Leonhard Euler
Leonhard Euler
| Leonhard Euler | |
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 Retrato de Jakob Emanuel Handmann (1753) | |
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escucha); Alemán estándar alemán: [ɔʏlɐ] ( escucha); 15 de abril de 1707 - 18 de septiembre de 1783) fue un matemático, físico, astrónomo, lógico e ingeniero suizo que realizó descubrimientos importantes e influyentes en muchas ramas de las matemáticas, tales como el cálculo infinitesimal y la teoría de grafos, a la vez que realizó contribuciones pioneras a varias ramas como topología y teoría de números analíticos. También introdujo mucha de la terminología y notación matemática moderna, particularmente para el análisis matemático, como la noción de una función matemática. También es conocido por su trabajo en mecánica, dinámica de fluidos, óptica, astronomía y teoría musical.Euler fue uno de los matemáticos más eminentes del siglo XVIII y se lo considera uno de los más grandes de la historia. También es ampliamente considerado como el matemático más prolífico de todos los tiempos. Sus trabajos recopilados llenan de 60 a 80 volúmenes en cuarto, más que nadie en el campo. Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo, Rusia, y en Berlín, luego la capital de Prusia.
Una declaración atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en las matemáticas: "Lee a Euler, lee a Euler, él es el maestro de todos nosotros".
Vida
Primeros años
Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707, en Basilea, Suiza, de Paul III Euler, pastor de la Iglesia Reformada, y Marguerite née Brucker, hija de un pastor. Tenía dos hermanas menores: Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. Poco después del nacimiento de Leonhard, los Euler se mudaron de Basilea a la ciudad de Riehen, donde Euler pasó la mayor parte de su infancia. Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli; Johann Bernoulli fue considerado como el matemático más importante de Europa, y eventualmente sería la influencia más importante en el joven Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en Basilea, donde fue enviado a vivir con su abuela materna.En 1720, a los trece años, se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723, recibió un Master of Philosophy con una tesis que comparaba las filosofías de Descartes y Newton. Durante ese tiempo, recibió lecciones de la tarde del sábado de Johann Bernoulli, quien rápidamente descubrió el increíble talento de su nuevo alumno para las matemáticas. En ese momento, los principales estudios de Euler incluían teología, griego y hebreo a instancias de su padre para convertirse en pastor, pero Bernoulli convenció a su padre de que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático.
En 1726, Euler completó una disertación sobre la propagación del sonido con el título De Sono . En ese momento, intentaba infructuosamente obtener un puesto en la Universidad de Basilea. En 1727, ingresó por primera vez en la competencia de problemas del Premio de la Academia de París ; el problema ese año era encontrar la mejor manera de colocar los mástiles en un barco. Pierre Bouguer, que se hizo conocido como "el padre de la arquitectura naval", ganó y Euler ocupó el segundo lugar. Euler más tarde ganó este premio anual doce veces.
San Petersburgo
Alrededor de este tiempo, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus, estaban trabajando en la Academia Rusa Imperial de Ciencias en San Petersburgo. El 31 de julio de 1726, Nicolaus murió de apendicitis después de pasar menos de un año en Rusia, y cuando Daniel asumió la posición de su hermano en la división de matemáticas / física, recomendó que el puesto en fisiología que había desocupado fuera ocupado por su amigo Euler. En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo, mientras que, sin éxito, solicitó una cátedra de física en la Universidad de Basilea.
Euler llegó a San Petersburgo el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido de su puesto juvenil en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se alojó con Daniel Bernoulli con quien a menudo trabajaba en estrecha colaboración. Euler dominó el ruso y se estableció en San Petersburgo. También asumió un trabajo adicional como médico en la Armada rusa.
