Kurt Gödel
Kurt Gödel
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escuchar ) ; 28 de abril de 1906 - 14 de enero de 1978) fue un matemático, filósofo y lógico austríaco, y luego estadounidense, lógico. Considerado junto con Aristóteles, Alfred Tarski y Gottlob Frege como uno de los lógicos más importantes de la historia, Gödel tuvo un gran impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX, un momento en el que otros como Bertrand Russell, Alfred North Whitehead y David Hilbert estaba analizando el uso de la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de las matemáticas iniciados por Georg Cantor.Gödel publicó sus dos teoremas de incompletitud en 1931 cuando tenía 25 años, un año después de terminar su doctorado en la Universidad de Viena. El primer teorema de incompletitud establece que para cualquier sistema axiomático recursivo autoconsistente lo suficientemente potente como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, la aritmética de Peano), hay proposiciones verdaderas sobre los naturales que no pueden probarse a partir de los axiomas. Para probar este teorema, Gödel desarrolló una técnica ahora conocida como numeración de Gödel, que codifica las expresiones formales como números naturales.
También mostró que ni el axioma de elección ni la hipótesis del continuo pueden refutarse de los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, suponiendo que estos axiomas son consistentes. El resultado anterior abrió la puerta para que los matemáticos asumieran el axioma de elección en sus pruebas. También hizo contribuciones importantes a la teoría de la prueba al aclarar las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuitiva y la lógica modal.
Temprana edad y educación
Infancia
Gödel nació el 28 de abril de 1906, en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno, República Checa) en la familia étnica alemana de Rudolf Gödel (1874-1929), el gerente de una fábrica textil, y Marianne Gödel (nacida Handschuh, 1879 -1966). A lo largo de su vida, Gödel se mantendría cerca de su madre; su correspondencia era frecuente y variada. En el momento de su nacimiento, la ciudad tenía una mayoría de habla alemana que incluía a sus padres. Su padre era católico y su madre era protestante y los niños se criaron protestantes. Los antepasados de Kurt Gödel estuvieron a menudo activos en la vida cultural de Brünn. Por ejemplo, su abuelo Joseph Gödel fue un famoso cantante de la época y, durante algunos años, miembro de la "Brünner Männergesangverein".
Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano checoslovaco a la edad de 12 años cuando el Imperio Austrohúngaro se disolvió al final de la Primera Guerra Mundial. Según su compañero Klepetař, como muchos residentes del Sudetenländer predominantemente alemán, "Gödel se consideraba siempre austríaco y un exiliado en Checoslovaquia ". Eligió convertirse en ciudadano austriaco a los 23 años. Cuando Alemania se anexionó Austria en 1938, Gödel se convirtió automáticamente en ciudadano alemán a los 32 años. Después de la Segunda Guerra Mundial, a la edad de 42 años, se convirtió en ciudadano estadounidense.
En su familia, el joven Kurt era conocido como Herr Warum ("Mr. Why") por su curiosidad insaciable. Según su hermano Rudolf, a la edad de seis o siete años Kurt sufría de fiebre reumática;se recuperó completamente, pero por el resto de su vida permaneció convencido de que su corazón había sufrido un daño permanente. A partir de los cuatro años, Gödel sufría de "frecuentes episodios de mala salud", que continuarían durante toda su vida.
Gödel asistió a Evangelische Volksschule , una escuela luterana en Brünn de 1912 a 1916, y se inscribió en el Deutsches Staats-Realgymnasium de 1916 a 1924, sobresaliendo con honores en todas sus materias, particularmente en matemáticas, idiomas y religión. Aunque Kurt se destacó por primera vez en idiomas, más tarde se interesó más por la historia y las matemáticas. Su interés en las matemáticas aumentó cuando en 1920 su hermano mayor Rudolf (nacido en 1902) se fue a Viena para ir a la escuela de medicina en la Universidad de Viena. Durante su adolescencia, Kurt estudió la taquigrafía de Gabelsberger, la Teoría de los colores de Goethe y las críticas a Isaac Newton, y las escrituras de Immanuel Kant.
