Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace » famosos matemáticos
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 Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Retrato póstumo por Jean-Baptiste Paulin Guérin, 1838. | |
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Laplace formuló la ecuación de Laplace, y fue pionera en la transformación de Laplace que aparece en muchas ramas de la física matemática, un campo que tomó un papel de liderazgo en la formación. El operador diferencial de Laplacia, ampliamente utilizado en matemáticas, también lleva su nombre. Reiteró y desarrolló la hipótesis nebular del origen del Sistema Solar y fue uno de los primeros científicos en postular la existencia de agujeros negros y la noción de colapso gravitacional.
Laplace es recordado como uno de los mejores científicos de todos los tiempos. Conocido a veces como el francés Newton o Newton de Francia , se lo describe como poseedor de una facultad matemática natural fenomenal superior a la de cualquiera de sus contemporáneos. Fue el examinador de Napoleón cuando Napoleón asistió a la Ecole Militaire en París en 1784. Laplace se convirtió en un conde del Imperio en 1806 y fue nombrado marqués en 1817, después de la Restauración Borbónica.
Primeros años
Algunos registros de la vida de Laplace fueron quemados en 1925 con el castillo de la familia en Saint Julien de Mailloc, cerca de Lisieux, el hogar de su tataranieto el conde de Colbert-Laplace.Otros habían sido destruidos antes, cuando su casa en Arcueil, cerca de París, fue saqueada por los que rompieron la casa en 1871.
Laplace nació en Beaumont-en-Auge, Normandía el 23 de marzo de 1749, un pueblo a cuatro millas al oeste de Pont l'Eveque. Según WW Rouse Ball, su padre, Pierre de Laplace, poseía y cultivaba las pequeñas propiedades de Maarquis. Su tío abuelo, Maitre Oliver de Laplace, tenía el título de Chirurgien Royal. Parecería que de un alumno se convirtió en ujier en la escuela de Beaumont;pero, habiendo obtenido una carta de presentación a d'Alembert, se fue a París para avanzar en su fortuna. Sin embargo, Karl Pearson es mordaz sobre las inexactitudes en la cuenta de Rouse Ball y afirma:
Sus padres eran de familias cómodas. Su padre era Pierre Laplace, y su madre era Marie-Anne Sochon. La familia Laplace estuvo involucrada en la agricultura hasta al menos 1750, pero Pierre Laplace sénior también era comerciante de sidra y síndico de la ciudad de Beaumont.
Pierre Simon Laplace asistió a una escuela en el pueblo en un priorato benedictino, con la intención de que su padre sea ordenado en la Iglesia Católica Romana. A los dieciséis años, para promover la intención de su padre, fue enviado a la Universidad de Caen para leer teología.
En la universidad, fue apadrinado por dos profesores entusiastas de las matemáticas, Christophe Gadbled y Pierre Le Canu, que despertaron su celo por el tema. Aquí la brillantez de Laplace como matemático fue rápidamente reconocida y, mientras estaba todavía en Caen, escribió una memoria Sur le calcul integral de las diferencias infinito petites et aux diferencias finies . Esto proporcionó la primera relación sexual entre Laplace y Lagrange. Lagrange era el mayor por trece años, y recientemente había fundado en su ciudad natal de Turín una revista llamada Miscellanea Taurinensia , en la que se imprimieron muchas de sus primeras obras y apareció en el cuarto volumen de esta serie el trabajo de Laplace. Acerca de este momento, reconociendo que no tenía vocación para el sacerdocio, decidió convertirse en un matemático profesional. Algunas fuentes afirman que luego rompió con la iglesia y se convirtió en ateo. Laplace no se graduó en teología, sino que se fue a París con una carta de presentación de Le Canu a Jean le Rond d'Alembert, quien en ese momento era supremo en los círculos científicos.
Según su tatara-tatara-nieto, D'Alembert lo recibió bastante mal, y para deshacerse de él le dio un grueso libro de matemáticas, diciendo que volviera cuando lo había leído. Cuando Laplace regresó unos días después, d'Alembert fue aún menos amistoso y no ocultó su opinión de que era imposible que Laplace pudiera haber leído y entendido el libro. Pero al interrogarlo, se dio cuenta de que era verdad, y desde ese momento tomó a Laplace bajo su cuidado.
Otra cuenta es que Laplace resolvió de la noche a la mañana un problema que d'Alembert le propuso someter a la semana siguiente, y luego resolvió un problema más difícil la noche siguiente.D'Alembert quedó impresionado y lo recomendó para un lugar de enseñanza en la École Militaire .
Con un ingreso seguro y una enseñanza poco exigente, Laplace se lanzó ahora a la investigación original y durante los siguientes diecisiete años, 1771-1787, produjo gran parte de su trabajo original en astronomía.
De 1780 a 1784, Laplace y el químico francés Antoine Lavoisier colaboraron en varias investigaciones experimentales, diseñando sus propios equipos para la tarea. En 1783 publicaron su artículo conjunto, Memoir on Heat, en el que discutieron la teoría cinética del movimiento molecular. En sus experimentos, midieron el calor específico de varios cuerpos y la expansión de los metales al aumentar la temperatura. También midieron los puntos de ebullición del etanol y el éter bajo presión.
Laplace impresionó aún más al marqués de Condorcet, y ya en 1771 Laplace se sintió con derecho a ser miembro de la Academia de Ciencias francesa. Sin embargo, ese año la admisión fue a Alexandre-Théophile Vandermonde y en 1772 a Jacques Antoine Joseph Cousin. Laplace estaba descontento, y a principios de 1773 d'Alembert escribió a Lagrange en Berlín para preguntar si se podía encontrar un puesto para Laplace allí. Sin embargo, Condorcet se convirtió en secretario permanente de la Académie en febrero y Laplace fue elegido miembro asociado el 31 de marzo, a los 24 años. En 1773, Laplace leyó su artículo sobre la invariabilidad del movimiento planetario frente a la Academia de Ciencias. Ese marzo fue elegido para la academia, un lugar donde dirigió la mayoría de su ciencia.
El 15 de marzo de 1788, a la edad de treinta y nueve años, Laplace se casó con Marie-Charlotte de Courty de Romanges, una mujer de dieciocho años de una «buena» familia en Besançon. La boda se celebró en Saint-Sulpice, París. La pareja tuvo un hijo, Charles-Émile (1789-1874), y una hija, Sophie-Suzanne (1792-1813).