La Academia en San Petersburgo, establecida por Pedro el Grande, tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa occidental. Como resultado, se hizo especialmente atractivo para académicos extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca completa extraída de las bibliotecas privadas del propio Peter y de la nobleza. Muy pocos estudiantes se matricularon en la academia para disminuir la carga docente de la facultad, y la academia enfatizó la investigación y ofreció a su facultad el tiempo y la libertad para realizar preguntas científicas.
La benefactora de la Academia, Catherine I, que había continuado con las políticas progresivas de su difunto esposo, murió el día de la llegada de Euler. La nobleza rusa adquirió poder luego de la ascensión de Pedro II, de doce años. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la academia y, por lo tanto, recortó los fondos y causó otras dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente después de la muerte de Peter II, y Euler rápidamente ascendió en la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, que estaba harto de la censura y la hostilidad que enfrentaba en Saint Petersburg, se fue a Basilea. Euler lo sucedió como el jefe del departamento de matemáticas.
El 7 de enero de 1734, se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell, pintor del Academy Gymnasium. La joven pareja compró una casa junto al río Neva. De sus trece hijos, solo cinco sobrevivieron a la infancia.
Berlina
Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler salió de San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para ocupar un puesto en la Academia de Berlín , que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia. Vivió durante 25 años en Berlín, donde escribió más de 380 artículos. En Berlín, publicó las dos obras por las que se haría más famoso: la Introductio en analysin infinitorum , un texto sobre funciones publicadas en 1748, y las Institutiones calculi differentialis , publicadas en 1755 sobre cálculo diferencial. En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias.
Además, se le pidió a Euler que fuera tutor de Friederike Charlotte, de Brandenburg-Schwedt, la princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Frederick. Euler le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que luego se compilaron en un volumen superventas titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas en filosofía natural dirigidos a una princesa alemana . Este trabajo contenía la exposición de Euler sobre diversos temas relacionados con la física y las matemáticas, además de ofrecer información valiosa sobre la personalidad y las creencias religiosas de Euler. Este libro se volvió más leído que cualquiera de sus obras matemáticas y se publicó en toda Europa y en los Estados Unidos. La popularidad de las "Cartas" atestigua la capacidad de Euler para comunicar asuntos científicos de manera efectiva a un público no profesional, una habilidad poco común para un científico de investigación dedicado.
A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, eventualmente incurrió en la ira de Frederick y terminó teniendo que dejar Berlín. El rey prusiano tenía un gran círculo de intelectuales en su corte, y encontró al matemático poco sofisticado y mal informado en asuntos más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo, devotamente religioso, que nunca cuestionó el orden social existente o las creencias convencionales, en muchos sentidos el polo opuesto de Voltaire, que gozaba de un alto puesto de prestigio en la corte de Federico. Euler no era un polemista habilidoso y con frecuencia se esforzaba por discutir temas de los que sabía poco, convirtiéndolo en el blanco frecuente del ingenio de Voltaire. Frederick también expresó su decepción con las habilidades de ingeniería práctica de Euler:
Deterioro de la vista
La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática.En 1738, tres años después de casi expirar de la fiebre, se volvió casi ciego en su ojo derecho, pero Euler más bien culpó del trabajo minucioso en la cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo por su condición. La visión de Euler en ese ojo empeoró durante su estancia en Alemania, en la medida en que Frederick se refirió a él como "Cíclope". Euler comentó sobre su pérdida de visión: "Ahora tendré menos distracciones". Más tarde desarrolló una catarata en su ojo izquierdo, que se descubrió en 1766. Tan solo unas semanas después de su descubrimiento, quedó casi totalmente ciego. Sin embargo, su condición parecía tener poco efecto en su productividad, ya que lo compensó con sus habilidades de cálculo mental y memoria excepcional. Por ejemplo, Euler podría repetir la Eneida de Virgilio de principio a fin sin dudarlo, y por cada página de la edición podría indicar qué línea fue la primera y cuál la última.Con la ayuda de sus escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de estudio aumentó. Produjo, en promedio, un trabajo matemático cada semana en el año 1775. Los Euler llevaban un nombre doble, Euler-Schölpi, el último de los cuales deriva de schelb y schief , que significa bizco, bizco o torcido.Esto sugiere que los Eulers pueden haber tenido una susceptibilidad a los problemas oculares.
