1928: álgebra no conmutativa [ álgebra no conmutativa ]
- Verano de 1929: Nichtkommutative Arithmetik [ Aritmética no conmutativa ]
- Invierno de 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen [ Algebra of Hypercomplex Quantities ]
Estos cursos a menudo precedieron a publicaciones importantes sobre los mismos temas.
Noether habló rápidamente, reflejando la velocidad de sus pensamientos, muchos dijeron, y exigió gran concentración de sus estudiantes. Los estudiantes a los que no les gustaba su estilo a menudo se sentían alienados. Algunos alumnos sintieron que ella confiaba demasiado en discusiones espontáneas. Sin embargo, sus estudiantes más dedicados disfrutaron del entusiasmo con el que se acercó a las matemáticas, especialmente porque sus conferencias a menudo se basaban en trabajos anteriores que habían realizado juntos.
Desarrolló un círculo cercano de colegas y estudiantes que pensaban de manera similar y tendían a excluir a quienes no lo hacían. Los "outsiders" que de vez en cuando visitaban las conferencias de Noether solían pasar solo 30 minutos en la sala antes de irse frustrados o confundidos. Un estudiante común dijo de una de esas instancias: "El enemigo ha sido derrotado, se ha despejado".
Noether mostró una devoción por su tema y por sus alumnos que se extendió más allá del día académico. Una vez, cuando el edificio estaba cerrado por un feriado estatal, reunió a la clase en los escalones de afuera, los guió a través del bosque y dio una conferencia en una cafetería local. Más tarde, después de que el Tercer Reich la había despedido, invitó a los estudiantes a su casa a hablar sobre sus planes para el futuro y los conceptos matemáticos.
Moscú
En el invierno de 1928-1929, Noether aceptó una invitación a la Universidad Estatal de Moscú, donde continuó trabajando con el PS Alexandrov. Además de continuar con su investigación, impartió clases de álgebra abstracta y geometría algebraica. Trabajó con los topólogos, Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov, que más tarde elogiaron sus contribuciones al desarrollo de la teoría de Galois.
Aunque la política no era central en su vida, Noether mostró un gran interés en asuntos políticos y, según Alexandrov, mostró un apoyo considerable para la Revolución Rusa. Estaba especialmente feliz de ver los avances soviéticos en los campos de la ciencia y las matemáticas, que consideraba indicativos de nuevas oportunidades posibles gracias al proyecto bolchevique. Esta actitud le causó problemas en Alemania, que culminaron con su expulsión de un edificio de alojamiento para pensiones, después de que los líderes estudiantiles se quejaron de vivir con "una judía de tendencia marxista".
Noether planeaba regresar a Moscú, un esfuerzo por el que recibió el apoyo de Alexandrov. Después de abandonar Alemania en 1933, intentó ayudarla a obtener una cátedra en la Universidad Estatal de Moscú a través del Ministerio de Educación soviético. Aunque este esfuerzo no tuvo éxito, coincidieron con frecuencia durante la década de 1930, y en 1935 hizo planes para regresar a la Unión Soviética. Mientras tanto, su hermano Fritz aceptó un puesto en el Instituto de Investigación para Matemáticas y Mecánica en Tomsk, en el Distrito Federal de Siberia de Rusia, después de perder su trabajo en Alemania, y posteriormente fue ejecutado durante la Gran Purga.
Reconocimiento
En 1932, Emmy Noether y Emil Artin recibieron el Premio Memorial Ackermann-Teubner por sus contribuciones a las matemáticas. El premio tenía una recompensa monetaria de 500 Reichsmarks y fue visto como un reconocimiento oficial largamente esperado de su considerable trabajo en el campo. Sin embargo, sus colegas expresaron su frustración por el hecho de que no fue elegida para la Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (academia de ciencias) y nunca fue promovida al puesto de Profesor Ordentlicher (profesor titular).
Los colegas de Noether celebraron su quincuagésimo cumpleaños en 1932, al estilo típico de los matemáticos. Helmut Hasse le dedicó un artículo en el Mathematische Annalen , en el que confirmó su sospecha de que algunos aspectos del álgebra no conmutativa son más simples que los del álgebra conmutativa al probar una ley de reciprocidad no conmutativa. Esto la complació inmensamente. También le envió un acertijo matemático, al que llamó el "m μν -ruta de sílabas". Ella resolvió de inmediato, pero el enigma se perdió.
En noviembre del mismo año, Noether pronunció un discurso plenario ( Großer Vortrag ) sobre "Sistemas hipercomplejos en sus relaciones con el álgebra conmutativa y la teoría de números" en el Congreso Internacional de Matemáticos en Zürich. El congreso contó con la asistencia de 800 personas, incluidos los colegas Hermann Weyl, Edmund Landau y Wolfgang Krull de Noether. Hubo 420 participantes oficiales y se presentaron veintiuna direcciones plenarias. Aparentemente, la posición prominente de hablar de Noether fue un reconocimiento de la importancia de sus contribuciones a las matemáticas. El congreso de 1932 a veces se describe como el punto más alto de su carrera.