Análisis, probabilidad y estabilidad astronómica
La primera obra publicada de Laplace en 1771 comenzó con ecuaciones diferenciales y diferencias finitas, pero ya empezaba a pensar en los conceptos matemáticos y filosóficos de probabilidad y estadística. Sin embargo, antes de su elección a la Académie en 1773, ya había redactado dos documentos que establecerían su reputación. La primera, Mémoire sur la probabilité des causes par les événements se publicó finalmente en 1774, mientras que el segundo documento, publicado en 1776, elaboró aún más su pensamiento estadístico y también comenzó su trabajo sistemático sobre la mecánica celeste y la estabilidad del Sistema Solar. Las dos disciplinas siempre estarían interrelacionadas en su mente. "Laplace tomó la probabilidad como un instrumento para reparar defectos en el conocimiento". El trabajo de Laplace sobre probabilidad y estadística se discute a continuación con su trabajo maduro sobre la teoría analítica de las probabilidades.
Estabilidad del Sistema Solar
Sir Isaac Newton había publicado su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687 en la cual daba una derivación de las leyes de Kepler, que describen el movimiento de los planetas, de sus leyes del movimiento y su ley de la gravitación universal. Sin embargo, aunque Newton había desarrollado en privado los métodos de cálculo, todo su trabajo publicado utilizó un engorroso razonamiento geométrico, inadecuado para explicar los efectos más sutiles de orden superior de las interacciones entre los planetas. Newton mismo había dudado de la posibilidad de una solución matemática para el todo, llegando incluso a la conclusión de que la intervención divina periódica era necesaria para garantizar la estabilidad del Sistema Solar. Prescindir de la hipótesis de la intervención divina sería una actividad importante de la vida científica de Laplace. Ahora se considera generalmente que los métodos de Laplace en sí mismos, aunque vitales para el desarrollo de la teoría, no son lo suficientemente precisos para demostrar la estabilidad del Sistema Solar, y de hecho, se entiende que el Sistema Solar es caótico, aunque sucede que ser bastante estable.
Un problema particular de la astronomía observacional fue la aparente inestabilidad por la cual la órbita de Júpiter parecía reducirse mientras que la de Saturno se estaba expandiendo. El problema había sido abordado por Leonhard Euler en 1748 y Joseph Louis Lagrange en 1763, pero sin éxito. En 1776, Laplace publicó una memoria en la que primero exploró las posibles influencias de un supuesto éter luminífero o de una ley de gravitación que no actuó instantáneamente. Finalmente regresó a una inversión intelectual en la gravedad newtoniana. Euler y Lagrange hicieron una aproximación práctica al ignorar términos pequeños en las ecuaciones de movimiento. Laplace notó que aunque los términos en sí mismos eran pequeños, cuando se integraban con el tiempo podían volverse importantes. Laplace llevó su análisis a los términos de orden superior, hasta el cúbico incluido. Utilizando este análisis más exacto, Laplace concluyó que dos planetas y el sol deben estar en equilibrio mutuo y, por lo tanto, lanzó su trabajo sobre la estabilidad del Sistema Solar. Gerald James Whitrow describió el logro como "el avance más importante en la astronomía física desde Newton".
Laplace tenía un amplio conocimiento de todas las ciencias y dominaba todas las discusiones en la Académie . Laplace parece haber considerado el análisis simplemente como un medio para atacar problemas físicos, aunque la habilidad con la que inventó el análisis necesario es casi fenomenal.Mientras sus resultados fueran verdaderos, se tomó muy poco trabajo en explicar los pasos por los cuales llegó a ellos; nunca estudió elegancia o simetría en sus procesos, y fue suficiente para él si de alguna manera pudiera resolver la pregunta particular que estaba discutiendo.
Dinámica de marea
Teoría dinámica de las mareas
Mientras Newton explicaba las mareas describiendo las fuerzas generadoras de mareas y Bernoulli daba una descripción de la reacción estática de las aguas en la Tierra al potencial de las mareas, la teoría dinámica de las mareas , desarrollada por Laplace en 1775, describe la reacción real del océano a las mareas efectivo. La teoría de Laplace de las mareas oceánicas tuvo en cuenta la fricción, la resonancia y los períodos naturales de las cuencas oceánicas. Predijo los grandes sistemas anfidrómicos en las cuencas oceánicas del mundo y explica las mareas oceánicas que realmente se observan.
La teoría del equilibrio, basada en el gradiente gravitacional del Sol y la Luna, pero ignorando la rotación de la Tierra, los efectos de los continentes y otros efectos importantes, no podría explicar las mareas reales del océano.
Dado que las mediciones han confirmado la teoría, muchas cosas tienen posibles explicaciones ahora, como la forma en que las mareas interactúan con las crestas de los mares profundos y las cadenas de montes submarinos dan lugar a profundos remolinos que transportan los nutrientes desde la profundidad a la superficie. La teoría de la marea de equilibrio calcula la altura de la onda de marea de menos de medio metro, mientras que la teoría dinámica explica por qué las mareas miden hasta 15 metros. Las observaciones de satélite confirman la precisión de la teoría dinámica, y las mareas en todo el mundo ahora se miden en unos pocos centímetros.Las mediciones del satélite CHAMP coinciden estrechamente con los modelos basados en los datos TOPEX. Los modelos precisos de mareas en todo el mundo son esenciales para la investigación ya que las variaciones debidas a las mareas deben eliminarse de las mediciones al calcular la gravedad y los cambios en los niveles del mar.
Ecuaciones de las mareas de Laplace
En 1776, Laplace formuló un único conjunto de ecuaciones diferenciales parciales lineales, para flujo mareal descrito como un flujo de hoja bidimensional barotrópico. Se introducen los efectos de Coriolis y el forzamiento lateral por gravedad. Laplace obtuvo estas ecuaciones simplificando las ecuaciones dinámicas de fluidos. Pero también pueden derivarse de integrales de energía a través de la ecuación de Lagrange.