Regreso a Rusia y muerte
En 1760, con la guerra de los Siete Años, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por el avance de las tropas rusas. Al enterarse de este evento, el general Ivan Petrovich Saltykov pagó una indemnización por el daño causado a la finca de Euler, más tarde la emperatriz Isabel de Rusia agregó un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante en el momento. La situación política en Rusia se estabilizó después del acceso de Catalina la Grande al trono, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3.000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. Todas estas solicitudes fueron otorgadas. Pasó el resto de su vida en Rusia. Sin embargo, su segunda estadía en el país estuvo marcada por la tragedia. Un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su hogar, y casi su vida. En 1773, perdió a su esposa Katharina después de 40 años de matrimonio.
Tres años después de la muerte de su esposa, Euler se casó con su media hermana, Salome Abigail Gsell (1723-1794). Este matrimonio duró hasta su muerte. En 1782 fue elegido Miembro Honorario Extranjero de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias.
En San Petersburgo el 18 de septiembre de 1783, después de almorzar con su familia, Euler discutía sobre el recién descubierto planeta Urano y su órbita con un compañero académico, Anders Johan Lexell, cuando colapsó por una hemorragia cerebral. Él murió unas cuantas horas después. Jacob von Staehlin-Storcksburg escribió un breve obituario para la Academia Rusa de Ciencias y el matemático ruso Nicolas Fuss, uno de los discípulos de Euler, escribió un elogio más detallado, que pronunció en una reunión conmemorativa. En su elogio de la Academia Francesa, el matemático y filósofo francés Marquis de Condorcet escribió:
Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk en la isla de Goloday.En 1785, la Academia Rusa de Ciencias puso un busto de mármol de Leonhard Euler en un pedestal junto al asiento del Director y, en 1837, colocó una lápida en la tumba de Euler. Para conmemorar el 250 ° aniversario del nacimiento de Euler, la lápida se trasladó en 1956, junto con sus restos, a la necrópolis del siglo XVIII en el monasterio Alexander Nevsky.
Contribuciones a las matemáticas y la física
Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, como la geometría, el cálculo infinitesimal, la trigonometría, el álgebra y la teoría de números, así como en la física del continuo, la teoría lunar y otras áreas de la física. Él es una figura seminal en la historia de las matemáticas; si se imprime, sus obras, muchas de las cuales son de interés fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto. El nombre de Euler está asociado con una gran cantidad de temas.
Euler es el único matemático que tiene dos números que llevan su nombre: el número importante de Euler en cálculo, e , aproximadamente igual a 2.71828, y la constante de Euler-Mascheroni γ (gamma) a veces denominada simplemente "constante de Euler", aproximadamente igual a 0.57721.No se sabe si γ es racional o irracional.
Notación matemática
Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos y ampliamente circulados libros de texto. En particular, introdujo el concepto de una función y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas, la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocido como el número de Euler), la letra griega Σ para las sumas y la letra i para denotar la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π para denotar la relación de la circunferencia de un círculo a su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones.