Estudiando en Viena
A la edad de 18 años, Gödel se unió a su hermano en Viena y entró en la Universidad de Viena. Para entonces, ya dominaba las matemáticas de nivel universitario. Aunque inicialmente tenía la intención de estudiar física teórica, también asistió a cursos de matemáticas y filosofía. Durante este tiempo, adoptó ideas de realismo matemático. Leyó la Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft de Kant y participó en el Círculo de Viena con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap. Gödel luego estudió teoría de números, pero cuando participó en un seminario dirigido por Moritz Schlick que estudió el libro de Bertrand Russell Introducción a la Filosofía Matemática , se interesó en la lógica matemática. Según Gödel, la lógica matemática era "una ciencia anterior a todas las demás, que contiene las ideas y principios que subyacen a todas las ciencias".
Asistir a una conferencia de David Hilbert en Bolonia sobre la completitud y consistencia de los sistemas matemáticos puede haber marcado el curso de la vida de Gödel. En 1928, Hilbert y Wilhelm Ackermann publicaron Grundzüge der theoryischen Logik ( Principios de Lógica Matemática ), una introducción a la lógica de primer orden en la que se planteaba el problema de la completitud: ¿son suficientes los axiomas de un sistema formal para derivar cada afirmación que es verdadera? en todos los modelos del sistema?
Este se convirtió en el tema que Gödel eligió para su trabajo de doctorado. En 1929, a la edad de 23 años, completó su disertación doctoral bajo la supervisión de Hans Hahn. En él, estableció la integridad del cálculo de predicados de primer orden (el teorema de completitud de Gödel). Fue galardonado con su doctorado en 1930. Su tesis, junto con algunos trabajos adicionales, fue publicada por la Academia de Ciencias de Viena.
Carrera
Teorema de Incompleteness
| "El logro de Kurt Gödel en la lógica moderna es singular y monumental; de hecho, es más que un monumento, es un hito que permanecerá visible en el espacio y el tiempo ... El tema de la lógica ciertamente ha cambiado por completo su naturaleza y posibilidades con El logro de Gödel ". -John von Neumann |
En 1931 y aún en Viena, Gödel publicó sus teoremas de incompletitud en Über formal unentscheidbare Sätze der "Principia Mathematica" und verwandter Systeme(llamado en inglés "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de" Principia Mathematica "y sistemas relacionados). En ese artículo, probó para cualquier sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo, los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección), que:
- Si un sistema (lógico o axiomático formal) es consistente, no puede ser completo.
- La consistencia de los axiomas no se puede probar dentro de su propio sistema.
Estos teoremas terminaron medio siglo de intentos, comenzando con el trabajo de Frege y culminando en Principia Mathematica y el formalismo de Hilbert, para encontrar un conjunto de axiomas suficiente para todas las matemáticas.
En retrospectiva, la idea básica en el corazón del teorema de la incompletitud es bastante simple.Gödel esencialmente construyó una fórmula que afirma que no es demostrable en un sistema formal dado. Si fuera comprobable, sería falso. Por lo tanto, siempre habrá al menos una declaración verdadera pero indemostrable. Es decir, para cualquier conjunto enumerable computablemente de axiomas para la aritmética (es decir, un conjunto que en principio puede ser impreso por una computadora idealizada con recursos ilimitados), hay una fórmula que es verdadera de la aritmética, pero que no es demostrable en ese sistema. Para hacer esto preciso, sin embargo, Gödel necesitaba producir un método para codificar (como números naturales) enunciados, pruebas y el concepto de demostrabilidad; lo hizo usando un proceso conocido como numeración Gödel.
En su documento de dos páginas Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932), Gödel refutó el valor finito de la lógica intuicionista. En la demostración, utilizó implícitamente lo que más tarde se conocería como lógica intermedia Gödel-Dummett (o lógica difusa de Gödel).
A mediados de la década de 1930: más trabajo y visitas a EE. UU.
Gödel obtuvo su habilitación en Viena en 1932, y en 1933 se convirtió en un Privatdozent(conferenciante no remunerado) allí. En 1933, Adolf Hitler llegó al poder en Alemania, y en los años siguientes los nazis aumentaron su influencia en Austria y entre los matemáticos de Viena. En junio de 1936, Moritz Schlick, cuyo seminario despertó el interés de Gödel por la lógica, fue asesinado por uno de sus antiguos alumnos, Johann Nelböck. Esto desencadenó "una grave crisis nerviosa" en Gödel. Desarrolló síntomas paranoicos, incluido el miedo a ser envenenado, y pasó varios meses en un sanatorio por enfermedades nerviosas.
