Lógica (filosofía)
Definición
La lógica (del griego antiguo: λογική , translit. Logikḗ ), originalmente significa "la palabra" o "lo que se habla", pero viene a significar "pensamiento" o "razón", es un tema relacionado con las leyes más generales de la verdad , y ahora se considera generalmente que consiste en el estudio sistemático de la forma de inferencia válida. Una inferencia válida es aquella en la que existe una relación específica de apoyo lógico entre los supuestos de la inferencia y su conclusión. (En el discurso ordinario, las inferencias pueden estar significadas por palabras como por lo tanto , por lo tanto , ergo , etc.)No existe un acuerdo universal sobre el alcance exacto y el tema de la lógica (ver § Concepciones rivales, a continuación), pero ha incluido tradicionalmente la clasificación de argumentos, la exposición sistemática de la 'forma lógica' común a todos los argumentos válidos, el estudio de la inferencia, incluidas las falacias, y el estudio de la semántica, incluidas las paradojas. Históricamente, la lógica se ha estudiado en filosofía (desde la antigüedad) y matemáticas (desde mediados del siglo XIX), y recientemente se ha estudiado la lógica en ciencias de la computación, lingüística, psicología y otros campos.
Conceptos
| " | Sobre este primer y en un sentido esta única regla de la razón, que para aprender debes desear aprender, y al desear no estar satisfecho con lo que ya te inclinas a pensar, sigue un corolario que en sí mismo merece ser inscrito en cada pared de la ciudad de la filosofía: No bloquees el camino de la investigación. | " |
| - Charles Sanders Peirce, "Primera regla de la lógica" | ||
- La lógica informal es el estudio de los argumentos del lenguaje natural. El estudio de las falacias es una rama importante de la lógica informal. Como muchos argumentos informales no son estrictamente deductivos, en algunas concepciones de la lógica, la lógica informal no es lógica en absoluto. Ver 'Concepciones rivales', a continuación.
- La lógica formal es el estudio de la inferencia con contenido puramente formal. Una inferencia posee un contenido puramente formal si puede expresarse como una aplicación particular de una regla totalmente abstracta, es decir, una regla que no se trata de ninguna cosa o propiedad en particular. Las obras de Aristóteles contienen el primer estudio formal conocido de la lógica. La lógica formal moderna sigue y se expande en Aristóteles. En muchas definiciones de lógica, la inferencia lógica y la inferencia con contenido puramente formal son las mismas. Esto no vuelve vacía la noción de lógica informal, porque ninguna lógica formal capta todos los matices del lenguaje natural.
- La lógica simbólica es el estudio de abstracciones simbólicas que capturan las características formales de la inferencia lógica. La lógica simbólica a menudo se divide en dos ramas principales: lógica proposicional y lógica de predicados.
- La lógica matemática es una extensión de la lógica simbólica a otras áreas, en particular al estudio de la teoría de modelos, la teoría de la prueba, la teoría de conjuntos y la teoría de la recursión.
Sin embargo, el acuerdo sobre qué lógica se ha mantenido esquivo, y aunque el campo de la lógica universal ha estudiado la estructura común de la lógica, en 2007 Mossakowski et al. comentó que "es embarazoso que no haya una definición formal ampliamente aceptada de 'una lógica'".
Forma lógica
La lógica generalmente se considera formal cuando analiza y representa la forma de cualquier tipo de argumento válido. La forma de un argumento se muestra representando sus oraciones en la gramática formal y el simbolismo de un lenguaje lógico para hacer que su contenido sea utilizable en la inferencia formal. En pocas palabras, formalizar simplemente significa traducir oraciones en inglés al lenguaje de la lógica.
Esto se llama mostrar la forma lógica del argumento. Es necesario porque las oraciones indicativas del lenguaje ordinario muestran una variedad considerable de forma y complejidad que hace que su uso en la inferencia sea poco práctico. Requiere, primero, ignorar aquellas características gramaticales irrelevantes para la lógica (como el género y la declinación, si el argumento es en latín), reemplazar conjunciones irrelevantes para la lógica (como "pero") con conjunciones lógicas como "y" y reemplazar ambiguas, o expresiones lógicas alternativas ("cualquiera", "cada", etc.) con expresiones de un tipo estándar (como "todo" o el cuantificador universal ∀).
Segundo, ciertas partes de la oración deben ser reemplazadas por letras esquemáticas. Así, por ejemplo, la expresión "todos los Ps son Q" muestra la forma lógica común a las oraciones "todos los hombres son mortales", "todos los gatos son carnívoros", "todos los griegos son filósofos", y así sucesivamente. El esquema puede condensarse en la fórmula A (P, Q) , donde la letra A indica el juicio 'todos - son -'.