Expulsión de Göttingen por el Tercer Reich
Cuando Adolf Hitler se convirtió en el Reichskanzler alemán en enero de 1933, la actividad nazi en todo el país aumentó drásticamente. En la Universidad de Göttingen, la Asociación de Estudiantes Alemanes encabezó el ataque al "espíritu no alemán" atribuido a los judíos y fue asistido por un privatdozent llamado Werner Weber, un antiguo alumno de Noether. Las actitudes antisemitas crearon un clima hostil para los profesores judíos. Según los informes, un joven manifestante exigió: "Los estudiantes arios quieren matemáticas arias y no matemáticas judías ".
Una de las primeras acciones de la administración de Hitler fue la Ley para la Restauración del Servicio Civil Profesional que eliminó de sus trabajos a judíos y empleados gubernamentales políticamente sospechosos (incluidos los profesores universitarios) a menos que hubiesen "demostrado su lealtad a Alemania" sirviendo en la Guerra Mundial. I. En abril de 1933, Noether recibió un aviso del Ministerio de Ciencias, Arte y Educación Pública de Prusia que decía: " Sobre la base del párrafo 3 del Código de Servicio Civil de 7 de abril de 1933, por la presente le retiro el derecho a enseñar en la Universidad de Göttingen ". Varios de los colegas de Noether, entre ellos Max Born y Richard Courant, también tuvieron sus puestos revocados.
Noether aceptó la decisión con calma, brindando apoyo a otros durante este momento difícil. Hermann Weyl luego escribió que "Emmy Noether -su valentía, su franqueza, su despreocupación por su propio destino, su espíritu conciliatorio- estaba en medio de todo el odio y la maldad, la desesperación y la tristeza que nos rodea, un consuelo moral". Por lo general, Noether se mantuvo enfocada en las matemáticas, reuniendo a los estudiantes en su departamento para analizar la teoría del campo de clase. Cuando uno de sus alumnos apareció con el uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), no mostró signos de agitación y, según los informes, incluso se rió de ello más tarde. Esto, sin embargo, fue antes de los eventos sangrientos de Kristallnacht en 1938, y sus elogios del Ministro de Propaganda, Joseph Goebbels.
Refugio en Bryn Mawr y Princeton, en América
Cuando docenas de profesores recientemente desempleados comenzaron a buscar puestos fuera de Alemania, sus colegas en los Estados Unidos buscaron brindarles asistencia y oportunidades de trabajo. Albert Einstein y Hermann Weyl fueron nombrados por el Institute for Advanced Study en Princeton, mientras que otros trabajaron para encontrar un patrocinador requerido para la inmigración legal. Noether fue contactado por representantes de dos instituciones educativas: Bryn Mawr College, en los Estados Unidos, y Somerville College en la Universidad de Oxford, en Inglaterra. Después de una serie de negociaciones con la Fundación Rockefeller, se aprobó una beca para Bryn Mawr para Noether y ella tomó una posición allí, a partir de finales de 1933.
En Bryn Mawr, Noether conoció y se hizo amiga de Anna Wheeler, que había estudiado en Göttingen justo antes de que Noether llegara allí. Otra fuente de apoyo en la universidad fue la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park, quien invitó con entusiasmo a los matemáticos de la zona a "ver al Dr. Noether en acción". Noether y un pequeño equipo de estudiantes trabajaron rápidamente a través del libro de van der Waerden, 1930, Moderne Algebra I y partes de Erich Hecke, Theorie der algebraischen Zahlen ( Teoría de los números algebraicos ).
En 1934, Noether comenzó a dar conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton por invitación de Abraham Flexner y Oswald Veblen. Ella también trabajó y supervisó a Abraham Albert y Harry Vandiver. Sin embargo, comentó sobre la Universidad de Princeton que no fue bienvenida en "la universidad de hombres, donde no se admite a ninguna mujer".
Su tiempo en los Estados Unidos fue agradable, rodeado de colegas de apoyo y absorto en sus temas favoritos. En el verano de 1934 regresó brevemente a Alemania para ver a Emil Artin y su hermano Fritz antes de partir hacia Tomsk. Aunque muchos de sus antiguos colegas se vieron obligados a abandonar las universidades, ella pudo usar la biblioteca como un "erudito extranjero".
Muerte
En abril de 1935, los médicos descubrieron un tumor en la pelvis de Noether. Preocupados por las complicaciones de la cirugía, primero ordenaron dos días de reposo en cama. Durante la operación descubrieron un quiste ovárico "del tamaño de un gran melón". Dos tumores más pequeños en el útero parecían benignos y no se extirparon para evitar la prolongación de la cirugía. Durante tres días, ella pareció convalecer normalmente, y se recuperó rápidamente de un colapso circulatorio en el cuarto. El 14 de abril cayó inconsciente, su temperatura se elevó a 109 ° F (42.8 ° C) y murió. "[No] es fácil decir lo que ocurrió en el Dr. Noether", escribió uno de los médicos. "Es posible que haya alguna forma de infección inusual y virulenta, que golpeó la base del cerebro donde se supone que se ubican los centros de calor".
Unos días después de la muerte de Noether, sus amigos y asociados en Bryn Mawr ofrecieron un pequeño servicio conmemorativo en la casa de College President Park. Hermann Weyl y Richard Brauer viajaron desde Princeton y hablaron con Wheeler y Taussky sobre su colega fallecido. En los meses siguientes, comenzaron a aparecer tributos por escrito en todo el mundo: Albert Einstein se unió a Van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov para presentar sus respetos. Su cuerpo fue cremado y las cenizas se enterraron debajo de la pasarela alrededor de los claustros de la Biblioteca M. Carey Thomas en Bryn Mawr.