En 1933, Gödel viajó por primera vez a los Estados Unidos, donde conoció a Albert Einstein, quien se convirtió en un buen amigo. Él pronunció un discurso en la reunión anual de la American Mathematical Society. Durante este año, Gödel también desarrolló las ideas de computación y funciones recursivas hasta el punto en que pudo presentar una conferencia sobre funciones recursivas generales y el concepto de verdad. Este trabajo fue desarrollado en teoría de números, usando la numeración de Gödel.
En 1934, Gödel dio una serie de conferencias en el Institute for Advanced Study (IAS) en Princeton, Nueva Jersey, tituladas Sobre proposiciones indecidibles de sistemas matemáticos formales .Stephen Kleene, que acababa de terminar su doctorado en Princeton, tomó notas de estas conferencias que se publicaron posteriormente.
Gödel visitó el IAS de nuevo en el otoño de 1935. Los viajes y el trabajo duro lo habían agotado, y al año siguiente se tomó un descanso para recuperarse de un episodio depresivo. Volvió a la docencia en 1937. Durante este tiempo, trabajó en la prueba de consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo; continuó demostrando que estas hipótesis no pueden refutarse del sistema común de axiomas de la teoría de conjuntos.
Se casó con Adele Nimbursky (née Porkert, 1899-1981), a quien conocía desde hacía más de 10 años, el 20 de septiembre de 1938. Su relación había sido rechazada por sus padres con el argumento de que ella era una bailarina divorciada, seis años mayor que él era.
Posteriormente, partió para otra visita a los Estados Unidos, pasando el otoño de 1938 en el IAS y la primavera de 1939 en la Universidad de Notre Dame.
Princeton, Einstein, ciudadanía estadounidense
Después del Anschluss el 12 de marzo de 1938, Austria se había convertido en parte de la Alemania nazi. Alemania abolió el título de Privatdozent , por lo que Gödel tuvo que solicitar un puesto diferente bajo el nuevo orden. Su antigua asociación con miembros judíos del Círculo de Viena, especialmente con Hahn, pesó en su contra. La Universidad de Viena rechazó su solicitud.
Su situación se intensificó cuando el ejército alemán lo encontró apto para el servicio militar obligatorio. La Segunda Guerra Mundial comenzó en septiembre de 1939. Antes de que terminara el año, Gödel y su esposa partieron de Viena hacia Princeton. Para evitar la dificultad de cruzar el Atlántico, los Gödels tomaron el Ferrocarril Transiberiano hasta el Pacífico, navegaron desde Japón hasta San Francisco (al que llegaron el 4 de marzo de 1940) y luego cruzaron los Estados Unidos en tren hasta Princeton. Allí Gödel aceptó un puesto en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS), que había visitado anteriormente durante 1933-34.
Gödel reanudó rápidamente su trabajo matemático. En 1940, publicó su obra Consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos , que es un clásico de las matemáticas modernas. En ese trabajo, introdujo el universo construible, un modelo de teoría de conjuntos en el que los únicos conjuntos que existen son aquellos que se pueden construir a partir de conjuntos más simples. Gödel demostró que tanto el axioma de elección (AC) como la hipótesis del continuum generalizado (GCH) son verdaderas en el universo construible, y por lo tanto deben ser consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (ZF). Este resultado ha tenido considerables consecuencias para los matemáticos que trabajan, ya que significa que pueden asumir el axioma de elección cuando prueban el teorema de Hahn-Banach. Paul Cohen luego construyó un modelo de ZF en el que AC y GCH son falsos; juntas, estas pruebas significan que AC y GCH son independientes de los axiomas de ZF para la teoría de conjuntos.
Albert Einstein también vivía en Princeton durante este tiempo. Gödel y Einstein desarrollaron una fuerte amistad, y eran conocidos por dar largos paseos juntos hacia y desde el Instituto de Estudios Avanzados. La naturaleza de sus conversaciones era un misterio para los otros miembros del Instituto. El economista Oskar Morgenstern relata que hacia el final de su vida Einstein confió que su "propio trabajo ya no significaba mucho, que vino al Instituto simplemente ... para tener el privilegio de volver a casa con Gödel".