Para una lámina fluida de espesor promedio D , la elevación vertical de marea ζ , así como las componentes de velocidad horizontal uyv (en las direcciones de latitud φ y longitud λ , respectivamente) satisfacen las ecuaciones de marea de Laplace :
![{\ begin {aligned} {\ frac {\ partial \ zeta} {\ partial t}} & + {\ frac {1} {a \ cos (\ varphi)}} \ left [{\ frac {\ partial} { \ partial \ lambda}} (uD) + {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \ left (vD \ cos (\ varphi) \ right) \ right] = 0, \\ [2ex] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} & - v \ left (2 \ Omega \ sin (\ varphi) \ right) + {\ frac {1} {a \ cos (\ varphi)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ lambda}} \ left (g \ zeta + U \ right) = 0 \ qquad {\ text {and}} \\ [2ex] {\ frac {\ partial v} {\ partial t }} & + u \ left (2 \ Omega \ sin (\ varphi) \ right) + {\ frac {1} {a}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \ left (g \ zeta + U \ right) = 0, \ end {aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601d1e09a0888770e6a0fbdd06f9376f2b9403b5)
donde Ω es la frecuencia angular de la rotación del planeta, g es la aceleración gravitacional del planeta en la superficie media del océano, a es el radio planetario y U es el potencial de fuerza de marea gravitacional externa.
William Thomson (Lord Kelvin) reescribió los términos de momento de Laplace usando el rizo para encontrar una ecuación de vorticidad. Bajo ciertas condiciones, esto se puede volver a escribir como una conservación de la vorticidad.
En la figura de la Tierra
Durante los años 1784-1787 publicó algunas memorias de un poder excepcional. Entre ellos destaca uno leído en 1783, reimpreso como Parte II de Théorie du Mouvement et de la figure elliptique des planètes en 1784, y en el tercer volumen de la Mécanique céleste . En este trabajo, Laplace determinó por completo la atracción de un esferoide en una partícula fuera de él. Esto es memorable para la introducción en el análisis de los armónicos esféricos o los coeficientes de Laplace , y también para el desarrollo del uso de lo que ahora llamaríamos el potencial gravitacional en la mecánica celeste.
Armónicos esféricos
En 1783, en un documento enviado a la Académie , Adrien-Marie Legendre introdujo lo que ahora se conoce como funciones asociadas de Legendre. Si dos puntos en un plano tienen coordenadas polares ( r , θ) y ( r ', θ'), donde r '≥ r , entonces, mediante la manipulación elemental, el recíproco de la distancia entre los puntos, d , puede ser Escrito como:
![{\ frac {1} {d}} = {\ frac {1} {r '}} \ left [1-2 \ cos (\ theta' - \ theta) {\ frac {r} {r '}} + \ left ({\ frac {r} {r '}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {{- {\ tfrac {1} {2}}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea54b1c6f95725f7ff719799b85635a92b103d4)
Esta expresión se puede expandir en potencias de r / r 'usando el teorema binomial generalizado de Newton para dar:
La secuencia de funciones P k (cosф) es el conjunto de las llamadas "funciones de Legendre asociadas" y su utilidad surge del hecho de que cada función de los puntos en un círculo se puede expandir como una serie de ellos.
Laplace, con escaso respeto por el crédito de Legendre, hizo la extensión no trivial del resultado a tres dimensiones para producir un conjunto más general de funciones, los armónicos esféricos o los coeficientes de Laplace . El último término no es de uso común ahora.
Teoría potencial
Este documento también es notable por el desarrollo de la idea del potencial escalar. La fuerza gravitacional que actúa sobre un cuerpo es, en lenguaje moderno, un vector, que tiene magnitud y dirección. Una función potencial es una función escalar que define cómo se comportarán los vectores. Una función escalar es computacional y conceptualmente más fácil de tratar que una función vectorial.
Alexis Clairaut sugirió la idea por primera vez en 1743 mientras trabajaba en un problema similar, aunque utilizaba un razonamiento geométrico de tipo newtoniano. Laplace describió el trabajo de Clairaut como "en la clase de las producciones matemáticas más bellas". Sin embargo, Rouse Ball alega que la idea "fue apropiada por Joseph Louis Lagrange, quien la usó en sus memorias de 1773, 1777 y 1780". El término "potencial" se debió a Daniel Bernoulli, quien lo introdujo en su memoria de 1738 Hydrodynamica . Sin embargo, según Rouse Ball, el término "función potencial" no se usó realmente (para referirse a una función V de las coordenadas del espacio en el sentido de Laplace) hasta 1828 de George Green. Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y Magnetismo.
Laplace aplicó el lenguaje del cálculo a la función potencial y mostró que siempre satisface la ecuación diferencial:
Análogamente, Leonhard Euler había obtenido un resultado análogo para el potencial de velocidad de un fluido.
El trabajo posterior de Laplace sobre la atracción gravitacional se basó en este resultado. La cantidad ∇ V se ha denominado concentración de V y su valor en cualquier punto indica el "exceso" del valor de V allí sobre su valor medio en la vecindad del punto. La ecuación de Laplace, un caso especial de la ecuación de Poisson, aparece omnipresente en la física matemática. El concepto de potencial ocurre en dinámica de fluidos, electromagnetismo y otras áreas. Rouse Ball especuló que podría verse como "el signo externo" de una de las formas a priori en la teoría de la percepción de Kant.
Los armónicos esféricos resultan ser críticos para las soluciones prácticas de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, como la que se usa para mapear el cielo, puede simplificarse, utilizando el método de separación de variables en una parte radial, dependiendo únicamente de la distancia desde el punto central, y una parte angular o esférica. La solución a la parte esférica de la ecuación se puede expresar como una serie de armónicos esféricos de Laplace, simplificando el cálculo práctico.
Desigualdades planetarias y lunares
Gran desigualdad entre Júpiter y Saturno
Laplace presentó una memoria sobre las desigualdades planetarias en tres secciones, en 1784, 1785 y 1786. Esta trataba principalmente de la identificación y explicación de las perturbaciones ahora conocidas como la "gran desigualdad entre Júpiter y Saturno". Laplace resolvió un problema de larga data en el estudio y la predicción de los movimientos de estos planetas. Mostró por consideraciones generales, primero, que la acción mutua de dos planetas nunca podría causar grandes cambios en las excentricidades e inclinaciones de sus órbitas; pero, aún más importante, las peculiaridades surgieron en el sistema de Júpiter-Saturno debido al acercamiento cercano a la conmensurabilidad de los movimientos medios de Júpiter y Saturno.
En este contexto, la conmensurabilidad significa que la relación de los movimientos medios de los dos planetas es muy similar a la relación entre un par de números enteros pequeños. Dos períodos de la órbita de Saturno alrededor del Sol casi equivalen a cinco de Júpiter. La diferencia correspondiente entre los múltiplos de los movimientos medios, (2 n J - 5 n S ) , corresponde a un período de casi 900 años, y se produce como un pequeño divisor en la integración de una fuerza perturbadora muy pequeña con este mismo período. Como resultado, las perturbaciones integradas con este período son desproporcionadamente grandes, alrededor de 0,8 ° grados de arco en longitud orbital para Saturno y alrededor de 0,3 ° para Júpiter.