Análisis
El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII y los amigos de la familia Bernoullis de Euler fueron los responsables de gran parte del progreso inicial en el campo. Gracias a su influencia, estudiar cálculo se convirtió en el principal foco del trabajo de Euler. Mientras que algunas de las pruebas de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático (en particular su confianza en el principio de la generalidad del álgebra), sus ideas condujeron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en el análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de poder, la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, tales como
Notablemente, Euler probó directamente las expansiones de la serie de potencias para e y la función de tangente inversa. (La prueba indirecta mediante la técnica de la serie de potencia inversa fue dada por Newton y Leibniz entre 1670 y 1680). Su audaz uso de series de potencias le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741):
Euler introdujo el uso de la función exponencial y logaritmos en pruebas analíticas. Descubrió formas de expresar diversas funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito los logaritmos para números negativos y complejos, ampliando así en gran medida el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real
φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface
φ (tomado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface
Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler,
llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard P. Feynman, por sus usos únicos de las nociones de adición, multiplicación, exponenciación e igualdad, y los usos únicos de las constantes importantes 0, 1, e , i y π . En 1988, los lectores del Matemático Intelligencer lo votaron como "la fórmula matemática más hermosa de la historia". En total, Euler fue responsable de tres de las cinco mejores fórmulas en esa encuesta.
La fórmula de De Moivre es una consecuencia directa de la fórmula de Euler.
Además, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales superiores al introducir la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas. También encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, presagiando el desarrollo del análisis complejo moderno. También inventó el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange.
Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría de los números analíticos. En la apertura de este nuevo campo, Euler creó la teoría de series hipergeométricas, serie q, funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, probó la infinitud de primos utilizando la divergencia de las series armónicas, y usó métodos analíticos para obtener una cierta comprensión de la forma en que se distribuyen los números primos. El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema del número primo.
Teoría de los números
El interés de Euler en la teoría de los números se remonta a la influencia de Christian Goldbach, su amigo en la Academia de San Petersburgo. Muchos de los primeros trabajos de Euler sobre teoría de números se basaron en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y desmintió algunas de sus conjeturas.
Euler vinculó la naturaleza de la distribución principal con ideas en análisis. Probó que la suma de los recíprocos de los números primos diverge. Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto Euler para la función zeta de Riemann.
Euler probó las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados, e hizo contribuciones distintas al teorema de cuatro cuadrados de Lagrange. También inventó la función totientφ ( n ), el número de enteros positivos menores o iguales que el número entero n que son coprimos a n . Usando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como el teorema de Euler.Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos, que había fascinado a los matemáticos desde Euclides. Demostró que la relación que se muestra entre números perfectos y primos de Mersenne demostrada anteriormente por Euclides era uno a uno, un resultado conocido como el teorema de Euclides-Euler. Euler también conjeturó la ley de la reciprocidad cuadrática. El concepto es considerado como un teorema fundamental de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para la obra de Carl Friedrich Gauss. Para 1772, Euler había demostrado que 2 - 1 = 2,147,483,647 es un primo de Mersenne. Puede haber sido el mayor cepa conocida hasta 1867.
Teoría de grafos
En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, Prusia se estableció en el río Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y el continente por siete puentes.El problema es decidir si es posible seguir un camino que cruza cada puente exactamente una vez y regresa al punto de partida. No es posible: no hay un circuito euleriano. Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos, específicamente de la teoría de grafos planos.
Euler también descubrió la fórmula relacionando el número de vértices, bordes y caras de un poliedro convexo, y por lo tanto de un gráfico plano. La constante en esta fórmula ahora se conoce como la característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático), y está relacionada con el género del objeto. El estudio y la generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy y L'Huilier, está en el origen de la topología
Matemáticas Aplicadas
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron la solución analítica de problemas del mundo real y la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, series de Fourier, números de Euler, las constantes.
e y
π , fracciones e integrales continuados. Él integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni:
e y
π , fracciones e integrales continuados. Él integró el cálculo diferencial de Leibniz con el Método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin. También facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular introduciendo la constante de Euler-Mascheroni:
Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música. En 1739 escribió el Tentamen novae theoriae musicae, con la esperanza de incorporar la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y una vez fue descrito como demasiado matemático para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.
Física y astronomía
Euler ayudó a desarrollar la ecuación del haz de Euler-Bernoulli, que se convirtió en la piedra angular de la ingeniería. Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de la mecánica clásica, Euler también aplicó estas técnicas a los problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido por varios premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular la paralaje del sol. Sus cálculos también contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas.