Contribuciones a las matemáticas y la física
El trabajo de Noether en álgebra abstracta y topología influyó en las matemáticas, mientras que en física, el teorema de Noether tiene consecuencias para la física teórica y los sistemas dinámicos. Mostró una propensión aguda al pensamiento abstracto, lo que le permitió abordar los problemas matemáticos de maneras frescas y originales. Su amigo y colega Hermann Weyl describió su producción académica en tres épocas:
En la primera época (1907-1919), Noether trató principalmente con invariantes diferenciales y algebraicas, comenzando con su disertación bajo Paul Gordan. Sus horizontes matemáticos se ampliaron, y su trabajo se hizo más general y abstracto, cuando conoció el trabajo de David Hilbert, a través de interacciones cercanas con un sucesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Después de mudarse a Göttingen en 1915, produjo su trabajo para física, los dos teoremas de Noether.
En la segunda época (1920-1926), Noether se dedicó a desarrollar la teoría de los anillos matemáticos.
En la tercera época (1927-1935), Noether se centró en álgebra no conmutativa, transformaciones lineales y campos de números conmutativos.
Aunque los resultados de la primera época de Noether fueron impresionantes y útiles, su fama entre los matemáticos se basa más en el trabajo innovador que realizó en su segunda y tercera época, como notaron Hermann Weyl y BL van der Waerden en sus obituarios.
En estas épocas, ella no estaba simplemente aplicando ideas y métodos de matemáticos anteriores; más bien, estaba elaborando nuevos sistemas de definiciones matemáticas que serían utilizados por futuros matemáticos. En particular, desarrolló una teoría completamente nueva de ideales en anillos, generalizando el trabajo anterior de Richard Dedekind. También es reconocida por desarrollar condiciones de cadena ascendente, una condición de finitud simple que produjo poderosos resultados en sus manos. Tales condiciones y la teoría de los ideales le permitieron a Noether generalizar muchos resultados más antiguos y tratar los viejos problemas desde una nueva perspectiva, como la teoría de la eliminación y las variedades algebraicas que había estudiado su padre.
Contexto histórico
En el siglo desde 1832 hasta la muerte de Noether en 1935, el campo de las matemáticas, específicamente el álgebra, experimentó una revolución profunda, cuyas repercusiones aún se sienten. Los matemáticos de siglos anteriores habían trabajado en métodos prácticos para resolver tipos específicos de ecuaciones, por ejemplo, ecuaciones cúbicas, cuárticas y quínticas, así como en el problema relacionado de construir polígonos regulares usando compás y regla. Comenzando con la prueba de Carl Friedrich Gauss de 1832 que los números primos como cinco pueden ser factorizados en números enteros gaussianos, la introducción de grupos de permutación por Évariste Galois en 1832 (aunque, debido a su muerte, sus trabajos fueron publicados solamente en 1846, por Liouville), William Rowan El descubrimiento de Hamilton de los cuaterniones en 1843, y la definición más moderna de grupos de Arthur Cayley en 1854, la investigación se dirigió a determinar las propiedades de sistemas cada vez más abstractos definidos por reglas cada vez más universales. Las contribuciones más importantes de Noether a las matemáticas fueron para el desarrollo de este nuevo campo, el álgebra abstracta.
Antecedentes sobre álgebra abstracta y matemática matemática (matemática conceptual)
Dos de los objetos más básicos en álgebra abstracta son grupos y anillos.
Un grupo consiste en un conjunto de elementos y una operación única que combina un primer y un segundo elemento y devuelve un tercero. La operación debe cumplir ciertas restricciones para que pueda determinar un grupo: debe estar cerrada (cuando se aplica a cualquier par de elementos del conjunto asociado, el elemento generado también debe ser miembro de ese conjunto), debe ser asociativo, debe existir ser un elemento de identidad (un elemento que, cuando se combina con otro elemento usando la operación, da como resultado el elemento original, como agregar cero a un número o multiplicarlo por uno) y para cada elemento debe haber un elemento inverso.
Un anillo igualmente, tiene un conjunto de elementos, pero ahora tiene dos operaciones. La primera operación debe hacer que el conjunto sea un grupo, y la segunda operación es asociativa y distributiva con respecto a la primera operación. Puede o no ser conmutativo; esto significa que el resultado de aplicar la operación a un primer y un segundo elemento es el mismo que al segundo y al primero; el orden de los elementos no importa. Si cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (un elemento x tal que a x = x a = 1), el anillo se llama anillo de división . Un campo se define como un anillo de división conmutativa.
Los grupos se estudian frecuentemente a través de representaciones grupales . En su forma más general, estos consisten en una elección de grupo, un conjunto y una acción del grupo en el conjunto, es decir, una operación que toma un elemento del grupo y un elemento del conjunto y devuelve un elemento de el conjunto. Muy a menudo, el conjunto es un espacio vectorial, y el grupo representa simetrías del espacio vectorial. Por ejemplo, hay un grupo que representa las rotaciones rígidas del espacio. Este es un tipo de simetría del espacio, porque el espacio en sí no cambia cuando se gira aunque las posiciones de los objetos en él sí lo hagan. Noether usó este tipo de simetrías en su trabajo sobre invariantes en física.