Desarrollos posteriores de estos teoremas sobre el movimiento planetario fueron dados en sus dos memorias de 1788 y 1789, pero con la ayuda de los descubrimientos de Laplace, las tablas de los movimientos de Júpiter y Saturno finalmente podrían hacerse mucho más precisas. Fue sobre la base de la teoría de Laplace que Delambre calculó sus tablas astronómicas.
Libros
Laplace se propuso escribir una obra que debería "ofrecer una solución completa al gran problema mecánico presentado por el Sistema Solar, y hacer que la teoría coincida tan estrechamente con la observación de que las ecuaciones empíricas ya no deberían encontrar un lugar en las tablas astronómicas. " El resultado se materializa en la Exposition du système du monde y el Mécanique céleste .
El primero fue publicado en 1796, y da una explicación general de los fenómenos, pero omite todos los detalles. Contiene un resumen de la historia de la astronomía. Este resumen obtuvo para su autor el honor de ser admitido en los cuarenta de la Academia Francesa y es comúnmente apreciada como una de las obras maestras de la literatura francesa, aunque no es del todo confiable para los períodos posteriores de los que trata.
Laplace desarrolló la hipótesis nebular de la formación del Sistema Solar, sugerida por primera vez por Emanuel Swedenborg y expandida por Immanuel Kant, una hipótesis que continúa dominando las cuentas del origen de los sistemas planetarios. Según la descripción de Laplace de la hipótesis, el Sistema Solar había evolucionado a partir de una masa globular de gas incandescente que giraba alrededor de un eje a través de su centro de masa. Al enfriarse, esta masa se contrajo, y anillos sucesivos se desprendieron de su borde externo. Estos anillos a su vez se enfriaron y finalmente se condensaron en los planetas, mientras que el sol representaba el núcleo central que aún quedaba.Según esta visión, Laplace predijo que los planetas más distantes serían más antiguos que los más cercanos al sol.
Como se mencionó, la idea de la hipótesis nebular había sido delineada por Immanuel Kant en 1755, y también había sugerido "agregaciones meteóricas" y la fricción de las mareas como causas que afectan la formación del Sistema Solar. Laplace probablemente estaba al tanto de esto, pero, como muchos escritores de su tiempo, generalmente no hacía referencia al trabajo de otros.
La discusión analítica de Laplace sobre el Sistema Solar se da en su Mécanique céleste, publicada en cinco volúmenes. Los dos primeros volúmenes, publicados en 1799, contienen métodos para calcular los movimientos de los planetas, determinar sus figuras y resolver los problemas de las mareas. El tercer y cuarto volúmenes, publicados en 1802 y 1805, contienen aplicaciones de estos métodos y varias tablas astronómicas. El quinto volumen, publicado en 1825, es principalmente histórico, pero da como apéndices los resultados de las últimas investigaciones de Laplace. Las propias investigaciones de Laplace plasmadas en él son tan numerosas y valiosas que es lamentable tener que agregar que muchos resultados son apropiados de otros escritores con escaso o nulo reconocimiento, y las conclusiones, que han sido descritas como el resultado organizado de un siglo de pacientes trabajo - se mencionan con frecuencia como si se debieran a Laplace.
Jean-Baptiste Biot, quien ayudó a Laplace a revisarlo para la prensa, dice que el propio Laplace a menudo no podía recuperar los detalles en la cadena de razonamiento, y, si estaba satisfecho de que las conclusiones fueran correctas, se contentaba con insertar el constantemente recurrente fórmula, " Il est aisé à voir que ... " ("Es fácil ver que ..."). El Mécanique céleste no es solo la traducción de los Principia de Newton al lenguaje del cálculo diferencial, sino que completa partes de las cuales Newton no pudo completar los detalles. El trabajo fue llevado adelante en una forma más finamente ajustada en Traité de mécanique céleste (1889-1896) de Félix Tisserand, pero el tratado de Laplace siempre seguirá siendo una autoridad estándar. En los años 1784-1787, Laplace produjo algunas memorias de un poder excepcional. El significativo entre ellos fue uno emitido en 1784, y reimpreso en el tercer volumen del Méchanique céleste. En este trabajo, determinó por completo la atracción de un esferoide en una partícula fuera de él. Esto es conocido por la introducción en el análisis del potencial, un concepto matemático útil de amplia aplicabilidad a las ciencias físicas.
Agujeros negros
Laplace también estuvo a punto de proponer el concepto del agujero negro. Sugirió que podría haber estrellas masivas cuya gravedad es tan grande que ni siquiera la luz podría escapar de su superficie (ver velocidad de escape).
Arcueil
En 1806, Laplace compró una casa en Arcueil, que entonces era un pueblo y aún no había sido absorbida por la conurbación de París. Claude Louis Berthollet era un vecino -sus jardines no estaban separados- y formaban el núcleo de un círculo científico informal, conocido más tarde como la Sociedad de Arcueil.Debido a su cercanía con Napoleón, Laplace y Berthollet controlaron efectivamente el avance en el establecimiento científico y la admisión a las oficinas más prestigiosas. La Sociedad construyó una compleja pirámide de mecenazgo. En 1806, Laplace también fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias.
Teoría analítica de probabilidades
En 1812, Laplace emitió su Théorie analytique des probabilités en la que estableció muchos resultados fundamentales en estadística. La primera mitad de este tratado se refería a los métodos y problemas de probabilidad, la segunda mitad a los métodos y aplicaciones estadísticos. Las pruebas de Laplace no siempre son rigurosas según los estándares de un día posterior, y su perspectiva se desliza hacia adelante y hacia atrás entre los puntos de vista bayesiano y no bayesiano con una facilidad que hace que algunas de sus investigaciones sean difíciles de seguir, pero sus conclusiones son básicamente sólidas en esas pocas situaciones donde su análisis se extravía. En 1819, publicó una cuenta popular de su trabajo sobre la probabilidad. Este libro tiene la misma relación con la Théorie des probabilités que el Système du monde hace al Méchanique céleste . En su énfasis en la importancia analítica de los problemas probabilísticos, especialmente en el contexto de la "aproximación de funciones de fórmula de grandes números", el trabajo de Laplace va más allá de la visión contemporánea que consideraba casi exclusivamente aspectos de aplicabilidad práctica. La Théorie analytique de Laplace siguió siendo el libro más influyente de la teoría de la probabilidad matemática hasta el final del siglo XIX. La relevancia general para las estadísticas de la teoría del error laplaciano solo se apreció a fines del siglo XIX. Sin embargo, influyó en el desarrollo posterior de una teoría de probabilidad orientada en gran medida analíticamente.