Además, Euler hizo contribuciones importantes en óptica. No estaba de acuerdo con la teoría de la luz corpuscular de Newton en la Optick , que era entonces la teoría predominante. Sus documentos de 1740 sobre óptica ayudaron a asegurar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.
En 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo de inviscid, que ahora se conocen como ecuaciones de Euler. En forma diferencial, las ecuaciones son:
![{\ begin {aligned} & {\ partial \ rho \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ mathbf {u}}) = 0 \\ [1.2ex] & {\ partial (\ rho { \ mathbf {u}}) \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot ({\ mathbf {u}} \ otimes (\ rho {\ mathbf {u}})) + \ nabla p = {\ mathbf {0 }} \\ [1.2ex] & {\ partial E \ over \ partial t} + \ nabla \ cdot ({\ mathbf {u}} (E + p)) = 0, \ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d378624435de9555fe13c56c68f90b48d93b5574)
dónde
- ρ es la densidad de masa fluida,
- u es el vector de velocidad del fluido, con componentes u , v y w ,
- E = ρ e + ½ ρ ( u + v + w ) es la energía total por unidad de volumen, donde e es la energía interna por unidad de masa del fluido,
- p es la presión,
- ⊗ denota el producto tensorial, y
- 0 es el vector cero.
Euler también es muy conocido en ingeniería estructural por su fórmula que proporciona la carga de pandeo crítica de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a la flexión:
dónde
- F = fuerza máxima o crítica (carga vertical en la columna),
- E = módulo de elasticidad,
- I = momento de inercia del área
- L = longitud de columna no soportada,
- K = factor de longitud efectiva de columna, cuyo valor depende de las condiciones del soporte final de la columna, de la siguiente manera.
-
- Para ambos extremos fijados (con bisagras, libres para rotar), K = 1.0.
- Para ambos extremos fijos, K = 0.50.
- Para un extremo fijo y el otro extremo anclado, K = 0.699 ...
- Para un extremo fijo y el otro extremo libre para moverse lateralmente, K = 2.0.
- KL es la longitud efectiva de la columna.
Lógica
A Euler también se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler.
Un diagrama de Euler es un medio diagramático de representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos. Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; la importancia del diagrama radica en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (solapamiento, contención o ninguna) corresponden a las relaciones teóricas de conjuntos (intersección, subconjunto y disjunción). Las curvas cuyas zonas interiores no se intersecan representan conjuntos disjuntos. Dos curvas cuyas zonas interiores se intersectan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que se contiene completamente dentro de la zona interior de otro representa un subconjunto de ella. Los diagramas de Euler (y su generalización en los diagramas de Venn) se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de los años sesenta. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos del plan de estudios, como la lectura.
Música
Incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático. Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos cientos de páginas, en su producción total de unas treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana y una que no lo dejó a lo largo de su vida.
Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2A, donde A es el "exponente" de el género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles"), expresa que la relación se mantiene independientemente del número de octavas preocupado. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2.3, es la octava dividida por el quinto (quinto + cuarto, C-G-C); el tercer género es 2.5, mayor tercio + sexto menor (C-E-C); el cuarto es 2.3, dos cuartos y un tono (C-F-B ♭ -C); el quinto es 2.3.5 (C-E-G-B-C); etc. Los Géneros 12 (2.3.5), 13 (2.3.5) y 14 (2.3.5) son versiones corregidas de los diatónicos, cromáticos y enarmónicos, respectivamente, de los Antiguos. El género 18 (2.3.5) es el "diatonico-cromático", "usado generalmente en todas las composiciones", y que resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson. Euler luego pensó en la posibilidad de describir géneros incluyendo el número primo 7.
Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum , para ilustrar el género diatónico-cromático, y discutió los caminos en este gráfico para intervalos específicos, lo que recuerda su interés por los Siete Puentes de Königsberg (ver arriba). El dispositivo conocía un renovado interés como Tonnetz en la teoría neo-riemanniana (ver también Lattice (música)).
Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de amabilidad) de los intervalos y acordes de sus factores primarios. Hay que tener en cuenta que él consideró la entonación justa, es decir, 1 y el números primos 3 y 5 solamente. Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma
- ds = Σ (k i p i - k i ) + 1
donde p i son números primos y k i sus exponentes.
Filosofía personal y creencias religiosas
Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monadismo de Leibniz y la filosofía de Christian Wolff. Euler insistió en que el conocimiento se basa en parte en la base de leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia wolffiana no pudieron proporcionar. Las inclinaciones religiosas de Euler también podrían haber influido en su aversión a la doctrina; llegó tan lejos como para etiquetar las ideas de Wolff como "paganas y ateas".
Gran parte de lo que se conoce de las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister ( Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores ). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia estaba inspirada; el Rettung fue principalmente un argumento para la inspiración divina de las Escrituras.
Hay una leyenda famosa inspirada en los argumentos de Euler con los filósofos seculares sobre la religión, que se establece durante la segunda etapa de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot visitaba Rusia con la invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz estaba alarmada porque los argumentos del filósofo sobre el ateísmo estaban influyendo en los miembros de su corte, por lo que se le pidió a Euler que se enfrentara al francés.Diderot fue informado de que un matemático erudito había presentado una prueba de la existencia de Dios: aceptó ver la prueba tal como fue presentada en la corte. Euler apareció, avanzó hacia Diderot, y en un tono de convicción perfecta anunció este non-sequitur: "Señor, a + bn = x , por lo tanto, Dios existe-¡responde!" Diderot, para quien (dice la historia) toda la matemática era un galimatías, se quedó estupefacto mientras estallaban carcajadas de la corte. Avergonzado, pidió abandonar Rusia, una petición que la Emperatriz le concedió gentilmente. Por divertida que sea la anécdota, es apócrifa, dado que el mismo Diderot hizo investigación en matemáticas. Al parecer, la leyenda fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault con importantes adornos de Augustus De Morgan.
Conmemoraciones
Euler apareció en la sexta serie del billete de 10 francos suizo y en numerosas estampillas postales suizas, alemanas y rusas. El asteroide 2002 Euler fue nombrado en su honor. También es conmemorado por la Iglesia Luterana en su Calendario de los Santos el 24 de mayo: era un cristiano devoto (y creyente en la inerrancia bíblica) que escribió apologética y argumentó enérgicamente contra los ateos prominentes de su tiempo.
Bibliografía seleccionada
Euler tiene una extensa bibliografía. Sus libros más conocidos incluyen:
- Mechanica (1736).
- Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimum proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744). El título latino se traduce como un método para encontrar líneas curvas que disfrutan de propiedades de máximo o mínimo, o solución de problemas isoperimétricos en el sentido más amplio aceptado .
- Introductio en analysin infinitorum (1748). Traducción al inglés Introducción al análisis del infinito por John Blanton (Libro I, ISBN 0-387-96824-5, Springer-Verlag 1988; Libro II, ISBN 0-387-97132-7, Springer-Verlag 1989).
- Elementos de Álgebra (1765). Este texto elemental de álgebra comienza con una discusión sobre la naturaleza de los números y ofrece una introducción completa al álgebra, que incluye fórmulas para soluciones de ecuaciones polinomiales.
- Dos influyentes libros de texto sobre cálculo: Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutionum calculi integralis (1768-1770).
- Cartas a una princesa alemana (1768-1772).
Una colección definitiva de las obras de Euler, titulada Opera Omnia , ha sido publicada desde 1911 por la Comisión Euler de la Academia Suiza de las Ciencias. Una lista cronológica completa de las obras de Euler está disponible en la siguiente página: El índice de Eneström (PDF).
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Obtenido de: Leonhard_Euler