Una forma poderosa de estudiar anillos es a través de sus módulos . Un módulo consiste en una opción de anillo, otro conjunto, generalmente distinto del conjunto subyacente del anillo y llamado conjunto subyacente del módulo, una operación en pares de elementos del conjunto subyacente del módulo, y una operación que toma una elemento del anillo y un elemento del módulo y devuelve un elemento del módulo.
El conjunto subyacente del módulo y su operación debe formar un grupo. Un módulo es una versión teórica de anillo de una representación de grupo: Ignorar la segunda operación de anillo y la operación en pares de elementos de módulo determina una representación de grupo. La utilidad real de los módulos es que los tipos de módulos que existen y sus interacciones revelan la estructura del anillo de formas que no son evidentes desde el anillo mismo. Un caso especial importante de esto es un álgebra. (La palabra álgebra significa tanto un tema dentro de las matemáticas como un objeto estudiado en el tema de álgebra). Un álgebra consiste en una elección de dos anillos y una operación que toma un elemento de cada anillo y devuelve un elemento del segundo anillo . Esta operación hace que el segundo anillo sea un módulo más que el primero. A menudo, el primer anillo es un campo.
Palabras como "elemento" y "operación de combinación" son muy generales y pueden aplicarse a muchas situaciones reales y abstractas. Cualquier conjunto de cosas que obedece a todas las reglas para una (o dos) operación (es) es, por definición, un grupo (o anillo) y obedece a todos los teoremas sobre grupos (o anillos). Los números enteros y las operaciones de suma y multiplicación son solo un ejemplo. Por ejemplo, los elementos pueden ser palabras de datos de la computadora, donde la primera operación de combinación es exclusiva o y la segunda es la conjunción lógica. Los teoremas del álgebra abstracta son poderosos porque son generales; ellos gobiernan muchos sistemas. Se podría imaginar que poco se podía concluir sobre objetos definidos con tan pocas propiedades, pero precisamente allí estaba Noether ' s obsequio para descubrir el máximo que podría concluirse a partir de un conjunto dado de propiedades, o por el contrario, para identificar el conjunto mínimo, las propiedades esenciales responsables de una observación particular. A diferencia de la mayoría de los matemáticos, ella no hizo abstracciones al generalizar a partir de ejemplos conocidos; más bien, ella trabajó directamente con las abstracciones. En su obituario de Noether, su estudiante van der Waerden recordó que
Este es el Mathematik begriffliche ( matemática puramente conceptual) que fue característico de Noether. Este estilo de matemática fue adoptado por otros matemáticos, especialmente en el (entonces nuevo) campo del álgebra abstracta.
Ejemplo: enteros como un anillo
Los enteros forman un anillo conmutativo cuyos elementos son los enteros, y las operaciones de combinación son suma y multiplicación. Cualquier par de números enteros se puede añadir o multiplica, siempre que resulta en otro número entero, y la primera operación, además, es conmutativa, es decir, para cualquier elementos un y b en el anillo, un + b = b + a . La segunda operación, la multiplicación, también es conmutativa, pero eso no tiene que ser cierto para otros anillos, lo que significa que un combinado con b podría ser diferente de b combinado con un. Los ejemplos de anillos no conmutativos incluyen matrices y cuaterniones. Los enteros no forman un anillo de división, porque la segunda operación no siempre se puede invertir; no hay número entero un tal que 3 × un = 1.
Los enteros tienen propiedades adicionales que no se generalizan a todos los anillos conmutativos. Un ejemplo importante es el teorema fundamental de la aritmética, que dice que cada entero positivo se puede factorizar de manera única en los números primos. Las factorizaciones únicas no siempre existen en otros anillos, pero Noether encontró un teorema de factorización único, ahora llamado el teorema de Lasker-Noether , para los ideales de muchos anillos. Mucho del trabajo de Noether yacía en la determinación de qué propiedades no son válidas para todos los anillos, en la elaboración de nuevos análogos de los viejos teoremas enteros, y en la determinación del conjunto mínimo de suposiciones necesarias para obtener ciertas propiedades de anillos.
Primera época (1908-1919): teoría invariante algebraica
Gran parte del trabajo de Noether en la primera época de su carrera se asoció con la teoría invariante, principalmente la teoría invariante algebraica. La teoría invariante se refiere a las expresiones que permanecen constantes (invariantes) bajo un grupo de transformaciones. A modo de ejemplo todos los días, si un criterio rígido se gira, las coordenadas ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , Y 2 , z 2 ) de sus puntos finales cambian, pero su longitud L dada por la fórmula L = Δ x + Δ y + Δ zsigue siendo el mismo. La teoría invariante fue un área activa de investigación a fines del siglo XIX, impulsada en parte por el programa Erlangen de Felix Klein, según el cual los diferentes tipos de geometría deberían caracterizarse por sus invariantes bajo transformaciones, por ejemplo, la relación cruzada de la geometría proyectiva.
Un ejemplo de una invariante es el discriminante B - 4 A C de un binario forma cuadrática x • A x + y • B x + y • C y , donde x y y son vectores y " • " es el punto-producto o "interior producto "para los vectores. A, B y C son operadores lineales en los vectores, típicamente matrices.
El discriminante se denomina "invariante" porque no cambia por sustituciones lineales x → a x + b y , y → c x + d y con determinante a d - b c = 1. Estas sustituciones forman el grupo lineal especial SL 2 .
Uno puede solicitar todos los polinomios en A, B y C que no se modifican por la acción de SL 2 ; estos se llaman invariantes de formas cuadráticas binarias y resultan ser los polinomios en el discriminante.