Probabilidad inductiva
En su Essai philosophique sur les probabilités (1814), Laplace estableció un sistema matemático de razonamiento inductivo basado en la probabilidad, que hoy reconoceríamos como bayesiano.Comienza el texto con una serie de principios de probabilidad, los primeros seis son:
- La probabilidad es la relación entre los "eventos favorecidos" y el total de eventos posibles.
- El primer principio asume probabilidades iguales para todos los eventos. Cuando esto no es cierto, primero debemos determinar las probabilidades de cada evento. Entonces, la probabilidad es la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos favorecidos.
- Para eventos independientes, la probabilidad de que ocurra todo es la probabilidad de que cada uno se multiplique.
- Para eventos no independientes, la probabilidad de que el evento B siga al evento A (o el evento A que causa B) es la probabilidad de que A se multiplique por la probabilidad de que A y B ocurran ambos.
- La probabilidad de que ocurra A , dado que B ha ocurrido, es la probabilidad de que A y Bocurran divididos por la probabilidad de B.
- Se dan tres corolarios para el sexto principio, que equivalen a la probabilidad bayesiana.Donde evento A i ∈ { A 1 , A 2 , ... A n } agota la lista de posibles causas para el evento B , Pr ( B ) = Pr ( A 1 , A 2 , ..., A n ) . Entonces
Una fórmula bien conocida que surge de su sistema es la regla de sucesión, dada como el principio siete. Supongamos que alguna prueba tiene solo dos resultados posibles, etiquetados como "éxito" y "falla". Bajo el supuesto de que poco o nada se sabe a priori sobre las plausibilidades relativas de los resultados, Laplace derivó una fórmula para la probabilidad de que la próxima prueba sea un éxito.
donde s es el número de éxitos observados previamente yn es el número total de ensayos observados. Todavía se usa como un estimador de la probabilidad de un evento si conocemos el espacio del evento, pero solo tenemos un pequeño número de muestras.
La regla de sucesión ha sido objeto de muchas críticas, en parte debido al ejemplo que Laplace eligió para ilustrarlo. Calculó que la probabilidad de que el sol salga mañana, dado que nunca ha fallado en el pasado, era
donde d es la cantidad de veces que el sol ha subido en el pasado. Este resultado ha sido ridiculizado como absurdo, y algunos autores han llegado a la conclusión de que todas las aplicaciones de la Regla de Sucesión son absurdas por extensión. Sin embargo, Laplace era plenamente consciente de lo absurdo del resultado; Inmediatamente después del ejemplo, escribió: "Pero este número [es decir, la probabilidad de que el sol salga mañana] es mucho mayor para él que, viendo en la totalidad de los fenómenos el principio que regula los días y las estaciones, se da cuenta de que nada en el el momento presente puede detener el curso de la misma ".
Función de generación de probabilidad
El método de estimación de la proporción entre el número de casos favorables y el número total de casos posibles había sido indicado previamente por Laplace en un documento escrito en 1779. Consiste en tratar los valores sucesivos de cualquier función como los coeficientes en la expansión de otro. función, con referencia a una variable diferente. Por lo tanto, a este último se le llama función generadora de probabilidad del primero. Laplace muestra cómo, mediante la interpolación, estos coeficientes pueden determinarse a partir de la función generadora. Luego ataca el problema inverso, y de los coeficientes encuentra la función generadora; esto se efectúa mediante la solución de una ecuación de diferencia finita.
Mínimos cuadrados y teorema del límite central
El cuarto capítulo de este tratado incluye una exposición del método de los mínimos cuadrados, un notable testimonio del dominio de Laplace sobre los procesos de análisis. En 1805 Legendre había publicado el método de los mínimos cuadrados, sin intentar vincularlo a la teoría de la probabilidad.En 1809 Gauss había derivado la distribución normal del principio de que la media aritmética de las observaciones da el valor más probable para la cantidad medida; luego, al volver este argumento sobre sí mismo, mostró que, si los errores de observación se distribuyen normalmente, las estimaciones de mínimos cuadrados dan los valores más probables para los coeficientes en situaciones de regresión. Estas dos obras parecen haber estimulado a Laplace a completar el trabajo hacia un tratado de probabilidad que había contemplado ya en 1783.
En dos documentos importantes en 1810 y 1811, Laplace desarrolló por primera vez la función característica como una herramienta para la teoría de grandes muestras y demostró ser el primer teorema del límite central general. Luego, en un suplemento a su artículo de 1810 escrito después de haber visto el trabajo de Gauss, mostró que el teorema del límite central proporcionaba una justificación bayesiana para los mínimos cuadrados: si uno combinaba observaciones, cada una de las cuales era la media de un gran número de observaciones independientes, entonces las estimaciones de mínimos cuadrados no solo maximizarían la función de verosimilitud, considerada como una distribución posterior, sino que también minimizarían el error posterior esperado, todo esto sin suponer una distribución de error o una apelación circular al principio de la aritmética media. En 1811, Laplace adoptó una táctica diferente no bayesiana. Considerando un problema de regresión lineal, restringió su atención a los estimadores lineales insesgados de los coeficientes lineales. Después de mostrar que los miembros de esta clase tenían una distribución aproximadamente normal si el número de observaciones era grande, argumentó que los mínimos cuadrados proporcionaban los "mejores" estimadores lineales. Aquí es "mejor" en el sentido de que minimiza la varianza asintótica y, por lo tanto, minimiza el valor absoluto esperado del error y maximiza la probabilidad de que la estimación se encuentre en cualquier intervalo simétrico sobre el coeficiente desconocido, sin importar el error distribución. Su derivación incluyó la distribución límite conjunta de los estimadores de mínimos cuadrados de dos parámetros.