La importancia de la forma fue reconocida desde la antigüedad. Aristóteles usa letras variables para representar inferencias válidas en Análisis previo , lo que llevó a Jan Łukasiewicz a decir que la introducción de variables fue "una de las mayores invenciones de Aristóteles". Según los seguidores de Aristóteles (como Ammonius), solo los principios lógicos establecidos en términos esquemáticos pertenecen a la lógica, no los dados en términos concretos. Los términos concretos "hombre", "mortal", etc., son análogos a los valores de sustitución de los marcadores de posición esquemáticos P , Q , R , que se denominaron "materia" ( hyle griego ) de la inferencia.
Semántica
La validez de un argumento depende del significado o la semántica de las oraciones que lo componen.
El Organon de Aristóteles, especialmente Sobre la interpretación, ofrece un esquema superficial de la semántica que los lógicos escolásticos, particularmente en los siglos XIII y XIV, desarrollaron en una teoría compleja y sofisticada, llamada teoría de la suposición. Esto demostró cómo la verdad de las oraciones simples, expresadas esquemáticamente, depende de cómo los términos "suponer" o representan ciertos elementos extralingüísticos. Por ejemplo, en la parte II de su Summa Logicae, William of Ockham presenta una descripción exhaustiva de las condiciones necesarias y suficientes para la veracidad de las oraciones simples, a fin de mostrar qué argumentos son válidos y cuáles no. Por lo tanto, "cada A es B" es verdadero si y solo si hay algo por lo que 'A' se para, y no hay nada por lo que 'A' se para, por lo cual 'B'
La lógica moderna temprana definió la semántica puramente como una relación entre ideas. Antoine Arnauld en Port Royal Logic, dice que "después de concebir las cosas con nuestras ideas, comparamos estas ideas, y, al encontrar que algunas pertenecen y otras no, las unimos o las separamos. Esto se llama afirmar o negar , y en general juzgar. Por lo tanto, la verdad y la falsedad no son más que el acuerdo o el desacuerdo de las ideas. Esto sugiere dificultades obvias, llevando a Locke a distinguir entre la verdad "real", cuando nuestras ideas tienen "existencia real" y verdad "imaginaria" o "verbal", donde las ideas como arpías o centauros existen solo en la mente. Esta visión (psicologismo) fue llevado al extremo en el siglo diecinueve, y generalmente lo sostienen los lógicos modernos para significar un punto bajo en el declive de la lógica antes del siglo veinte.
La semántica moderna está en cierto modo más cerca de la visión medieval, al rechazar tales condiciones psicológicas de verdad. Sin embargo, la introducción de la cuantificación, necesaria para resolver el problema de la generalidad múltiple, hizo imposible el tipo de análisis sujeto-predicado que subyace a la semántica medieval. El enfoque moderno principal es la semántica teórica de modelos, basado en la teoría semántica de la verdad de Alfred Tarski. El enfoque asume que el significado de las diversas partes de las proposiciones está dado por las posibles formas en que podemos darles un grupo de funciones de interpretación recursivamente especificado a un dominio predefinido del discurso: una interpretación de lógica de predicados de primer orden está dada por un mapeo de términos a un universo de individuos, y un mapeo de proposiciones a los valores de verdad "verdadero" y "falso". La semántica teórica de modelos es uno de los conceptos fundamentales de la teoría de modelos. La semántica moderna también admite enfoques rivales, como la semántica de la teoría de la prueba que asocia el significado de las proposiciones con los roles que pueden desempeñar en las inferencias.
Inferencia
La inferencia no debe confundirse con la implicación . Una implicación es una oración de la forma 'If p then q', y puede ser verdadera o falsa. El lógico estoico Filón de Megara fue el primero en definir las condiciones de verdad de tal implicación: falso solo cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso, en todos los demás casos es verdadero. Una inferencia, por otro lado, consiste en dos proposiciones separadas de la forma 'p, por tanto, q'. Una inferencia no es verdadera o falsa, sino válida o inválida. Sin embargo, hay una conexión entre implicación e inferencia, como sigue: si la implicación 'si p entonces q' es verdadera , la inferencia 'p por lo tanto q' es válida. Esto recibió una formulación aparentemente paradójica de Philo, quien dijo que la implicación 'si es de día, es de noche' es verdadera solo de noche, por lo que la inferencia 'es de día, por lo tanto es de noche' es válida en la noche, pero no en el día.