De forma más general, se pueden solicitar las invariantes de polinomios homogéneos A 0 x y + ... + A r x y de mayor grado, que serán ciertos polinomios en los coeficientes A 0 , ..., A r , y más generalmente aún así, uno puede hacer la pregunta similar para polinomios homogéneos en más de dos variables.
Uno de los principales objetivos de la teoría invariante era resolver el " problema de la base finita ". La suma o el producto de cualquiera de dos invariantes es invariable, y el problema de la base finita pregunta si es posible obtener todas las invariantes comenzando con una lista finita de invariantes, llamados generadores , y luego, sumando o multiplicando los generadores. Por ejemplo, el discriminante da una base finita (con un elemento) para las invariantes de formas cuadráticas binarias.
El asesor de Noether, Paul Gordan, era conocido como el "rey de la teoría invariante", y su contribución principal a las matemáticas fue su solución de 1870 del problema de la base finita para invariantes de polinomios homogéneos en dos variables. Lo demostró dando un método constructivo para encontrar todos los invariantes y sus generadores, pero no fue capaz de llevar a cabo este enfoque constructivo para los invariantes en tres o más variables. En 1890, David Hilbert demostró una declaración similar para las invariantes de polinomios homogéneos en cualquier número de variables. Además, su método funcionó, no solo para el grupo lineal especial, sino también para algunos de sus subgrupos, como el grupo especial ortogonal.
Primera época (1908-1919): teoría de Galois
La teoría de Galois se refiere a las transformaciones de los campos numéricos que permutan las raíces de una ecuación. Considere una ecuación polinomial de una variable x de grado n , en la que los coeficientes se extraen de algún campo de tierra, que podría ser, por ejemplo, el campo de números reales, números racionales o enteros módulo 7. Puede o no puede ser elecciones de x , que hacen que este polinomio se evalúe a cero. Tales elecciones, si existen, se llaman raíces. Si el polinomio es x + 1 y el campo son los números reales, entonces el polinomio no tiene raíces, porque cualquier opción de xhace que el polinomio sea mayor o igual que uno. Sin embargo, si el campo se extiende, entonces el polinomio puede obtener raíces, y si se extiende lo suficiente, entonces siempre tiene un número de raíces igual a su grado.
Continuando con el ejemplo anterior, si el campo se agranda a los números complejos, entonces el polinomio gana dos raíces, + i y - i , donde i es la unidad imaginaria, es decir, i = -1. De manera más general, el campo de extensión en el que se puede factorizar un polinomio en sus raíces se conoce como el campo de división del polinomio.
El grupo de Galois de un polinomio es el conjunto de todas las transformaciones del campo de división que preservan el campo de tierra y las raíces del polinomio. (En la jerga matemática, estas transformaciones se llaman automorfismos.) El grupo de Galois de x + 1 consta de dos elementos: la transformación de identidad, que envía cada número complejo a sí mismo, y la conjugación compleja, que envía + i a - i . Como el grupo Galois no cambia el campo de fondo, no modifica los coeficientes del polinomio, por lo que debe dejar sin modificar el conjunto de todas las raíces. Sin embargo, cada raíz puede moverse a otra raíz, por lo que la transformación determina una permutación de la nraíces entre ellos. La importancia del grupo Galois se deriva del teorema fundamental de la teoría de Galois, que demuestra que los campos que se encuentran entre el campo de tierra y el campo de división están en correspondencia uno a uno con los subgrupos del grupo de Galois.
En 1918, Noether publicó un artículo sobre el problema inverso de Galois. En lugar de determinar el grupo de transformaciones de Galois de un campo dado y su extensión, Noether preguntó si, dado un campo y un grupo, siempre es posible encontrar una extensión del campo que tiene el grupo dado como su grupo Galois. Ella redujo esto al "problema de Noether", que pregunta si el campo fijo de un subgrupo G del grupo de permutación S n que actúa en el campo k ( x 1 , ..., x n ) siempre es una extensión trascendental pura del campo k. (Ella mencionó por primera vez este problema en un documento de 1913, donde atribuyó el problema a su colega Fischer.) Mostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. En 1969, RG Swan encontró un contraejemplo al problema de Noether , con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47 (aunque este grupo se puede realizar como un grupo de Galois sobre los racionales de otras maneras). El problema inverso de Galois permanece sin resolver.
Primera época (1908-1919): Física
Noether fue llevado a Göttingen en 1915 por David Hilbert y Felix Klein, que deseaban su experiencia en teoría invariante para ayudarlos a comprender la relatividad general, una teoría geométrica de la gravedad desarrollada principalmente por Albert Einstein. Hilbert había observado que la conservación de la energía parecía violarse en la relatividad general, porque la misma energía gravitatoria podía gravitar. Noether proporcionó la resolución de esta paradoja, y una herramienta fundamental de la física teórica moderna, con el primer teorema de Noether, que probó en 1915, pero no publicó hasta 1918. No solo resolvió el problema de la relatividad general, sino que también determinó el cantidades para cada sistema de leyes físicas que posee cierta simetría continua. Al recibir su trabajo, Einstein le escribió a Hilbert:
Por ejemplo, si un sistema físico se comporta de la misma manera, independientemente de cómo esté orientado en el espacio, las leyes físicas que lo rigen son rotacionalmente simétricas; a partir de esta simetría, el teorema de Noether muestra que el momento angular del sistema debe conservarse. El sistema físico en sí no necesita ser simétrico; un asteroide irregular que cae en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Por el contrario, la simetría de las leyes físicas que rigen el sistema es responsable de la ley de conservación. Como otro ejemplo, si un experimento físico tiene el mismo resultado en cualquier lugar y en cualquier momento, entonces sus leyes son simétricas bajo traducciones continuas en espacio y tiempo; según el teorema de Noether, estas simetrías representan las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente.