Demonio de Laplace
En 1814, Laplace publicó lo que generalmente se conoce como la primera articulación del determinismo causal o científico:
Este intelecto a menudo se conoce como el demonio de Laplace (en la misma línea que el demonio de Maxwell ) y, a veces, el superhombre de Laplace (después de Hans Reichenbach). Laplace, él mismo, no usó la palabra "demonio", que fue un embellecimiento posterior. Como se tradujo al inglés anterior, simplemente se refirió a: "Una inteligencia ... Rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé, serait présent à ses yeux".
Aunque se sabe que Laplace fue el primero en expresar tales ideas sobre el determinismo causal, su punto de vista es muy similar al propuesto por Boscovich ya en 1763 en su libro Theoria philosophiae naturalis .
Laplace transforma
Ya en 1744, Euler, seguido por Lagrange, había comenzado a buscar soluciones de ecuaciones diferenciales en la forma:
En 1785, Laplace dio el paso clave al usar integrales de esta forma para transformar una ecuación de diferencia entera, en lugar de simplemente como una forma para la solución, y descubrió que la ecuación transformada era más fácil de resolver que la original.
Otros descubrimientos y logros
Matemáticas
Entre los otros descubrimientos de Laplace en las matemáticas puras y aplicadas están:
- Discusión, contemporáneamente con Alexandre-Théophile Vandermonde, de la teoría general de los determinantes, (1772);
- Prueba de que cada ecuación de un grado par debe tener al menos un factor cuadrático real;
- Método de Laplace para aproximar integrales
- Solución de la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden;
- Fue el primero en considerar los difíciles problemas implicados en ecuaciones de diferencias mixtas, y para demostrar que la solución de una ecuación en diferencias finitas de primer grado y segundo orden siempre puede obtenerse en forma de una fracción continua; y
- En su teoría de probabilidades:
- Teorema de Moivre-Laplace que se aproxima a la distribución binomial con una distribución normal
- Evaluación de varias integrales definidas comunes; y
- Prueba general del teorema de reversión de Lagrange.
Tensión superficial
Laplace se basó en el trabajo cualitativo de Thomas Young para desarrollar la teoría de la acción capilar y la ecuación de Young-Laplace.
Velocidad del sonido
Laplace en 1816 fue el primero en señalar que la velocidad del sonido en el aire depende de la relación de capacidad de calor. La teoría original de Newton dio un valor demasiado bajo, porque no tiene en cuenta la compresión adiabática del aire que da como resultado un aumento local de la temperatura y la presión. Las investigaciones de Laplace en física práctica se limitaron a las realizadas por él conjuntamente con Lavoisier en los años 1782 a 1784 sobre el calor específico de varios cuerpos.
Política
Ministro del Interior
En sus primeros años, Laplace tuvo cuidado de nunca involucrarse en política, o de hecho en la vida fuera de la Académie des sciences . Se retiró prudentemente de París durante la parte más violenta de la Revolución.
En noviembre de 1799, inmediatamente después de tomar el poder en el golpe de 18 Brumaire, Napoleón nombró a Laplace para el cargo de ministro del Interior. La cita, sin embargo, duró solo seis semanas, después de las cuales Lucien, el hermano de Napoleón, recibió el puesto.Evidentemente, una vez que el poder de Napoleón estaba asegurado, no había necesidad de un científico prestigioso pero inexperto en el gobierno. Napoleón más tarde (en sus Mémoires de Sainte Hélène ) escribió sobre el despido de Laplace de la siguiente manera:
Grattan-Guinness, sin embargo, describe estas observaciones como "tendenciosas", ya que parece no haber duda de que Laplace "solo fue designado como un testaferro a corto plazo, un poseedor de un lugar mientras Napoleón consolidó el poder".
De Bonaparte a los Borbones
Aunque Laplace fue removido de su cargo, era deseable mantener su lealtad. En consecuencia fue elevado al Senado, y al tercer volumen de la Mécanique céleste prefirió una nota que de todas las verdades en ella contenidas la más preciosa para el autor era la declaración que hizo de su devoción por el pacificador de Europa. En copias vendidas después de la Restauración Borbónica esto fue tachado. (Pearson señala que el censor no lo habría permitido de todos modos.) En 1814 era evidente que el imperio estaba cayendo; Laplace se apresuró a ofrecer sus servicios a los Borbones, y en 1817 durante la Restauración fue recompensado con el título de marqués.
Según Rouse Ball, el desprecio que sintieron sus colegas más honestos por su conducta en el asunto puede leerse en las páginas de Paul Louis Courier. Su conocimiento fue útil en las numerosas comisiones científicas a las que prestó servicios, y, dice Rouse Ball, probablemente explica la manera en que su insinceridad política fue pasada por alto.
Roger Hahn en su biografía de 2005 discute esta representación de Laplace como un oportunista y renegado, señalando que, como muchos en Francia, había seguido la debacle de la campaña rusa de Napoleón con serias dudas. Los Laplaces, cuya única hija, Sophie, había muerto al dar a luz en septiembre de 1813, temen por la seguridad de su hijo Émile, que estaba en el frente oriental con el emperador. Napoleón había llegado originalmente al poder prometiendo estabilidad, pero estaba claro que se había excedido en sus esfuerzos, poniendo a la nación en peligro. Fue en este punto que la lealtad de Laplace comenzó a debilitarse. Aunque todavía tenía fácil acceso a Napoleón, sus relaciones personales con el emperador se enfriaron considerablemente. Como un padre afligido, fue particularmente atacado por la insensibilidad de Napoleón en un intercambio relacionado por Jean-Antoine Chaptal: "A su regreso de la derrota en Leipzig, [Napoleón] abordó al Sr. Laplace: '¡Oh! Veo que usted se han vuelto delgados-Señor, he perdido a mi hija-¡Oh !, esa no es una razón para perder peso. Eres un matemático, pon este evento en una ecuación, y encontrarás que se suma a cero ".
Filosofia politica
En la segunda edición (1814) de Essai philosophique , Laplace agregó algunos comentarios reveladores sobre política y gobierno. Dado que es, dice, "la práctica de los principios eternos de la razón, la justicia y la humanidad que producen y preservan las sociedades, hay una gran ventaja al adherirse a estos principios, y una gran inconveniencia para desviarse de ellos". Señalando "las profundidades de la miseria en que los pueblos han sido arrojados" cuando los líderes ambiciosos ignoran estos principios, Laplace critica veladamente la conducta de Napoleón: "Cada vez que una gran potencia intoxicada por el amor a la conquista aspira a la dominación universal, la sensación de libertad entre las naciones injustamente amenazadas se engendra una coalición a la que siempre sucumbe ". Laplace argumenta que "en medio de las múltiples causas que dirigen y restringen varios estados, operan límites naturales", dentro de los cuales es "importante que permanezcan la estabilidad y la prosperidad de los imperios". Los Estados que transgreden estos límites no pueden evitar ser "revertidos" hacia ellos, "como ocurre cuando las aguas de los mares cuyo piso ha sido levantado por tempestades violentas vuelven a su nivel por la acción de la gravedad".