La teoría de la inferencia (o "consecuencias") se desarrolló sistemáticamente en la época medieval por parte de lógicos como William of Ockham y Walter Burley. Es exclusivamente medieval, aunque tiene sus orígenes en los Temas de Aristóteles y Boethius ' De Syllogismis hypotheticis . Esta es la razón por la cual muchos términos en lógica son latinos. Por ejemplo, la regla que autoriza el movimiento desde la implicación 'si p luego q' más la afirmación de su antecedente p, hasta la afirmación del consecuente q se conoce como modus ponens (o 'modo de postular'). Su formulación latina es 'Posito antecedente ponitur consequens'. Las formulaciones latinas de muchas otras reglas como 'ex falso quodlibet' (todo sigue de una falsedad), 'reductio ad absurdum'
Sin embargo, la teoría de las consecuencias, o del llamado "silogismo hipotético" nunca se integró por completo en la teoría del "silogismo categórico". Esto se debió en parte a la resistencia a reducir el juicio categórico "Toda S es P" al llamado juicio hipotético "si algo es S, es P". Se pensaba que el primero implicaba "algún S es P", el segundo no, y tan tarde como 1911 en el artículo de Encyclopædia Britannica sobre Lógica, encontramos que el lógico TH Case de Oxford argumenta contra el análisis moderno de Sigwart y Brentano de la proposición universal.
Sistemas lógicos
Un sistema formal es una organización de términos utilizados para el análisis de la deducción. Consiste en un alfabeto, un idioma sobre el alfabeto para construir oraciones y una regla para derivar oraciones. Entre las propiedades importantes que los sistemas lógicos pueden tener están:
- Consistencia , lo que significa que ningún teorema del sistema contradice a otro.
- Validez , lo que significa que las reglas de prueba del sistema nunca permiten una falsa inferencia de premisas verdaderas.
- Integridad , lo que significa que si una fórmula es verdadera, puede ser probada, es decir, es un teorema del sistema.
- Solidez , lo que significa que si alguna fórmula es un teorema del sistema, es cierto. Esto es lo contrario de lo completo. (Tenga en cuenta que en un uso filosófico distinto del término, un argumento es sólido cuando es válido y sus premisas son verdaderas).
Algunos sistemas lógicos no tienen las cuatro propiedades. Como ejemplo, los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que los sistemas formales de aritmética suficientemente complejos no pueden ser consistentes y completos, sin embargo, las lógicas de predicados de primer orden no extendidas por axiomas específicos para ser sistemas formales aritméticos con igualdad pueden ser completas y consistentes.
Lógica y racionalidad
Como el estudio de los argumentos tiene una importancia clara para las razones por las que consideramos que las cosas son ciertas, la lógica es de importancia esencial para la racionalidad. Aquí hemos definido que la lógica es "el estudio sistemático de la forma de los argumentos"; el razonamiento detrás del argumento es de varios tipos, pero solo algunos de estos argumentos caen bajo la égida de la lógica propiamente dicha.
El razonamiento deductivo se refiere a la consecuencia lógica de premisas dadas y es la forma de razonamiento más estrechamente relacionada con la lógica. En una concepción estrecha de la lógica (ver abajo), la lógica se refiere al razonamiento deductivo, aunque una concepción tan estrecha excluye polémicamente la mayor parte de lo que se llama lógica informal de la disciplina.
Si bien la inferencia inductiva y abductiva no es parte de la lógica propiamente dicha, la metodología de la lógica se les ha aplicado con cierto grado de éxito. Por ejemplo, la noción de validez deductiva (donde una inferencia es deductivamente válida si y solo si no hay una situación posible en la que todas las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa) existe en una analogía con la noción de validez inductiva o "fuerza" ", donde una inferencia es inductivamente fuerte si y solo si sus premisas dan algún grado de probabilidad a su conclusión. Mientras que la noción de validez deductiva puede establecerse rigurosamente para los sistemas de lógica formal en términos de las nociones bien entendidas de semántica, la validez inductiva requiere que definamos una generalización confiable de un conjunto de observaciones. La tarea de proporcionar esta definición se puede abordar de varias maneras, algunas menos formales que otras; algunas de estas definiciones pueden usar inducción de reglas de asociación lógica, mientras que otras pueden usar modelos matemáticos de probabilidad, como árboles de decisión.
Concepciones rivales
La lógica surgió (ver a continuación) a partir de una preocupación con la corrección de la argumentación. Los lógicos modernos generalmente desean asegurarse de que la lógica estudia justamente aquellos argumentos que surgen de formas apropiadamente generales de inferencia. Por ejemplo, Thomas Hofweber escribe en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford que la lógica "no cubre, sin embargo, el buen razonamiento como un todo. Ese es el trabajo de la teoría de la racionalidad. Más bien trata con inferencias cuya validez se remonta a la características formales de las representaciones que están involucradas en esa inferencia, ya sean representaciones lingüísticas, mentales u otras ".