El teorema de Noether se ha convertido en una herramienta fundamental de la física teórica moderna, tanto por la visión que da a las leyes de conservación como, también, como una herramienta de cálculo práctica. Su teorema permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. Por el contrario, facilita la descripción de un sistema físico basado en clases de leyes físicas hipotéticas. Por ejemplo, supongamos que se descubre un nuevo fenómeno físico. El teorema de Noether proporciona una prueba para los modelos teóricos del fenómeno:
Segunda época (1920-1926): condiciones de la cadena ascendente y descendente
En esta época, Noether se hizo famosa por su hábil uso de las condiciones de la cadena ascendente ( Teilerkettensatz ) o descendente ( Vielfachenkettensatz ). Una secuencia de subconjuntos no vacíos A 1 , A 2 , A 3 , etc. de un conjunto S suele decirse que es ascendente , si cada uno es un subconjunto del siguiente
Por el contrario, una secuencia de subconjuntos de S se llama descendente si cada uno contiene el siguiente subconjunto:
Una cadena se vuelve constante después de un número finito de pasos si hay una n tal que para todo m ≥ n . Una colección de subconjuntos de un conjunto dado satisface la condición de cadena ascendente si cualquier secuencia ascendente se vuelve constante después de un número finito de pasos. Satisface la condición de cadena descendente si cualquier secuencia descendente se vuelve constante después de un número finito de pasos.
Las condiciones de la cadena ascendente y descendente son generales, lo que significa que pueden aplicarse a muchos tipos de objetos matemáticos y, en la superficie, pueden no parecer muy poderosos. Noether mostró cómo explotar tales condiciones, sin embargo, para obtener la máxima ventaja.
Por ejemplo: cómo usar las condiciones de cadena para mostrar que cada conjunto de subobjetos tiene un elemento máximo / mínimo o que un objeto complejo puede ser generado por un número menor de elementos. Estas conclusiones a menudo son pasos cruciales en una prueba.
La condición de cadena a menudo es "heredada" por subobjetos. Por ejemplo, todos los subespacios de un espacio noetheriano son ellos mismos noetherianos; todos los subgrupos y grupos de cociente de un grupo noetheriano son, asimismo, noetherianos; y, mutatis mutandis , lo mismo vale para los módulos de submódulos y cocientes de un módulo noetheriano. Todos los anillos de cociente de un anillo de Noetherian son Noetherian, pero eso no se sostiene necesariamente para sus subrings. La condición de la cadena también puede heredarse mediante combinaciones o extensiones de un objeto noetheriano. Por ejemplo, las sumas directas finitas de anillos noetherianos son noetherianas, como lo es el anillo de la serie de poder formal sobre un anillo noetheriano.
Otra aplicación de tales condiciones de cadena es en la inducción de Noetherian, también conocida como inducción bien fundada, que es una generalización de la inducción matemática. Con frecuencia se usa para reducir las afirmaciones generales sobre colecciones de objetos a declaraciones sobre objetos específicos en esa colección. Supongamos que S es un conjunto parcialmente ordenado. Una forma de probar una afirmación acerca de los objetos de S es asumir la existencia de un contraejemplo y deducir una contradicción, probando así la contraposición de la afirmación original. La premisa básica de la inducción noetheriana es que cada subconjunto no vacío de S contiene un elemento mínimo. En particular, el conjunto de todos los contraejemplos contiene un elemento mínimo, el contraejemplo mínimo. Para probar la afirmación original, por lo tanto, basta con probar algo aparentemente más débil: para cualquier contraejemplo, hay un contraejemplo más pequeño.
Segunda época (1920-1926): anillos conmutativos, ideales y módulos
El artículo de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoría de ideales en Ring Domains , 1921), es el fundamento de la teoría general del anillo conmutativo, y da una de las primeras definiciones generales de un anillo conmutativo. Antes de su artículo, la mayoría de los resultados en álgebra conmutativa se limitaban a ejemplos especiales de anillos conmutativos, como anillos polinómicos sobre campos o anillos de números enteros algebraicos. Noether demostró que en un anillo que satisface la condición ascendente de la cadena de los ideales, cada ideal se genera de forma definitiva. En 1943, el matemático francés Claude Chevalley acuñó el término Anillo Noetherianopara describir esta propiedad. Un resultado importante en el documento de Noether de 1921 es el teorema de Lasker-Noether, que extiende el teorema de Lasker sobre la descomposición primaria de los ideales de los anillos polinómicos en todos los anillos noetherianos. El teorema de Lasker-Noether puede verse como una generalización del teorema fundamental de la aritmética que establece que cualquier entero positivo se puede expresar como un producto de números primos, y que esta descomposición es única.