Gödel y su esposa, Adele, pasaron el verano de 1942 en Blue Hill, Maine, en el Blue Hill Inn en la parte superior de la bahía. Gödel no solo estaba de vacaciones sino que tenía un verano de trabajo muy productivo. Utilizando Heft 15 [volumen 15] de Arbeitshefte [cuadernos de trabajo] aún no publicados de Gödel, John W. Dawson Jr. conjetura que Gödel descubrió una prueba para la independencia del axioma de elección de la teoría de tipos finitos, una forma debilitada de la teoría de conjuntos. mientras que en Blue Hill en 1942. El amigo cercano de Gödel, Hao Wang, apoya esta conjetura, señalando que los cuadernos Blue Hill de Gödel contienen su tratamiento más extenso del problema.
El 5 de diciembre de 1947, Einstein y Morgenstern acompañaron a Gödel a su examen de ciudadanía estadounidense, donde actuaron como testigos. Gödel les había confesado que había descubierto una inconsistencia en la Constitución de los Estados Unidos que podría permitirle a los Estados Unidos convertirse en una dictadura. Einstein y Morgenstern estaban preocupados de que el comportamiento impredecible de su amigo pudiera poner en peligro su aplicación.Afortunadamente, el juez resultó ser Phillip Forman, que conocía a Einstein y había prestado juramento en la audiencia de ciudadanía de Einstein. Todo fue bien hasta que Forman le preguntó a Gödel si creía que una dictadura como la del régimen nazi podía pasar en los Estados Unidos. Gödel comenzó a explicar su descubrimiento a Forman. Forman entendió lo que estaba pasando, cortó a Gödel y llevó la audiencia a otras preguntas y una conclusión rutinaria.
Gödel se convirtió en miembro permanente del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1946. Alrededor de este tiempo dejó de publicar, aunque continuó trabajando. Se convirtió en profesor titular en el Instituto en 1953 y profesor emérito en 1976.
Durante sus muchos años en el Instituto, los intereses de Gödel se volcaron a la filosofía y la física.En 1949, demostró la existencia de soluciones que incluían curvas cerradas en el tiempo, a las ecuaciones de campo de Einstein en relatividad general. Se dice que le dio esta elaboración a Einstein como regalo para su 70 cumpleaños. Sus "universos rotativos" permitirían viajar en el tiempo al pasado e hicieron que Einstein tuviera dudas sobre su propia teoría. Sus soluciones se conocen como la métrica de Gödel (una solución exacta de la ecuación de campo de Einstein).
Estudió y admiró las obras de Gottfried Leibniz, pero llegó a creer que una conspiración hostil había provocado la supresión de algunas de las obras de Leibniz. En menor medida, estudió Immanuel Kant y Edmund Husserl. A principios de la década de 1970, Gödel circuló entre sus amigos una elaboración de la versión de Leibniz de la prueba ontológica de Anselmo de Canterbury sobre la existencia de Dios. Esto ahora se conoce como la prueba ontológica de Gödel.
Premios y honores
Gödel fue galardonado (con Julian Schwinger) con el primer Premio Albert Einstein en 1951 y también recibió la Medalla Nacional de Ciencias en 1974. Gödel fue elegido miembro extranjero de la Royal Society (ForMemRS) en 1968. Fue orador plenario. del ICM en 1950 en Cambridge, Massachusetts. El Premio Gödel, un premio anual para trabajos sobresalientes en el área de la informática teórica, lleva su nombre.
Vida posterior y muerte
Más adelante en su vida, Gödel sufrió períodos de inestabilidad mental y enfermedad. Tenía un miedo obsesivo a ser envenenado;solo comería alimentos que su esposa, Adele, preparara para él. A fines de 1977, fue hospitalizada durante seis meses y ya no pudo preparar la comida de su esposo. En su ausencia, se negó a comer y finalmente murió de hambre. Pesaba 29 kilogramos (65 libras) cuando murió. Su certificado de defunción informó que murió el 14 de enero de 1978 por "desnutrición e inanición causadas por trastornos de la personalidad" en el Hospital de Princeton. Fue enterrado en el cementerio de Princeton. La muerte de Adele siguió en 1981.
Vida personal
Puntos de vista religiosos
Gödel era un teísta convencido, en la tradición cristiana. Sostuvo la idea de que Dios era personal.
Él creía firmemente en una vida futura, afirmando: "Por supuesto, esto supone que hay muchas relaciones de las que la ciencia actual y la sabiduría recibida no tienen ningún indicio. Pero estoy convencido de esto [la otra vida], independientemente de cualquier teología". Es "posible hoy percibir, por puro razonamiento", que "es completamente consistente con hechos conocidos". "Si el mundo está construido racionalmente y tiene un significado, entonces debe haber tal cosa [como una vida después de la muerte]".