Sobre los trastornos políticos que había presenciado, Laplace formuló un conjunto de principios derivados de la física para favorecer el cambio evolutivo sobre el revolucionario:
En estas líneas, Laplace expresó las opiniones a las que había llegado después de experimentar la Revolución y el Imperio. Creía que la estabilidad de la naturaleza, según lo revelado a través de los hallazgos científicos, proporcionaba el modelo que mejor ayudaba a preservar la especie humana."Tales puntos de vista", comenta Hahn, "también formaban parte de su carácter firme".
Muerte
Laplace murió en París en 1827. Su médico, François Magendie, le retiró el cerebro y lo mantuvo durante muchos años, y finalmente lo exhibió en un museo itinerante de anatomía en Gran Bretaña.Según los informes, era más pequeño que el cerebro promedio. Laplace fue enterrado en Père Lachaise en París, pero en 1888 sus restos fueron trasladados a Saint Julien de Mailloc en el cantón de Orbec y reinterpretados en la finca familiar. La tumba está situada en una colina que domina la aldea de St Julien de Mailloc, Normandía, Francia.
Opiniones religiosas
No tenía necesidad de esa hipótesis
Una interacción frecuentemente citada pero apócrifa entre Laplace y Napoleón se refiere supuestamente a la existencia de Dios. Una versión típica es proporcionada por Rouse Ball:
Un informe anterior, aunque sin mencionar el nombre de Laplace, se encuentra en Los últimos momentos de Napoleón (1825) de Antommarchi:
En 1884, sin embargo, el astrónomo Hervé Faye afirmó que este relato del intercambio de Laplace con Napoleón presentaba una versión "extrañamente transformada" ( étrangement transformée ) o confusa de lo que realmente había sucedido. No fue Dios lo que Laplace había tratado como una hipótesis, sino simplemente su intervención en un punto determinado:
El colega más joven de Laplace, el astrónomo François Arago, que pronunció su elogio ante la Academia Francesa en 1827, le contó a Faye un intento de Laplace de mantener fuera de circulación la versión confusa de su interacción con Napoleón. Faye escribe:
El historiador suizoamericano de las matemáticas Florian Cajori parece haber ignorado la investigación de Faye, pero en 1893 llegó a una conclusión similar. Stephen Hawking dijo en 1999: "No creo que Laplace afirmara que Dios no existe. Es solo que no interviene, quebranta las leyes de la Ciencia".
El único relato de testigos presenciales de la interacción de Laplace con Napoleón proviene de la entrada del 8 de agosto de 1802 en el diario del astrónomo británico Sir William Herschel:
Como esto no menciona a Laplace diciendo: "No tenía necesidad de esa hipótesis", Daniel Johnson argumenta que "Laplace nunca usó las palabras que se le atribuyeron". El testimonio de Arago, sin embargo, parece implicar que lo hizo, pero no en referencia a la existencia de Dios.
Vistas de Dios
Nacido en una religión católica, Laplace aparece en la vida adulta como inclinado al deísmo (presumiblemente su posición considerada, ya que es la única que se encuentra en sus escritos). Sin embargo, algunos de sus contemporáneos pensaron que era ateo, mientras que varios estudiosos recientes lo describieron como agnóstico.
Faye pensó que Laplace "no profesaba ateísmo", pero Napoleón, en Santa Helena, le dijo al general Gaspard Gourgaud: "A menudo le preguntaba a Laplace qué pensaba de Dios. Él sabía que era ateo". Roger Hahn, en su biografía de Laplace, menciona una cena en la que "el geólogo Jean-Étienne Guettard se tambaleó por la audaz denuncia de Laplace de la existencia de Dios". A Guettard le pareció que el ateísmo de Laplace "estaba respaldado por un materialismo riguroso". Pero el químico Jean-Baptiste Dumas, que conoció bien a Laplace en la década de 1820, escribió que Laplace "proporcionó a los materialistas sus argumentos engañosos, sin compartir sus convicciones".
Hahn afirma: "En ninguna parte de sus escritos, públicos o privados, Laplace niega la existencia de Dios". Las expresiones ocurren en sus cartas privadas que parecen inconsistentes con el ateísmo. El 17 de junio de 1809, por ejemplo, le escribió a su hijo, " Je prie Dieu qu'il veille sur tes jours. Aie-Le toujours présent à ta pensée, ainsi que ton père et ta mère [Rezo para que Dios vela por su días. Permítale estar siempre presente en su mente, como también su padre y su madre] ". Ian S. Glass, citando el relato de Herschel del famoso intercambio con Napoleón, escribe que Laplace era "evidentemente un deísta como Herschel".
En Exposition du système du monde , Laplace cita la afirmación de Newton de que "la maravillosa disposición del Sol, los planetas y los cometas, solo puede ser obra de un Ser todopoderoso e inteligente". Esto, dice Laplace, es un "pensamiento". en el que [Newton] estaría aún más confirmado, si hubiera sabido lo que hemos mostrado, a saber, que las condiciones de la disposición de los planetas y sus satélites son precisamente las que aseguran su estabilidad ". Al mostrar que la disposición "notable" de los planetas podría explicarse por completo mediante las leyes del movimiento, Laplace había eliminado la necesidad de que la "inteligencia suprema" interviniera, como Newton lo había "hecho". Laplace cita con aprobación la crítica de Leibniz a la invocación de Newton de la intervención divina para restablecer el orden en el Sistema Solar: "Esto es tener ideas muy limitadas sobre la sabiduría y el poder de Dios". Evidentemente compartió el asombro de Leibniz con la creencia de Newton de que "Dios ha fabricado su máquina tan mal que a menos que la afecte por algún medio extraordinario, la guardia pronto dejará de funcionar".