La lógica ha sido definida como "el estudio de los argumentos correctos en virtud de su forma". Esta no ha sido la definición tomada en este artículo, pero la idea de que la lógica trata formas especiales de argumento, argumento deductivo, en lugar de argumento en general, tiene una historia en la lógica que data al menos del logicismo en matemáticas (siglos XIX y XX) ) y el advenimiento de la influencia de la lógica matemática en la filosofía. Una consecuencia de tomar lógica para tratar tipos especiales de argumentos es que conduce a la identificación de tipos especiales de verdad, las verdades lógicas (con la lógica que equivale al estudio de la verdad lógica) y excluye muchos de los objetos originales de estudio de la lógica que son tratados como una lógica informal. Robert Brandom ha argumentado en contra de la idea de que la lógica es el estudio de un tipo especial de verdad lógica,
Historia
En Europa, la lógica fue desarrollada por primera vez por Aristóteles. La lógica aristotélica llegó a ser ampliamente aceptada en la ciencia y las matemáticas y permaneció en gran uso en Occidente hasta principios del siglo XIX. El sistema de lógica de Aristóteles fue responsable de la introducción del silogismo hipotético, la lógica modal temporal y la lógica inductiva, así como términos influyentes como términos, predicables, silogismos y proposiciones. En Europa durante el período medieval posterior, se hicieron grandes esfuerzos para mostrar que las ideas de Aristóteles eran compatibles con la fe cristiana. Durante la Alta Edad Media, la lógica se convirtió en el foco principal de los filósofos, que se involucrarían en análisis lógicos críticos de argumentos filosóficos, a menudo usando variaciones de la metodología de la escolástica. En 1323, la influyente Summa Logicae de William of Ockham fue lanzado. En el siglo XVIII, el enfoque estructurado de los argumentos había degenerado y había caído en desgracia, como se muestra en la obra satírica de Holberg Erasmus Montanus .
El filósofo lógico chino Gongsun Long ( c. 325-250 aC ) propuso la paradoja "Uno y uno no pueden convertirse en dos, ya que ninguno se convierte en dos". En China, la tradición de la investigación académica en la lógica, sin embargo, fue reprimida por la dinastía Qin siguiendo la filosofía legalista de Han Feizi.
En India, la escuela de lógica Anviksiki fue fundada por Medhatithi Gautama (hacia el siglo VI aC). Las innovaciones en la escuela escolástica, llamada Nyaya, continuaron desde la antigüedad hasta principios del siglo XVIII con la escuela Navya-Nyaya. En el siglo XVI, desarrolló teorías que se asemejaban a la lógica moderna, como la "distinción entre sentido y referencia de nombres propios" de Gottlob Frege y su "definición de número", así como la teoría de "condiciones restrictivas para universales" anticipando algunas de las desarrollos en la teoría de conjuntos moderna. Desde 1824, la lógica india atrajo la atención de muchos estudiosos occidentales y ha influido en importantes lógicos del siglo XIX, como Charles Babbage, Augustus De Morgan y George Boole. En el siglo 20,
La lógica silogística desarrollada por Aristóteles predominaba en Occidente hasta mediados del siglo XIX, cuando el interés en los fundamentos de las matemáticas estimuló el desarrollo de la lógica simbólica (ahora llamada lógica matemática). En 1854, George Boole publicó Una investigación de las leyes del pensamiento sobre las cuales se fundaron las Teorías Matemáticas de la Lógica y las Probabilidades , introduciendo la lógica simbólica y los principios de lo que ahora se conoce como lógica Booleana. En 1879, Gottlob Frege publicó Begriffsschrift , que inauguró la lógica moderna con la invención de la notación cuantificadora. De 1910 a 1913, Alfred North Whitehead y Bertrand Russell publicaron Principia Mathematica sobre los fundamentos de las matemáticas, tratando de derivar verdades matemáticas de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica. En 1931, Gödel planteó serios problemas con el programa fundamentalista y la lógica dejó de centrarse en estos temas.
El desarrollo de la lógica desde Frege, Russell y Wittgenstein tuvo una profunda influencia en la práctica de la filosofía y la naturaleza percibida de los problemas filosóficos (ver filosofía analítica) y la filosofía de las matemáticas. La lógica, especialmente la lógica de sentencias, se implementa en circuitos lógicos de computadora y es fundamental para la informática. La lógica es comúnmente enseñada por los departamentos de filosofía de la universidad, a menudo como una disciplina obligatoria.
Tipos
Lógica Syllogistic
El Organon fue el cuerpo de trabajo de Aristóteles sobre la lógica, con el análisis previo que constituye el primer trabajo explícito en la lógica formal, introduciendo la silogística. Las partes de la lógica silogística, también conocidas con el nombre de término lógica, son el análisis de los juicios en proposiciones que consisten en dos términos que están relacionados por uno de un número fijo de relaciones, y la expresión de inferencias mediante silogismos que consisten en dos proposiciones que comparten un término común como premisa, y una conclusión que es una proposición que implica los dos términos no relacionados de las premisas.
La obra de Aristóteles fue considerada en la época clásica y desde la época medieval en Europa y Medio Oriente como la imagen misma de un sistema completamente desarrollado. Sin embargo, no estaba solo: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales. Además, el problema de la generalidad múltiple fue reconocido en la época medieval. No obstante, los problemas con la lógica silogística no se consideraban como una necesidad de soluciones revolucionarias.