En una respuesta no enviada a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterano bautizado (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta, siguiendo a Leibniz en lugar de a Spinoza". Describiendo religión (s) en general, Gödel dijo: "Las religiones son, en su mayor parte, malas, pero la religión no es". Según su esposa Adele, "Gödel, aunque no fue a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana", mientras que del Islam, dijo: "Me gusta el Islam: es consecuente [o consecuente] idea de religión y de mente abierta ".
Legado
La Sociedad Kurt Gödel, fundada en 1987, fue nombrada en su honor. Es una organización internacional para la promoción de la investigación en las áreas de lógica, filosofía e historia de las matemáticas. La Universidad de Viena alberga el Centro de Investigación Kurt Gödel de Lógica Matemática. La Asociación de Lógica Simbólica ha invitado a un conferencista anual de Kurt Gödel cada año desde 1990.
Se han publicado cinco volúmenes de las obras completas de Gödel. Los dos primeros incluyen las publicaciones de Gödel; el tercero incluye manuscritos inéditos del Nachlass de Gödel, y los dos últimos incluyen correspondencia.
Una biografía de Gödel fue publicada por John Dawson en 2005: Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel (AK Peters, Wellesley, MA, ISBN 1-56881-256-6). Gödel también fue uno de los cuatro matemáticos examinados en el documental de la BBC de 2008 titulado Dangerous Knowledge por David Malone.
Douglas Hofstadter escribió un libro popular en 1979 llamado Gödel, Escher, Bach para celebrar el trabajo y las ideas de Gödel, junto con los del artista MC Escher y el compositor Johann Sebastian Bach. El libro explora en parte las ramificaciones del hecho de que el teorema de incompletitud de Gödel se puede aplicar a cualquier sistema computacional de Turing completo, que puede incluir el cerebro humano.
Publicaciones importantes
En alemán:
- 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls". Monatshefte für Mathematik und Physik 37 : 349-60.
- 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173-98.
- 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien69 : 65-66.
En inglés:
- 1940. La consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos. Princeton University Press.
- 1947. "¿Cuál es el problema continuo de Cantor?" The American Mathematical Monthly 54 : 515-25. Versión revisada en Paul Benacerraf y Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Filosofía de las Matemáticas: lecturas seleccionadas . Cambridge Univ. Presione: 470-85.
- 1950, "Universos rotativos en teoría general de la relatividad". Actas del Congreso internacional de matemáticos en Cambridge, 1 : 175-81
En traducción al inglés:
- Kurt Godel, 1992. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica And Related Systems , tr. B. Meltzer, con una introducción completa de Richard Braithwaite.Dover reimpresión de la edición de libros básicos de 1962.
- Kurt Godel, 2000. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica And Related Systems , tr. Martin Hirzel
- Jean van Heijenoort, 1967. Un libro fuente en lógica matemática, 1879-1931 . Harvard Univ.Prensa.
- 1930. "La completitud de los axiomas del cálculo funcional de la lógica", 582-91.
- 1930. "Algunos resultados metamatemáticos sobre integridad y consistencia", 595-96.Resumen de (1931).
- 1931. "Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados", 596-616.
- 1931a. "Sobre integridad y consistencia", 616-17.
- "Mi punto de vista filosófico", c. 1960, inédito.
- "El desarrollo moderno de los fundamentos de las matemáticas a la luz de la filosofía", 1961, inédito.
- Obras completas : Oxford University Press: Nueva York. Editor en jefe: Solomon Feferman.
- Volumen I: Publicaciones 1929-1936 ISBN 978-0-19-503964-1 / Paperback: ISBN 978-0-19-514720-9,
- Volumen II: Publicaciones 1938-1974 ISBN 978-0-19-503972-6 / Paperback: ISBN 978-0-19-514721-6,
- Volumen III: Ensayos y conferencias inéditos ISBN 978-0-19-507255-6 / Paperback: ISBN 978-0-19-514722-3,
- Volumen IV: Correspondencia, A-G ISBN 978-0-19-850073-5,
- Volumen V: Correspondencia, H-Z ISBN 978-0-19-850075-9.
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