En un grupo de manuscritos, conservados en relativo secreto en un sobre negro en la biblioteca de la Académie des sciences y publicados por primera vez por Hahn, Laplace montó una crítica deísta al cristianismo. Es, escribe, el "primero y más infalible de los principios ... rechazar hechos milagrosos como falsos". En cuanto a la doctrina de la transubstanciación, "ofende al mismo tiempo la razón, la experiencia, el testimonio de todos nuestros sentidos, las leyes eternas de la naturaleza y las ideas sublimes que debemos formar del Ser Supremo". Es absurdo pensar que "el legislador soberano del universo suspenderá las leyes que él ha establecido, y que parece haber mantenido invariablemente".
En la vejez, Laplace sentía curiosidad por la cuestión de Dios y discutía frecuentemente el cristianismo con el astrónomo suizo Jean-Frédéric-Théodore Maurice. Le dijo a Maurice que "el cristianismo es algo muy hermoso" y elogió su influencia civilizadora. Maurice pensó que la base de las creencias de Laplace estaba, poco a poco, siendo modificada, pero que se mantuvo firme en su convicción de que la invariabilidad de las leyes de la naturaleza no permitía eventos sobrenaturales.Después de la muerte de Laplace, Poisson le dijo a Maurice: "Sabes que no comparto tus opiniones [religiosas], pero mi conciencia me obliga a contar algo que seguramente te complacerá". Cuando Poisson había felicitado a Laplace por sus "brillantes descubrimientos", el moribundo lo había mirado con una mirada pensativa y respondía: "¡Ah! Perseguimos a los fantasmas [ chimères ]". Estas fueron sus últimas palabras, interpretadas por Maurice como una realización de la última "vanidad" de las búsquedas terrenales. Laplace recibió los últimos ritos del cura de las Misiones Étrangères (en cuya parroquia sería enterrado) y el cura de Arcueil.
Sin embargo, de acuerdo con su biógrafo, Roger Hahn, "no es creíble" que Laplace "tuviera un final católico apropiado", y "permaneció escéptico" hasta el final de su vida. Laplace en sus últimos años ha sido descrito como un agnóstico.
Excomunión de un cometa
En 1470 el erudito humanista Bartolomeo Platina escribió que el Papa Callixtus III había pedido oraciones por la liberación de los turcos durante una aparición en 1456 del cometa Halley. La cuenta de Platina no concuerda con los registros de la Iglesia, que no mencionan el cometa. Se alega que Laplace embelleció la historia al afirmar que el Papa había "excomulgado" el cometa de Halley. Lo que Laplace realmente dijo, en Exposition du système du monde (1796), fue que el Papa había ordenado que el cometa fuera "exorcizado" ( conjuro ). Fue Arago, en Des Comètes en général(1832), quien habló por primera vez de una excomunión.
Honores
- Corresponsal del Real Instituto de los Países Bajos en 1809.
- Miembro Honorario Extranjero de la Academia Americana de las Artes y las Ciencias en 1822.
- El asteroide 4628 Laplace lleva el nombre de Laplace.
- Un espolón de los Montes Jura en la luna se conoce como Promontorium Laplace.
- Su nombre es uno de los 72 nombres inscritos en la Torre Eiffel.
- El nombre de trabajo provisional de la Misión del Sistema Europa Júpiter de la Agencia Espacial Europea es la sonda espacial "Laplace".
- Una estación de tren en el RER B en Arcueil lleva su nombre
Citas
- No tenía necesidad de esa hipótesis. ("Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-là", supuestamente en respuesta a Napoleón, que había preguntado por qué no había mencionado a Dios en su libro sobre astronomía).
- Por lo tanto, es obvio que ... (Utilizado con frecuencia en la Mecánica Celestial cuando probó algo y extravió la prueba, o la encontró torpe. Notoria como una señal de algo verdadero, pero difícil de probar).
- "Estamos tan lejos de conocer a todos los agentes de la naturaleza y sus diversos modos de acción que no sería filosófico negar los fenómenos únicamente porque son inexplicables en el estado actual de nuestro conocimiento. Pero debemos examinarlos con toda la atención el más escrupuloso ya que parece más difícil admitirlos ".
- Esto se repite en el trabajo de Theodore Flournoy De la India al Planeta Marte como el Principio de Laplace o, "El peso de la evidencia debe ser proporcionado a la extrañeza de los hechos".
- Muy a menudo se repite como "El peso de la evidencia para un reclamo extraordinario debe ser proporcionado a su extrañeza". (Ver también estándar Sagan)
- Esta simplicidad de proporciones no parecerá sorprendente si consideramos que todos los efectos de la naturaleza son solo resultados matemáticos de un pequeño número de leyes inmutables .
- Infinitamente variada en sus efectos, la naturaleza es simple en sus causas.
- Lo que sabemos es poco, y lo que ignoramos es inmenso. (Comentarios de Fourier: "Este fue al menos el significado de sus últimas palabras, que se articularon con dificultad").
- Œuvres complètes de Laplace, 14 vol. (1878-1912), París: Gauthier-Villars (copia de Gallica en francés)
- Théorie du movement et de la figure elliptique des planètes (1784) París (no en Œuvres complètes)
- Précis de l'histoire de l'astronomie
- Alphonse Rebière, Mathématiques et mathématiciens, 3ª edición París, Nony y Cie, 1898.
Traducciones inglesas
- Bowditch, N. (trans.) (1829-1839) Mécanique céleste , 4 vols, Boston
- Nueva edición de Reprint Services ISBN 0-7812-2022-X
- - [1829-1839] (1966-1969) Celestial Mechanics , 5 vols, incluido el original francés
- Pound, J. (trans.) (1809) El sistema del mundo , 2 vols, Londres: Richard Phillips
- _ El sistema del mundo (v.1)
- _ El sistema del mundo (v.2)
- - [1809] (2007) El sistema del mundo , vol.1, Kessinger, ISBN 1-4326-5367-9
- Toplis, J. (trans.) (1814) Un tratado sobre mecánica analítica Nottingham: H. Barnett
- Un ensayo filosófico sobre probabilidades . Traducido por Truscott, FW y Emory, FL 2007 [1902]. ISBN 1-60206-328-1. , traducido del francés 6th ed. (1840)
- Un ensayo filosófico sobre probabilidades (1902) en Internet Archive
- Ensayo filosófico sobre probabilidades . Fuentes en la Historia de las Matemáticas y las Ciencias Físicas. 13 . Traducido por Andrew I. Dale. Saltador. 1995. doi: 10.1007 / 978-1-4612-4184-3. ISBN 978-1-4612-8689-9. , traducido del francés 5th ed. (1825)
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