Hoy, algunos académicos afirman que, en general, se considera que el sistema de Aristóteles tiene poco más que un valor histórico (aunque existe cierto interés en ampliar la lógica de los términos), considerado obsoleto por el advenimiento de la lógica proposicional y el cálculo de predicados. Otros usan a Aristóteles en la teoría de la argumentación para ayudar a desarrollar y cuestionar críticamente los esquemas de argumentación que se usan en inteligencia artificial y argumentos legales.
Lógica proposicional
Predicado lógica
Mientras que la lógica silogística aristotélica especifica un pequeño número de formas que puede tomar la parte relevante de los juicios involucrados, la lógica de predicados permite que las oraciones sean analizadas en sujeto y argumento de varias maneras adicionales, permitiendo que la lógica de predicados resuelva el problema de la generalidad múltiple que había perplejo lógicos medievales.
El desarrollo de la lógica de predicados generalmente se atribuye a Gottlob Frege, a quien también se atribuye como uno de los fundadores de la filosofía analítica, pero la formulación de la lógica de predicados más utilizada actualmente es la lógica de primer orden presentada en Principios de lógica matemática por David Hilbert y Wilhelm Ackermann en 1928. La generalidad analítica de la lógica de predicados permitió la formalización de las matemáticas, condujo la investigación de la teoría de conjuntos y permitió el desarrollo del enfoque de Alfred Tarski sobre la teoría de modelos. Proporciona la base de la lógica matemática moderna.
El sistema original de lógica de predicados de Frege era de segundo orden, en lugar de primer orden. La lógica de segundo orden es defendida de manera prominente (contra las críticas de Willard Van Orman Quine y otros) por George Boolos y Stewart Shapiro.
Lógica modal
En los idiomas, la modalidad trata del fenómeno de que las subpartes de una oración pueden tener su semántica modificada por verbos especiales o partículas modales. Por ejemplo, " Vamos a los juegos " se puede modificar para dar " Deberíamos ir a los juegos ", y " Podemos ir a los juegos " y quizás " Vamos a ir a los juegos ". De manera más abstracta, podríamos decir que la modalidad afecta las circunstancias en las que tomamos una afirmación para estar satisfechos. La modalidad confusa se conoce como la falacia modal.
La lógica de Aristóteles está en gran parte relacionada con la teoría de la lógica no modalizada. Aunque existen pasajes en su trabajo, como el famoso argumento de la batalla naval en De Interpretatione §9, que ahora se consideran anticipaciones de la lógica modal y su conexión con la potencialidad y el tiempo, el sistema formal más antiguo de lógica modal fue desarrollado por Avicenna, quien finalmente desarrolló una teoría de silogística "temporalmente modalizada".
Mientras que el estudio de la necesidad y la posibilidad siguió siendo importante para los filósofos, poca innovación lógica sucedió hasta las históricas investigaciones de Clarence Irving Lewis en 1918, quienes formularon una familia de axiomatizaciones rivales de las modalidades alethic. Su trabajo desató un torrente de nuevos trabajos sobre el tema, ampliando los tipos de modalidades tratadas para incluir la lógica deóntica y la lógica epistémica. El trabajo seminal de Arthur Prior aplicó el mismo lenguaje formal para tratar la lógica temporal y allanó el camino para el matrimonio de los dos temas. Saul Kripke descubrió (al mismo tiempo que sus rivales) su teoría de la semántica de marcos, que revolucionó la tecnología formal disponible para los lógicos modales y dio una nueva forma teórica de mirar la modalidad que ha impulsado muchas aplicaciones en lingüística computacional e informática.
Razonamiento informal y dialéctica
La motivación para el estudio de la lógica en la antigüedad era clara: es para aprender a distinguir los buenos argumentos de los malos, y así ser más efectivo en los argumentos y la oratoria, y quizás también para convertirse en una mejor persona. La mitad de las obras del órgano de Aristóteles tratan la inferencia tal como ocurre en un entorno informal, junto con el desarrollo de la silogística, y en la escuela aristotélica, estas obras informales sobre la lógica fueron vistas como complementarias al tratamiento de Aristóteles de la retórica.
Esta antigua motivación todavía está viva, aunque ya no ocupa un lugar central en la imagen de la lógica; típicamente la lógica dialéctica forma el corazón de un curso de pensamiento crítico, un curso obligatorio en muchas universidades. La dialéctica se ha relacionado con la lógica desde la antigüedad, pero no ha sido hasta las últimas décadas que los lógicos europeos y estadounidenses han intentado proporcionar fundamentos matemáticos para la lógica y la dialéctica formalizando la lógica dialéctica. La lógica dialéctica es también el nombre dado al tratamiento especial de la dialéctica en el pensamiento hegeliano y marxista. Ha habido tratados preformales sobre argumento y dialéctica, de autores como Stephen Toulmin ( Los usos del argumento ), Nicholas Rescher ( Dialéctica).), y van Eemeren y Grootendorst (Pragma-dialéctica). Las teorías del razonamiento derrotable pueden proporcionar una base para la formalización de la lógica dialéctica y la dialéctica misma se puede formalizar como movimientos en un juego, donde un defensor de la verdad de una proposición y un oponente discuten. Dichos juegos pueden proporcionar una semántica formal de juego para muchas lógicas.