El trabajo de Noet Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Estructura abstracta de la teoría de los ideales en números algebraicos y campos de funciones , 1927) caracterizó los anillos en los que los ideales tienen factorización única en ideales primarios como los dominios Dedekind: dominios integrales que son noetherianos, de 0 o 1 dimensión, y están integralmente cerrados en sus campos de cociente. Este documento también contiene lo que ahora se llama los teoremas de isomorfismo, que describen algunos isomorfismos naturales fundamentales, y algunos otros resultados básicos en los módulos de Noetherian y Artinian.
Segunda época (1920-1926): teoría de la eliminación
En 1923-1924, Noether aplicó su teoría ideal a la teoría de la eliminación en una formulación que atribuyó a su alumno, Kurt Hentzelt. Ella mostró que los teoremas fundamentales sobre la factorización de polinomios podrían ser transferidos directamente. Tradicionalmente, la teoría de eliminación tiene que ver con la eliminación de una o más variables de un sistema de ecuaciones polinomiales, generalmente por el método de resultantes.
Para ilustración, un sistema de ecuaciones a menudo se puede escribir en la forma M v = 0 , donde una matriz (o transformación lineal) M (sin la variable x ) veces un vector v (que sólo tiene poderes no nulos de x ) es igual al vector cero, 0 . Por lo tanto, el determinante de la matriz M debe ser cero, proporcionando una nueva ecuación en la cual la variable x ha sido eliminada.
Segunda época (1920-1926): teoría invariante de grupos finitos
Técnicas como la solución no constructiva original de Hilbert para el problema de la base finita no pudieron utilizarse para obtener información cuantitativa sobre las invariantes de una acción grupal, y además, no se aplicaron a todas las acciones grupales. En su artículo de 1915, Noether encontró una solución al problema de las bases finitas para un grupo finito de transformaciones G que actúa en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo de cero característico. Su solución muestra que el anillo de invariantes es generado por invariantes homogéneos cuyo grado es menor o igual que el orden del grupo finito; esto se llama límite de Noether . Su periódico dio dos pruebas del límite de Noether, las cuales también funcionan cuando la característica del campo es coprime a | GRAMO|! (el factorial del orden | G | del grupo G ). Los grados de generadores no necesitan satisfacer el límite de Noether cuando la característica del campo divide el número | G |, pero Noether no pudo determinar si este límite era correcto cuando la característica del campo se divide | G |! pero no | G |. Durante muchos años, la determinación de la verdad o falsedad de este límite para este caso particular fue un problema abierto, llamado "brecha de Noether". Finalmente fue resuelto independientemente por Fleischmann en 2000 y Fogarty en 2001, quienes mostraron que el límite sigue siendo cierto.
En su artículo de 1926, Noether extendió el teorema de Hilbert a las representaciones de un grupo finito sobre cualquier campo; el nuevo caso que no siguió del trabajo de Hilbert es cuando la característica del campo divide el orden del grupo. El resultado de Noether fue luego extendido por William Haboush a todos los grupos reductivos por su prueba de la conjetura de Mumford. En este documento, Noether también introdujo el lema de normalización de Noether , que muestra que un dominio generado finitamente A sobre un campo k tiene un conjunto { x 1 , ..., x n } de elementos algebraicamente independientes tales que A es integral sobre k [ x 1 , ...,x n ].
Segunda época (1920-1926): contribuciones a la topología
Como notaron Pavel Alexandrov y Hermann Weyl en sus obituarios, las contribuciones de Noether a la topología ilustran su generosidad con las ideas y cómo sus ideas podrían transformar campos enteros de las matemáticas. En topología, los matemáticos estudian las propiedades de los objetos que permanecen invariables incluso bajo deformación, propiedades tales como su conexión. Una vieja broma es que " un topólogo no puede distinguir una rosquilla de una taza de café ", ya que pueden deformarse continuamente entre sí.
A Noether se le atribuyen ideas fundamentales que llevaron al desarrollo de la topología algebraica de la topología combinatoria anterior, específicamente, la idea de grupos de homología. De acuerdo con el relato de Alexandrov, Noether asistió a conferencias impartidas por Heinz Hopf y por él en los veranos de 1926 y 1927, donde "ella continuamente hacía observaciones que a menudo eran profundas y sutiles" y continúa diciendo:
La sugerencia de Noether de que la topología se estudiara algebraicamente fue adoptada inmediatamente por Hopf, Alexandrov y otros, y se convirtió en un tema frecuente de discusión entre los matemáticos de Göttingen. Noether observó que su idea de un grupo Betti hace que la fórmula de Euler-Poincaré sea más sencilla de comprender, y el propio trabajo de Hopf sobre este tema "lleva la impronta de estas observaciones de Emmy Noether". Noether menciona sus propias ideas de topología solo como un aparte en una publicación de 1926, donde lo cita como una aplicación de la teoría de grupos.
Este enfoque algebraico a la topología también se desarrolló de forma independiente en Austria. En un curso de 1926-1927 impartido en Viena, Leopold Vietoris definió un grupo de homología, que fue desarrollado por Walther Mayer, en una definición axiomática en 1928.
Tercera época (1927-1935): números hipercomplejos y teoría de la representación
Mucho trabajo sobre números hipercomplejos y representaciones grupales se llevó a cabo en el siglo XIX y principios del siglo XX, pero se mantuvo disparado. Noether unió estos resultados y dio la primera teoría de representación general de grupos y álgebras.