La teoría de la argumentación es el estudio y la investigación de la lógica informal, las falacias y las preguntas críticas relacionadas con el día a día y las situaciones prácticas. Se pueden analizar y cuestionar tipos específicos de diálogo para revelar premisas, conclusiones y falacias. La teoría de la argumentación ahora se aplica en inteligencia artificial y ley.
Lógica matemática
La lógica matemática comprende dos áreas distintas de investigación: la primera es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático, y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal.
El uso más antiguo de las matemáticas y la geometría en relación con la lógica y la filosofía se remonta a los antiguos griegos, como Euclides, Platón y Aristóteles. Muchos otros filósofos antiguos y medievales aplicaron ideas y métodos matemáticos a sus afirmaciones filosóficas.
Uno de los intentos más audaces de aplicar la lógica a las matemáticas fue el logicismo iniciado por filósofos y lógicos como Gottlob Frege y Bertrand Russell. Se suponía que las teorías matemáticas eran tautologías lógicas, y el programa debía mostrar esto mediante una reducción de las matemáticas a la lógica. Los diversos intentos de llevarlo a cabo se encontraron con el fracaso, desde la paralización del proyecto de Frege en su Grundgesetze por la paradoja de Russell, hasta la derrota del programa de Hilbert por los teoremas de incompletitud de Gödel.
Tanto la afirmación del programa de Hilbert como su refutación por parte de Gödel dependían de que su trabajo estableciera la segunda área de la lógica matemática, la aplicación de las matemáticas a la lógica en forma de teoría de la prueba. A pesar de la naturaleza negativa de los teoremas de incompletitud, el teorema de completitud de Gödel, un resultado en la teoría de modelos y otra aplicación de las matemáticas a la lógica, puede entenderse como muestra cuán cerca el logicismo llegó a ser verdadero: cada teoría matemática rigurosamente definida puede ser capturada exactamente por un teoría lógica de primer orden; El cálculo de prueba de Frege es suficiente para describir el conjunto de las matemáticas, aunque no equivale a eso.
Si la teoría de la prueba y la teoría del modelo han sido la base de la lógica matemática, han sido solo dos de los cuatro pilares del tema. La teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor, y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes en lógica matemática, desde el teorema de Cantor hasta el estado del Axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de computación en términos lógicos y aritméticos; sus logros más clásicos son la indecibilidad del Entscheidungsproblem por Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. En la actualidad, la teoría de la recursión se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad (¿cuándo se puede resolver un problema de manera eficiente?) Y la clasificación de los grados de insolubilidad.
Lógica filosófica
La lógica filosófica se ocupa de las descripciones formales del lenguaje ordinario, no especializado ("natural"), que se refiere estrictamente solo a los argumentos dentro de las otras ramas de la filosofía. La mayoría de los filósofos asumen que la mayor parte del razonamiento cotidiano se puede capturar en la lógica si se puede encontrar un método o métodos para traducir el lenguaje ordinario en esa lógica. La lógica filosófica es esencialmente una continuación de la disciplina tradicional llamada "lógica" antes de la invención de la lógica matemática. La lógica filosófica tiene una preocupación mucho mayor con la conexión entre el lenguaje natural y la lógica. Como resultado, los lógicos filosóficos han contribuido en gran medida al desarrollo de lógicas no estándar (por ejemplo, lógica libre, lógica de tiempos) así como varias extensiones de la lógica clásica (p. Ej.
La lógica y la filosofía del lenguaje están estrechamente relacionadas. La filosofía del lenguaje tiene que ver con el estudio de cómo nuestro lenguaje se relaciona e interactúa con nuestro pensamiento. La lógica tiene un impacto inmediato en otras áreas de estudio. Estudiar la lógica y la relación entre la lógica y el habla común puede ayudar a una persona a estructurar mejor sus propios argumentos y criticar los argumentos de los demás. Muchos argumentos populares están llenos de errores porque muchas personas carecen de formación en lógica y no saben cómo formular un argumento correctamente.
Lógica computacional
La lógica atravesó el corazón de la ciencia de la computación a medida que surgió como disciplina: el trabajo de Alan Turing sobre el problema de Entscheidung siguió el trabajo de Kurt Gödel sobre los teoremas de incompletitud. La noción de computadora de propósito general que surgió de este trabajo fue de fundamental importancia para los diseñadores de la maquinaria informática en la década de 1940.
En las décadas de 1950 y 1960, los investigadores predijeron que, cuando el conocimiento humano podría expresarse utilizando la lógica con la notación matemática, sería posible crear una máquina que razona, o inteligencia artificial. Esto fue más difícil de lo esperado debido a la complejidad del razonamiento humano. En la programación lógica, un programa consiste en un conjunto de axiomas y reglas. Los sistemas de programación lógica, como Prolog, calculan las consecuencias de los axiomas y las reglas para responder una consulta.
Hoy en día, la lógica se aplica ampliamente en los campos de la inteligencia artificial y la informática, y estos campos proporcionan una rica fuente de problemas en la lógica formal e informal. La teoría de la argumentación es un buen ejemplo de cómo se aplica la lógica a la inteligencia artificial. El Sistema de Clasificación de Computación ACM en particular se refiere a:
- Sección F.3 sobre Lógicas y significados de programas y F.4 sobre Lógica matemática y lenguajes formales como parte de la teoría de la informática: este trabajo cubre la semántica formal de los lenguajes de programación, así como el trabajo de métodos formales como la lógica de Hoare;
- La lógica booleana como fundamental para el hardware informático: particularmente, la sección B.2 del sistema sobre estructuras aritméticas y lógicas, relacionada con los operadores AND, NOT y OR;
- Muchos formalismos lógicos fundamentales son esenciales para la sección I.2 sobre inteligencia artificial, por ejemplo lógica modal y lógica predeterminada en formalismos y métodos de representación de conocimiento, cláusulas Horn en programación lógica y lógica de descripción.
Además, las computadoras se pueden usar como herramientas para lógicos. Por ejemplo, en lógica simbólica y lógica matemática, las pruebas hechas por humanos pueden ser asistidas por computadora. Utilizando la demostración automatizada de teoremas, las máquinas pueden encontrar y verificar pruebas, así como trabajar con pruebas demasiado largas para escribir a mano.
Lógica no clásica
Las lógicas discutidas anteriormente son todas "bivalentes" o "de dos valores"; es decir, se los entiende naturalmente como proposiciones que se dividen en proposiciones verdaderas y falsas. Las lógicas no clásicas son aquellos sistemas que rechazan varias reglas de la lógica clásica.
Hegel desarrolló su propia lógica dialéctica que extendió la lógica trascendental de Kant, pero también la devolvió a la realidad asegurándonos que "ni en el cielo ni en la tierra, ni en el mundo de la mente ni en la naturaleza, hay un resumen tan abstracto" o bien "como lo sostiene la comprensión. Lo que existe es concreto, con diferencia y oposición en sí mismo".
En 1910, Nicolai A. Vasiliev extendió la ley del medio excluido y la ley de la contradicción y propuso la ley del cuarto excluido y la lógica tolerante a la contradicción. A principios del siglo XX, Jan Łukasiewicz investigó la extensión de los valores tradicionales verdadero / falso para incluir un tercer valor, "posible", inventando la lógica ternaria, la primera lógica multivaluada en la tradición occidental.
Desde entonces, lógicas como la lógica difusa se han ideado con un número infinito de "grados de verdad", representados por un número real entre 0 y 1.
La lógica intuitiva fue propuesta por LEJ Brouwer como la lógica correcta para razonar sobre las matemáticas, basada en su rechazo de la ley del medio excluido como parte de su intuicionismo. Brouwer rechazó la formalización en matemáticas, pero su estudiante Arend Heyting estudió formalmente la lógica intuicionista, al igual que Gerhard Gentzen. La lógica intuitiva es de gran interés para los científicos informáticos, ya que es una lógica constructiva y ve muchas aplicaciones, como extraer programas verificados de pruebas e influir en el diseño de lenguajes de programación a través de la correspondencia de fórmulas como tipos.
La lógica modal no es condicional de verdad, por lo que a menudo se ha propuesto como una lógica no clásica. Sin embargo, la lógica modal normalmente se formaliza con el principio del medio excluido, y su semántica relacional es bivalente, por lo que esta inclusión es discutible.
Controversias
"¿Es la lógica empírica?"
¿Cuál es el estado epistemológico de las leyes de la lógica? ¿Qué tipo de argumento es apropiado para criticar los supuestos principios de la lógica? En un influyente trabajo titulado "¿Es la lógica empírica?" Hilary Putnam, basándose en una sugerencia de WV Quine, argumentó que, en general, los hechos de la lógica proposicional tienen un estatus epistemológico similar a los hechos sobre el universo físico, por ejemplo como las leyes de la mecánica o de la relatividad general, y en particular que los físicos han aprendido acerca de la mecánica cuántica ofrece un caso convincente para abandonar ciertos principios familiares de la lógica clásica: si queremos ser realistas acerca de los fenómenos físicos descritos por la teoría cuántica, entonces debemos abandonar el principio de la distributividad,
Otro artículo del mismo nombre de Michael Dummett sostiene que el deseo de Putnam de realismo ordena la ley de la distributividad. La distributividad de la lógica es esencial para que los realistas comprendan cómo las proposiciones son verdaderas del mundo de la misma manera en que ha argumentado el principio de la bivalencia. De esta manera, la pregunta, "¿Es la lógica empírica?" se puede ver que conduce naturalmente a la controversia fundamental en metafísica sobre el realismo contra el anti-realismo.