Brevemente, Noether subsumió la teoría de la estructura de las álgebras asociativas y la teoría de la representación de los grupos en una sola teoría aritmética de módulos e ideales en anillos que satisfacen las condiciones ascendentes de la cadena. Este único trabajo de Noether fue de fundamental importancia para el desarrollo del álgebra moderna.
Tercera época (1927-1935): álgebra no conmutativa
Noether también fue responsable de una serie de otros avances en el campo del álgebra. Con Emil Artin, Richard Brauer y Helmut Hasse, ella fundó la teoría de las álgebras simples centrales.
Un documento de Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer pertenece a las álgebras de división, que son sistemas algebraicos en los que la división es posible. Probaron dos teoremas importantes: un teorema local global que establece que si un álgebra de división central de dimensión finita sobre un campo numérico se divide localmente en todas partes, entonces se divide globalmente (por lo que es trivial) y de esto deducen su Hauptsatz ("teorema principal") )
Estos teoremas permiten clasificar todas las álgebras de división central de dimensión finita sobre un campo numérico dado. Un documento posterior de Noether mostró, como un caso especial de un teorema más general, que todos los subcampos máximos de una división de álgebra D son campos de división. Este documento también contiene el teorema de Skolem-Noether, que establece que cualesquiera dos incrustaciones de una extensión de un campo k en un álgebra simple central de dimensión finita sobre k , están conjugadas. El teorema de Brauer-Noether da una caracterización de los campos de división de un álgebra de división central sobre un campo.
Evaluación, reconocimiento y memoriales
El trabajo de Noether sigue siendo relevante para el desarrollo de la física teórica y las matemáticas, y constantemente se la clasifica como una de las mejores matemáticas del siglo XX. En su obituario, el colega algebraico BL van der Waerden dice que su originalidad matemática era "absolutamente incomparable", y Hermann Weyl dijo que Noether "cambió el rostro del álgebra por su trabajo". Durante su vida e incluso hasta el día de hoy, Matemáticas como Pavel Alexandrov, Hermann Weyl y Jean Dieudonné han calificado a Noether como la matemática más importante de la historia.
En una carta a The New York Times , Albert Einstein escribió:
El 2 de enero de 1935, unos meses antes de su muerte, el matemático Norbert Wiener escribió que
En una exposición en la Feria Mundial de 1964 dedicada a los matemáticos modernos, Noether fue la única mujer representada entre los matemáticos notables del mundo moderno.
Noether ha sido honrado en varios monumentos conmemorativos,
- La Asociación de Mujeres en Matemáticas organiza una Conferencia Noether para honrar a las mujeres en matemáticas todos los años; en su folleto de 2005 para el evento, la Asociación caracteriza a Noether como "uno de los grandes matemáticos de su tiempo, alguien que trabajó y luchó por lo que amaba y en lo que creía. Su vida y su trabajo siguen siendo una gran inspiración".
- De acuerdo con su dedicación a sus estudiantes, la Universidad de Siegen alberga sus departamentos de matemáticas y física en edificios en el campus Emmy Noether .
- La Fundación Alemana de Investigación (Deutsche Forschungsgemeinschaft) opera el Programa Emmy Noether , que proporciona fondos a los investigadores que se inician en la carrera para que califiquen rápidamente para ocupar un puesto destacado en la ciencia y la investigación liderando un grupo independiente de investigación junior.
- Una calle de su ciudad natal, Erlangen, lleva el nombre de Emmy Noether y su padre, Max Noether.
- El sucesor de la escuela secundaria a la que asistió en Erlangen ha sido rebautizado como la Escuela Emmy Noether .
- Una serie de talleres y competiciones de la escuela secundaria se llevan a cabo en su honor en mayo de cada año desde 2001, originalmente auspiciado por una mujer subsecuente de matemáticas Privatdozent de la Universidad de Göttingen.
- El Instituto Perimeter de Física Teórica otorga anualmente a Emmy Noether Visiting Fellowships a destacadas mujeres físicas teóricas. El Perimeter Institute también alberga el Emmy Noether Council, un grupo de voluntarios formado por líderes de la comunidad internacional, corporativos y filantrópicos que trabajan juntos para aumentar el número de mujeres en física y física matemática en Perimeter Institute.
- El Instituto Emmy Noether de Matemáticas en Algebra, Geometría y Teoría de la Función en el Departamento de Matemáticas e Informática, Universidad Bar-Ilan, Ramat Gan, Israel fue fundado conjuntamente en 1992 por la universidad, el gobierno alemán y la Fundación Minerva con el objetivo de estimular la investigación en los campos anteriores y fomentar las colaboraciones con Alemania. Sus temas principales son Geometría Algebraica, Teoría de Grupo y Teoría de Función Compleja. Sus actividades incluyen proyectos locales de investigación, conferencias, visitantes a corto plazo, becas post-doc y las conferencias Emmy Noether (una serie anual de conferencias distinguidas). ENI es miembro de ERCOM: "Centros Europeos de Investigación de las Matemáticas".
En la ficción, Emmy Nutter, el profesor de física en "The God Patent" de Ransom Stephens, se basa en Emmy Noether.
Más lejos de casa,
- El cráter Nöther en el otro lado de la Luna lleva su nombre.
- El planeta menor 7001 Noether lleva el nombre de Emmy Noether.
- Google colocó un doodle conmemorativo en la página principal de Google en muchos países el 23 de marzo de 2015 para celebrar el 133 ° cumpleaños de Emmy Noether.
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