Implicación: Estricta o material
La noción de implicación formalizada en la lógica clásica no se traduce cómodamente en el lenguaje natural por medio de "si ... entonces ...", debido a una serie de problemas llamados las paradojas de la implicación material.
La primera clase de paradojas implica contrafactuales, como Si la luna está hecha de queso verde, entonces 2 + 2 = 5 , que son desconcertantes porque el lenguaje natural no es compatible con el principio de explosión. La eliminación de esta clase de paradojas fue la razón de la formulación de implicación estricta de CI Lewis, que finalmente condujo a lógicas revisionistas más radicales como la lógica de la relevancia.
La segunda clase de paradojas implica premisas redundantes, sugiriendo falsamente que conocemos al sucesor por el antecedente: así "si ese hombre es elegido, la abuela morirá" es materialmente cierto, ya que la abuela es mortal, independientemente de las perspectivas electorales del hombre. Tales oraciones violan la máxima de Gricean de relevancia y pueden ser modeladas por lógicas que rechazan el principio de monotonía de vinculación, como la lógica de relevancia.
Tolerando lo imposible
Hegel era profundamente crítico de cualquier noción simplificada de la ley de la no contradicción. Se basó en la idea de Gottfried Wilhelm Leibniz de que esta ley de la lógica también requiere un fundamento suficiente para especificar desde qué punto de vista (o tiempo) uno dice que algo no puede contradecirse. Un edificio, por ejemplo, ambos movimientos y no se mueve; el terreno para el primero es nuestro sistema solar y para el segundo la tierra. En la dialéctica hegeliana, la ley de la no contradicción, de la identidad, se basa en sí misma en la diferencia y, por lo tanto, no es independiente.
Estrechamente relacionada con las preguntas que surgen de las paradojas de la implicación, surge la sugerencia de que la lógica debe tolerar la inconsistencia. Relevancia lógica y lógica paraconsistente son los enfoques más importantes aquí, aunque las preocupaciones son diferentes: una consecuencia clave de la lógica clásica y algunos de sus rivales, como la lógica intuicionista, es que respetan el principio de explosión, lo que significa que la lógica se derrumba si es capaz de derivar una contradicción. Graham Priest, el principal defensor del dialectheism, ha abogado por la paraconsistencia sobre la base de que, de hecho, hay verdaderas contradicciones.
Rechazo de la verdad lógica
La veta filosófica de diversos tipos de escepticismo contiene muchos tipos de dudas y rechazo de las diversas bases sobre las que descansa la lógica, como la idea de forma lógica, inferencia correcta o significado, que típicamente llevan a la conclusión de que no hay verdades lógicas. Esto está en contraste con los puntos de vista habituales en el escepticismo filosófico, donde la lógica dirige la investigación escéptica para dudar de las sabidurías recibidas, como en el trabajo de Sexto Empírico.
Friedrich Nietzsche proporciona un fuerte ejemplo del rechazo de la base habitual de la lógica: su rechazo radical de la idealización lo llevó a rechazar la verdad como un "... ejército móvil de metáforas, metonimias y antropomorfismos, en resumen ... metáforas que son desgastados y sin poder sensual, monedas que han perdido sus imágenes y ahora importan solo como metal, ya no como monedas ". Su rechazo de la verdad no lo llevó a rechazar por completo la idea de la inferencia o la lógica, sino que sugirió que "la lógica [vino] a la existencia en la cabeza del hombre de la ilógica, cuyo reino originalmente debe haber sido inmenso. Innumerables seres que hizo inferencias de una manera diferente a la nuestra perecieron ". Por lo tanto, existe la idea de que la inferencia lógica tiene un uso como herramienta para la supervivencia humana,
Sin embargo, esta posición sostenida por Nietzsche ha sido objeto de un escrutinio extremo por varias razones. Algunos filósofos, como Jürgen Habermas, afirman que su posición es autorrefutante, y acusan a Nietzsche de no tener siquiera una perspectiva coherente, y mucho menos una teoría del conocimiento. Georg Lukács, en su libro The Destruction of Reason , afirma que, "Si estudiáramos las declaraciones de Nietzsche en esta área desde un ángulo lógico-filosófico, nos enfrentaríamos a un caos vertiginoso de las afirmaciones más espeluznantes, arbitrarias y violentamente incompatibles. " Bertrand Russell describió las afirmaciones irracionales de Nietzsche con "Él es aficionado a expresarse paradójicamente y con el objetivo de impresionar a los lectores convencionales" en su libro A History of Western Philosophy .